Gii tich ham mot bien

Phép tính vi phân hàm số một biến số – Hàm số một biến số thực – Đạo hàm của hàm số một biến số – Vi phân của hàm số một biến số • Chương 2.. Hàm nhiều biến – Hàm hai biến: giới hạn, liê

Toán Giải tích

Giáo trình/bài giảng:

[1] Toán cao cấp, Nguyễn Đình Trí (chủ biên)

[2] James Stewart (2008) Caculus (six edition), Thomson Brooks Cole Publishing Company.[3] Lê Đức Vĩnh, Nguyễn Thị Minh Tâm (2014) Giáo trình Toán cao cấp Nhà xuất bản Đại học Nông nghiệp Hà Nội

[4] Lê Văn Tiến (1998) Giáo trình Toán cao cấp Nhà xuất bản Nông nghiệp Hà Nội

Yêu cầu với Sinh viên

1. Có giáo trình [1] và làm bài tập theo yêu cầu của giảng viên

2. Dự lớp tối thiểu 80% ( không nghỉ quá 5 buổi)

3. Trong lớp trật tự, không nói chuyện, không dùng điện thoại, điện thoại im

lặng

4. Lớp trưởng học phần phụ trách mượn mic, điều khiển, dây điện…

5. Kiểm tra giữa kì vào buổi học thứ 6

Nội dung

• Chương 1 Phép tính vi phân hàm số một biến số

– Hàm số một biến số thực

– Đạo hàm của hàm số một biến số

– Vi phân của hàm số một biến số

• Chương 2 Hàm nhiều biến

– Hàm hai biến: giới hạn, liên tục

– Đạo hàm riêng và vi phân toàn phần của hàm số hai biến số

– Cực trị của hàm số hai biến số

Nội dung

•Chương 3 Tích phân

1.Tích phân bất định

2.Tích phân xác định

3.Tích phân suy rộng với cận vô hạn

•Chương 4 Phương trình vi phân

1.Một số khái niệm cơ bản

2. Đạo hàm của hàm một biến số

3. Vi phân của hàm một biến số

1.1 Một số ví dụ

Ví dụ 1 Diện tích S của đường tròn bán kính r?

Chú ý: Mỗi giá trị của r chỉ xác định duy nhất 1 giá trị S

Ví dụ 3 Chi phí vận chuyển bưu phẩm C thì phụ thuộc vào cân nặng của bưu phẩm

Ta có C là một hàm theo

Ví dụ 4 Nhiệt độ T (theo được ghi lại theo thời gian 2h một lần từ nửa đêm đến 14h chiều

ở Atlanta vào ngày 4 tháng 6 năm 2013 cho bởi bảng sau (t tính theo h)

•  

1.1 Một số ví dụ

1.2 Định nghĩa hàm một biến

Định nghĩa: Cho D,E là các tập con khác rỗng của tập số thực R () Một hàm số f từ D vào E là

một quy tắc cho tương ứng với mỗi số thực cho trước thuộc tập D () với duy nhất một số thực, kí hiệu , trong tập E

+ D được gọi là tập xác định của hàm f

+ x là biến của hàm số f

+ f(x) là giá trị của hàm f tại điểm x

+ tập giá trị của hàm f trên miền D là tập hợp tất cả các giá trị của f(x) khi

• Phân tích định nghĩa qua các ví dụ trên?

•  

• Biểu diễn hàm số: có nhiều cách, thông dụng có

+ Biểu diễn bằng công thức (biểu thức)

+ Biểu diễn bằng bảng số liệu

• Đồ thị của hàm một biến: Đồ thị của hàm số f xác định trên miền D là

•  

1.2 Định nghĩa hàm một biến

Ví dụ 2 Một container hình Hộp chữ nhật không có nắp phía trên, với thể tích là 10 Chiều

dài đáy bằng 2 lần chiều rộng Nguyên liệu làm đáy là 10$ một , làm mặt bên là 6$ một Giá nguyên liệu làm chiếc container này là một hàm theo chiều rộng mặt đáy, hãy

a) biểu diễn hàm trên

b) Mặt đáy có chiều rộng 3 m

thì chi phí làm chiếc container

này là bao nhiêu?

•  

Ví dụ 3 Giá chuyển bưu phẩm qua bưu điện tính qua cân nặng của bưu phẩm Ngành bưu

điện đưa ra qui tắc tính như sau (ấn phẩm gói nhỏ, VNĐ):

http://yp.com.vn/yp/ThongTinBuuDien/V-BangCuocDVBuuchinh.aspx

Viết công thức hàm ?

•  

1.2 Định nghĩa hàm một biến

1.3 Một số hàm số một biến số

1.3.1 Hàm tuyến tính: là hằng số

Ví dụ: Bạn Nam tham gia đi bộ Walkathon quyên góp tiền từ thiện Bạn Nam được thưởng

trước 5.000 (VNĐ) và mỗi vòng đi bộ được thưởng thêm 10.000 (VNĐ) Để kiếm được số tiền

55000 VNĐ, 75000 VNĐ thì bạn Nam cần đi bao nhiêu vòng?

Lập hàm số về mối quan hệ giữa số tiền và số vòng đi bộ của bạn Nam?

•  

1.3.2 Hàm đa thức

Với là các hằng số, x là biến

Vật lí: quãng đường đi được của vật rơi tự do theo thời gian t là

Ví dụ: Một giọt mưa rơi được 100m trong giây cuối cùng trước khi chạm đất Nếu xem giọt

mưa là rơi tự do thì nó bắt đầu rơi ở độ cao bao nhiêu? Lấy =9.8( )

•  

1.3 Một số hàm số một biến số

1.3 Một số hàm một biến số

Giải: Độ cao ban đầu của giọt mưa

Quãng đường giọt mưa rơi được trước khi chạm đất 1 s là

Quãng đường giọt mưa rơi trong giây cuối cùng là

Vậy t = 10.7 (s)

Vậy giọt mưa rơi từ độ cao

•  

1.3.3 Hàm lũy thừa: với a là một hằng số

Bài toán lãi ngân hàng

Ví dụ: một người đầu tư 100 triệu vào một ngân hàng theo thể thức lãi kép với lãi suất 13% /

1 năm Hỏi sau 5 năm mới rút lãi thì người đó thu được bao nhiêu tiền lãi (giả sử lãi suất hàng

năm r không đổi).

- Giả sử số tiền ban đầu là

- Sau n năm ta có số tiền:

•  

1.3 Một số hàm một biến số

1.4 Đơn ánh, toàn ánh, song ánh

Định nghĩa: Hàm số được gọi là:

a. Đơn ánh nếu thì )

b. f đ.g.l toàn ánh nếu

c f là song ánh nếu nó vừa là đơn ánh vừa là toán ánh

Ví dụ: với f(x) = sin x là một song ánh

•  

1.5 Hàm ngược

Định nghĩa: Giả sử là song ánh Khi đó tồn tại một hàm ngược D xác định như sau

1.6 Hàm sơ cấp

• Những hàm số mũ, lũy thừa, lượng giác và các hàm ngược của nó được gọi là các hàm sơ cấp

2 Đạo hàm của hàm một biến

2.1 Định nghĩa đạo hàm

2.2 Đạo hàm một phía

2.3 Đạo hàm của một số hàm cơ bản

2.4 Đạo hàm cấp cao

2.1 Định nghĩa đạo hàm

• Xét bài toán tìm tiếp tuyến với đường cong

2.1 Định nghĩa đạo hàm

• Vận tốc tức thời

2.1 Định nghĩa đạo hàm

2.1 Định nghĩa đạo hàm

• Nhận xét:

+ Hệ số góc của tiếp tuyến với đường cong tại điểm P(a,f(a)) chính là đạo hàm + Vận tốc tại thời điểm a của chuyển động có phương trình s = f(t) chính là

•  

2.1 Định nghĩa đạo hàm

Ý nghĩa của đạo hàm

Ý nghĩa đạo hàm

2.2 Đạo hàm một phía

2.2 Đạo hàm một phía

2.3 Đạo hàm của một số hàm cơ bản

Đạo hàm của hàm hợp

Đạo hàm của hàm ngược

Bài tập

• Tính đạo hàm của các hàm số sau

Bài tập

• Chú ý:

+ Nếu hàm thì để tính ta có thể rồi tính rồi từ đó tính

+ Nếu hàm là hàm tích, thương của nhiều hàm ta cũng có thể làm theo cách trên

• Ví dụ Tính đạo hàm của các hàm số sau

1)

•  

Bài tậpBài 1 Tính đạo hàm tại điểm x = 1 của

Bài 2 Tính đạo hàm của hàm tại x = 0

•  

Đạo hàm cho bởi tham số

• Giả sử Nếu thì

• Ví dụ: cho

Tính tại x = -1

•  

Đạo hàm trên khoảng, đoạn

• Đạo hàm của hàm số trên một khoảng (a, b)

Định nghĩa: Giả sử hàm số xác định trên khoảng (a, b) Hàm số f(x) được gọi là có đạo hàm

trên khoảng (a,b) nếu nó có đạo hàm tại mọi x

• Đạo hàm trên đoạn [a,b]

Định nghĩa: Hàm số f(x) được gọi là có đạo hàm trên [a,b] nếu nó có đạo hàm trên khoảng (a,b) và có đạo hàm trái tại b, có đạo hàm phải tại a

•  

2.4 Đạo hàm cấp cao của hàm một biến số

• Vật chuyển động với quãng đường theo thời gian t

Đạo hàm cấp cao

Ví dụ

Ví dụ 1 Tính đạo hàm cấp 2 của các hàm số sau:

Ví dụ 2: Tính đạo hàm cấp 10 của hàm số tại x = 0

•  

Khai triển Taylor

• Khai triển Taylor của hàm số là việc khai triển hàm số thành một đa thức

• Khai triển Maclaurin là khai triển Taylor của một hàm số tại điểm a = 0.

•  

Ví dụ khai triển Maclaurin

3 Vi phân của hàm một biến số3.1 Vi phân

3.2 Áp dụng vi phân tính gần đúng

3.1 Vi phân của hàm một biến

Vi phân cấp cao

• Định nghĩa: Vi phân cấp n của hàm f(x) là

• Ví dụ Tính vi phân cấp 2 của

•  

3.2 Ứng dụng vi phântính gần đúng

Bài tập

• Bài 1 Tìm vi phân của hàm số

• Bài 2 Tính gần đúng

4 Ứng dụng của đạo hàm và vi phân

Ví dụ: Tìm cực đại của hàm số sau trên đoạn [-2,2]

•  

4 Ứng dụng của đạo hàm và vi phân

5 Một số bài toán ứng dụng thực tế

Bài 1 Sau khi phát hiện một dịch bệnh các chuyên gia y tế ước tính số người nhiễm bệnh kể  

từ ngày phát hiện bệnh nhân đầu tiên đến ngày thứ x là với x = 1, 2, 3, 4, … 25 Nếu ta coi    như một hàm số xác định trên đoạn [0;25] thì đạo hàm của f(x) được xem như tốc độ truyền bệnh (người/ngày) tại thời điểm x Hãy xác định ngày mà tốc độ truyền dịch bệnh lớn nhất đạt max tại

•  

Bài 2 Một hộp không nắp được làm từ một mảnh các tông theo mẫu như hình bên Hộp có

đáy là hình vuông cạnh x (cm), chiều cao h (cm) và có thể tích bằng 500 cm3 Đặt f(x) là diện tích của mảnh các tông Xác định x để f(x) nhỏ nhất

Diện tích của mảnh các tông

F(x) đạt giá trị nhỏ nhất khi x = 10

•  

Một số bài toán ứng dụng

Bài 3 Tìm độ dài bé nhất của hình thang sao cho có thể dựa vào tường với mặt đất, ngang

qua cái cột đỡ với độ cao 4m, cột song song với bức tường, cách tường 0.5 m tính từ chân cột

đỡ

Bài 4 Hai điểm A, B nằm về cùng phía với bờ sông (d) (thẳng) Khoảng cách từ A đến bờ sông

30m, khoảng cách từ B đến bờ sông 45m, khoảng cách giữa A, B là Một người đi từ A đến bờ sông (phía A,B) để lấy nước sau đó đi về B Hãy tính quãng đường nhỏ nhất để người đó đi?

•  

Bài tập ứng dụng thực tế

Bài tập 1

Bài 2

Giả sử bạn là một chủ một xưởng cơ khí vừa nhận được một đơn đặt hàng là thiết

kế một thùng (khối trụ tròn) đựng nước có nắp với dung tích 20l Để tốn ít nguyên liệu nhất bạn cần thiết kế chiều cao của hình trụ như thế nao?

Bài 3

• Một chủ trang trại nuôi gia cầm muốn rào 2 chuồng hình chữ nhật sát vào nhau dọc theo bờ sông (thẳng): 1 chuồng để nuôi gà, một chuồng để nuôi vịt Biết rằng đã có sẵn 240m hàng rào Hỏi diện tích lớn nhất có thể do chuồng chiếm chỗ là bao nhiêu?