một số bài tập môn hàm biến phức

I.BÀI TẬP TRONG VỞ THẦY CHƯA GIẢI... Bây giờ ta cần tìm hàm vx,y Vì u,v thỏa mãn điều kiện Cauchy-Rieman nên... Phương trình đường cong parabol là:... Vì u,v thỏa mãn điều kiên Cauchy-Ri

I.BÀI TẬP TRONG VỞ THẦY CHƯA GIẢI

Tại z=x  f z( )x2.Hàm này có đạo hàm tại mọi điểm z thuộc C.

Vậy tại z=x thì hàm số trên có đạo hàm

 2

01

zt

A

e

dz z

zt

B i

e dz z

B i

f z dz

zt

B i

e dz z

B i

f z dz

( 1)

z

L

e dz

Vì vậy

2 4

( 1)

z

L

e dz

z 



với L : z 3Giải:

i f

i e

 

=

8 3

i e

i e



Bài 6: Tính I=

sin os( 1)( 2)

Giải:Gọi D là miền bị giới hạn bởi đường cong kín L

Th1:Miền D không chứa điểm 1 và 2

Khi đó hàm

sin os ( 1)( 2)

Th2: Miền D chứa điểm 1 mà không chứa 2

Trong miền D,ta vẽ 1 hình tròn tâm là 1 bán kính là  đủ bé( 0) sao cho

B

f z dz z

I = 2if (1)= 2 (sini  cos ) =2 i

Th3: Miền D chứa điểm 2 mà không chứa 1

Trong miền D,ta vẽ 1 hình tròn tâm là 2 bán kính là  đủ bé( 0) sao cho

B

f z dz z

Th4: Miền D chứa cả hai điểm 1 và 2

Trong miền D,ta vẽ 2 hình tròn B(2, ), (1, ) B 

với  đủ bé( 0) sao cho cả hai hình tròn này đều nằm hoàn toàn trong D

2 2

sin os

0( 1)( 2)

f  xy iy là hàm giải tích trên C và L L1, 2 là những đường

cong trơn trong C cùng nối 2 điểm z i và z  2 i nên

Bài 8: Cho u e x( sinx y y cos )y

a.CMR u là hàm điều hòa trên miền D thích hợp

b.Tìm hàm giải tích f=u+iv trên D

Từ (1) và (2) suy ra 2 2

// // 0

u u 

.Vậy u là hàm điều hòa

b Bây giờ ta cần tìm hàm v(x,y)

Vì u,v thỏa mãn điều kiện Cauchy-Rieman nên

i I

i I

với L là đường cong parabol y = x3, 1  x  2.

Phương trình đường cong parabol là:

với L là đường cong parabol x = y3, 0  y  1.

Phương trình đường cong parabol là:

[(cos t i sin ) t 1]( sin t i cos ) t dt

t t

với L là đường cong trơn bất kì nối 2 điểm 0 và  i

Đầu tiên ta tính tích phân 1

Vì u,v thỏa mãn điều kiên Cauchy-Rieman nên

Bài 5: Tính

3 1

cos( )

2

D z  

c

3:

3 3

( ), ( )(1 ) ( 1)

B

nên áp dụng công thức tính đạo hàm cấp cao của hàm giải tích ta được

2 (2)

(1 )

z

B

e dz

1 ( ) 1

; ( )( ) (n ) ( )n