Sử dụng dải hữu hạn bậc cao trong bài toán phẳng của lý thuyết đàn hồi

• Khảo sát các thành phần ứng suất, chuyển vị của bài toán phẳng và so sánh kết quả với lời giải bằng phương pháp phần tử hữu hạn và phương pháp giải tích.. Vì nghiên cứu về phương pháp

ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP HỒ CHÍ MINH

TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA TP HỒ CHÍ MINH

LÊ VĂN BÌNH

ĐỀ TÀI

SỬ DỤNG DẢI HỮU HẠN BẬC CAO TRONG BÀI TOÁN PHẲNG CỦA LÝ THUYẾT ĐÀN HỒI

LUẬN VĂN THẠC SĨ

CHUYÊN NGÀNH : XÂY DỰNG DÂN DỤNG VÀ CÔNG NGHIỆP MÃ SỐ NGÀNH : 23.04.10

TP HỒ CHÍ MINH – THÁNG 06/2003

TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA ĐẠI HỌC QUỐC GIA THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH

Người hường dẫn khoa học

PGS.TS CHU QUỐC THẮNG

Người chấm nhận xét 1

Người chấm nhận xét 2

Luận văn Thạc sĩ được bảo vệ tại HỘI ĐỒNG CHẤM BẢO VỆ LUẬN

VĂN THẠC SĨ TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA ngày ……… tháng ……… năm 2003

Có thể tìm Luận văn tại Thư viện Trường Đại Học Bách Khoa

Đại học Quốc gia Tp Hồ chí minh

TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA TP HCM -oOo -

NHIỆM VỤ LUẬN VĂN THẠC SĨ

Họ và tên học viên : LÊ VĂN BÌNH Phái : Nam

Ngày tháng năm sinh : 08/02/1978 Nơi sinh : Bình Định

Chuyên ngành : Xây dựng DD&CN Mã số : 23.04.10

I TÊN ĐỀ TÀI : SỬ DỤNG DẢI HỮU HẠN BẬC CAO TRONG

BÀI TOÁN PHẲNG CỦA LÝ THUYẾT ĐÀN HỒI

II NHIỆM VỤ VÀ NỘI DUNG

• Nghiên cứu cơ sở lý thuyết về phương pháp dải hữu hạn

• So sánh phương pháp dải hữu hạn và phương pháp phần tử hữu hạn

• Nghiên cứu lý thuyết phương pháp dải hữu hạn với các bài toán ứng suất phẳng, bài toán uốn

• Sử dụng các phần tử dải hữu hạn bậc cao trong bài toán phẳng của lý thuyết đàn hồi

• Khảo sát các thành phần ứng suất, chuyển vị của bài toán phẳng và so sánh kết quả với lời giải bằng phương pháp phần tử hữu hạn và phương pháp giải tích

• Xây dựng chương trình tính toán bài toán phẳng với phương pháp dải hữu hạn

• Nhận xét kết quả và kết luận về phương pháp dải hữu hạn

III NGÀY GIAO NHIỆM VỤ : 29/11/2002

IV NGÀY HOÀN THÀNH NHIỆM VỤ : 07/6/2003

V HỌ VÀ TÊN CÁN BỘ HƯỚNG DẪN : PGS.TS CHU QUỐC THẮNG

VI HỌ VÀ TÊN CÁN BỘ NHẬN XÉT 1 :

VII HỌ VÀ TÊN CÁN BỘ NHẬN XÉT 2 :

CÁN BỘ HƯỚNG DẪN CÁN BỘ NHẬN XÉT 1 CÁN BỘ NHẬN XÉT 2

PGS.TS CHU QUỐC THẮNG

Nội dung và Đề cương Luận văn thạc sĩ đã được Hội đồng chuyên ngành thông qua

CHỦ NHIỆM NGÀNH

L Ơ Ø I C A Û M Ơ N

Chân thành cảm ơn Ban lãnh đạo Công ty Xây dựng Giao thông Sài Gòn – Sở Giao thông Công chánh Tp Hồ Chí Minh và Ông Giám đốc Xí nghiệp Tư vấn Xây dựng Giao thông Sài Gòn đã tạo điều kiện thuận lợi cho tôi làm việc và học tập trong suốt 3 năm qua

Chân thành cảm ơn PGS.TS Chu Quốc Thắng đã hướng dẫn và giúp đỡ tận tình cho tôi hoàn thành Luận Văn tốt nghiệp này

Chân thành cảm ơn những người thân, các bạn bè đồng nghiệp đã động viên và chia sẻ với tôi những khó khăn trong công việc cũng như trong quá trình học tập nghiên cứu tại Trường.

Lê Văn Bình

MỤC LỤC

Trang

Lời cảm ơn 0

CHƯƠNG I : TỔNG QUAN VỀ PHƯƠNG PHÁP DẢI HỮU HẠN 1

1.1 Đặt vấn đề 1

1.2 Tổng qua về phương pháp FSM 1

1.3 Quá trình phát triển FSM trên thế giới 5

CHƯƠNG II : CƠ SỞ LÝ THUYẾT VÀ CÁC BƯỚC PHÂN TÍCH BÀI TOÁN CỦA PHƯƠNG PHÁP FSM 6

2.1 Lựa chọn hàm chuyển vị 6

2.2 Thành lập các hàm chuyển vị 8

2.2.1 Phần chuỗi của hàm chuyển vị 8

2.2.2 Phần hàm dạng của hàm chuyển vị 10

2.3 Thành lập các phương trình cơ bản của FSM bằng nguyên lý thế năng toàn phần dừng 16

2.3.1 Các hàm chuyển vị 17

2.3.2 Biến dạng 17

2.3.3 Ứng suất 18

2.3.4 Cực tiểu tổng thế năng 18

2.4 Trình tự phân tích bài toán bằng FSM 21

2.5 Phương pháp FSM với bài toán tấm chịu uốn 22

2.5.1 Dải uốn hình chữ nhật 23

2.5.2 Dải uốn dạng cong 28

2.6 FSM với bài toán phẳng của lý thuyết đàn hồi 31

2.7 Phương pháp FSM với bài toán ứng suất phẳng 34

2.7.1 Dải ứng suất phẳng hình chữ nhật 36

2.7.2 Dải ứng suất phẳng cong 41

2.8 Lắp ghép phần tử – ma trận độ cứng & vectơ tải tổng thể 44

2.9 Ví dụ tính toán 47

3.1 Phép nội suy 56

3.2 Dải bậc cao với 3 đường nút 57

3.2.1 Ma trận độ cứng phần tử 58

3.2.2.Vectơ tải trọng phần tử 60

3.3 Dải bậc cao với 2 đường nút 72

3.4 Lời giải của lý thuyết đàn hồi 74

3.5 So sánh FSM với kết quả tính toán giải tích và FEM 78

3.6 Nhận xét kết quả 81

3.7 Nhận xét phương pháp FSM 90

CHƯƠNG IV : XÂY DỰNG CHƯƠNG TRÌNH TỰ ĐỘNG HOÁ TÍNH TOÁN BÀI TOÁN PHẲNG CỦA LÝ THUYẾT ĐÀN HỒI 91

4.1 Xây dựng mô hình thuật toán 91

4.2 Chuẩn bị dữ liệu 93

4.3 Tính toán các ma trận độ cứng phần tử và vectơ tải trọng phần tử 93

4.4 Lắp ghép ma trận độ cứng và vectơ tải tổng thể 95

4.5 Đưa vào các chuyển vị cưỡng bức 97

4.6 Giải hệ thống phương trình đại số tuyến tính 98

4.7 Tính toán các thành phần nội lực 98

4.8 Chương trình tính toán 99

CHƯƠNG V : KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ 103

TÀI LIỆU THAM KHẢO 104

CHƯƠNG I TỔNG QUAN VỀ PHƯƠNG PHÁP DẢI HỮU HẠN (FINITE STRIP METHOD)

1.1 Đặt vấn đề

Để giải quyết một bài toán cơ học vật rắn biến dạng tổng quát cần thiết phải tìm được 15 ẩn hàm (gồm 3 phương trình cân bằng nội, 6 phương trình liên tục, 6 phương trình quan hệ giữa ứng suất – biến dạng) phải thỏa mãn các điều kiện biên động học và tĩnh học Điều này rõ ràng không thực hiện được đối với những bài toán tổng quát do khó khăn về mặt toán học Vì thế có nhiều phương pháp tính ra đời nhằm giải quyết vấn đề trên

Có thể chia làm hai nhóm phương pháp tính là các phương pháp giải tích và các phương pháp số, trong đó phương pháp số tỏ ra khá tốt trong việc tính toán các kết cấu phức tạp Hiện nay phương pháp số được ứng dụng nhiều nhất trong phân tích kết cấu là phương pháp phần tử hữu hạn (finite element method - FEM)

Tuy nhiên phương pháp nào cũng có những ưu khuyết điểm nhất định trong từng bài toán cụ thể Đề tài này hướng đến việc giải quyết bài toán phẳng của lý thuyết đàn hồi bằng phương pháp dải hữu hạn (finite strip method - FSM) Phương pháp này được sử dụng khá hữu hiệu đối với các loại kết cấu có mặt cắt ngang không đổi chạy dọc theo một hoặc hai trục cố định như các loại cầu dầm hộp, tấm mỏng, tấm dày, các kết cấu dạng lăng trụ

Vì nghiên cứu về phương pháp tính nên người viết sẽ phân tích cụ thể cơ sở lý thuyết của phương pháp trong việc thành lập các phương trình tính toán ứng với nhiều loại phần tử khác nhau và so sánh với các phương pháp tính khác về mức độ chính xác, độ hội tụ của các nghiệm tìm được, khối lượng tính toán và khả năng tự động hóa tính toán

1.2 Tổng quan về phương pháp FSM

Như chúng ta đã biết phương pháp phần tử hữu hạn là một công cụ rất mạnh mẽ và linh hoạt trong việc phân tích kết cấu đã được phát triển nhanh chóng và ứng dụng giải quyết rất nhiều những bài toán cơ học Tuy nhiên đối với những kết cấu có đặc tính hình học thông thường và điều kiện biên đơn giản, nếu phân tích bằng phương pháp phần tử hữu hạn một cách đầy đủ là không cần thiết và thường dẫn đến việc phân tích một bài toán bậc cao để có thể thu được nghiệm tốt Chính vì vậy kích thước bài toán chính xác đòi hỏi nhiều công cụ máy móc hỗ trợ cho người thiết kế, bài toán được giải quyết một cách cứng nhắc hoặc phải thực hiện nhiều bước tính toán trung gian dài dòng và tốn thời gian Điều này thể hiện rõ trong các bài toán

phân tích kết cấu ở trạng thái tĩnh (static analysis) của vật rắn 3 chiều hay những bài toán phân tích dao động và ổn định của các kết cấu không gian Do đó chúng ta cần lựa chọn một phương pháp tính có thể giảm bớt khối lượng tính toán bằng cách sử dụng linh hoạt phương pháp phần tử hữu hạn để phân tích các loại kết cấu mong muốn

Từ những vấn đề nêu trên, gần đây đã phát triển một phương pháp phân tích kết cấu có thể thỏa mãn những yêu cầu của bài toán đó là phương pháp dải hữu hạn Trong phương pháp này, kết cấu được chia thành những dải (strip) hoặc những miền con (subdomain) 3 chiều như lăng trụ (prism) hoặc lớp (layer) mà các dải đó có một cặp cạnh đối diện (2-D) hay nhiều mặt đối diện (3-D) trùng lặp với nhau ở các biên của kết cấu Do đặc tính của phương pháp, các kết cấu thường có dạng hình học không thay đổi dọc theo một hoặc hai trục tọa độ để kích thước mặt cắt ngang của các dải (hoặc của lăng trụ hay lớp) không thay đổi từ đầu đến cuối Vì vậy các kết cấu như dầm cầu dạng hộp (box girder bridge) hoặc các loại tấm mỏng (voided slab) rất dễ dàng chia thành các dải hoặc lăng trụ, hay các loại kết cấu tấm và vỏ dày nhiều lớp đẳng hướng rất thuận tiện khi chia thành các lớp để nghiên cứu

Phương pháp dải hữu hạn có thể xem là trường hợp đặc biệt của phương pháp phần tử hữu hạn bằng cách sử dụng hàm gần đúng của chuyển vị (displacement approach) Không như phương pháp phần tử hữu hạn chuẩn là sử dụng một hàm chuyển vị đa thức trong tất cả các chiều mà phương pháp này sử dụng các đa thức đơn giản kết hợp với chuỗi hàm lượng giác và các chuỗi đạo hàm riêng liên tục với điều kiện các chuỗi phải thỏa mãn một điều kiện tiên quyết (priori) về điều kiện biên tại biên của các dải (lăng trụ, lớp) Công thức tổng quát của hàm chuyển vị được cho bởi tích của các đa thức và chuỗi Vì vậy đối với các dải trong bài toán 2 chiều được giảm xuống bài toán một chiều Hàm chuyển vị được viết như sau :

w

1

),( (1.1b) Đối với “dải layer” bài toán ba chiều được phân tích như bài toán 1 chiều :

m

Y X z f w

1 1

)

Trong biểu thức trên, các chuỗi đã được cắt bớt ở bậc thứ r và số hạng thứ t;

)(),,

(

),

(x f x z f z

f m m mn là các biểu thức đa thức với các hằng số không xác định cho số

hạng thứ m và n của chuỗi X , m Y m tương ứng là các chuỗi thỏa mãn các điều kiện

biên theo phương x và y và chỉ rõ hàm độ võng trong các phương này Chính vì thế

bậc tự do của hệ thống giảm nên số ẩn số cần tìm giảm Bài toán trở nên đơn giản hơn Các dạng kết cấu sau đây sẽ minh họa cách chia phần tử theo dải và áp dụng phương pháp tính toán FSM

6 7 8

9 10 11 12 13 (a) Tấm phẳng (b) Tấm rỗng khoét lỗ tròn (Plate Strips) (Quadrilateral Finite Prisms)

1 2 4 5

Hình 1 : Các loại kết cấu có thể tính toán bằng FSM

Tư tưởng chủ yếu của phương pháp FSM cũng tương tự như phương pháp FEM là tìm dạng gần đúng của ẩn hàm trong các miền con Ve thuộc miền V của nó Tuy nhiên dạng Ve của phương pháp FSM có tính chất không thay đổi trong toàn miền V

do đó chỉ áp dụng trong các bài toán như đã nêu ở trên Các miền con Ve này liên kết với nhau bởi các đường gọi là đường nút (nodal line) Các thông số của đường nút có thể gọi là bậc tự do của phần tử và xem là các ẩn số cần tìm

Để rõ hơn về phương pháp này, ta xem bảng so sánh sự khác nhau của phương pháp phần tử hữu hạn và phương pháp dải hữu hạn

Phương pháp phần tử hữu hạn

(FEM)

Phương pháp dải hữu hạn

(FSM)

Có thể áp dụng phân tích kết cấu với

mọi dạng hình học, mọi điều kiện biên

và vật liệu khác nhau Là công cụ rất

mạnh và linh hoạt

Trong bài toán tĩnh, thường được áp dụng cho các kết cấu với gối tựa có hai cạnh đối diện nhau, có hoặc không có gối tựa đàn hồi trung gian, đặc biệt là cầu Trong bài toán động, thường sử dụng cho kết cấu với mọi điều kiện biên nhưng không có gối tựa rời rạc Thường có số lượng phương trình nhiều

và ma trận có dải rộng (bandwith) tương

đối lớn Có thể không tìm được lời giải

vì giới hạn của các công cụ tính toán

Số lượng phương trình ít hơn và ma trận có dải hẹp, đặc biệt đúng cho bài toán có cặp gối tựa đối nhau Do đó thời gian tính toán ít hơn nhiều để tìm ra lời giải tương đối chính xác

Số lượng dữ kiện đưa vào rất lớn và dễ

gây ra các lỗi lầm Đòi hỏi sự tự động

hoá việc phủ lưới và phát sinh tải trọng

Số lượng dữ kiện đưa vào rất ít vì các đường lưới ít do việc giảm kích thước bài toán phân tích

Số lượng dữ liệu xuất ra lớn bao gồm tất

cả các chuyển vị nút và ứng suất phần

tử Các phần tử bậc thấp hơn sẽ không

có được ứng suất chính xác tại các nút

và ứng suất trung bình được nội suy

Dễ dàng chỉ rõ các chuyển vị và ứng suất cần tìm và xuất ra kết quả một cách chính xác

Đòi hỏi một số lượng lớn các yếu tố cốt

lõi và rất khó khăn để lập trình Thông

thường cần có những kỹ thuật tính cao

phải dùng đến như phương pháp thu gọn

khối lượng hay phương pháp lặp để

giảm các yêu cầu chính

Cần một số nhỏ các yếu tố cốt lõi và dễ lập trình hơn Bởi vì chỉ cần một vài trị riêng thấp nhất nên từ 2 đến 3 số hạng đầu tiên của chuỗi cũng cho kết quả khá chính xác, có thể giải các ma trận bằng các ma trận con trị riêng chuẩn

1.3 Quá trình phát triển của FSM trên thế giới

FSM là phương pháp mới được nghiên cứu gần đây và ứng dụng nhiều trong lĩnh vực phân tích kết cấu :

Phương pháp FSM lần đầu tiên được nghiên cứu một cách có hệ thống do giáo

sư Y K Cheung biên soạn và xuất bản vào các năm 19681 và năm 19712 Đến năm

1976 đã hoàn thành một tài liệu nghiên cứu khá chi tiết về FSM3 và ứng dụng của phương pháp trong phân tích các loại kết cấu

Tháng 2/1997 tác giả Dr Eng Christo T Christov đã báo cáo một vấn đề về phương pháp dải hữu hạn trong phân tích bài toán tĩnh đàn hồi tuyến tính của kết cấu vỏ lăng trụ phức tạp trực hướng (complex prismatic orthotropic shell structure) và sử dụng phương pháp FSM trong bài toán này

Tháng 12/1999 tác giả J Petrolito của trường đại học quốc gia Australia cùng cộng sự B.W Golley đã công bố một bài báo về vấn đề phân tích dao động của bài toán tấm dày chịu uốn sử dụng phương pháp FEM và FSM kết hợp

Luận án tiến sĩ của nghiên cứu sinh X Wang nghiên cứu về đề tài “Thiết lập dải hữu hạn phân tích về độ bền, độ ổn định của tấm sàn được gia cố4” nghiên cứu về kết cấu tường mỏng (thin-wall structure), sàn gia cường đã sử dụng phương pháp FSM để khảo sát

Phần mềm DESCUS (Design anh rating for Curved Steel I and box girder bridge structures) của trường đại học Maryland ứng dụng phương pháp FSM trong tính toán cầu dầm hộp và dầm thép I

Ở Việt Nam, phương pháp FSM vẫn còn khá mới mẻ, hầu như những nghiên cứu gần đây chỉ mới là bước đầu do sự thiếu thốn về tài liệu và các điều kiện nghiên cứu Trong tính toán kết cấu cầu dầm hộp, một số các đơn vị thiết kế trong nước vẫn sử dụng các phần mềm áp dụng phương pháp FEM như Sap2000, Leap5.0 mà không ứng dụng kết quả tính toán của FSM

Đề tài “Phân tích kết cấu tấm và ứng dụng trong kết cấu cầu dầm hộp” của Phạm Sanh (Đại học Bách khoa Thành phố Hồ Chí Minh) sẽ được bảo vệ trong thời gian tới là đề tài nghiên cứu phương pháp dải hữu hạn và ứng dụng của nó

1 “Finite Strip Method In The Analysis Of Elastic Plates With Two Opposite Ends” (5/1968) và “Finite Strip Method Analysis Of Elastic Slabs” (12/1968)

2 “Orthotropic Right Brigdes by Finite Strip Method” (1971)

3 “Finite Strip Method in Structural Analysis” (1976)

4 “Finite Strip Formulations for Strength, Buckling and Post-Buckling Analysis of Stiffened Plates”

CHƯƠNG II

CƠ SỞ LÝ THUYẾT VÀ CÁC BƯỚC PHÂN TÍCH BÀI TOÁN CỦA

PHƯƠNG PHÁP DẢI HỮU HẠN

2.1 LỰA CHỌN HÀM CHUYỂN VỊ

Việc chọn hàm chuyển vị cho các dải trong FSM tương tự như việc chọn hàm xấp xỉ cho phần tử trong FEM Từ các công thức (1.1a,b,c) có thể thấy rằng việc lựa chọn hàm chuyển vị cho một dải là phần quyết định nhất của việc phân tích Để đảm bảo sự hội tụ đến kết quả chính xác, hàm chuyển vị cần phải thỏa mãn những điều kiện sau đây:

(i) Phần chuỗi Y m của hàm chuyển vị phải thỏa mãn một điều kiện tiên quyết về điều kiện biên của dải (trong bài toán dao động chỉ điều kiện chuyển vị phải thỏa mãn) Ví dụ, một dải chịu uốn tựa đơn, hàm chuyển vị phải thỏa mãn cả hai điều

kiện độ võng w và momen ∂ 2 w/∂y 2 bằng 0 tại hai đầu Như vậy khi chọn hàm chuyển

vị ta đã áp đặt điều kiện biên của kết cấu vào trong công thức của hàm chuyển vị

Do đó khi thành lập các phương trình cơ bản của kết cấu, điều kiện biên sẽ tự động thỏa mãn

(ii) Phần đa thức của hàm chuyển vị (f m (x)) phải được đại diện cho một giai đoạn của biến dạng hằng số theo phương ngang (x) Nếu điều này không thỏa thì

biến dạng sẽ không hội tụ về sự phân phối biến dạng đúng trong khi lưới được chia

càng nhỏ Đa thức (f m (x)) chính là phần hàm dạng mô tả xấp xỉ trường chuyển vị theo

phương x (mặt cắt ngang của dải)

Điều kiện về biến dạng hằng số có thể được kiểm tra bằng 1 trong 2 cách sau:

(a) Nếu chuỗi đa thức f(x) có dạng a 1 + a 2 x + a 3 x 2 + … thì biến dạng hằng số sẽ

tồn tại ở bậc bằng hoặc cao hơn bậc của một số hạng hằng số thật sự đạt được khi thực hiện tính toán đạo hàm cần thiết cho biến dạng Ví dụ, trong trường hợp dải chịu

uốn đa thức phải đạt đến ít nhất số hạng bậc 2 Nếu hàm đa thức được chọn a 1 + a 2 x + a 3 x 3 + a 4 x 4 thì độ cong uốn theo phương ngang:

2 4 3

2

2

12

6a x a x x

(b) Nếu f(x) sử dụng hàm dạng (ta sẽ xét phần hàm dạng sau) chưa thể kết luận

hàm đa thức có thể sử dụng được hay không hoặc phải sử dụng đến một cách xấp xỉ khác

Nhìn chung các thông số chuyển vị nút của dải biến dạng sẽ nhận một giá trị tùy ý mang theo mối quan hệ không cố định với giá trị khác Tuy nhiên, trong trường hợp như bài toán uốn trụ, cắt thuần tuý…, các thông số chuyển vị nút sẽ liên hệ với các thông số khác trong một vài ứng xử đặc biệt nhận một vài giá trị quy định Nếu một tập hợp các thông số tương thích với một điều kiện cưỡng bức được thay thế vào trong hàm chuyển vị, hằng số biến dạng thật sự đạt được nếu hàm dạng được thành lập chính xác và ứng xử tốt

Ví dụ, hàm chuyển vị cho dải tấm chịu uốn được cho bởi:

=

−+

−++

−++

m

w x x w

f

1

2 2

2 3 2 1

2 1

3 2

232

23

trong đó x =x/b, b là bề rộng dải

Cho w1m = w2m = 0 và θ1m = -θ2m, một giai đoạn của độ cong hằng số theo phương x có thể tìm được Nếu các thông số chuyển vị nút này được thay thế vào (1.1) ta có:

w

1 1 2

2

2θ

Vì vậy biến dạng uốn hằng số theo phương x là thật sự tồn tại

(iii) hàm chuyển vị phải thỏa mãn sự tương thích của chuyển vị dọc theo biên với những dải lận cận, và điều này bao gồm sự liên tục của đạo hàm riêng phần bậc nhất cũng như giá trị chuyển vị

Phát biểu trên đây còn có thể nói một cách khác như sau “hàm chuyển vị phải được chọn sao cho những biến dạng cần thiết đưa vào công thức năng lượng vẫn phải hữu hạn tại các giao diện giữa các dải”

Vì vậy trong bài toán đàn hồi 2 chiều, biến dạng bao gồm các đạo hàm riêng phần bậc nhất cho nên chỉ những chuyển vị cần thiết phải liên tục Mặt khác, trong những bài toán uốn, biến dạng bao gồm cả đạo hàm riêng phần cấp 2 và cả chuyển

vị và đạo hàm riêng phần cấp 1 của nó phải liên tục tại các giao diện

Nếu các điều kiện như vậy được thỏa mãn thì sẽ không có biến dạng vô hạn tại các giao diện và vì vậy không có sự góp phần vào công thức năng lượng từ các giao diện, mà có thể xem như một dải hẹp có diện tích hội tụ đến 0 Chỉ bằng cách này, chúng ta mới đảm bảo rằng sự tổng hợp đơn giản của tổng thế năng của tất cả các dải sẽ thật sự bằng với tổng thế năng của vật thể đàn hồi Tổng thế năng của đại

diện các dải như vậy luôn cung cấp một năng lượng xấp xỉ lớn hơn giá trị thật sự vì thế đưa ra một biên tổng thế năng tuyệt đối cho hệ đàn hồi

2.2 THÀNH LẬP CÁC HÀM CHUYỂN VỊ

Đối với FEM, bậc tự do của nút chính là giá trị của hàm xấp xỉ tại nút và các đa thức xấp xỉ được biểu diễn qua vectơ các bậc tự do của phần tử Tương tự như vậy, FSM cũng biểu diễn các hàm chuyển vị qua các thông số của đường nút

Các hàm chuyển vị luôn được tạo thành từ 02 phần :

Đa thức f m (x) bị chi phối bởi hình dạng mặt cắt ngang của dải (như đường thẳng,

tam giác…) cũng như sự sắp xếp các nút bên trong mặt cắt ngang

Chuỗi Y m được xác định bởi các điều kiện biên Dưới đây chúng ta sẽ khảo sát riêng mỗi phần của hàm chuyển vị

2.2.1 Phần chuỗi của hàm chuyển vị

Vì dải có dạng hình học gần như một thanh dầm chịu uốn nên cách chung nhất là sử dụng hàm cơ bản thường đi từ nghiệm của phương trình đạo vi phân chủ đạo của bài toán dầm chịu uốn

Y a

4 ) 4 ( =µ (2.2) trong đó a là chiều dài của dầm (dải) và µ là thông số

Dạng tổng quát nghiệm của phương trình cơ bản (2.2) là:

a

y C

a

y C

a

y C

y

coshsinh

cossin

)

với các hệ số C1 C2… được xác định từ điều kiện biên

Ta sẽ xem xét các điều kiện biên khác nhau của dải:

(a) Cả hai gối tựa đơn

Điều kiện Y(0)=Y ''(0) =Y(a)=Y ''(a)=0 (chuyển vị và momen bằng 0)

π π π µ

µ

m a

y y

(b) Cả hai đầu ngàm

Điều kiện Y(0)=Y'(0)=Y(a)=Y'(a)=0 (chuyển vị và góc xoay bằng 0)

y a

y a

y y

coshcos

sinhsin

)

trong đó

m m

m m

µ µ

α

coshcos

sinhsin

5,2

m

(c) Một đầu ngàm, một đầu tựa đơn

y y

m m

m

µ α

µ

sinhsin

9,4

m (d) Cả hai đầu tự do

Điều kiện Y''(0)=Y ''(0)=Y ''(a)=Y ''(a)=0 (momen và lực cắt bằng 0)

y a

y a

y y

Y

a y y

Y

y

Y

m m

m m

m m

µ µ

α µ

µ µ µ

coshcos

sinhsin

)

(

1,

/21)

(

0,

1)

(

2 2

1 1

(2.4d)

trong đó

m m

m m

µ µ

α

coshcos

sinhsin

5,2

y a

y a

y y

coshcos

sinhsin

)

trong đó

m m

m m

µ µ

α

coshcos

sinhsin

3,2

m (f) Một đầu tựa đơn, một đầu tự do

y y

Y

a y y Y

m m

m m

µ α

µ

µ

sinhsin

)(

1,

/)

9,4

Những hàm trên đây trước hết được dùng cho dải uốn Trong bài toán đàn hồi 2

và 3 chiều, cả Y m và Y’ m sẽ được dùng cho cả chuyển vị u,v (và w) Chúng ta sẽ xét

riêng bài toán phẳng của lý thuyết đàn hồi vì có thể sử dụng các hàm chuyển vị khác với các hàm đã nêu nhưng vẫn đảm bảo tính chính xác

Những hàm cơ bản này có tính chất trị trực giao:

a n m

dy Y Y

dy Y Y

0

'' '' 0

2.2.2 Phần hàm dạng của hàm chuyển vị

Hàm dạng là một đa thức liên kết với thông số chuyển vị nút, và nó mô tả trường chuyển vị tương ứng bên trong mặt cắt ngang của dải khi thông số chuyển vị nút được cho bằng đơn vị Thật ra nhiều hàm dạng được bắt đầu từ việc chỉ định rõ giá trị đơn vị được tuyến tính hóa của thành phần chuyển vị phù hợp tại các chính các nút của dải đó, và giá trị bằng 0 cho tất cả các thành phần chuyển vị đó tại tất cả các nút khác

m

C Y Y

C C w

2

1 2

1 2

Từ (2.1) và (2.6), ta thấy tại x = 0 có:

[ ][ ]

[C1 C2 ] [= 1000] [ ] [ ] [1 2 = 1000]

tại x = b

[ ][ ] [C1 C2 ] [= 0010]

Vì vậy thỏa mãn các tiêu chuẩn đã phát biểu

Mục đích chính của việc sử dụng hàm dạng trực tiếp thay vì sử dụng hàm đa thức với các hằng số không xác định là hai phần :

• Để tránh quá trình dài dòng của việc liên hệ các hằng số không xác định với các thông số chuyển vị nút

• Để đảm bảo rằng có sự tương thích của những chuyển vị dọc theo giao diện của các dải nối tiếp

Phát biểu đầu tiên rõ ràng là đúng và chấp nhận được Điểm thứ hai có thể được giải thích tốt nhất bằng cách chú ý rằng những chuyển vị dọc theo bất cứ giao diện nào của các dải nối tiếp được xác định một cách duy nhất bởi các thông số chuyển vị tại một nút (hoặc các nút) chung của các dải, từ sự định nghĩa hàm dạng cho các thông số chuyển vị của các nút khác sẽ chấp nhận giá trị 0 tại giao diện đã nói Đối với FEM, có thể xem hàm dạng này là hàm dạng của các phần tử bậc cao Bậc của hàm dạng phụ thuộc vào việc sử dụng các loại phần tử dải và các thông số của đường nút Nhiều hàm dạng đã lập sẵn, và những hàm dạng thông thường sẽ được liệt kê dưới đây:

Bậc tự do của đường nút được ký hiệu trên hình vẽ (H.2-1) như sau:

−

=

x x x x x C

x x x x x C

2 3 2 2

2 3

2 1

,23

21,231

−+

−

=

−+

−

−+

−

−+

−

=

3 2

2 4 3 2 5

4 3

2

3 2

2 4 3 2 5

4 3

1

5.05

.0,374,61510

5.05.15.15.0,3861,61510

1

x x

x x x x x x x x x

C

x x

x x

x x x x x x x

)44(

)231(

2 3

2 2

2 1

x x C

x x C

x x C

−

−+

−

=

+

−+

−+

−

=

+

−+

−+

−+

−

=

4 3 2 5

4 3

2 3

4 3

2 4

3 2

2

4 3 2

5 4

3 2

1

485,

2452

347

164032

8,1632

16

41213

61,2468

6623

1

x x x x x x x

x x

C

x x

x x x x x

x C

x x x

x x x x

x x

C

(2.7e)

(f) tam giác với 6 nút, chỉ có chuyển vị

1-các nút góc:

trong đó L i là tọa độ diện tích

Một công thức rất hữu ích cho việc tích phân một số lượng lớn tọa độ diện tích của diện tích tam giác:

+++

)!

2(

!

!

!

3 2 1

c b a

c b a dxdy

L L

L a b c

trong đó ∆ là diện tích tam giác

(g) tứ giác cong đẳng tham số với 8 nút; chỉ có chuyển vị

1-Các nút góc:

)1)(

1)(

1(

4

1

0 0 0

1(

1(

với ξ0 =ξξ i,η0 =ηη i , ξ i và η i là tọa độ ξ và η của nút thứ i

Ta sẽ xem xét cách tìm hàm dạng cho từng trường hợp cụ thể Thường có hai

phương pháp tìm là cách nghịch đảo trực tiếp ma trận biểu diễn hàm f qua các thông số nút f i hoặc dùng phép kiểm tra các hàm thử Dưới đây sẽ trình bày 2 cách tìm này

ứng với trường hợp (d) ở trên Đối với các trường hợp khác cách tìm hàm dạng cũng tiến hành tương tự

(i) Đa thức đơn giản và phép nghịch đảo trực tiếp

Có 3 bậc tự do cho trường hợp (d), và vì lý do đó một đa thức bậc 2 với 3 hằng số chưa xác định sẽ thích hợp cho việc mô tả chuyển vị

2 3 2

1 2

1

A A

A x x

2 2

3 2 1

2 3 3

2 2 2

2 1 1

3 2 1

1

421

0011

11

A A A

b b

b b A

A A

x x

x x

x x

f f

f

(2.10)

Với x i là tọa độ của nút thứ i Ta có x1 =0;x2 =b/2;x3 =b;

trong đó f i là giá trị của f tại 3 nút

Các hằng số { }A có thể được biểu diễn qua các số hạng thông số nút f i bằng cách nghịch đảo (2.10) Có thể tính toán bằng số với máy tính hay tính bằng phương pháp đại số

Khai triển biểu thức (2.10) ở dạng tường minh như sau:

2 3 2 1 3

2 3 2

1 2

1 1

42

b A b A A f

b A

b A A f

A f

++

=

++

=

=

(2.10a) Biểu diễn các hằng số { }A theo f i ta có:

( 1 2 3)

2 3

3 2 1 2

1 1

22

431

f f f b A

f f f b A

f A

+

−

=

−+

2 2 2 3

2 1

242

143

001

f f f

b b b

b b b A

2 2 2

2

242

143

0011

f f f

b b b

b b b x x

2 2

2 2

2

2,

44,231

f f f b

x b

x b

x b

x b

x b

x f

−

−+

−

=

3 2 1 3 2 1 3

2

1 2 2

2

2,

44,23

1

f f

f C C C f

f

f x x x x x

3 2 2

2

và x =x/b

Vì vậy hàm dạng của (2.8d) đã được đạt đến bằng cách giả sử một đa thức đơn giản và qua các bước tính toán kế tiếp của quá trình liên kết các hằng số chưa xác định với các thông số nút

Trong những trường hợp đơn giản, cách làm trên đây tương đối nhanh và dễ thực hiện Trong những trường hợp phức tạp, quá trình nghịch đảo ma trận đại số diễn giải trong công thức (2.10) trở nên dài dòng và khó khăn, đôi khi không thực hiện được Vì vậy phương pháp thành lập công thức trực tiếp của hàm dạng bằng cách kiểm tra các hàm thử thường có nhiều lợi thế hơn Phần (ii) sẽ trình bày cách thành lập công thức trực tiếp của hàm dạng Ngoài ra trong một số trường hợp ma trận nghịch đảo không tồn tại nên không thể áp dụng phương pháp trên

(ii) Cách thành lập công thức trực tiếp của hàm dạng

Trong phương pháp gần đúng trực tiếp này, đa thức Larange và Hermitian đã được dùng để tạo ra những họ hàm dạng đặc biệt Tuy nhiên trong trường hợp tổng quát, những hàm dạng thường nhận được một cách đơn giản bằng cách kiểm tra Lại lấy trường hợp (d) làm một ví dụ Sự tương thích đòi hỏi nó cần thiết phải thỏa mãn các điều kiện sau:

Tại nút 1 C1 = 1 (2.13a)

Tại nút 2 và 3 C1 = 0 (2.13b)

…

Những hàm nội suy tuyến tính được dùng như một nền tảng và được kết nối bằng nhiều cách để các điều kiện biên đặt ra trước trong (2.13) có thể được nhận thấy Quá trình xây dựng hàm dạng thích hợp được tóm tắt trong bảng 2.1 Như vậy các hàm tuyến tính có giá trị bằng 0 tại một nút nào đó sẽ gây ra việc hàm liên kết có giá trị bằng 0 tại nút đó

Bảng 2.1 Xây dựng hàm dạng cho trường hợp (d) bằng cách trực tiếp

Không Không

C1

b

x b

x

211

21

( )x

x b

x b

0 -1

C3

x b

x b

x

21

2.3 THÀNH LẬP CÁC PHƯƠNG TRÌNH CƠ BẢN CỦA FSM BẰNG NGUYÊN LÝ THẾ NĂNG TOÀN PHẦN DỪNG

Thành lập công thức các phương trình cơ bản của dải được thực hiện dựa trên nguyên lý thế năng toàn phần dừng đã được biết đến trong cơ học kết cấu Nguyên lý này phát biểu như sau: “trong tất cả các chuyển vị tương thích thỏa mãn các điều kiện biên, chuyển vị nào làm thỏa mãn phương trình cân bằng sẽ làm cho tổng thế năng đạt giá trị dừng”

Về mặt toán học có thể viết như sau:

{ }

{ } { } { }0

Trong đó tổng thế năng φ được định nghĩa là tổng thế năng của ngoại lực W và năng lượng biến dạng U { }∂ m là vectơ thông số chuyển vị đường nút tại tất cả các đường nút cho số hạng thứ m của chuỗi Phương trình (2.14) có thể được làm sáng tỏ như phương pháp gần đúng Raleigh-Ritz ứng dụng để phân tích đàn hồi

2.3.1 Các hàm chuyển vị

Dạng chung của hàm chuyển vị có thể được viết như sau:

m m r

m

m m

C Y Y

C C f

1 1 1

2 1 2

k

r

m

m m m

k m

N f

δ

trong đó k = 1, 2, …, s là số đường nút

Có thể xem ma trận [ ]N là ma trận các hàm dạng đã được liên kết với phần chuỗi của hàm chuyển vị

Trong trường hợp dải ứng suất phẳng với 2 đường nút u và v như các thông số

chuyển vị nút, phương trình sau đây được áp dụng:

s v

u

(2.17)

2.3.2 Biến dạng

Một hàm chuyển vị được biết có thể thu được biến dạng bằng phép lấy đạo

hàm với các biến tọa độ thích hợp x, y, hay z Vì vậy:

k

m k m k m

B B

δ δ

δ

Trong công thức này, biến dạng thật ra là biến dạng được tổng quát hóa bao gồm biến dạng cắt và biến dạng thông thường cũng như độ cong uốn và xoắn Ma

trận [B] được xem là ma trận biến dạng

Ví dụ, trong trường hợp dải uốn, ta có:

xy y x

2 2 2 2 2

2

2χ χ χ

Vì vậy:

[ ]

[ ] [ ] [ ]

B

2 2 2 2 2

xy y x

ε ε

k

m k m k r

m

m

B D B

D D

1

δ δ

δ ε

01

01

)1(

3

ν ν

ν ν

01

01

)1

ν ν

E

Trong phạm vi hiện tại, thuật ngữ ứng suất suy rộng bao gồm các ứng suất

thông thường và ứng suất tiếp gồm có momen uốn, momen xoắn và các lực cắt 2.3.4 Cực tiểu tổng thế năng

(a) Thế năng biến dạng

Thế năng biến dạng của một vật thể đàn hồi được cho bởi công thức:

(b) Thế năng do ngoại lực

Thế năng do ngoại lực { }q có thể viết dưới dạng:

(c) Tổng thế năng

Như đã phát biểu ở trên, tổng thế năng bao gồm thế năng biến dạng đàn hồi tích lũy trong quá trình biến dạng và công của ngoại lực sinh ra trên các chuyển dời của ngoại lực do vật thể biến dạng Vì vậy ta có:

{ } [ ] [ ][ ]B D B{ }dV { } [ ]N { }q dA W

(d) Quá trình cực tiểu hóa thế năng

Theo nguyên lý tổng thế năng toàn phần dừng, cần có:

[ ] [ ] [ ][ ]S =∫ B T D B dV =∫ [ [ ] [ ] [ ]B 1 B 2 B r] [ ][ ] [ ] [ ]T D[B 1 B 2 B r]dV

[ ] [ ][ ] [ ] [ ][ ] [ ] [ ][ ] [ ] [ ][ ] [ ] [ ][ ] [ ] [ ][ ] [ ] [ ][ ] [ ] [ ][ ] [ ] [ ][ ]

dV B D B B

D B B D B

B D B B

D B B D B

B D B B

D B B D B

r T

r T

r T

r

r T

T T

r T

T T

1

2 2

2 1 2

1 2

1 1 1

r

r r

S S

S

S S

S

S S

S S

2 22

21

1 12

11

(2.29b)

với [ ]S mn =∫ [ ] [ ][ ]B T m D B n dV (2.30) Phương trình (2.30) có thể định nghĩa tốt hơn theo tổng số đường nút s bên trong mỗi dải:

[ ]

[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]s s [ ]ss mn

s s

S S

S

S S

S

S S

S S

2 22

21

1 12

11

(2.31)

Trong đó chỉ số i, j chỉ đường nút thứ i và thứ j

Cuối cùng, từ (2.18) có thể viết :

[ ]S =∫ [ ] [ ]B D[ ]B dV

n j T m i mn

{ }q dA N

N

N dA

q N F

T r

T T

{ }F m =∫ [ ]N T m{ }q dA (2.34)

Tương tự như cách thành lập ma trận độ cứng, ta cũng có:

{ }

{ } { } { }

[ ] [ ] [ ]

F

F F F

T m s

T m

T m

m s

m m

2

1 2

1

(2.35)

Vì vậy

{ }F i m =∫ [ ]N i T m{ }q dA (2.36) Một số lượng lớn tích phân gồm rất nhiều các tích phân xuất hiện trong khi khai triển (2.32) và (2.36) Theo lý thuyết tất cả các tích phân này có thể tích phân bằng phương pháp giải tích Vì vậy nguyên tắc chung là các ma trận hệ số có tích phân đơn giản sẽ được cho những nghiệm gần đúng, trong khi các tích phân phức tạp thường được tính bằng phương pháp số trên máy tính, sử dụng các phương pháp tích phân số như tích phân cầu phương Gauss…

2.4 TRÌNH TỰ PHÂN TÍCH BÀI TOÁN BẰNG FSM

Từ các phân tích trên đây của phương pháp, FSM đòi hỏi sự rời rạc hóa của môi trường liên tục để chỉ còn lại một số hữu hạn các biến hiện hữu trong kết quả tính, và chấp nhận những giả thiết sau đây:

• Vật thể liên tục được chia thành các dải (lăng trụ, lớp) bằng các đường hay bề mặt ảo Biên của dải luôn tạo thành một phần đường biên của vật thể liên tục

• Các dải được giả sử rằng nối kết với nhau với các dải khác bằng một số rời rạc các nút nằm trên một đường thẳng (nodal line) Các đường nút này trùng lặp với nhau trên đường biên dọc của dải Trong một vài trường hợp có thể sử dụng các đường nút bên trong dải để đạt đến dải có bậc cao hơn Các thông số chuyển vị của đường nút được liên kết thông thường với chuyển vị và đạo hàm riêng phần bậc nhất của chuyển vị (góc xoay) với biến đa thức x theo phương ngang được gọi là bậc tự do tại các đường nút Chúng còn có thể là các số hạng phi chuyển vị (non-displacement) như các loại biến dạng (biến dạng, lực cắt, độ võng, độ xoắn) FSM sử dụng các hàm liên tục theo phương dọc nên bậc tự do tại các nút thường ít hơn so với bậc tự do của các phần tử trong FEM

• Một hay nhiều hàm chuyển vị trong những số hạng của các thông số chuyển vị nút được chọn để đại diện cho trường chuyển vị và trường ứng suất và biến dạng bên trong phần tử (bao gồm các ứng suất trực tiếp, ứng suất cắt, độ cong, momen xoắn)

• Dựa trên hàm chuyển vị được chọn, từ phương trình cân bằng với tải tác dụng lên trên dải (lực tập trung hoặc phân bố) có thể tìm được ma trận độ cứng và ma trận vectơ tải bằng nguyên lý công ảo hoặc nguyên lý tổng thế năng toàn phần dừng

• Ma trận độ cứng và ma trận tải trọng tổng thể được tập hợp từ các ma trận của từng dải Thông thường kích thước ma trận nhỏ và có dạng ma trận dải (band matrix) có thể giải được bằng các kỹ thuật giải ma trận chuẩn để tìm

ra các thông số chuyển vị nút

Các bước tiến hành

Bước 1: Chia miền khảo sát thành các dải liên kết với nhau ở các đường nút Miền V

của vật thể được chia thành hữu hạn các miền con Ve Đối với FSM, miền con Ve là các dải có dạng giống nhau trên toàn miền V để thuận tiện cho việc tính toán và có dạng hình học đơn giản đã được khảo sát trước

Bước 2: Chọn hàm chuyển vị thích hợp cho phần tử Việc chọn hàm chuyển vị này

phụ thuộc vào điều kiện biên liên kết của dải ma ta đã khảo sát bên trên Hàm chuyển vị là tích số của phần hàm dạng và phần chuỗi

Biểu diễn hàm chuyển vị theo tập hợp các giá trị thông số của đường nút (có thể bao gồm cả đạo hàm của nó tại các đường nút) của từng dải

Bước 3: Tính toán ma trận độ cứng và vectơ tải của từng dải

Bước 4: ghép nối các dải để nhận được hệ thống phương trình để giải:

[ ]S { } { }δ = F

Trong đó

[ ]S : ma trận độ cứng tổng thể của kết cấu

{ }δ : vectơ thông số chuyển vị nút tổng thể

{ }F : vectơ tải trọng tổng thể

Bước 5: Thực hiện giải hệ thống phương trình đại số đã lập ở bước 4 tìm được [ ]δ

Bước 6: Tìm ứng suất và chuyển vị của tất cả các phần tử

Để rõ hơn về phương pháp FSM, dưới đây ta sẽ xét bài toán tấm chịu uốn và bài toán phẳng của lý thuyết đàn hồi và ứng dụng của nó

2.5 PHƯƠNG PHÁP FSM VỚI BÀI TOÁN TẤM CHỊU UỐN

Đối với bài toán tấm chịu uốn, phương pháp FSM làm giảm số ẩn số cần tìm rất nhiều so với phương pháp FEM Do vậy thời gian giải quyết bài toán được rút ngắn một cách đáng kể thậm chí có thể giải bằng tay thông thường Dưới đây sẽ trình bày

cơ sở lý thuyết thành lập các ma trận độ cứng, vectơ tải phần tử… của các loại dải khác nhau

2.5.1 Dải uốn hình chữ nhật

(a) Hàm chuyển vị

Ta khảo sát dải chữ nhật có 2 đường nút Mỗi đường nút chuyển vị tự do theo phương z và xoay quanh trục y Như vậy mỗi đường nút có 2 bậc tự do và dải có 4 bậc tự do Thông số của đường nút chỉ là các chuyển vị và góc xoay nên dải trên được gọi là dải bậc thấp với 2 đường nút (Lower Order Rectangular Strip – LO2) Hàm chuyển vị có thể được viết:

−

=

x x x x x C

x x x x x C

2 3 2 2

2 3

2 1

,23

21,231

Các thông số của đường nút là:

m m m m T

m w1 θ1 w2 θ2

w m và θ m là chuyển vị và góc xoay cho số hạng thứ m của chuỗi Y m

Đối với bài toán tĩnh, Y m chỉ được dùng đúng trong các trường hợp (2.7a), (2.7b), (2.7c) Trong bài toán dao động có thể dùng tất cả 6 trường hợp đã nêu

(b) Biến dạng

Với bài toán uốn, biến dạng ở đây là độ cong trong mặt phẳng chịu uốn Khi đã sử dụng hàm chuyển vị, việc tính độ cong rất đơn giản bằng cách lấy đạo hàm theo lý thuyết tấm như sau:

{ }

[ ] [ ] [ ]

r

m

m m m

xy y

x

B

y x N y N x N

y x w y w x w

1 1

2 2 2 2 2

2 2 2 2 2

22

2

δ δ

χ χ χ

Như vậy từ cách định nghĩa như trên ta có thể tính [ ]B m:

−+

−

−+

−

−

+

−+

' 2 '

2 '

2

'' 2 ''

3 2 ''

2 ''

3 2

2 2

2326

6

23

4126

62

232

12

31

13

22

1

63

2

22

16

m m

m m

m m

m m

m m

m m

m

Y x x Y

x x b Y x x Y

x x b

Y x x x Y

x x Y

x x x Y

x x

Y x b Y x b

Y x b

Y x b

y

x

B D D

M M M

1

δ ε

D

D D

D D D

00

(12

;)1

(12

3 3

y x

y y

y x

x x

v v

t E D

v v

t E D

x

y x

v v

t E v v

v

t E v D

12

3 3

E x, y, x, y, là các hằng số đàn hồi, t là bề dày chịu uốn của tấm

Với trường hợp tấm chịu uốn đẳng hướng ta có:

)1(2

;

;

v

E G

v v v E E

(d) Ma trận độ cứng phần tử

Từ công thức (2.29) và (2.30) ta tính được ma trận độ cứng của phần tử Với phần tử dải chịu uốn ta có:

[ ]S mn =∫ [ ] [ ][ ]B T m D B n dA

Thay các công thức tính [ ]B m và [ ]D và thực hiện tích phân ta tìm được dạng tổng quát ma trận độ cứng phần tử của dải chữ nhật chịu uốn:

2 4

4 3

1 2 2

1 2 1

D b I

D b I

D b I

D b

3 4

5 3

1 3 2

1 3 1

D b I

D b I

D b I

bD b

2 4

4 3

1 2 2

1 2 1

D b I

D b I

D b I

D b

3 4

5 3 1 3 2

1 3 1

D b I D b I

D b I

bD b

3 4

5 2

1 3 3

1 3 1

D b I

D b I

D b I

bD b

4 4

6 3 1 4 2

1 4 1

2 3

420

1

I D b I

D b I D b I

D b I D b b

3 4

5 3 1 3 2

1 3 1

D b I

D b I

D b I

bD b

4 4

6 3 1 4 2

1 4 1 2 3

420

1

I D b I

D b I D b I

D b I D b b

2 4

4 2

1 2 3

1 2 1

D b I

D b I

D b I

bD b

3 4

5 2

1 3 3

1 3 1

D b I

D b I

D b I

bD b

2 4

4 3

1 2 2

1 2 1

D b I

D b I

D b I

D b

3 4

5 3

1 3 2

1 3 1

D b I

D b I

D b I

bD b

3 4

5 2 1 3 3

1 3 1

D b I D b I

D b I

bD b

4 4

6 2 1 4 3

1 4 1 2 3

420

1

I D b I

D b I D b I

D b I D b b

3 4

5 3

1 3 2

1 3 1

D b I

D b I

D b I

bD b

4 4

6 3 1 4 2

1 4 1

2 3

420

1

I D b I

D b I D b I

D b I D b b

a n m a

n m a

n m a

n m a

n

Y I

0

' ' 5 0

'' '' 4 0

'' 3

0

'' 2 0

vì tính chất hàm trực giao nên với m≠ n,I1 = I4 =0

Ta xét riêng trường hợp dải chịu uốn tựa đơn Hàm chuyển vị được chọn như phương trình (2.4a):

y k a

y m

y k k

4 =∫a Y m Y n dy =

I

0sin

sin

0 2 0

''

a n

Y I

0cos

sin

0 2 0

''

a n

Y I

0cos

cos

0 0

' '

a n

Y I

Vậy dạng tổng quát của ma trận độ cứng phần tử ứng với trường hợp tựa đơn được rút ra từ công thức (2.29b):

S S

22 11

Thay vào công thức tính [ ]S ij mn ta tính được giá trị thành phần của ma trận độ cứng phần tử đơn giản hơn trong trường hợp dải uốn tựa đơn và có dạng ma trận đối xứng:

b

a D k b

a D k b

a D

k

ab S

S

3 1 2 2

4 33

11

65

65

1270

13

++

a D k

a S

S

420

113

55

2

2 1 2 12

b

a D k b

a D k b

a D

k

ab S

13 31

65

65

12140

=

=

[ ]mm [ ]mm m y m xy m D x

b

a D k

a D k

a D k

ab S

2 23

32

310

5840

ab D

k

ab D

k

ab S

15

215

4

2 2

4 3 44

b

a D k

a D k

a D k

ab S

2 14

41

310

5840

ab D k

ab D k

ab S

2 24

42

3015

8403

b

a D k

a D k

a D k

ab S

2 34

43

35

35

(e) Vectơ tải trọng phần tử

Ma trận tải trọng được cho bởi (2.36):

[ ]N { }q dxdy

N F

a b

T m

T m

T m

T m

b b b b

q dy Y dx C

C q F

0 2

2

(2.42)

Trong trường hợp tải trọng tập trung P c tại một điểm trên bề mặt của tấm có tọa độ x= x c ; y=y c, để xác định vectơ tải phần tử chỉ cần thay thế tọa độ của lực tập trung vào công thức trên và bỏ qua các tích phân, ta có:

c c

c c c

c c

c m c m

x x x

x x

x x x

x x y

Y P F

2

3 2

2

3 2

23

21

231

Vì sự phân phối momen theo phương ngang là tuyến tính nên khi xuất ra kết quả tại các đường nút sẽ dẫn đến momen tại điểm đặt lực tập trung theo FSM với phần tử LO2 nhỏ hơn so với momen thực tế Do vậy để khắc phục điều này ta sẽ xét đến dải có 3 đường nút (HO3) trong chương sau là dải bậc cao hơn

2.5.2 Dải uốn dạng cong

Dải chịu uốn dạng cong gặp rất nhiều trong thực tế Loại dải chịu uốn được xét

dưới đây là dải bậc thấp với 2 đường nút Khái niệm về dải bậc thấp đã được trình

bày ở trên

(a) Hàm chuyển vị

Để thuận tiện trong tọa độ cực, ta định nghĩa các biến số sau:

'

;2

b

r r R r r

m r

m

m

w w

r r

r r r

r

r r r

r

r r r

r

r r

r r

r r r r

r r r

r r

r

r r r

r

r r w

2 2 1 1

1

1 2

2 1 2

1 2

3 1 3

1 2 1 2

1 2 1

2 1 2

3 1 1

2

2 1 1

3

1 2 1 2

1 2 1

,2

3

,

2,

23

m

w

w R

R b R R

R R R b R R

w

1

2 2 1

1 2 3 3

2 3

2 3

2

24',4

14

3,4'

,4

14

31

N

1

δ (2.45)

(b) Ma trận độ cứng & vectơ tải phần tử

Biến dạng của tấm chịu uốn trong tọa độ cực được xác định:

{ }

[ ] [ ] [ ] [ ] [ ]

m m

m m

m

r

r

B N

r r

N r

r

N N

r r

r N

w r r

w r

r

w w r r

r w

2 2 2 2 2

2 2 2 2 2

12

111

2

112

δ δ

θ θ

θ θ

θ

θ χ

Ma trận [ ]B m nhận được khi thực hiện đạo hàm trong công thức trên:

b b

3'23

b

R b

2'

2

12

b b

3'23

b

R b

3'

R r R

R r

3'2

314

14

31

'' 3 2

2 21

R R

r R

R R r

1

'' 3 2

2 22

b

R b

R r R

R r

3'4

314

14

3

'' 3 2

2 23

R R r

R R r

24

2 24

3 2 2

' 2 31

44

312'

4

3'2

32

m m

m

R R r

b

R b

R r

' 2 32

4

'24

321

2

m m

m

R R R r

b R

R r

44

32'

4

3'2

32

m m

m

R R r b

R b

R r

24

'24

32

m m

m

R R r

b R

R r







+

r

B D B

D M

M M

1

δ ε

δ

θ θ

Trong đó ma trận tính chất [ ]

D D D

00

0

0

1 1

θ

Với D r,D θ lần lượt là độ cứng chống uốn theo phương r và θ, D k là độ cứng chống xoắn Với bề dày t là hằng số ta có:

( v v θ)

t E D

r

r

θ θ

v v

t E D

k θ

= ; D1 =v r D θ =v θ D r; Với vật liệu đẳng hướng, ta có:

Thực hiện tính toán tích phân như công thức trên, ta thu được dạng tổng quát của ma trận độ cứng phần tử và vectơ tải phần tử trong hệ tọa độ cực Thông thường không tìm được dạng tường minh của ma trận độ cứng trong trường hợp này Khi thực hiện tích phân sẽ xuất hiện số hạng n

r

/

1 nên thường được tính bằng tích phân số Do đó ma trận độ cứng phần tử dưới đây chỉ là dạng khai triển chỉ số của công thức trên:

[ ]S mn =

31 31

21 21

21 11

1

11 21

1

11

11

B B

22 21

22 11 1

11 21 1

12 11

B B D

B B D

B B D

B B D

B B D

33 31

21 21

23 11 1

13 21 1

13 11

B B D

B B D

B B D

B B D

B B D

34 31

24 21

24 11 1

14 21 1

14 11

B B D

B B D

B B D

B B D

B B D

31 32

21 22

21 12

1

11 22

1

11

12

B B

22 22

22 12 1

12 22 1

12 12

B B D

B B D

B B D

B B D

B B D

33 32

23 22

23 12 1

13 22 1

13 12

B B D

B B D

B B D

B B D

B B D

34 32

24 22

24 12 1

14 22 1

14 12

B B D

B B D

B B D

B B D

B B D

31 33

21 23

21 13

1

11 23

1

11

13

B B

22 23

22 13 1

12 23 1

12 13

B B D

B B D

B B D

B B D

B B D

33 33

23 23

23 13 1

31 23 1

13 13

B B D

B B D

B B D

B B D

B B D

34 33

24 23

24 13 1

14 23 1

14 13

B B D

B B D

B B D

B B D

B B D

31 34

21 24

21 14

1

11 24

1

11

14

B B

22 24

22 14 1

12 24 1

12 14

B B D

B B D

B B D

B B D

B B D

33 34

23 24

23 14 1

13 24 1

13 14

B B D

B B D

B B D

B B D

B B D

34 34

24 24

24 14 1

14 24 1

14 14

B B D

B B D

B B D

B B D

B B D

2.6 FSM VỚI BÀI TOÁN PHẲNG CỦA LÝ THUYẾT ĐÀN HỒI

Như đã biết bài toán phẳng trong lý thuyết đàn hồi gồm có 02 bài toán:

(a) Bài toán ứng suất phẳng

Khi vật thể có dạng tấm chịu tải trọng tác động nằm trong mặt phẳng tấm, phân bố đều theo bề dày tấm thì có thể xem như:

σ (trục z vuông góc với mặt phẳng tấm)

Các thành phần ứng suất khác không thay đổi theo bề dày tấm (không phụ thuộc vào z) Điều này chỉ đúng trong tường hợp tấm mỏng

Quan hệ ứng suất - biến dạng theo định luật Hooke:

{ }ε =[ ]C{ } { }σ + ε0

xy y x

γ σ

σ σ γ ε

01

01

1

ν ν

ν E

0 0 0

xy y

x

α γ

ε

ε ε

Hay ở dạng ngược:

ν ν

12

100

01

01

E D

Biến dạng theo phương z tồn tại:

(b) Bài toán biến dạng phẳng

Khi vật thể có dạng lăng trụ dài và có mặt cắt ngang không đổi theo chiều dài, chịu tải trọng đều vuông góc với trục z theo chiều dài, ta có:

z

ε

Các thành phần ứng suất và chuyển vị chỉ phụ thuộc vào hai biến x, y

Quan hệ ứng suất - biến dạng theo định luật Hooke:

=

200

01

01

1

ν ν

ν ν ν E C

=

01

11

ε

Ở dạng ngược

{ }σ =[ ]D( { } { }ε − ε0 )

ν ν ν ν

212

100

01

01

211

E D

Tồn tại ứng suất σ Z =−ν(σ x +σ y)−E α T

Như vậy đối với bài toán phẳng gồm tất cả 8 ẩn số gồm 3 thành phần ứng suất

σ x, σ y , τ xy ; 3 thành phần biến dạng ε x,ε y,γ xy; 2 thành phần chuyển vị u và v Ngoài ra có 8 phương trình gồm:

* 02 phương trình cân bằng:

0

0

=+

∂

∂+

∂

∂

=+

∂

∂+

∂

∂

Y y x

X y x

y xy

xy x

σ τ

τ σ

* 03 phương trình biến dạng – chuyển vị:

u

xy

∂

∂+

y

xy y

∂

2 2 2 2

* 03 phương trình quan hệ ứng suất – biến dạng theo định luật Hooke

Ngoài ra trường ứng suất phải thỏa mãn điều kiện cân bằng trên biên tĩnh học:

Y m l

X m l

y xy

xy x

=+

=+

σ τ

τ σ

và trường chuyển vị phải thỏa điều kiện chuyển vị trên biên động học:

v v u

Để giải quyết bài toán, người ta đưa vào khái niệm hàm ứng suất φ như sau:

y x x

Thay các biểu thức trên vào phương trình tương thích và biến đổi dẫn đến phương trình chủ đạo của bài toán phẳng:

0

4 2 2 4 4

4

=

∂

∂+

∂

∂

∂+

∂

∂

y y x x

φ φ

φ

Để giải quyết bài toán phẳng của lý thuyết đàn hồi, thường dùng các cách sau: Cách giải theo đường lối thuận: từ điều kiện của bài toán, giải phương trình vi phân chủ đạo để tìm được hàm ứn suất φ, từ đó xác định các thành phần ứng suất, chuyển vị trong vật thể Tuy nhiên đối với bài toán phức tạp, việc giải được phương trình vi phân chủ đạo là rất khó thực hiện được và thường thực hiện bằng cách chồng chất các bài toán đã có lời giải, khi đó hàm ứng suất φ cũng được chồng chất từ các hàm ứng suất φ thành phần

Cách giải theo đường lối ngược: là giả thiết trước hàm ứng suất φ, sau đó tìm ngược tải trọng từ các điều kiện bề mặt Đối với cách này, nều hàm ứng suất được giả sử là đúng thì việc tìm các thành phần còn lại rất đơn giản Tuy nhiên cách này cũng chỉ có thể áp dụng cho các bài toán đơn giản

Cách giải theo đường lối nửa ngược của Saint-Vernant là sử dụng lời giải sẵn có của môn học Sức Bền vật liệu và thử lại các phương trình của lý thuyết đàn hồi, bổ sung thêm những điều kiện để thu được kết quả chính xác Trong đường lối trên thường dùng điều kiện biên gần đúng là điều kiện biên theo hợp lực Tuy nhiên khi gần biên ảnh hưởng của việc nới lỏng điều kiện biên sẽ dẫn đến kết quả không chính xác và phải sử dụng lý thuyết khác để tính toán

Hiện nay ngoài các cách giải trên, phương pháp phần tử hữu hạn dùng để giải quyết các bài toán của lý thuyết đàn hồi rất có hiệu quả Tuy nhiên với các bài toán phẳng thì việc sử dụng phương pháp FEM thường không cần thiết vì số ẩn số rất lớn và đề tài này sẽ đề cập đến phương pháp dải hữu hạn đã nêu ở trên để giải các bài toán này

Với phương pháp này có thể giải quyết các bài toán dầm cao, dầm nhiều lớp, móng và áp dụng kết hợp với bài toán tấm uốn để giải quyết hàng loạt các bài toán trong kỹ thuật như tấm sàn, dầm cầu hộp

2.7 PHƯƠNG PHÁP FSM VỚI BÀI TOÁN ỨNG SUẤT PHẲNG

Như đã xét ở phần 2.2, phần chuỗi của hàm chuyển vị Y m và '

m

Y được dùng trong phân tích bài toán đàn hồi 2 chiều, trong đó Y m được dùng cho chuyển vị u và