Trong các phương trình sau đây, phương trình nào là phương trình của một đường tròn.. Xác định tâm và tính bán kính.. Tìm điều kiện của m để pt trên laà đường tròn.. Tìm quĩ tích tâm đườ
Trang 1DƯỜNG TRÒN
Bài 1:Viết phương trình tiếp tuyến của đường tròn (C): (x – 2)2 +(y – 1)2 = 4 Biết tiếp tuyến đi qua A(4; -2)
Bài giải:
Cách 1
Đường tròn (C) có tâm I(2; 1) bán kính R = 2 AI = 13> R nên qua A có hai tiếp tuyến của (C)
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy đường thẳng (d) với hệ số góc k và đi qua A(4; -2) có phương trình là: y = k(x – 4) – 2 hay (d): kx –y - 4k – 2
Đường thẳng (d) là tiếp tuyến của (C) khi và chỉ khi khoảng cách từ tâm I đến (d) bằng R
= 2
Hay
12
5 5
12 1 2
3 2 2 1
2 4
1
+
−
−
−
k k
k k
k
k k
Với k= −125 thì (d1): 5x + 12y + 4 = 0
Xét đường thẳng(d2): x – 4 = 0, khoảng cách từ tâm I đến (d2) là = =R
+
−
2 0 1
4 2 2
(d2) cũng là tiếp tuyến của (C) đi qua A(2; 1)
Kết luận : Hai tiếp tuyến của (C) đi qua A là: (d1): 5x + 12y + 4 = 0 và (d2): x – 4 = 0 Cách 2: Đường tròn (C) có tâm I(2; 1) bán kính R = 2 AI = 13> R nên qua A có hai tiếp tuyến của (C)
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy đường thẳng (d) có phương trình là : ax + by +c = 0 với
0
2
2 + b ≠
a Do (d) đi qua A(4; -2) nên c = -4a + 2b
Suy ra (d): ax + by -4a +2b = 0 (d) là tiếp tuyến của (C) khi và chỉ khi khoảng cách từ I đến (d) bằng R = 2 Hay
0 12 5
2 3 2 2 2 4
2
+
+
−
+
ab b
b a b
a b
a
b a
b
a
Chọn b = 0, a = 1 thì c = 4 khi đó (d): x – 4 = 0
Chọn b = 12 , a = 5 thì c = 4 khi đó (d): 5x + 12y + 4 = 0
Kết luận : hai tiếp tuyến của (C) đi qua A là: (d1): 5x + 12y + 4 = 0 và (d2): x – 4 = 0
Chú ý : qua hai cách giải bài toán 2 để hiểu kỹ về chú ý ở phần lý thuyêt phương trình tiếp tuyến của đường tròn
Bài 2: Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác có ba cạnh nằm trên ba đường
thẳng (d1): x – 5y - 2 = 0; (d2): x – y + 2 = 0; (d3): x + y - 8 = 0
Bài giải:
Gọi A là giao điểm của (d1) và (d2) thì tọa độ điểm A là nghiệm của hệ phương trình:
0 2
0 2
5
−
−
⇒
=
+
−
=
−
−
A y
x
y
x
Gọi B là giao điểm của (d1) và (d3) thì tọa độ điểm A là nghiệm của hệ phương trình:
0 8
0 2
5
B y
x
y
x
⇒
=
−
+
=
−
−
Gọi C là giao điểm của (d2) và (d3) thì tọa độ điểm C là nghiệm của hệ phương trình: (3;4)
0 8
0 2
C y
x
y
x
⇒
=
−
+
= +
−
Gọi (C ) là đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC thì phương trình của (C ) là:
0 2
2
2
2 + y + ax + by + c =
x Vì (C ) đi qua ba điểm A, B ,C nên có hệ phương trình:
Trang 20 22 4 :
( 22 0 2 0
25
8
6
0 50 2
14
0 10
2
6
2
2 + − − =
⇒
−
=
=
−
=
⇔
= +
+
+
= +
+
+
=
−
−
+
x y x C c
b a c
b
a
c
b
a
c
b
a
Chú ý Ta có thể giải cách khác như sau :Do (d 2 ) vuông góc với (d 3 ) vì vậy đường tròn (C) nhận AB làm đường kính nên (C) có tâm I(2; 0) là trung điểm của AB và có bán
Suy ra (C) : (x - 2) 2 + y 2 = 26 hay x 2 + y 2 - 4x – 22 = 0.
Bài 3:Cho hai đường tròn có phương trình:
(C): x2 + y2 = 1
(C1): x2 + y2– 6x + 6y + 17 = 0
Viết phương trình tiếp tuyến chung của hai đường tròn đó
Bài giải:
2
-2
-4
-6
d 4
d 3
d 2
d 1
I
I 1
Đường tròn (C) có tâm I(0; 0), bán kính R = 1
Đường tròn (C1) có tâm I1(3; -3), bán kính R1 = 1
Ta có R + R1 = 2 ( 3)2 32 3 2
< I vì vậy (C) và (C1) ngoài nhau chúng có 4 tiếp tuyến chung
Đường thẳng (d) trong mặt phẳng tọa độ Oxy với hệ số góc k có phương trình là:
(d) : y = kx + m hay kx – y +m = 0 Đường thẳng (d) là tiếp tuyến chung của hai đường tròn(C) và (C1) khi và chỉ khi : d(I,d) = R = 1 và d(I1,d) = R1 = 1
Hay:
+
=
+
−
=
+
=
= +
⇔
+
=
+ +
=
⇔
= +
+
+
= +
(**) 1 2
3 3
(*) 1
0 3 3
1
3 3
1 1
3
3
1 1
2
2
2
2
2
k m
k m
k m k
k m
m k
m k
m k
k
m
Giải hệ (*)
Ta có
−
=
=
−
=
⇔
+
=
−
=
⇔
+
=
= +
2 2
1 1
1 1
0 3
3
2 2
m m
k k
m
k k
m
k
Vậy hai tiếp tuyến chung (d1):x+y+ 2 =0, (d2):x+y− 2 =0
Giải hệ (**)
Trang 3Ta có
+
+
−
=
+
−
=
+
=
+
−
=
⇔
= + +
+
−
=
⇔
+
= +
+
−
=
⇔
+
=
+
−
=
) 56 9
(
2
56 4
3
56 9
5 10
) 56 4
(
3
5
56 9
0 5 18 5
2
3 3 1
2 3 3
2
3 3 1
2
3
3
2 2
2
m
k
m
k
k k
k m k
k
k m k
m
k
m
Vậy hai tiếp tuyến chung là
0 56 4 ( 3 ) 56 9 (
2
10
:
)
(
0 56 4 ( 3 10 ) 56
9
(
2
:
)
(
4
3
= + + +
+
= +
− + +
y x
d
y x d
Kết luận : Hai đường tròn (C) và (C1) có 4 tiếp tuyến chung là:
, 0 2 :
)
(
, 0 2 :
)
(
2
1
=
−
+
= +
+
y
x
d
y
x
d
0 56 4 ( 3 ) 56 9 ( 2 10 : ) (
0 56 4 ( 3 10 ) 56 9 ( 2 : ) ( 4
3
= + + +
+
= +
− + +
y x
d
y x d
Bài 4:Viết phương trình đường tròn (C) đi qua điểm A(1; 2) và tiếp xúc với đường thẳng
(d): 3x – 4y + 2 = 0 tại điểm B(-2; -1)
Bài giải
Gọi I là tâm đường tròn (C) thì IB = IA, như vậy I thuộc trung trực của đoạn AB Mặt khác vì đường tròn (C) tiếp xúc với đường thẳng (d) 3x – 4y + 2 = 0 tại điểm B(-2; -1) nên I còn thuộc đường thẳng vuông góc với (d) tại điểm B
Phương trình đường trung trực của AB là : x + y = 0, phương trình đường thẳng (d1) vuông góc với (d) tại điểm B là : 4x + 3y + 11 = 0
Vậy tọa độ điểm I là nghiệm của hệ
=
−
=
⇔
= + +
= +
11
11 0
11 3 4
0
y
x y
x
y x
Bán kính của (C) là R = IB = (−2+11)2 +(−1−11)2 = 225 =15
Suy ra (C) : (x + 11)2 + (y – 11)2 = 225 hay (C): x2 + y2 + 22x - 22y + 17 = 0
Trang 44
2
-2
-4
a
A
B
Bài 5:Viết phương trình đường tròn (C) đi qua hai điểm A(1; 5 , B(-1; 3) và có tâm ) nằm trên đường thẳng (∆):x+ y+1=0.
Bài giải:
Trong mật phẳng tọa độ Oxy đường tròn (C) có phương trình là:
x2 + y2 −2ax−2by+c =0,(a2 +b2 ≠0)
Đường tròn (C) đi qua điểm A(1; 5 nên ) −2a−2 5b+c=−6 (1)
Đường tròn (C) đi qua điểm B(-1; 3) nên 2a−6b+c= −1 (2)
Tâm I (a, b) nằm trên đường thẳng (∆):x+ y+1=0nên a+b+1=0(3)
Từ (1), (2) và (3) ta có hệ:
−
=
=
−
=
⇔
= + +
−
= +
−
−
= +
−
−
8 0 1 0
1
1 6
2
6 5
2 2
c b a b
a
c b a
c b a
Vậy (C):x2+ y2+2x−8=0
Bài 6: Viết phương trình đường tròn (C) đi qua hai điểm A(2; 0) ,B(1; 0) và tiếp xúc với
đường thẳng (d): x - y = 0
Bài giải :
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy đường tròn (C) có phương trình là:
x2 + y2 −2ax−2by+c=0,(a2 +b2 ≠0).Tâm I(a; b), bán kính R= a2+b2 −c Đường tròn (C) đi qua điểm A(2; 0) nên: 4 – 4a + c =0 (1)
Đường tròn (C) đi qua điểm B(1; 0) nên: 1 - 2a + c = 0 (2)
Măt khác (C) tiếp xúc với đường thẳng (d): x - y = 0 nên khoảng cách từ tâm I(a; b) đến đường thẳng (d) bằng R
2
2 2
=
−
c b a c b a b
a
(3)
Từ (1), (2) và (3) ta có hệ
=
−
=
=
⇔
=
− +
= +
−
= +
−
2 2 7 2 3
0 2 ) (
0 2
1
0 4
4
2
c b a
c b a
c a c a
Trang 5Vậy (C) có phương trình là: x2 + y2 −3x+7y+2=0.
Bài 7: Viết phương trình đường tròn (C) đi qua điểm A(1; 1) và tiếp xúc với cả hai đường
thẳng (d1): 7x + y – 3 = 0 , (d2): x + 7y – 3 = 0
Bài giải:
4
2
-2
-4
d 2
d 1
A
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy đường tròn (C) có phương trình là:
x2 + y2 −2ax−2by+c=0,(a2 +b2 ≠ 0).Tâm I(a; b), bán kính R = a2 +b2 −c
Do (C) đi qua A(1; 1) nên:2−2a−2b+c=0 (1)
Lại do (C) tiếp xúc với cả hai đường thẳng (d1) và (d2) nên khoảng cách từ tâm I đến hai đường thẳng (d1) và (d2) bằng nhau và bằng IA
) 1 ( ) 1 ( 50
3 7 50
3 7
− +
−
=
− +
=
−
+
b a
b a b
a
(1) Đặt: f(x;y)=7x+ y−3; g(x;y)= x+7y−3
Vì tâm I của (C) và điểm A cùng nằm ở một nửa mặt phẳng có bờ (d1) và nửa mặt phẳng
có bờ (d2) nên f(x I;y I).f(x A;y A)>0 và g(x I;y I).g(x A;y A)>0
Mà: f(x A;y A) =7+1−3=5>0⇒ f(x I;y I)=7a+b−3>0 (2)
g(x A;y A)=1+7−3=5>0⇒g(x I;y I)=a+7b−3>0 (3)
Két hợp (1) với (2) và (3) ta có
=
=
=
=
⇔
−
=
−
=
⇔
− +
−
=
−
+
− +
=
−
+
8 13 2 7 )
1 ( 100 )
3 8 ( )
1 ( ) 1 ( 50
3
7
50
3 7 50
3
7
2 2
2
b a b
b
b a b
a b
a
b a b
a
2
⇒
=
⇒
=
a
9
8 4
13 4
13 :
) ( 9
8 8
⇒
=
⇒
=
a
Kết luận: có hai đường tròn (C1) và (C2) có phương trình ở trên thỏa man điều kiện bài toán
Trang 610. Trong các phương trình sau đây, phương trình nào là phương trình của một đường tròn Xác định tâm và tính bán kính
a x2+y2−4x+2y+ =6 0 c x2+y2+6x−8y+ =16 0
b x2−y2+4x−5y+ =1 0 d 2x2+2y2− − =3x 2 0
8. Cho pt x2 + y2 - 2m(x-2) = 0 (1)
a) Xđịnh m để (1) là ptrình của đờng tròn
b) Với m=1 hãy xác định tâm và bán kính của đờng tròn (C)
c) Chứng tỏ rằng điểm M(-2;2) ∈(C) Viết phơng trình tiếp tuyến của (C) tại M
d) Viết pttt của (C) biết tiếp tuyến song song với đờng thẳng 2x+5y-12=0
9. Viết phơng trình của đờng tròn (C) trong các trờng hợp sau:
a) (C) có tâm I(1 ; - 2) và tiếp xúc với đờng thẳng 4x – 3y + 5 = 0
b) (C) đối xứng với (C’) có phơng trình: ( x − 2 ) 2 + ( y − 3 ) 2 = 0 qua
đờng thẳng x + y – 1 = 0
10. Viết phơng trình đờng tròn (C) trong các trờng hợp sau:
a) (C) đi qua 3 điểm A(1 ; 0), B(0 ; 2), C(2 ; 3)
b) (C) đi qua A(2 ; 0), B(3 ; 1) và có bán kính R = 5
c) (C) đi qua 2 điểm A(2 ; 1),B(4 ; 3) và có tâm I nằm trên đờng thẳng x – y + 5= 0
11. Cho đờng tròn (C) : x2 + y2 +4x +4y – 17 = 0
b) Tìm tâm và bán kính của đờng tròn
c) Viết phơng trình tiếp tuyến ∆ 1 của (C) biết tiếp tuyến này song song với d1:3x 4y+9= 0 d) Viết phơng trình tiếp tuyến ∆ 2 của (C) biết tiếp tuyến này vuông góc với d2:3 – 4y– 5 = 0
10. Cho phương trình : x2+y2+6mx−2(m−1)y+11m2+2m− =4 0.
a Tìm điều kiện của m để pt trên laà đường tròn
b Tìm quĩ tích tâm đường tròn
11. Cho phương trình x2+y2+(m−15)x−(m−5)y m+ =0.
a Tìm điều kiện của m để pt trên là đường tròn
b Tìm quĩ tích tâm đường tròn
12. Cho phương trình (C m): 2 2
2( 1) 2( 3) 2 0
x +y + m− x− m− y+ = .
a Tìm m để (C m) la phương trình của một đường tròn
b Tìm m để (C m) la đường tròn tâm I(1; 3).− Viết phương trình đường tròn này.
c Tìm m để (C m) la đường tròn có bán kính R=5 2 Viết phương trình đường tròn này
d Tìm tập hợp tâm các đường tròn (C m)