Chứng minh rằng các biểu thức sau không phụ thuộc vào a.. CÁC ðẲNG THỨC CƠ BẢN TRONG TAM GIÁC... CÁC BÀI TOÁN VỀ ðẲNG THỨC TRONG TAM GIÁC.. Chứng minh rằng diện tích tam giác có thể tính
Trang 1CÔNG TH Ứ C L ƯỢ NG GIÁC
DẠNG 1 CÁC BÀI TẬP CƠ BẢN VỀ BIẾN ðỔI LƯỢNG GIÁC
1 Tính hàm số lượng giác của cung a sau
a) sina =
5
3 với 0 < a <
2
π
b) tga = - 2 với
2
π
< a < π
c) cosa =
5
1 với -2
π
< a < 0 d) sina =
3
1 với a ∈ (
2
π
, π )
e) tga = 2 với a ∈ (π,
2
3π
)
2 Chứng minh các ñẳng thức sau:
a) sin2x + tg2x =
x cos
1
2 - cos2x b) tg2x - sin2x = tg2xsin2x
c)
x tg x
g
cot
x sin
x
cos
2 2
2 2
−
−
= sin2xcos2x d)
x tg 1
) 1 x cos
1 )(
x g cot 1 (
2 2 2
+
−
+
= 1
e) cosx + cos(
3
2π
- x) + cos(
3
2π
+ x) = 0 f) sin(a + b)sin(a - b) = sin2a -sin2b = cos2b - cos2a
g)
b atg
tg
1
b tg
a
tg
2 2
2
2
−
−
= tg(a +b)tg(a - b) h) cos3xsinx - sin3xcosx =
4
1 sin4x
i)
x sin
x
cos
x sin
x
cos
+
−
=
x 2 cos
1
- tg2x k)
x sin 2 x 2 sin
x sin 2 x 2 sin
+
−
= -tg2
2 x
m) sin3xcos3x + sin3xcos3x =
4
3 sin4x n) sinx - sin2x +sin3x = 4cos
2
x 3 cosxsin
2
x
p) sinx +2sin3x + sin5x = 4sin3xcos2x q)
2(1 cos )
x
2 2 x
r)
x tg 3 1
x tg 3
tgx
x
3
tg
2
2
−
−
=
3 Biểu diễn các biểu thức sau theo sinx và cosx
a) sin(x +
2
5π
) - 3cos(x -
2
7π
) + 2sin(x + π )
b) sin(x - π/2) + cos(x - π) - 5sin(
2
11π
+ x)
c) cos(π/2 + a) + cos(2π - a) + sin(π - a) + cos(π + a)
d) 2cosa - 3cos(π + a) - 5sin(π/2 - a) + cotg(
2
3π
- a)
Trang 2Gi¸o dôc TrÇn §¹i chuyªn båi d−ìng kiÕn thøc - LT Tel: 016.55.25.25.99
e) cos(π - a) - 2sin(3π/2 + a) + tg(
2
3π
- a ) + cotg(2π - a)
4 Chứng minh rằng các biểu thức sau không phụ thuộc vào a
a) A = cos4a + cos2asin2a +sin2a b) B = cos4a - sin4a + 2sin2a
c) C = 2(sin6a + cos6a) - 3(sin4a + cos4a) d) D =
ga
ga
cot 1
cot 1
−
+
-
1 tga
2
−
e) E = sin 4a+ 4 cos 2a + cos4a+4sin2a f) F = cos2a - sin(300 + a)sin(300- a)
g) G = sin6a + cos6a + 3sin2acos2a h) H =
1 a cos a sin
1 a cos a sin
6 6
4 4
− +
− +
i) m là số cho trước, chứng minh rằng nếu: m.sin(a + b) = cos(a - b)
Trong ñó a - b ≠kπ và m ≠ ±1 thì biểu thức:
A =
a 2 sin m 1
1
− + 1 msin2b
1
− (m là hằng số không phụ thuộc vào a, b )
5 Tính các biểu thức ñại số
a) Tính sin3a -cos3a biết sina -cosa = m
b) Biết sina + cosa = m hãy tính theo m giá trị của biểu thức: A =
2
a tg 2
a g cot
a 2 cos 1
−
+
c) Biết
) b a cos(
) b a cos(
−
+
= q
p Tính tga.tgb
d) Biết sina + sinb = 2sin(a + b) với (a + b) ≠k2π tính tg
2
a tg 2
b
e) Tính sin2x nếu: 5tg2x - 12tgx - 5 = 0 (
4
π
< x <
2
π
)
6 Tính giá trị các biểu thức mà không tra bảng
a) A = cos200cos400cos600cos800 b) B = cos
7
π
.cos 7
4π
.cos 7
5π
c) C = sin60.sin420.sin660.sin780 d) A = sin370.cos530 + sin1270.cos3970
e) Tính: E = sin50.sin150sin250.sin350 sin850 f) A = tg1100 + cotg200
g) Tính: F = sin
18
π
.sin 18
3π
.sin 18
5π
.sin 18
7π
sin 18
9π
h) Tính sin150 và cos150
i) Tính tgx.tgy biết :
) y x cos(
) y x cos(
−
+
= 2 1
k) Với a ≠kπ chứng minh rằng: cosa.cos2a.cos4a cos2na =
a sin 2
a 2 sin 1 n
1 n
+
+
, từ ñó tính :
D = cos
65
π
cos 65
2π
cos
65
32π
Trang 37 Chứng minh các công thức sau:
a) 4sinx.sin(
3
π
- x)sin(
3
π
+ x) = sin3x b) 4cosx.cos(
3
π
- x)cos(
3
π
+ x) = cos3x
c) tgx.tg(
3
π
- x)tg(
3
π
+ x) = tg3x d) cosa.cos2a.cos4a cos2na =
a sin 2
a 2 sin 1 n
1 n
+
+
e) ñể tính S = cosa - cos(a + x) + cos(a +2x) + +(-1)n cos(a +nx)
thì nhân 2 vế với 2cos
2
x nếu cos
2
x
≠ 0
8 Các bài tập khác:
1 Chứng minh rằng :
o o
15 sin 15
cos
15 sin 15
cos
−
+
= 3 b) o o
o o
75 sin 75
cos
75 cos 75
sin
+
−
= 3 1
2 Rút gọn các biểu thức sau:
a) A = sin3x.sin3x + cos3x.cos3x b) B =
x sin
x cos
1+
[1 +
x sin
) x cos 1 ( 2
2
−
] c) C = cos3x.cos3x - sin3x.sin3x
3 Không dùng bảng số hãy tính:
a) A = tg20o.tg40o.tg60o.tg80o b) B = o
10 sin 2
1
- 2sin70o
c) C = sin4
16
π
+ sin4
16
3π
+ sin4
16
5π
+ sin4
16
7π
d) D = tg2
12
π
+ tg2 12
3π
+ tg2 12
5π
e) E = tg9o - tg27o - tg63o + tg81o f) F = cos6
16
π
+ cos6
16
3π
+ cos6
16
5π
+ cos6
16
7π
g) G1 = sin18o.cos18o; G2 = sin36o.cos36o h) H = cos
7
2π
+ cos
7
4π
+ cos
7
6π
i) I = cos
5
π
+ cos
5
2π
+ cos
5
3π
+ cos
5
4π
k) K = cos
5
π
- cos
5
2π
f
4 Với a ≠ kπ (k ∈ Z) chứng minh:
a) cosa.cos2a.cos4a cos16a =
a sin 32
a 32 sin
b) cosa.cos2a.cos4a cos2na =
a sin 2
a 2 sin 1 n
1 n
+ +
5 Tính: A = cos20o.cos40o.cos60o
6 Tính: A = sin6o.sin42o.sin66o.sin78o
7 Tính: A = cos
7
π
cos 7
4π
cos 7
5π
8 Tính: cos
65
π
cos 65
2π
cos 65
4π
cos 65
8π
cos 65
16π
cos 65
32π
9.Tính: sin
18
π
sin 18
3π
sin 18
5π
sin 18
7π
sin 18
9π
10 Tính: cos
15
π
cos 15
2π
cos 15
3π
cos 15
4π
cos
15
7π
Trang 4
Gi¸o dôc TrÇn §¹i chuyªn båi d−ìng kiÕn thøc - LT Tel: 016.55.25.25.99
11 Tính: sin5o sin15o sin25o sin85o
12 Tính: 96 3 sin
48
π
.cos 48
π
cos 24
π
cos 12
π
cos 6
π
13 Tính: 16.sin10o.sin30o.sin50o.sin70o
14 Tính: sin10o.sin20o.sin30o sin80o
15 Tính: cos9o cos27o cos45o cos63o cos81o cos99o cos117o cos135o cos153o cos171o
16 Tính: A = cos
5
π
+ cos
5
2π
B = cos
5
π
+ cos
5
3π
17 Chứng minh rằng :
a) 4.cosx.cos(
3
π
- x).cos(
3
π
+ x) = cos3x b) 4.sinx.sin(
3
π
- x).sin(
3
π
+ x) = sin3x
c) tgx.tg(
3
π
- x).tg(
3
π
+ x) = tg3x
Áp dụng tính: A = sin20o.sin40o.sin80o B = cos10o.cos20o.cos30o cos80o
C = tg20o.tg40o.tg60o.tg80o
18 Chứng minh rằng :
a) sin6x + cos6x =
8
5 + 8
3 cos4x b) tgx =
x 2 sin
x 2 cos
1−
Áp dụng tính:
A = sin6(
24
π
) + cos6(
24
π
) B = tg2(
12
π
) + tg2(3
12
π
) + tg2(5
12
π
)
19 Chứng minh rằng:
a) sin4x = cos4x
8
1 x 2 cos 2
1 8
3
+
− b) sin8x + cos8x = 35 7 cos4x 1 cos8x
Áp dụng tính: A = sin8(
24
π
) + cos8(
24
π
) B = sin4(
16
π
) + sin4(3
16
π
) + sin4(5
16
π
) + sin4(7
16
π
)
20 Chứng minh rằng:
tg2x + tg2( x
3 −
π
) + tg2( x
3 +
π
) = 9tg còn thiếu
21 Tính: cos(
7
2π
) + cos(
7
4π
) + cos(
7
6π
)
22 Tính cos(
5
π
) + cos(
5
2π
) + cos(
5
3π
) + cos(
5
4π
)
23 Cho: sin2a + sin2b = 2sin2(a + b) Tính: tga.tgb
0 0
75 cos 75
sin
75 cos 75
sin
+
−
= 3 1
Trang 5DẠNG 2 CÁC BÀI TOÁN TRONG TAM GIÁC
I CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN
+ A + B + C = π
+ a−b < c < a + b
+ a2 = b2 + c2 - 2a.b.cosC
C sin
c B sin
b A
sin
a
=
=
=
R 4
abc C sin ab 2
1 h
a
2
1
a
p(p−a)(p−b)(p−c)
Trong ñó: p =
2
c b
a+ +
r: bán kính ñường tròn nội tiếp
ra: bán kính ñường tròn ngoại tiếp góc A
+ ðịnh lý hàm tang:
2 2
A B tg
a b
A B
a b
tg
−
2
2
B C tg
b c
B C
b c tg
−
2
2
A C tg
a c
A C
a c tg
−
+
+ Các công thức tính bán kính:
R =
C sin 2
c B
sin 2
b A
sin 2
a
=
=
r = (p - a)tg
2
A = (p - b)tg
2
B = (p - c)tg
2 C
2
C 2
B 2 cos
sin sin a
2
C 2
A 2 cos
sin sin b
2
A 2
B 2 cos
sin sin c
ra = p.tg
2
A = p.tg
2
B
= p.tg
2 C
Trang 6Gi¸o dôc TrÇn §¹i chuyªn båi d−ìng kiÕn thøc - LT Tel: 016.55.25.25.99
a
2
2
cos
2 cos cos
= B
2
C 2
A 2 cos
cos cos b
2
A 2
B 2 cos
cos cos c
+ ðường trung tuyến :
ma2 =
4
a 2
c
b2 + 2 − 2
mb2 =
4
b 2
c
a2 + 2 − 2
mc2 =
4
c 2
a
b2 2 2
− +
+ ðường phân giác:
la =
c b 2
A cos bc 2
+
lb =
c a 2
B cos ac 2
+
la =
b a 2
C cos ab 2
+
+ Mở rộng ñịnh lí hàm sin và cosin:
CotgA =
s 4
a c
b2 + 2 − 2
CotgB =
s 4
b c
a2 + 2 − 2
CotgC =
s 4
c b
a2 + 2 − 2
II CÁC ðẲNG THỨC CƠ BẢN TRONG TAM GIÁC
1 sinA + sinB + sinC = 4cos
2
A cos 2
B cos 2
C
2 sin2A + sin2B + sin2C = 4sinA.sinB.sinC
3 sin3A + sin3B + sin3C = -4cos
2
A 3 cos 2
B 3 cos 2
C 3
4 sin4A + sin4B + sin4C = -4sin2A.sin2B.sin2C
5 cosA + cosB + cosC = 1+ 4sin
2
A
.sin 2
B sin 2
C
6 cos2A + cos2B + cos2C = -1 -4cosA.cosB.cosC
Trang 77 cos3A + cos3B + cos3C = 1 - 4sin
2
A 3 sin 2
B 3 sin 2
C 3
8 cos4A + cos4B + cos4C = -1 + 4cos2A.cos2B.cos2C
9 tgA + tgB + tgC = tgA.tgB.tgC
10 tg2A +tg2B + tg2C = tg2A.tg2B.tg2C
11 cotgA.cotgB + cotgB.cotgC + cotgC.cotgA = 1
12 tg
2
A
tg
2
B + tg 2
B tg 2
C + tg 2
C tg 2
A = 1
13 cotg
2
A
+ cotg
2
B + cotg
2
C = cotg
2
A .cotg 2
B cotg 2
C
14 cos2A + cos2B + cos2C = 1 - 2cosA.cosB.cosC
15 cos22A + cos22B + cos22C = 1 + 2cos2A.cos2B.cos2C
16 m + a2 m + 2b m = c2
4
3 (a2 + b2 + c2)
17 la =
c b 2
A cos bc 2
+ = bc
2
) a p (
p c
18 r =
2
A cos
2
C sin 2
B sin a
4.tg tg tg
20 r = 4R.cos
2
A cos 2
B cos 2
C
21 sin
2
A
= (p b p)( c)
bc
22 cos
2
A
=
c b
) a p (
23 tg
2
A
=
) a p ( p
) c p )(
b p (
−
−
−
24 (
a
1
+
b
1 )lc + ( a
1 + c
1 )lb + ( c
1 + b
1 )la = 2(cos
2
A + cos
2
B + +cos
2
C )
III CÁC BÀI TOÁN VỀ ðẲNG THỨC TRONG TAM GIÁC
1 Chứng minh rằng diện tích tam giác có thể tính theo các công thức sau:
S =
) B A sin(
2
B sin A sin )
b a
( 2 2
−
−
= 4
1 (a2sin2B + b2sin2A) =
= p2.tg
2
A tg 2
B tg 2 C = 2R2.sinA.sinB.sinC
Trang 8Gi¸o dôc TrÇn §¹i chuyªn båi d−ìng kiÕn thøc - LT Tel: 016.55.25.25.99
2 Chứng minh các ñẳng thức sau:
a) a.sin(B - C) + b.sin(C - A) + c.sin(A - B) = 0
b) (b - c)cotg
2
A +(c - a)cotg
2
B + (a - b)cotg
2
C = 0
c) (b2 - c2)cotgA + (c2 - a2)cotgB + (a2 - b2)cotgC = 0
d) 2p = (a + b)cosC + (a + c)cosB + (c + b)cosA
e) sin
2
C
B−
= a
c
b−
cos 2
A
f) cos
2
C
B−
= a
c
b+
sin 2
A g) b.cosB + c.cosC = a.cos(B - C)
h) cosA + cosB = 2
c
b
a+
sin2 2
C
i)
r
1
=
a
h
1
+ b h
1 + c h
1
3 Tam giác ABC có 2a = b + c chứng minh rằng:
a) 2sinA = sinB + sinC
b) tg
2
B
tg
2
C = 3
1
4 Gọi I là tâm ñường tròn nội tiếp tam giác ABC R, r là bán kính ñường tròn ngoại tiếp, nội
tiếp của tam giác Chứng minh rằng:
a) r = 4R.cos
2
A cos 2
B cos 2
C b) IA.IB.IC = 4Rr2
c) cosA + cosB + cosC = 1 +
R r
5 Các cạnh a, b, c theo thứ tự lập thành cấp số cộng Chứng minh rằng công sai của cấp số
cộng ñó ñược xác ñịnh theo công thức sau: d =
2
3 r(tg 2
C
- tg 2
A )
6 Tam giác ABC có hai ñường trung tuyến BM và CN vuông góc Chứng minh rằng: b2 + c2
= 5a2
7 Chứng minh rằng:
a l 2
A cos +
b l 2
B cos c l 2
C cos = a
1 + b
1 + c
1
8 Chứng minh rằng các trung tuyến AA' và BB' vuông góc với nhau khi: cotgC = 2(cotgA +
cotgB)
9 Cho
b
c
= c
b m
m
≠ 1 chứng minh rằng : 2cotgA = cotgB + cotgC
10 Cho tam giác ABC và AM là trung tuyến gọi α = AMB Chứng minh rằng:
a) cotgα =
s 4
c
b2 − 2
α
Trang 9c) 2cotgα =
C B
C B
sin sin
) sin( −
11 Chứng minh rằng
b
c
là nghiệm của phương trình:
(1 + x2 -2xcosA)(b2 - bc) = a2(1 - x)
12 Tam giác có 3 cạnh lần lượt là: (x2 +2); (x2 - 2x +2);
(x2 + 2x + 2) Với giá trị nào của x(dương) thì tam giác ñó tồn tại
13 Cho ma = c Chứng minh rằng:
a) bcosC = 3cosB
b) tgB = 3tgC
c) sinA = 2sin(B - C)
14 Gọi H là trực tâm tam giác ABC H chia ñường cao xuất phất từ A theo tỉ số k cho trước
Chứng minh rằng :
a) tgB.tgC = 1 + k
b) tgB + tgC = ktgA
c) cos(B - C) = ( 1 +
k
2 )cosA
15 Cho tam giác ABC có các cạnh a, b, c theo thứ tự lập thành cấp số cộng Chứng minh
rằng : cotg
2
A cotg 2
C = 3
16 Tam giác ABC thỏa mãn ñiều kiện: tgA.tgB = 6;
tgC
tgA
=3 Chứng tỏ rằng: tgA, tgB, tgC theo thứ tự ñó lập 1 cấp số cộng
17 Tam giác ABC có cotg
2
A , cotg
2
B , cotg
2
C theo thứ tự lập một cấp số cộng Chứng minh rằng : a, b, c theo thứ tự cũng lập một cấp số cộng
18 Tam giác ABC có: cotgA, cotgB, cotgC hteo thứ tự lập một cấp số cộng Chứng minh
rằng a2, b2, c2 theo thứ tự ñó cũng lập một cấp số cộng
19 Cho tam giác ABC thỏa mãn: 2tgA = tgB + tgC Chứng minh rằng :
a) tgB.tgC = 3
b) cos(B- C) = 2cosA
20 ðH MỎ - 01
Chứng minh rằng không tồn tại tam giác mà cả 3 góc trong của nó ñều là nghiệm của
2
1 x sin 7 )(
1 x cos 4
21 Chứng minh nếu trong tam giác ABC có:
sin
2
A
= sin 2
B sin 2
C thì tg
2
B tg 2
C = 2
1
và ngược lại
22 Chứng minh rằng nếu a + b = 2c thì a2 = bc + c2
Trang 10Gi¸o dôc TrÇn §¹i chuyªn båi d−ìng kiÕn thøc - LT Tel: 016.55.25.25.99
23 Trong tam giác ABC có ñường cao CE cắt ñường cao AD tại trung ñiểm H của AD
Chứng minh rằng tgB.tgC = 2
24 Cho tam giác ABC vuông tại A cạnh huyền có ñộ dài bằng a
Chứng minh rằng: sin
2
B sin 2
C = lb c2
a 4
l
25 Cho tam giác vuông ABC tại A Gọi I là góc giữa ñường cao và ñường trung tuyến ứng
với cạnh huyền Chứng minh rằng:
tg
2
I
= tg
2
C
B−
26 Cho tam giác ABC có trung tuyến AM = BA chứng minh rằng:
tgB = 3tgC; sin A = 2sin(B - C)
IV - NHẬN DẠNG TAM GIÁC CÂN
A Chứng minh rằng tam giác cân khi:
1 atgA + btgB = (a+b)tg
2
B
A+
2
1 B cos A
cos
B sin A
sin
+
= +
+
2
1 B sin A
sin
B cos A
2 2
2 2
+
= +
+
5
C sin
B sin A sin 2 2
C g
cot =
6 sin
2
A cos 2
B sin 2
B cos 2
=
7 (p - b)cotg
2
B tg p 2
C
8
2 2 c a 4
c a 2 B
sin
B cos
1
−
+
=
9 a2sin2B +b2sin2A=c2cotg
2 C
10 a.sin(B - C)+b.sin(C - A) = 0
11 sin
2
A cos 2
B sin 2
B cos 2
12 ðHSP BẮC NINH -B -99
a = 2b.cosC Chứng minh ∆ ABC cân tại A
Trang 111
tgC
tgB C
sin
B sin
2
2
=
2 (b2 + c2)sin(C - B) = (C2 - B2)sin(B - C)
3
B 2 cos 1
) C B cos(
1 2 b
) c b
(
2
2
−
−
−
=
−
4 sin(B - C)= 2
2 2 a
c
b −
V NHẬN DẠNG TAM GIÁC VUÔNG
A Chứng minh ñiều kiện cần và ñủ ñể tam giác vuông là:
1 cos2a + cos2B + cos2C = -1
2 tg2A + tg2B + tg2C = 0
3 sinA + sinB + sinC = 1 + cosA + cosB + cosC
B Chứng minh tam giác vuông khi:
1
C sin B sin
a C
cos
c B
cos
2 cotg
2
B
= b
c
a+
b c
a gA cot A
sin
1
≠
−
= +
4
a
c b gA cot A
sin
5 cotg2C = (cotgC cotgB)
2
1
−
) B C sin(
A
sin
) C B cos(
=
− +
−
A cos B
sin
B cos A
sin
= +
+
8 sin
2
B
=
a 2 c
a−
Trang 12Gi¸o dôc TrÇn §¹i chuyªn båi d−ìng kiÕn thøc - LT Tel: 016.55.25.25.99
9 cos
a 2
a c 2
10 tg
a c
a c 2
B
+
−
=
11 cos(B - C) = 2
a
bc 2
12 S = a sin2B
4
1 2
13 sinA.cosB.cosC
C cos
1 B
cos
1
C sin B
sin
= +
+
14 1 + cotg(450 - B) =
gA cot 1
2
−
15 sin4C + 2sin4A + 2sin4B = 2sin2C(sin2A + sin2B)
16 3(cosB + 2sinC) + 4(sinB + 2cosC) = 15
17 (ðHCð - 99)
cos2A + cos2B + cos2C + 1 = 0
C Tam giác ABC có ñặc ñiểm gì khi thỏa mãn các ñiều kiện sau
1 sin3A + sin3B + sin3C = 0
2 sin4A + sin4B + sin4C = 0
3 sin5A + sin5B + sin5C + sin2A + sin2B = 4sinA.sinB
4 a3 = b3 + c3
5 c = ccos2B + bsin2B
6 (1+cotgA)(1 + cotgB) = 2
7 sin2A + sin2B =5sin2C
8
a l
1 c
1
b
1
=
9 sin2A + sin2B + sin2C ≤ 2