Bài toán phẳng của lý thuyết đàn hồi

Bài toán phẳng của lý thuyết đàn hồi

Chuong 4

Bài toán phẳng của

lý thuyết đàn hồi

§4.1 CÁC PHƯƠNG TRÌNH CO BAN CUA BAI TOAN PHANG CUA

LY THUYET DAN HOI

_ 1, Bài toán ứng suất phẳng

, Như đã biết trong giáo trình lý thuyết

đàn hồi, hay như phần tóm tắt trong

chương 1 của giáo trình này, vật thể dạng

tấn mỏng khi chịu tải trọng như hình

(4.1) thì mọi điểm cúa nó đều ở trạng thái

ứng suất phẳng Khi đó trạng thái ứng

suất -.,biến dạng - chuyển vị mọi điểm được

biểu diễn bởi các vectơ sau đây:

vecto ung sudt: {o} = {ox , oy , ty} Hình 4.1 Tấm mỏng trong trạng théi ứng

vectơ biến dạng: {£} = {ex , ey, Oxy}? mg

vectơ chuyển vi: {u} = {u, vị

- Các thành phần trong các vectơ này chỉ là hàm của 2 biến số độc lập x, y Phương trình định luật Hooke ở dạng ngược là:

1—C;

2

diy =dgg=1; dyg = dg) = Co; dạa =

2 Bài toán biến dạng phẳng

Như đã nói ở chương 1, nếu vật _

thể có hình lăng trụ dài vô hạn và

chịu tải trọng phân bố không thay

đổi theo chiều dài lăng trụ, thí dụ

như đập trọng lực trong hình 4.2

Khi đó, nếu chọn trục z là trục lăng

trụ, thì mọi điểm của lăng trụ ở

trạng thái biến dạng phẳng và

vectơ biến _đạng là:

Hình 4.2 Đập trọng lực

fe} = fey, fy ray

Vectơ chuyển vị {u} = {u, vịt

-_ 8o với bài toán ứng suất phẳng, nếu bỏ qua sự khác biệt cụ thể đối với thành phần ứng suất và biến dạng theo phương z, thì các phương trình của ,2 bài toán này rất giống nhau Sự khác biệt chỉ có ở nội dung các thành phần của ma trận

các hằng số đàn hồi [D] trong công thức định luật Hooke

_ Cụ thể, với vật liệu là đẳng hướng các giá trị C và Co trong ma trận [D] được xác định theo các công thức sau

dạng phẳng trường chuyển vị được xác định duy nhất bởi 2 thành phần chuyển vị

u và v theo 2 phương x và y của hệ tọa độ vuông góc Các đại lượng này và cả các ứng suất, biến dạng thành phần đều chỉ là hàm của 2 tọa độ điểm x, y nên bài toán

là bài toán 2 chiều Ta có thể gọi chung 2 bài toán này là bài toán phẳng của LTĐH

Khi giải bài toán phẳng bằng phương pháp phần tử hứu hạn theo mô hình tương thích, vật thể được rời rạc hóa bằng một tập hợp hứu hạn các phần tử phẳng liên kết với nhau tại một số xác định các, điểm nút Mỗi nút có 2 bậc tự do là 2 thành

phần chuyển vị của nút đó theo 2 phương x và y Số lượng và hình dạng các phần

tử ảnh hưởng trực tiếp đến kết quả tính toán Dạng phần tử thường dùng là phần

tử dạng tam giác, tứ giác,

Chương này chủ yếu trình bày phan tu dang tam giác, chứ nhật với các hàm xấp xi đơn giản nhất

§4.2 BÀI TOÁN PHẲNG VỚI PHẦN TỬ DẠNG TAM GIÁC

Do vectơ {q}¿ chỉ có 6 thành phần, để bảo đảm việc nội suy các hàm xấp xỉ

của chuyển vi theo vectơ chuyển vị nút phần tử {q}¿, vectơ các thông số {a} (vectơ

- tọa độ tổng quát) của đa thức xấp xỉ > chỉ gồm 6 thành phần

"Khi đó, theo tam giác Pascal ở chương 2, trường chuyển vị chỉ cố thể là tuyến tính, tức là vectơ chuyển vị của 1 điểm bất kỳ có tọa độ (x, y) thuộc phần tử gồm ,

2 thành phần chuyển vị được xem là các hàm xấp xỉ tuyến tính như sau:

u(, y)

le = {a ea vị,

a, + agx + agy

_ 94

Theo tư tưởng cở bẩn của PPPTHH với mô hình tương thích, bằng việc thực

hiện đồng nhất chuyển vị nút với giá trị của hàm chuyến vị đã được xấp xỉ hóa

- thành các hàm tuyến tính (4.7) tại chính các nút phần tử, ta có thể biểu diễn được vectơ các tham số {a} theo vectơ chuyển vị nút phần tứ {q}¿ Thật vậy, sử dụng

Trong do (x; , yi), (%}, Vy) › (x, ; y„) lần lượt là các tọa độ các nut i, j, k cua phan

tử đang xét trọng hệ tọa độ đã cho Sử dụng tiếp (4.8) hoặc (4.9), (4.10), ta có „

q2 00 0 1 x% y¡ | |a2 (qÌ¿ = %5 |5 9 00 0 | Jas ® lqa 0 0 0 1x; y¡ | |3¿ d4 12) :

95 | 1 X Vk 0 0 O | fas

Co de} |0 0 9 1y yy | |as |

Từ (4.12) có thể thấy ma trận [A] la me trận vuông (6x ›6) chỉ chứa các tọa độ -

các nút Người ta đã chứng minh được rằng ma trận này tồn tại nghịch đảo Vậy

từ (4.13) ta biểu diễn được vectơ im thông 86 {a} qua wweotơ chuyển vị nút phần tứ -

a `N

faj= (AD Nghe (4.14)

Trong đó ma trận [N(x,y) ] là ma trận các hàm dạng hay còn gọi là các hàm nội suy Trong trường hợp đang xét, các hàm này đều là các hàm tuyến tính

[Nœ&y)] = [F@œy)] far?

Thực hiện nhân ma trận

[N(x, y)] (2 x 8) 0 Ni(x, y) 0

; X 1 -

Nj (X,y) = — ÍYjw — Xi) + Xụị (y

Với {N¡ @&y) = “ [Vici (X — Xi) + Xi (Y ~

_XNg= [* ta +) + + Oi + rye + a + Xi + id ¥|

_ 2A

97 >

Ma: ik + Yki + YG = Yj — Yk + YK -~ Vit Yi- yj =O

Xj + Xik + Xj = Xk — Xj + Xi — XR + x — x = 0

ay t aj + A = XY Yq ~ XK Yj + Xi Yị — Xi Yk † Xi Yị ~ Xị Vị = 2A

Vậy: > Ni(x,y) = Ni(x,y) + Nj(x.y) + Nay) = oA =1:

Các tính chất trên cũng là các tính chất chung của các hàm nội suy Lagrange trong bài toán 2 chiều

_ 3 DO thi cdc ham dang (4.20) (hay (4.21) biểu diễn các mặt phẳng như hình

vẽ 4.4 và dễ dàng vẽ được dựa vào nhận xét 1 vừa nêu ở trên

Hình 4.4 Đồ thị biểu diễn các hàn: dang N,,N,,N |

4 Theo (4.18) các thành phần chuyến vị theo các phương x.y của các điểm thuộc phần tư là:

u(%,y) = qị ÑN¡@y) + qa N¡(%,y) + qạ NụŒy)

v(,y) = qạ Ñ¡(œ,y) +'qạ NjŒœ,y) + qe NyŒy) u(,y) = uị N;Œ,y) + u¡ Nj@&,y} + 0y Ng%,y) | |

y -|u(%,y) = vị Ñ¡(%,y) + vị NịŒ,vì + vụ Nh(x,y)

Và biểu đồ biểu diễn chuyển vị (u), (v) có thể thấy ở hình 4.5

Hình 4.5 Đồ thị biểu diễn các hờm chuyển uị u va v (gia siz vị < 0/

98-Cũng như với chuyển vị, các thành phần biến dạng của phần tử cúng được biếu diễn theo vectơ chuyển vị nút phần tử {qhe

aloy alox Thuc hién dao ham, dé: dang nhận: được:

2A | Xk Yjk Kiko 7 Vik — Xj Vij

Cũng dễ nhận thấy rằng do các thành phần cua ma tran (BI là các hằng s số nên theo (4.22) các thành phân biến dạng và kéo theo đó là cả các thành phần ứng suất

có giá trị không đổi trong phạm vi mỗi phần tư

2 Ma trận độ cứng phần tử

Như chương 2 dã trình bày, ma trận độ cứng phần tử được: xác dịnh bởi (2.16)

[K], = -f (By! (DITBIdV

Vì độ dày t của tấm là không dồi, nên tích phân, trên dễ dàng thực hiện vì các

ma trận [B] va [D] chi gom các hằng s SỐ Do đó có thể viết

ki = v& +À xà ` kas = yk + A xh ~

kia = — 2 Xịk Vjk — Â Vjk Xk - kaa = — 2 Xik Vik — Â Xik Vik

kis = - Yik Yjk — A Xjk Xik kas = — yik Yij — A Xik Xij

|kú = 2 Xí Yi + 4 Vkj Xịk , tae = Co Xij vik +4 Xik Yij

kis = Yjx Vụ + Â Xịk Xi laa = xk + A yk |

kis = — 2 ÿjk Xij — A Xk Vụ kas = C2 Xiy Vu † A Vik Xij

koa = xk +A yh” {ae = — Xi@bj — Ã Vik Vi,

kos = Co Xj Vik + Â Xik Yik kss = vì +À xã

Kea = — Xịk Xik — Â Vjk Vik : kse = — ¿ Xi Vụ — Â Xụ Vụ

kes = — Co xjx yij — 4 Vik Xu sử kes = x3 + dy}

kos = Xij Xk + 4 Yik Yip |

1-Co

2 trong dé C; , Co duge xdc dinh theo (4 2) nếu bài toán là ứng suất phẳng, hoặc theo (4.4) nếu bài toán là biến dạng phẳng

3 Vecto tai phan tu {P}e

Vectơ tải phần tử được xác định theo (2.17) trong trường hợp tổng quát Với các trường hợp cụ thể có thể được tính sắn như sau: :

Cũng nên biết rằng trong quá trình tích phân ta đã sử dụng các tích phân sau

Í xdA =x,A và [ ydA = yeA

Giả sứ có lực mặt phân bố đều trên biên (thí dụ trên cạnh ¡ j của phần tử)

(hình 4.6) với các thành phần px và py có giá trị không đổi

Hinh 4.6 Luc mat tac dung trén canh bién ij của phần tử uà các thành phần của {P,Ì,

101

trong đó: Lị: chiều dài cạnh biên ij (cạnh có lực {p} tác dụng)

N_(x,y) = 0 trên cạnh ij (xem biểu đồ (Ng) trên hình 4.4)

- Vectơ tải phần tử do biến dạng ban đầu được xác định theo (2.17)

{Pte = f (BÍ [DỊ (e,}, dV

Vv e

1 Trường hợp do nhiệt độ: {cs}¿ =ø T {1 , — lạ |

trong dé a: hé sé dan nd vi nhiét cua vat liéu

T: độ biến thiên của nhiệt độ

4 Ma trận tỉnh ứng suất:

Như đã thấy ở trên, do hàm chuyển vị là tuyến tính nên biến dạng sẽ là hằng

số trong mỗi phần tử Từ đó cúng thấy rằng ứng suất cúng là không đổi trong từng phần tử Vectơ ứng suất được biểu diễn qua vectơ chuyển vị nút phần tử {q}¿ như sau:

Ox

{o}, = 7° ¢ = [D] {e}, = [D] [B) {q},

102

Ở day [S], la ma tran tinh ung suất và `

[SL = [DI [BỊ]

Thực hiện nhân ma trận, ta có:

Yix — Cox, Vik Yjj Cox, — Cox;

[SL = G1 Coy, — Rik ~ Cạyy Cry; Xik ~ Rij (4.32):

2A ~ Ax j_ AY 2Xịy ~ any CÀ —ÖYyy - dy;

trong đó C¡ , Ce la cdc hing s6 dan hdi xác định theo (4.2), hay (4.4)

._ Hình 4.7a Sơ đồ kết cấu uà tải trọng; b Sơ đồ rời rạc hóa tấm (nút uà phần tw);

c Các chuyển uị nút tổng thể {q} tuới q, = 0); d Các chuyển uị nút phần tử {q},

hợp 8 bậc tự do này của cả 4 nút là vectơ chuyển vị nút tổng thể {q} Tuy nhiên

do các nút 1 và 4 là gắn cứng không có chuyển vị nên để đơn giản sau này ta gọi các chuyển vị nút thành phần của các nút này: là do và do = 0 Các bậc tự do bằng

0 này được đánh số 0 trong hệ thống mã số tổng thể Nói cách khác, ta gọi lần

lượt các bậc tự do khác không là q1, qz, q4, q4 còn các bậc tự do bằng 0 là do như

104

Sử dụng (4.25) và (4.33) ta có,

ma trận độ cứng [K]q của phần tử (1) là:

Tải trọng phân bố trên cạnh biên jk của phần tử với {p} =

Cần giải thích rõ hơn rằng, trong trường hợp tổng quát, có thể lực phân bố tác

dụng không chỉ trên một cạnh biên phần tử (như trường hợp bài toán này) mà trên ˆ

cả các cạnh biên khác của phần tử Nên ta có thể viết một cách tổng quát là

thẻ

[K] =

0 0 2a? 0

3 Ghép nối phần tử, do đã áp dat điều kiện biên ngay trong cách đánh số mã

tổng thể, nên kết quả nhận được là ma trận cứng tổng thế [K”] và vectơ tải tổng {P"}

4 Giai hé phuong trinh: [KHq”} = {P"}

Thay các số liệu vào ta có: 4

`

":

¬

Ca = v = 0,25 1-Cg

= ———— = 0,375

2 1+ Cog

Vay da tim được chuyển vị của các nút 2 và 3

5 Tim ứng suất trong mỗi phần tử bằng cách sử dụng (4, 31) va (4.32)

Để tìm vectơ ứng suất của các phần tử, sau khi thay số liệu rồi thực hiện tính

toán ta có (chú ý rằng để dễ thấy, các thành phần không cần thiết trong các [S}

sẽ không cần tính trong thí dụ này)

` ` Nhận xét: Kết quả về chuyển vị và cả ứng suất không là đối xứng mặc dù bài

toán là đối xứng Bởi ta đã dùng chỉ hai phần tử tam giác và đã phá hỏng tính đối

xứng này Điều này sẽ được loại trừ khi dùng lưới phần tử dày hơn và đối xứng qua trục đối xứng của tấm, hoặc dùng phần tử chứ nhật

107

§4.3 PHAN TU CHU NHAT

Xét phần tử chứ nhật trong mặt phẳng xy như hình vẽ 4.9 Phần tử có bốn điểm nút ¡, j, k và l là các đỉnh của chứ nhật Mỗi nút có 2 bậc tự do là 2 thành

phần chuyển vị theo phương x và y

Tập hợp các bậc tự do này là vectơ chuyển vị nút phần tử {q}„ và là

Hinh 4.9 Phần tử chứ nhột- các bậc tự do của phần ti va céc nit

Hai chuyển vị thành phần của một điểm bất kỳ có tọa độ (x,y) thuộc phần tử được lấy xấp xỉ bởi dạng đa thức song tuyến tính như sau

u(x, y) 31 + a2x + Say + 3AXY

v(x, y) ° a5 + agx + a7y + agxy

Ở dạng ma trận:

81 a2 3a

u(x, y) lxy xy 0000| [4% no

e

ag a7

ag

108

(4.41) Thực hiện đồng nhất chuyển vị nút và giá trị của hàm xấp xi tai cdc nut dé

từ đó biểu diễn vectơ các tham số {a} theo vectơ chuyển vị nút phần tử {q”e

, (4.37) hay (4.38) và thay tọa độ các nút cho trong hình 4.9

trận vuông (8 x 8) chứa tọa độ các điểm nứt ở phương trình

trên (A] có nghịch đảo [A] Ì là |

Vậy, từ (4.42) ta có:

Thay (4.42) vào (4.38), ta biểu diễn được trường chuyển vị {u}, của phần tử:

theo vectơ chuyển vị nút phần tử {q}e, hay nói cách khác, trường chuyển vị {u},

được nội suy qua {q}¿ Cụ thể là

{u}, = [F(x,y) ] [AI 1{q},

Trong đó [N(x,y) ] là ma trận các hàm dạng, hay ma trận các hàm nội suy và được xác định

Các ham Ni(x,y) trên còn gọi là các hàm nội suy Lagrange song tuyến tính Đồ

thị biểu diễn các hàm này ở hình 4.10 Và từ (4.43) có thể thấy các chuyển vị u

“(a-x) -(b-y) -X (b-y) Xx y a-x —W

_ Vậy, theo (2.16) có thể tìm được ma trận cứng phần tử [KL

Vv,

Tuy nhiên việc tích phân trực tiếp sau khi nhân các ma trận trong dấu: tích

phân như trên sẽ phức tạp Có thể thực hiện bằng cách sau đây thì đơn giản hơn

Thay (4.49) vào (4.48), khi đó:

(K\, = Í (AT ĐT (B'ÏF(DỊ(B'HAT 1aV J ¿

Vì các ma trận [A]? va (ayy? không chứa biến x,y nên đưa được ra ngoài dấu tích phân Ta có:

hạ

| kis

kis ki, kẹa kay k33 Ka,

Kay xứng

trong đó các kị được xác định như sau:

kạs = kig

k4g = kog kạ2 = kỊ¿

k4g = kag k55 = ki k56 = ki k57 = ki3

Còn với lực phân bố trên biên, cúng trên nguyên tắc tương tự đã biết Giả sử

trên cạnh biên jk có lực phân bố đều, cường độ pị = const và trên cạnh biên kl

114

Trong đó: Ma trận tính ứng suất [Sk = ~ (BI Hay, cụ thể (Sle 1a nhu sau:

Oa emp

“tens, ~i (b = ” he A@ _») he, dy - a (aa), ~ây :

Thí dụ : Giải bài toán tấm phẳng ở bài 4.2 với 9 phan t tử hình ‘chit nhật So

đồ nút và phần tử cho trên hình 4.13a

- Đánh số các bậc tự do tức các chuyển vị của các nút toàn hệ Để đơn giản

quá trình “ghép nối” phần tử, điều kiện biên động học được sử dụng ngay bằng

cách gọi các bậc tự do bang 0 la q và có mã chứ số 0 Các thành phần của vectơ chuyển vị nút tổng thể biểu diễn trên hình 4.13b "Từ đó, _œùng với các bậc tự do

115