ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM CỦA HÀM MỘT BIẾN

ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM CỦA HÀM MỘT BIẾN

M 0

(T)

A ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM CỦA HÀM MỘT BIẾN

I Cơ sở lý thuyết

1 Một số kết quả trong toán cao cấp

a.Định nghĩa đạo hàm:

Cho hàm số y = f(x), xác định trên (a,b)

Đạo hàm của f tại xo là:

b.Đạo hàm và độ dốc của đường cong:

y

(C)

y 0 +

Cho y = f(x) có đồ thị là đường cong (C), xo D: miền xác định của hàm số

- Gọi là góc nghiêng của đường thẳng MoM so với trục Ox

- Gọi là góc nghiêng của tiếp tuyến MoT so với trục Ox

Ta có:

Ta kết luận: Đạo hàm của y = f(x) tại xo là hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại Mo(xo,yo)

Và là số đo độ dốc của đường cong y = f(x) tại Mo(xo,yo)

c Đạo hàm và xu hướng biến thiên của hàm số

Cho y = f(x) có đạo hàm trong (a,b) R, khi đó:

hàm số tăng hàm số giảm

f là hàm hằng

d Cực trị của hàm số

Cho y = f(x), xác định trên (a,b)

- Điểm cực trị địa phương x0 (a,b) của hàm f là điểm mà tại đó hàm số đạt trị lớn nhất (cực đại), hoặc trị nhỏ nhất (cực tiểu)

- Điều kiện cần: f đạt cực đại hoặc cực tiểu tại x0 (a,b) và tại x0 hàm f có đạo hàm Thì

- Điều kiện đủ: cho y = f(x), có trên (a,b) R Giải , ta tìm được các nghiệm x0,

x1,… gọi là các điểm tới hạn

Nếu:

+ Tại x0, đổi dấu từ + sang – thì f có cực đại

+ Tại x0, đổi dấu từ - sang + thì f có cực tiểu

+ Nếu khôngđổi dấu thì hàm f không có cực trị

- Điều kiện đủ theo đạo hàm cấp 2:

+ Hàm số y = f(x), có đạo hàm đến cấp 2

+ Nếu tại x0 ta có =0 và thì hàm số đạt cực trị tại x0

 x0 là điểm mà f đạt cực đại nếu

 x0 là điểm mà f đạt cực tiểu nếu

2 Ý nghĩa của đạo hàm trong kinh tế

Đạo hàm và giá trị biên tế trong kinh tế

Cho mô hình hàm số y = f(x), x và y là các biến kinh tế

x: biến độc lập hay biến đầu vào

y: biến phụ thuộc hay biến đầu ra

Trong quản trị kinh doanh, chúng ta quan tâm đến xu hướng thay đổi của y, khi x thay đổi một lượng nhỏ

Với định nghĩa đạo hàm trong toán cơ bản, ta có:

khi đủ nhỏ, ta có thể viết:

Khi

Vậy đạo hàm biểu diễn xấp xỉ lượng thay đổi của biến số y khi biến số x tăng thêm một đơn vị

Với quan hệ hàm y = f(x), để mô tả sự thay đổi của biến kinh tế y, khi biến kinh tế x thay đổi, ta gọi

là giá trị biên tế y tại x0 (còn gọi là biên tế)

Với mỗi hàm kinh tế, ta có một tên gọi riêng:

Thí dụ:

a Với hàm doanh thu: TR = p.Q thì được gọi là doanh thu biên tế

b Với hàm chi phí: TC = f(x), x: sản lượng thì :chi phí biên tế

c Với hàm sản xuất: Q = f(L), L: lao động thì sản lượng biên tế

II Một số bài toán ứng dụng trong sản xuất kinh doanh

1 Bài toán giá trị biên

a Sản lượng biên (Marginal quantity), kí hiệu MQ:

Là số đo đại lượng thay đổi của sản lượng khi lao động ha vốn tăng lên 1 đơn vị

Thí dụ 1: Giả sử hàm sản xuất của một doang nghiệp là:

Ở mức L = 100 đơn vị lao động = 100 công nhân thì Q = 5 = 50 đơn vị sản phẩm

Sản phẩm biên tế của lao động tại L = 100 là:

Điều này có nghĩa là: khi tăng mức sử dụng lao đông từ 100  101 thì sản lượng sẽ tăng thêm 0.25 đơn vị sản phẩm

Thử xét:

Nhận xét:

MQ là một hàm số giảm dần, đến một số lượng công nhân nhất định nào đó, việc tuyển thêm công nhân không còn hiệu quả, chỉ tăng thêm chi phí

MQ

Thí dụ 2 : Giả sử hàm sản xuất của 1 doanh nghiệp may mặc:

0.25

0.17

0.12

Q= f(L) = 5 + 7 L:số công nhân

Ở mức L=2500 dơn vị lao động = 2500 công nhân thì Q= 355 dơn vị sản phẩm

Sản phẩm biên tế của lao động tại L=2500 là:

= f’(L) = = = 0.07 khi L= 2500

Điều này có nghĩa là : khi tăng mức sử dụng lao động từ 2500 đến 2501 thì sản lượng tăng 0.07 đơn vị sản phẩm

b Sự thay đổi của giá theo cầu:

Là số đo sự thay đổi của giá khi mức sản lượng tăng lên đơn vị

Thí dụ 1:Hàm cầu của một sản phẩm: P = 10 – Q2 , Q là sản lượng, P là giá bán

Sự thay đổi cuả giá bán theo lượng cầu là: P’ = -2Q Gỉa sử ở mức Q = 5 đơn vị thì P’(5) = -10: Nghĩa là khi tăng sản lượng lên 1 đơn vị (từ 5 lên 6), giá giảm 10 đơn vị tiền tệ

Thí dụ 2: Giả sử 1 shop cửa hàng quần áo có hàm cầu một cái áo :P= 8 -2Q2, Q là sản lượng , P

là giá bán

Sự thay đổi của giá theo lượng cầu :P’ = -4Q

Giả sử ở mức Q= 10 đơn vị thì P’(10) =-40 nghĩa là khi tăng sản lượng một đơn vị thì giá giảm 40 đơn

vị tiền tệ

c Chi phí biên (Marginal cost), kí hiệu MC:

Hàm chi phí: TC = TC(Q)

Chi phí biên là đại lượng đo sự thay đổi của chi phí khi sản lượng Q tăng lên 1đơn vị

Thí dụ 1:Hàm chi phí một sản phẩm được cho là:

TC = 0.0001Q3 – 0.02Q2 + 5Q + 100

Tìm MC và MC là bao nhiêu khi Q = 50 đơn vị sản lượng ?

= (0.0001Q3 – 0.02Q2 + 5Q + 500)

=0.0003Q2 – 0.04Q + 5

Khi Q = 50, thì MC = 3.75

Điều này có nghĩa là: Khi sản xuất tăng thêm 1 đơn vị sản lượng (từ 50 lên 51) thì chi phí tăng

thêm 3.75 đơn vị tiền tệ

Chúng ta tính MC ở một số mức sản lượng khác nhau:

Nhận xét:

-Chi phí biên là một hàm tăng

-Sản lượng sản xuất càng lớn thì chi phí biên càng lớn

4.07 9 2 0

d Doanh thu biên (Marginal revenue), kí hiệu MR:

Xét hàm doanh thu: TR = P.Q; P: giá; Q: sản lượng

Nếu: Q do thị trường quyết định, giá do doanh nghiệp quyết định, thì MR hay giá trị cận biên của doanh thu là đại lượng đo sự thay đổi của doanh thu khi sản lượng tăng thêm một đơn vị

Nếu: Q do doanh nghiệp quyết định, P do thị trường quyết định thì MR hay giá trị cận biên cảu doanh thu là đại lượng đo sự thay đổi cảu doanh thu khi giá tăng 1 đơn vị

Ví dụ1:

Cho hàm chi phí C =C(Q) giá trị biên của chi phí MC(Q) là đại lượng đo sự thay đổi của chi phí Ckhi

Q tăng lên một đơn vị

Cho hàm chi phí trung bình để san xuất ra một chiếc máy tính là:

= 0.0003Q2 - 0.001Q + 3 +

Tìm giá trị cận biên của chi phí đối với mức sản xuất Q.giá trị cận biên của chi phí là bao nhiêu nếu mức sản xuất Q =70

Giải:

Hàm tổng chi phí sản xuất Q đơn vị sản phẩm là:

C =Q =0.0003Q3 -0.001Q2 +3Q+200

Gía trị cận biên của chi phí là:

MC(Q) = =0.0009Q2 -0.002Q +3

Khi Q =70 thì MC(70) =7,72.Như vậy, nếu tăng Q lên một đơn vị từ 70 lên 71 thì chi phí tăng lên khoảng 7,72 đơn vị

Ví dụ 2:

Một sản phẩm có hàm cầu là Q=1000-14P, Q là sản lương, P là giá bán.tìm doanh thu biên khi P=10,50

Ta có hàm doanh thu: TR = PQ =P(1000-14P) =1000P – 14P2

Có : MR= 1000 – 28P

Với P=10, ta có MR=720 nghĩa là khi tăng giá bán lên từ 10 đến 11 (tăng một đơn vị tiền tệ) thì doanh thu sẽ tăng 720 đơn vị tiền tệ

Với P=50, ta có MR=-400 nghĩa là khi tăng giá bán lên mức từ 50 đến 51 thì doanh thu sẽ giảm một mức 400 đơn vị tiền tệ

Thí dụ 3:Một sản phẩm trên thị trường có hàm cầu là:

Q= 1.000 - 14P, Q là sản lượng, P là giá bán

Tìm MR khi P = 40 và P = 30

Hàm doanh thu là: TR = PQ = P(1.000 – 14P) = 1.000P – 14P2

MR = 1.000 – 28 P

*Khi P = 40, MR = 1000 – 28(40) = -120

Nghĩa là khi doanh nghiệp tăng giá từ 40 lên 41 (tăng 1 đơn vị tiền tệ), thì doanh thu sẽ giảm

120 đơn vị tiền tệ

*Khi P = 30, MR = 1.000 – 28(40) = 160

Nghĩa là khi doanh nghiệp tăng giá từ 30 lên 31 (tăng 1 đơn vị tiền tệ), thì doanh thu sẽ tăng

160 đơn vị tiền tệ

Ta tính MR ở một số mức khác nhau:

Nhận xét:

- MR là một hàm số giảm,

- Có một mức giá MR = 0

0

Cũng với thí dụ này Q = 1000 – 14P, chúng ta có thể tính một cách khác

14P = 1.000 – Q  P = , khi đó doanh thu là

doanh thu khi sản lượng tăng thêm 1 đơn vị

MR ở một số mức sản lượng như sau:

Nhận xét:

- MR là một hàm số giảm,

- Có một mức sản lượng MR = 0

MR

-120

30

40

P

120

e Lợi nhuận biên

Xét hàm lợi nhuận của sản phẩm A:

= TR – TC = PQ – (FC + VC(Q)), Trong đó:

- TR là hàm doach thu;

- TC là hàm chi phí;

- FC là định phí, VC(Q) là biến phí

Lợi nhuận biên hay lợi nhuận cận biên là số đo sự thay đổi của lợi nhuận khi giá tăng thê một đơn vị tiền tệ hay sản lượng tăng thêm một đơn vị

Một doanh nghiệp luôn muốn đạt được lợi nhuận tối đa, có hai cách để lựa chọn:

Cách 1: Gía bán P được xách định theo yêu cầu thị trường, doanh nghiệp ấn định mức sản lượng sản xuất Q

Giả định là hàm xác định, liên tục, có đạo hàm đến cấp 2

Muốn có lợi nhuận tối đa phải thỏa 2 điều kiện:

Từ (1)  MR = MC, nghĩa là doanh thu biên = chi phí biên

Đã biết: Doanh thu biên là hàm giảm, chi phí biên là hàm tăng

Cách 2: Doanh nghiệp ấn định giá bán P, sản lượng Q được xác định theo yêu cầu thị trường

= TR – TC

(1)

= (TR – TC)<0  <

Ta có: cực đại tại MR = MC

42.8

MR

-42.8

800 Q

f Đạo hàm cấp 2 và quy luật lợi ích cận biên giảm dần :

Xét hàm mục tiêu y = f(x)

Qui luật lợi ích cận biên giảm dần ( the law of diminishing returns) cho biết :

Khi x càng lớn thì giá trị cận biên của y càng nhỏ

Nghĩa là f’(x) là một hàm đơn điệu giảm

Điều kiện để giá trị cận biên của y giảm dần theo x là : f’’(x) < 0

Ví dụ : Một doanh nghiệp đưa vào thị trường sản phẩm A, thông tin có được như sau :

Hàm cầu là P = 600 – 2Q

Hàm chi phí là TC = 0,2Q2 + 28Q +200

a) Tìm mức sản xuất Q để doanh nghiệp đạt lợi nhuận tối đa, khi ấy giá bán và lợi nhuận đạt được là bao nhiêu?

b) Nếu mỗi đơn vị sản lượng Q, công ty phải nộp thuế 22 đơn vị tiền tệ thì sản lượng và giá bán là bao nhiêu để công ty đạt lợi nhuận tối đa? Khi ấy lợi nhuận là bao nhiêu?

Câu a : Có 2 cách giải quyết

Cách 1:

Hàm doanh thu : TR = PQ = (600 – 2Q)Q = 600Q -2Q2

Hàm lợi nhuận là : = TR – TC = - 2,2Q2 + 572Q – 200

Để đạt tối đa thì :

đơn vị sản lượng

Khi đó giá bán trên thị trường là :

P = 600 – 2.130 = 340 đv tiền tệ

Lợi nhuận đạt được là: – 37.180 + 74.360 – 200 = 3698 đơn vị tiền tệ

Nhớ rằng chúng ta có thể tìm Q = đạt giá trị cực đại MR = MC 600 – 4Q = 0,4Q + 28

Cách 2:

TC = 0,2

MC = 0,1P - 74

MR = MC 300 – P = 0,1P – 74 P =

P = 340 đơn vị tiền tệ để lợi nhuận đạt được tối đa Khi đó

Q = 130 đơn vị ssản lượng, và

= 36 980 đơn vị tiền tệ

Câu b: Nếu mỗi đơn vị sản lượng Q, công ty nộp thuế là là 22 đơn vị tiền tệ, thì hàm chi phí là:

TC = 0,2Q2 + 28Q +22Q + 200 = 0,2Q2 + 50Q +200

MC = 0,4Q + 50

MR = 600 – 4Q

Q = 125 đơn vị sản phẩm

Khi đó P = 350 đơn vị tiền tệ, lợi nhuận là 34.175

Nhận xét: Khi giá tăng từ 340 lên 350, tương đương 3% thì lợi nhuận giảm từ 36,980 xuống 34.1175 tương 7,6%

Sản lượng giảm từ 130 xuống 125 tương đương 3,8%

h Tiêu dùng và tiết kiệm:

Gọi I là tổng thu nhập của quốc gia; C là tiêu dùng của toàn dân và S là tiết kiệm

( Income, Cconsumption, Save)

Tiêu dùng sẽ phụ thuộc vào thu nhập, do đó tiêu dùng là hàm số của thu nhập

Gọi C = C(I) : hàm tiêu dùng; thì tiết kiệm là S = I – C

Tiêu dùng biên là đại lượng đo sự thay đổi của tiêu dùng khi thu nhập tăng một đơn vị, được xác định

là : MC =

Tiết kiệm biên là đại lượng đo sự thay đổi của tiết kiệm khi thu nhập tăng 1 đơn vị, được xác định là :

MS =

Lưu ý : người ta thường dùng đơn vị tiền tệ là 1 tỉ USD (1 đv tiền = 1tỉ USD)

Thí dụ :

Hàm tiêu dùng quốc dân của một nước được cho là :

, xác định xu hướng tiêu dùng và tiết kiệm biên ở mức tổng thu nhập quốc gia 400 tỉ USD?

Tiêu dùng biên là :

ở mức I = 400 tỉ thì :

Do đó MS = 100% - 18% = 82%

j Một số bài toán khác ứng dụng đạo hàm:

* BÀI TOÁN THUẾ DOANH THU

Giả sử một xí nghiệp sản xuất độc quyền một loại hàng hóa Biết hàm cầu của xí nghiệp về loại hàng hóa này là Qd=Qd(P) và hàm tổng chi phí của xí nghiệp là TC=TC(Q) Hãy xác định mức thuế t thu trên một đơn vị sản phẩm để thu được nhiều thuế nhất ?

Giải:

Gọi Q(t) là sản lượng làm cho xí nghiệp k tối đa hóa lợi nhuận với thuế là t

Q=Qd(P) hay P=P(Q)

Doanh thu: TR=P(Q)*Q

Chi phí: TC= chi phí sản xuất + thuế

Lợi nhuận: LN(Q) =TR – TC - t(Q)

Từ đây ta ứng dụng các nguyên lí tính toán trong đạo hàm sẽ cho kết quả

Ví dụ : Một doanh nghiệp độc quyền có hàm chi phí cầu tương ứng như sau :

TC=Q2+1000Q+50

Qd = 2000 – P

a) Xác định thuế t thu trên một đơn vị sản phẩm để CP có thể thu nhiều thuế nhất

Giải :

Gọi Q(t) là mức sản lượng của công ty là cho lợi nhuận của công ty tối đa tương ứng với mức thuế t Ta sẽ đi tìm Q(t)

Khi công ty sản xuất Q sản phẩm thì công ty phải bán với giá P sao cho :

Q = 2000 – P hay P = 2000 – Q

Khi đó doanh thu của công ty là : T = t(Q)

Lợi nhuận của công ty : (Q)=P(Q)Q – C(Q) – t(Q) =-2Q2 + (1000 – t)Q -50

Dạo hàm của lợi nhuận bằng : -4Q + 1000 – t

Từ điều kiện để lợi nhuận cực đại ta có : Q(t) = (1000 – t)/4

Vì đạo hàm cấp hai của lợi nhuận = -4<0 nên Q(t) là sản lượng làm cho xí nghiệp có lợi nhuận cực đại Khi đó tổng số thuế thu được là T(t) = (1000 – t)t/4

Đạo hàm của thuế là : T’(t)= ¼ (1000 – 2t)

Từ điều kiện T’(t) = 0 suy ra t = 500

Vì T’’(t) = ½ <0 nên t = 500 chính là định mức thuế để thu được nhiều thuế nhất Khi đó sản lượng sản xuất của công ty là Q(t) = (1000 – 500)/4 = 125

2 Bài toán tối đa hóa lợi nhuận và tối đa hóa doanh thu

- Tối đa hóa lợi nhuận:doanh nghiệp sẽ lựa chọn mức sản lượng mà tại đó chênh lệch giữa tổng doanh

thu và tổng chi phí là lớn nhất điều này có thể đạt được khi đạo hàm bậc nhất của hàm lợi nhuận bằng 0

d /dQ= dTR/dQ –dTC/dQ= 0 hay MC=MR

Để tối đa hóa lợi nhuận, doanh nghiệp lựa chọn mức sản lượng Qe Tại đó doanh thu biên bằng chi phí biên

- Tối đa hóa doanh thu: doanh thu là hàm số của giá và sản lượng hay TR= PQ Mức sản lượng mà tại

đó doanh nghiệp tối đa hóa doanh thu phải thỏa mãn điều kiện MR=0

Vd1: Hãng kẹo XuXu có hàm cầu là Q=100-P, hàm chi phí là

Tìm Q để lợi nhuận lớn nhất

Q=100-P hay P=100-Q

Từ đó doanh thu là R=(100-Q)Q và hàm lợi nhuận là

=

hoặc Q= 11

>0

<0

Từ đó đạy cực đại khi Q=11,

Vd2: Số vé bán được của một hãng xe buýt liên hệ giá vé P là : Q = 10000 – 125P

Tìm mức giá P để doanh thu đạt mức tối đa Tính lượng vé bán được ở mức giá đó

Giải:

Ta có: R(P) = P.Q = P (10000 – 125P) = 125P2 + 10000P

Để tìm cực đại của hàm R(P), ta sử dụng đạo hàm cấp 2

R’ = -250P + 10000, R’= 0  P = 40

R’’ = -250

Với P = 40, R’’ < 0 nên hàm R đạt cực đại tại P= 40

_Doanh thu lúc đó là Rmax= R(40) = 200000 ( đơn vị)

_Với mức doanh thu đó số vé bán được là Q= 10000 – 125.40 = 5000 ( vé )

Với mô hình hàm chi phí TC = TC (Q) thì TC’ (Q) được gọi là chi phí cận biên tại điểm Q0 , chi phí cận biên được kí hiệu là MC, MC = TC’ (Q) tại mỗi mức lượng Q, MC cho biết lượng chi phí xấp xỉ tăng lên thêm khi sản xuất thêm một đơn vị sản phẩm

3 Độ co giãn của một hàm số

a Độ co dãn của một hàm số

Cho hàm số: y = f(x), xác định trên (a,b) Muốn biết sự thay đổi của y phụ thuộc vào biến x như thế nào người ta xét đến hay

Trong quản trị kinh doanh, tỷ số trên nhiều khi không cho nhà quản trị thấy rõ mối liên hệ giữa hai biến kinh tế x và y

Thí dụ: Xét hàm cầu Q = f(q), cầu theo giá

Với ∆Q = 10 và ∆p = 1 = 10 (đơn vị 1000 đ)

Giả sử hai mặt hàng:

- Máy tính: = 10.000 đồng

Nhận xét:

- Đối với sữa hộp cho bé, chênh lệch 10.000 đồng là rất có ý nghĩa

- Đối với máy tính, sự chênh lệch 10.000 đồng không cho thấy sự khác biệt nào

Để giả quyết vấn đề này, các nhà kinh tế định nghĩa:

b Định nghĩa độ co dãn của hàm số

Cho y = f(x), xác định, liên tục, có đạo hàm trên (a,b)

Độ co dãn của hàm dược ký hiệu là E và bằng:

Nhận xét rằng:

Nếu ta thay: x1= x và y thì:

Như vậy độ co dãn của hàm số phụ thuộc vào x và y

c Hàm cầu biểu diễn quan hệ giá p và Q D = f(p)

Định nghĩa:

Độ co dãn của cầu theo giá (ở mỗi mức giá) là số đo sự thay đổi phần trăm của lượng cầu khi giá tăng 1%

Thì

d Hàm số cung biểu diễn quan hệ giữa giá p và Qs = G(p)

Qs = G(p), cung được tính theo giá

Định nghĩa:

Hệ số co dãn của cung theo giá là số đo thay đổi phần trăm của cung khi giá tăng 1%

 Vd:ứng dụng trong kinh tế về hệ số co dãn

Vd1: cho hàm cầu Q= 60P2+12P-24 Tìm hệ số co dãn tại điểm P=5