Bài Giảng Sức Bền Vật Liệu Dự Tuyển Giảng Viên Đại Học Vinh

Khỏi niệm ứng suất: Bõy giờ chung quanh K trờn mặt cắt thuộc phần A như Hỡnh 1-2a ta lấy một phõn tố diện tớch vụ cựng bộ ΔFF , hợp lực của nội lực tỏc dụng lờn ΔFF là ⃗ΔFP... Nz , Qx ,

MỤC LỤC

Bài 1 : hợp lực của nội lực và biểu đồ nội lực 3

1.1 hợp lực của nội lực trên tiết diện – ứng lực 3

1.1.1 Khỏi niệm nội lực: 3

1.1.2 Khỏi niệm ứng suất: 3

1.1.3 Cỏc thành phần nội lực: 4

1.2 Biểu đồ nội lực 6

1.2.1 Phương phỏp mặt cắt 6

1.2.2 Bài toỏn phẳng – Biểu đồ nội lực: 6

Bài 2 : quan hệ giữa mô men uốn, lực cắt và tảI trọng ngang trong thanh thẳng 10

2.1 quan hệ giữa mô men uốn, lực cắt và tảI trọng ngang trong thanh thẳng 10

2.1.1 Quan hệ vi phõn giữa tải trọng phõn bố với lực cắt và mụmen uốn trong thanh thẳng:….………10

2.1.2 Quan hệ giữa tải trọng tập trung với độ dốc bước nhảy trờn biểu đồ lực cắt và biểu đồ mụmen uốn trong thanh thẳng: 11

2.2 Cách vẽ biểu đồ theo nhận xét 11

Bài 3 : ứng suất trên tiết diện và biến dạng của thanh 15

3.1 ứng suất trên tiết diện 15

3.1.1 Quan sỏt biến dạng: 15

3.1.2 Cỏc giả thuyết: 15

3.1.3 Cụng thức tớnh ứng suất: 15

3.2 biến dạng của thanh 16

3.2.1 Biến dạng dọc: 16

3.2.2 Biến dạng ngang: 17

Bài 4 : ứng suất trên mặt cắt nghiêng, thế năng biến dạng đàn hồi và bài toán siêu tĩnh 20 4.1 ứng suất trên mặt cắt nghiêng 20

4.2 Thế năng biến dạng đàn hồi 22

4.3 Bài toán siêu tĩnh 23

Bài 5 : Trạng tháI ứng suất 25

5.1 các định nghĩa về trạng tháI ứng suất 25

5.1.1 Khỏi niệm trạng thỏi ứng suất: 25

5.1.2 Phõn loại trạng thỏi ứng suất: 25

5.2 Trạng tháI ứng suất phẳng 26

5.2.1 Ứng suất trờn mặt cắt nghiờng: 26

5.2.2 Phương chớnh và ứng suất chớnh: 28

5.2.3 Ứng suất tiếp cực trị 29

5.2.4 Vũng trũn Mohr trong trạng thỏi ứng suất phẳng 29

Bài 1 : hợp lực của nội lực và biểu đồ nội lực

1.1 hợp lực của nội lực trên tiết diện – ứng lực

1.1.1 Khỏi niệm nội lực:

Trong vật thể, giữa cỏc phần tử cú cỏc lực liờn kết để giữ cho vật thể cú một hỡnh dỏng nhất định Khi cú nguyờn nhõn ngoài (vớ dụ ngoại lực) tỏc dụng, vật thể bị biến dạng, lực liờn kết thay đổi để chống lại biến dạng do ngoại lực gõy ra Lượng thay đổi của lực liờn kết gọi là nội lực

Hình 1-1 Ngoại lực tỏc động sinh ra nội lực 1.1.2 Khỏi niệm ứng suất:

Bõy giờ chung quanh K (trờn mặt cắt thuộc phần A như Hỡnh 1-2a) ta lấy một phõn

tố diện tớch vụ cựng bộ ΔFF , hợp lực của nội lực tỏc dụng lờn ΔFF là ⃗ΔFP

Thường người ta phân ứng suất ra hai thành phần:

 Thành phần vuông góc với mặt cắt gọi là ứng suất pháp, kí hiệu ⃗ σ .

 Thành phần nằm trong mặt cắt gọi là ứng suất tiếp, kí hiệu ⃗ τ .

Như vậy: p= √ σ2+ τ2 (p : độ lớn của ứng suất tại K).

Trong nhiều trường hợp thành phần ứng suất tiếp trên mặt cắt còn được phân thành hai thành phần theo hai phương vuông góc nào đó

 Ứng suất pháp được coi là dương khi nó cùng chiều với pháp tuyến ngoài ⃗ n

của mặt cắt (ứng suất kéo), ngược lại là âm (ứng suất nén)

 Ứng suất tiếp được coi là dương khi pháp tuyến ngoài ⃗ n của mặt cắt quay

một góc 90° cùng với chiều kim đồng hồ (trong mặt phẳng ( ⃗ n , ⃗ τ )) thì

chiều của pháp tuyến đó trùng với chiều của ứng suất tiếp, ngược lại ứng suất tiếp được coi là âm

H×nh 1-2 Quy ước chiều của ứng suất 1.1.3 Các thành phần nội lực:

Người ta thường thu gọn hợp lực của hệ nội lực về trọng tâm O của mặt cắt ngang

Sự thu gọn đó cho một lực R và một mômen M Nói chung R và M có phương chiều bất

kỳ trong không gian Để tính toán ta phân R ra thành ba thành phần (ta thường chọn Oxyz sao cho Ox,Oy nằm trong mặt cắt ngang và Oy hướng xuống, Oz trùng trục thanh)

H×nh 1-3 Quy ước hệ trục tọa độ Oxyz

 Thành phần nằm trên trục z gọi là lực dọc và kí hiệu Nz

 Thành phần nằm trên trục x, y gọi là các lực cắt và kí hiệu Qx , Qy

Ta cùng phân M ra ba thành phần

 Các thành phần quay quanh trục x và y gọi là các mômen uốn và kí hiệu Mx ,

My

 Thành phần quay quanh trục z gọi là mômen xoắn và kí hiệu Mz

Nz , Qx , Qy , Mx , My , Mz là sáu thành phần nội lực trên mặt cắt ngang và chúng được xác định từ điều kiện cân bằng của phần đang xét:

Liên hệ giữa các thành phần ứng suất và các thành phần nội lực: Các thành phần nội lực tác dụng trên diện tích vô cùng bé (VCB) dF lần lượt là σ z dF , τzxdF , τzydF Lấy

vi phân các nội lực này trên toàn diện tích mặt cắt ngang F chính là các thành phần nội lực.

Do đó:

Phần (A) được cân bằng là nhờ nội lực của phần (B) tác dụng lên phần (A) Nội lực này phân bố trên diện tích mặt cắt của phần (A) và hợp lực của chúng cân bằng với các ngoại lực thuộc phần đang xét (A).

1.

1.2.2 Bài toán phẳng – Biểu đồ nội lực:

Biểu đồ nội lực: là đường biểu diễn sự biến thiên của nội lực dọc trục thanh Hoành

độ trọng tâm mặt cắt ngang lấy trên trục song song với trục thanh, tung độ là các giá trị nội lực tại các mặt cắt ngang tương ứng Như vậy dựa vào biểu đồ nội lực ta có thể xác định được mặt cắt ngang nguy hiểm nhất, tức là mặt cắt ngang có giá trị nội lực lớn nhất

Khi ngoại lực tác dụng nằm trong một mặt phẳng chứa trục thanh, ví dụ mặt phẳng (yOz) thì hợp lực nội lực cũng nằm trong mặt phẳng đó: ta có bài toán phẳng

 Các thành phần nội lực: Chỉ có ba thành phần Nz , Mx , Qy nằm trong mặt phẳng yOz

 Quy ước dấu : Quy ước dương của nội lực trong bài toán phẳng như trên hình

vẽ (Hình 2-4b) và (Hình 2-4c)

 Nz > 0 Khi có chiều hướng ra mặt cắt

 Qy > 0 Khi có khuynh hướng quay mặt cắt đang xét theo chiều kim đồng hồ (hoặc dấu của Qy giống dấu của τ )

 Mx > 0 Khi nó làm căng các thớ về phía y > 0 (phía dưới) và ngược lại các nội lực âm

H×nh 1-4 Quy ước dấu của nội lực

Ví dụ : Vẽ biểu đồ nội lực M x , Q y của dầm chịu lực như hình vẽ (Hình 2-5).

 Trên những đoạn thanh :

 q = 0 => biểu đồ Qy là đường thẳng song song với trục hoành => Biểu

đồ Mx là đường bậc 1

 q = const => Qy bậc 1 và Mx bậc 2

 Mx đạt cực trị tại những điểm mà QY = 0.

 Bề lõm của Mx hứng mũi tên lực phân bố q

 Tại những điểm (mặt cắt) có lực tập trung (hoặc mômen tập trung ) thì tại

những điểm tương ứng trên biểu đồ Qy (hoặc Mx ) có bước nhảy và độ lớn

bước nhảy bằng giá trị của lực tập trung (hoặc mômen tập trung) tại các điểm

ấy

Bài 2 : quan hệ giữa mô men uốn, lực cắt và tảI trọng

ngang trong thanh thẳng

2.1 quan hệ giữa mô men uốn, lực cắt và tảI trọng ngang trong thanh thẳng

2.1.1. Quan hệ vi phõn giữa tải trọng phõn bố với lực cắt và mụmen uốn trong thanh thẳng:

Xét đoạn thanh vi phân dz ở tọa độ z, chịu tải trọng phân bố bất kì q(z) và các thành phần nội lực trên hai mặt cắt nh hình vẽ (Hình 2-1).

Quy ớc: chiều dơng trục Oz hớng sang phải, q(z) > 0 khi hớng lên nh hình vẽ (Hình 2-1).

Hình 2-1 Đoạn thanh vi phõn dz chịu tải trọng phõn bố

Kết luận : Đạo hàm của lực cắt tại một điểm bằng cường độ tải trọng phõn bố theo

chiều dài tại điểm đú, Đạo hàm của mụmen uốn tại một điểm bằng lực cắt tại điểm đú,cũn đạo hàm bậc hai của mụmen uốn bằng cường độ tải trọng phõn bố theo chiều dài

Từ kết luận trờn ta suy ra cỏc kết quả:

 Về mặt hỡnh học, lực cắt tại một tiết diện chớnh bằng độ dốc của tiếp tuyến với

biểu đồ mụmen uốn tại đú và cường độ tải trọng phõn bố theo chiều dài là độ dốc của tiếp tuyến biểu đồ lực cắt

 Nếu hàm số q(z) là một hàm số đại số thỡ bậc của hàm số lực cắt sẽ cao hơn bậc

của q(z) một bậc và bậc của hàm số mụmen uốn sẽ cao hơn bậc của hàm lực cắtmột bậc.

2.1.2. Quan hệ giữa tải trọng tập trung với độ dốc bước nhảy trờn biểu đồ lực cắt

và biểu đồ mụmen uốn trong thanh thẳng:

Hình 2-2 Đoạn thanh vi phõn dz chịu tải trọng tập trung

Xột đoạn thanh vi phõn dz ở tọa độ z, chịu PO và MO, cỏc thành phần nội lực trờn hai mặt cắt như hỡnh vẽ (Hỡnh 2-2)

Quy ước: chiều dương trục Oz hướng sang phải, PO > 0 khi hướng lờn, MO > 0 khi cú chiều quay theo chiều kim đồng hồ như hỡnh vẽ (Hỡnh 2-2)

2.2 Cách vẽ biểu đồ theo nhận xét

 Khỏi niệm :

Biểu đồ nội lực: là đường biểu diễn sự biến thiờn của nội lực dọc trục thanh Hoành độtrọng tõm mặt cắt ngang lấy trờn trục song song với trục thanh, tung độ là cỏc giỏ trị nội lực tại cỏc mặt cắt ngang tương ứng Như vậy dựa vào biểu đồ nội lực ta cú thể xỏcđịnh được mặt cắt ngang nguy hiểm nhất, tức là mặt cắt ngang cú giỏ trị nội lực lớn

 Các tính chất:

 Với biểu đồ lực cắt (QY) và biểu đồ lực dọc trục (Nz): tung độ dương của biểu

đồ được biểu diễn về phía trên của trục hoành và có ghi dấu trên biểu đồ

 Với biểu đồ mômen uốn (Mx): tung độ dương (Mx > 0) được đặt phía y > 0 và ngược lại, tung độ âm (Mx < 0) đặt phía y < 0

Như vậy nhìn vào biểu đồ momen uốn (Mx) ta biết ngay các thớ dọc của thanh chịu căng ở phía có đặt tung độ Mx

 Các nhận xét :

 Trên những đoạn thanh :

 q = 0 => biểu đồ Qy là đường thẳng song song với trục hoành => Biểu

đồ Mx là đường bậc 1

 q = const => Qy bậc 1 và Mx bậc 2

 Mx đạt cực trị tại những điểm mà QY = 0

 Bề lõm của Mx hứng mũi tên lực phân bố q

 Tại những điểm (mặt cắt) có lực tập trung (hoặc mômen tập trung ) thì tại

những điểm tương ứng trên biểu đồ Qy (hoặc Mx ) có bước nhảy và độ lớn

bước nhảy bằng giá trị của lực tập trung (hoặc mômen tập trung) tại các điểm

 Tại A: Qy = 0 => tiếp tuyến với biểu đồ Mx tại đây nằm ngang Ngoài ra vì đạo hàm bậc hai của Mx (tức là q) âm nên bề lõm của biểu đồ Mx hướng về phía

Mx < 0 (hướng lên trên)

 Tại B: có lực tập trung P = qa nên biểu đồ lực cắt Qy tại B có bước nhảy và độ lớn bằng qa

 Tại C: có mômen tập trung qa2 quay theo chiều kim đồng hồ nên biểu đồ

mômen uốn Mx tại đó có bước nhảy từ trái sang phải bằng chính qa2

Ví dụ 2 : Vẽ biểu đồ nội lực M, N, Q của khung phẳng như hình vẽ (Hình 2-4).

H×nh 2-5 Các biểu đồ nội lực

Bµi 3 : øng suÊt trªn tiÕt diÖn vµ biÕn d¹ng cña thanh

3.1 øng suÊt trªn tiÕt diÖn

3.1.1 Quan sát biến dạng:

Kẻ trên bề mặt thanh các đường song song với trục thanh (tượng trưng cho các thớ dọc) và các đường vuông góc với trục thanh (tượng trưng cho các mặt cắt ngang), chúngtạo thành lưới ô vuông Sau khi chịu lực, thanh bị biến dạng và lưới ô vuông trở thành lưới ô chữ nhật như hình vẽ (Hình 3-1)

H×nh 3-1 Biến dạng thanh bị kéo 3.1.2 Các giả thuyết:

Căn cứ vào sự quan sát biên dạng trên, ngoài ba giả thuyết cơ bản của môn SBVL ở chương mở đầu, và trong phần này người ta đưa ra hai giả thuyết nữa:

 Giả thuyết 1 về mặt cắt ngang: Trước và sau biến dạng, các mặt cắt ngang luôn luôn phẳng và vuông góc với trục thanh

 Giả thuyết 2 về các thớ dọc: Trong quá trình biến dạng các thớ dọc không ép vàđẩy nhau

Dựa vào giả thuyết 2 trên các mặt cắt dọc không có ứng suất nào cả.Vậy trong

trường hợp kéo, nén đúng tâm, trên mặt cắt ngang chỉ có ứng suất pháp σ z thôi Nội

lực tác dụng lên phân tố diện tích dF bao quanh A là : σ z dF Và tổng nội lực này trên

toàn diện tích F của mặt cắt ngang là:

N z=∫

F

σ z dF

(3.1)

Ta xét thêm điều kiện biến dạng : xét phân tố chiều dài dz Giả sử cố định mặt cắt

1-1 thì khi có Nz tác dụng mặt cắt 2-2 di chuyển đến 2'-2' Do giả thuyết 1 nên mọi điểm thuộc mặt cắt 2'-2' thẳng góc với trục thanh nên mọi thớ dọc đều dãn dài như nhau và bằng δ ( dz )

Với E : hằng số tỉ lệ gọi là mođuyn đàn hồi

Khi kéo (nén ), E tùy thuộc vào mỗi loại vật liệu và có thứ nguyên [ lực / (chiều dài)2]

Đơn vị thường dùng MPa, kN/cm2, N/mm2, E xác định được bằng thí nghiệm

Từ (3.2) và (3.3) ⇒ σ z=E ε z=const đối với mọi điểm trên cùng một mặt cắt

Vậy trong kéo (nén) đúng tâm, trên mặt cắt ngang, ứng suất pháp phân bố đều

3.2 biÕn d¹ng cña thanh

Tích số EF : gọi là độ cứng của thanh khi kéo hay nén đúng tâm.

Tương tự biến dạng dọc của một đoạn chiều dài z là:

vật liệu và μ=0÷0,5

Dấu: – ở trên chứng tỏ εng luôn luôn ngược dấu với εd .

Giá trị hệ số Poisson μ của một số vật liệu như sau:

Ví dụ : Vẽ biểu đồ lực dọc Nz , tính ứng suất, biến dạng toàn phần của thanh Vẽ biểu đồ biến dạng (chuyển vị) của thanh chịu lực như hình vẽ (Hình 3-3a) Biết E = 2.10 4 kN/cm 2 , F = 1 cm 2

Bài giải:

d) Vẽ biểu đồ biến dạng (chuyển vị):

Biểu đồ biến dạng diễn tả sự biến dạng của mặt cắt ngang theo vị trí của chúng đối với một gốc cố định nào đấy Ơ đây gốc là đầu ngàm và tính từ ngàm ra với công thức:

Bài 4 : ứng suất trên mặt cắt nghiêng, thế năng biến

dạng đàn hồi và bài toán siêu tĩnh

4.1 ứng suất trên mặt cắt nghiêng

Giả sử tại K ta tỏch ra khỏi vật thể đàn hồi chịu lực một phõn tố cú cỏc mặt song song với cỏc mặt phẳng của hệ tọa độ, trong đú mặt vuụng gúc với trục Oz là một mặt chớnh khụng cú ứng suất chớnh Cũn cỏc mặt kia là bất kỳ nờn cú đủ cỏc thành phần ứng suất Ta ký hiệu cỏc ứng suất đú như sau:

 Ứng suất phỏp σ cú kốm theo một chỉ số, chỉ số này biểu diễn phương của

phỏp tuyến của mặt cắt cú ứng suất tỏc dụng

 Ứng suất tiếp chỉ cú hai chỉ số: chỉ số thứ 1 chỉ phương của phỏp tuyến của mặt cắt cú ứng suất tiếp tỏc dụng, chỉ số thứ 2 biểu diễn phương song song với ứng suất tiếp

Vớ dụ : τxy là ứng suất tiếp trờn mặt cắt cú phỏp tuyến x và τxy // trục y.

Hình 4-1 Ứng suất phỏp và ứng suất tiếp của trạng thỏi ứng suất phẳng

Giả sử đó biết: σx , σy và τxy , bõy giờ ta thiết lập cụng thức tớnh ứng suất

phỏp và tiếp trờn mặt cắt nghiờng bất kỳ song song với Oz

Tưởng tượng cắt phõn tố bởi một mặt cắt (R) cú phỏp tuyến u làm với trục x một gúc

α

Mặt (R) // Oz, mặt này cắt phõn tố ra hai phần (A) và (B)

Giả sử xột cõn bằng phần (A) Gọi σu , τuv tỏc dụng trờn mặt cắt nghiờng ( α ).

Ta xột cỏc lực tỏc dụng trờn cỏc mặt của phần (A) Gọi cỏc cạnh lần lượt là dx, dy, dz, ds

Trờn diện tớch dy.dz cú cỏc hợp lực σx dydz và τxy dydz.

Trờn diện tớch dx.dz cú cỏc hợp lực σy dxdz và τyx dxdz.

Trờn diện tớch dz.ds cú cỏc hợp lực σu dzds và τuv dzds.

Đẳng thức (5.5) gọi là định luật bất biến của ứng suất pháp trên hai mặt cắtvuông gócnhau.

Ví dụ : Một phân tố ở trạng thái ứng suất phẳng chịu ứng suất như vẽ (Hình 4.3)

Tớnh ứng suất trờn mặt cắt cú phỏp tuyến u nghiờng một gúc α=450 so với trục x.

Bài giải:

Hình 4-3 Bài toỏn ứng

suất trờn mặt cắt nghiờng

4.2 Thế năng biến dạng đàn hồi

Giả sử cú một thanh bị kộo hay nộn trong giới hạn đàn hồi Thanh bị biến dạng, do

đú lực đặt vào thanh tạo ra một cụng, và thanh tớch luỹ một năng lượng gọi là thế năng

biến dạng đàn hồi Nhờ thế năng này mà khi bỏ lực, vật thể lại trở vể hỡnh dạng và kớch

thước cũ

Thớ dụ thanh bị kộo bởi một lực P, và cú biến dạng ΔFl Trong quỏ trỡnh lực tăng từ

0 đến P, lực kộo tạo ra cụng A nú tớch luỹ vào thanh dưới dạng thế năng U, tức là ta cú:

U = A (4.6)Trong quỏ trỡnh kộo đến giỏ trị P1

tương ứng với biến dạng ΔFl1 , nếu ta

tăng thờm dP1 thỡ biến dạng tăng thờm

d ΔFl1 (Hỡnh 4-4) Khi đú P

1 tạo ra một cụng nguyờn tố:

dA = P1d ΔFl1

Trờn đồ thị, cụng nguyờn tố dA

biếu thị bàng nguyờn tố diện tớch

dΩ

Hình 4-4

Do đú cụng toàn bộ tương ứng với lực P và biến dạng ΔFl được biểu thị bằng diện tớch

Ω của tam giỏc OAB giới hạn bởi đường thẳng OA trục hoành và bằng:

Nội lực trên các thanh AB và AC bằng:

Thế năng biến dạng đàn hồi của hệ thanh:

U= N zAB

2 a

2 EF +

N zAC2 a cos α

2 EF =

P2a

2 EF.

1 tan2α (1+ 1

cos3α )

4.3 Bµi to¸n siªu tÜnh

Bài toán tĩnh định: Khi tìm các ẩn như phản lực, nội lực trên mặt cắt ngang Chỉ

cần dùng các phương trình cân bằng tĩnh học độc lập thôi, thì ta gọi đó là bài toán tĩnh định

Số phương trình cân bằng tĩnh học độc lập = số ẩn

Bài toán siêu tĩnh: là bài toán mà nếu chỉ dùng các phương trình cân bằng tĩnh học

độc lập thì sẽ không giải được tất cả các phản lực, nội lực trên mặt cắt ngang, (số ẩn lớn hơn số phương trình cân bằng tĩnh học độc lập)

Bậc siêu tĩnh n = số ẩn số - số phương trình cân bằng tĩnh học độc lập