xác suất và biến cố

Trong phần xác suất có khá nhiều khái niệm mới, khó hiểu, SGK mới không những đề cập đến định nghĩa biến cố, xác suất và nhiều tính chất của xác suất, các công thức tính xác suất.v.v...

ĐỀ TÀI ĐỂ DẠY TỐT

TIẾT HỌC : XÁC SUẤT VÀ BIẾN CỐ



PHẦN I : MỞ ĐẦU

I- Lý do chọn đề tài:

Trong chương trình thay sách giáo khoa mới, ở môn Đại số và Giải tích lớp 11 tác giả đã đưa toàn bộ chương IV: Đại số tổ hợp của chương trình lớp 12 (chỉnh lý và hợp nhất) vào chương II của ĐS và GT lớp 11 Thêm vào đó còn thêm 4 tiết dạy về Biến cố - xác suất của biến cố , tạo thành chương II: Tổ Hợp – Xác suất Kiến thức nhiều mới, lạ, với học sinh vì học sinh mới học lần đầu

Trong phần xác suất có khá nhiều khái niệm mới, khó hiểu, SGK mới không những đề cập đến định nghĩa biến cố, xác suất và nhiều tính chất của xác suất, các công thức tính xác suất.v.v Do đó, nếu học sinh không nắm chắc các khái niệm, các tính chất, sẽ không vận dụng được vào bài tập như tính xác suất P(A); P(B); P(AB)…

Mặt khác , học sinh thường cho rằng các phép toán và các định lý thường khó hiểu , trừu tượng nên không tạo được sự thích thú và hưng phấn trong môn toán

Do đó tôi chọn đề tài này nghiên cứu nhằm rút ra một số kinh nghiệm cần thiết

để giúp học sinh học tốt trong tiết học Biến cố và Xác suất đồng thời tạo cho các em tâm lý phấn khởi khi học chương II này

II- Thực trạng trước khi thực hiện các giải pháp của đề tài :

- học sinh đầu vào chưa được cao , đa số lười học bài và làm bài tập

- gv đầu tư nhiều cho kiến thức mới nhưng thời lượng cho phép quá ít ( bài này chỉ giảng trong 2 tiết )

PHẦN II : NỘI DUNG ĐỀ TÀI

- Nội dung các giải pháp thực hiện cho tiết dạy :

1- Khâu chuẩn bị truyền đạt kiến thức mới:

Giáo viên phải chọn lựa một số thí nghiệm trực quan, cụ thể cho học sinh tiến hành để tạo cảm giác hưng phấn, thích thú trong việc nghiên cứu kiến thức mới này

Ví dụ Phép thử : - gieo 1 đồng xu với quy ước mặt ghi số là S, mặt in hình là N (sấp: S, ngửa N) – gieo 2 đồng xu với quy ước mặt có số là S S , mặt có hình là N N

Phép thử : - gieo 1 con súc sắc (gv làm 1 khối lập phương, dùng sơn chấm số chấm từ 1 đến 6 trên sáu mặt )

- gieo 2 con xúc sắc ( gv chọn 2 hột xí ngầu loại lớn cùng kích cỡ )

- gieo 3 con xúc sắc ( gv chọn 3 hột xí ngầu loại lớn cùng kích cỡ) Phép thử : lấy ngẫu nhiên 3 viên bi từ 6 viên bi: 3 đỏ, 2 xanh, 1 vàng để học sinh có thể nêu các khả năng có thể xảy ra của phép thử bằng các quả banh có cùng kích cỡ nhưng có màu khác nhau như màu xanh , màu vàng , màu đỏ

Phép thử : rút 4 lá bài một cách ngẫu nhiên từ bộ bài Kate có 52 lá

Phép thử : gieo 1 đồng xu và 1 con xúc sắc cùng một lúc

Từ đó hình thành tốt các khái niệm cơ sở ban đầu:

-Phép thử - không gian mẫu; số phần tử của không gian mẫu ( số kết quả có thể xảy

ra của phép thử )

-Biến cố là gì ? ký hiệu biến cố ?

-Thế nào là biến cố không thể , biến cố chắc chắn ?

-Thế nào là biến cố đối của biến cố A ? biến cố xung khắc của biến cố A ?

- Liên hệ giữa hai biến cố xung khắc và phép cộng : P(AB) P(A) P(B)

- Liên hệ giữa hai biến cố độc lập và phép nhân : P(AB) P(A).P(B)

- Liên hệ giữa hai biến cố đối A,A:P(A)1P(A)

2- Chuẩn bị một số câu hỏi trắc nghiệm để học sinh khắc sâu kiến thức mới

VD:

-Không gian mẫu có phải là phép

thử?

-Biến cố là phép thử đúng hay sai?

-Số phần tử của biến cố có phải là số phần tử của không gian mẫu?

- Biến cố là một tập con của không gian mẫu

-A và B là 2 biến cố xung khắc : nếu

A xảy ra thì B không xảy ra

-A và B đối nhau thì A và B xung

khắc

-Nếu AB thì A và B là 2 biến

cố xung khắc

-Cho biến cố A , biến cố : không xảy ra

A là biến cố đối của A

- A và B xung khắc thì A và B đối nhau

- ABlà biến cố : chỉ A xảy ra

- ABlà biến cố ít nhất 1 trong 2 biến

cố A , B xảy ra

phải tiến hành mấy bước ? nêu cụ thể

công việc của mỗi bước ? không xảy ra

3- Chuẩn bị nhiều ví dụ về các dạng biến cố

VD: Xét phép thử : Gieo 1 con súc sắc Hãy xác định các biến cố sau :

A: “Mặt xuất hiện k chấm với k lẻ”

B: “Mặt xuất hiện k chấm với k chẵn”

C: “Mặt xuất hiện có số chấm không vượt quá 6”

D: “Mặt xuất hiện có số chấm lớn hơn 6”

E : “ Tổng số chấm ở 2 lần gieo là 15 “

F : “ Số chấm xuất hiện ở 1 lần gieo là nhỏ hơn hoặc bằng 6 “

G : “ Xuất hiện mặt chẵn chấm “

H : “ Xuất hiện mặt lẻ chấm “

Từ đó học sinh nhận xét được các biến cố nào là biến cố đối ( A và B ) ;

biến cố không thể ( D và E ) , biến cố chắc chắn ( C và F ) , biến cố xung khắc ( G và H ) Ngoài ra còn nhận xét được mối quan hệ giữa

chúng

VD: “Chọn ngẫu nhiên 1 học sinh trong 3 khối để phỏng vấn nhân ngày 26/3 ”

Xét các biến cố sau:

A: “Học sinh được chọn là học sinh K 10”

B: “Học sinh được chọn là học sinh K 11”

Nhận xét A và B có xung khắc không? Có đối nhau không và từ đó rút ra kết

luận về quan hệ giữa biến cố đối nhau và xung khắc?

* Hai biến cố A và B đối nhau thì xung khắc nhưng nếu A và B xung khắc thì không

nhất thiết là A và B đối nhau

4- Các bài toán xác suất đều liên quan chặt chẽ đến các vấn đề tổ hợp Do

đó để giúp học sinh giải tốt các bài toán xác suất cần ôn tập lại các bài toán về chỉnh hợp, tổ hợp để học sinh vận dụng tốt vào bài mới

VD 1: Có 4 que được đánh số từ số 1 đến 4 Rút ngẫu nhiên 3 que Hỏi có bao nhiêu cách rút?

HD: Vì không phân biệt thứ tự, nên số cách rút là số tổ hợp chập 3 của 4 phân tử:

C3

= 4 cách

VD 2: Túi bên phải đựng 3 bi đỏ, 2 bi xanh Túi bên trái đựng 4 bi đỏ, 5 bi xanh Lấy 1 bi từ mỗi túi 1 cách ngẫu nhiên Hỏi số phần tử của không gian mẫu ?

HD : Không gian mẫu là kết quả của hai hành động lấy bi liên tiếp

Bước 1 : lấy 1 bi ở túi bên phải có C51  5 cách

Bước 2 : lấy 1 bi ở túi bên trái có C91  9 cách

Theo quy tắc nhân ta có: n() = 1

9 1

C = 5.9 = 45 (cách)

VD 3: Một hộp có 10 thẻ trắng , 8 thẻ xanh và 11 thẻ đỏ Các thẻ đều cùng kích thước và chất liệu , mỗi thẻ chỉ có một màu Lấy ngẫu nhiên từ hộp ra 4 thẻ cùng một lúc Hỏi có bao nhiêu cách để 4 thẻ lấy ra đều cùng một màu ?

HD : Gọi A là biến cố : “ Rút được 4 thẻ cùng một màu “

- Số cách rút được 4 thẻ cùng màu trắng là C104  210

- Số cách rút được 4 thẻ cùng màu xanh là C84  70

- Số cách rút được 4 thẻ cùng màu đỏ là C114 330

Vì các khả năng xảy ra này như nhau nên : n(A)C104 C84C114 610 ( cách )

5- Chuẩn bị thật tốt 1 số bài tập mẫu Có mức độ tăng dần về độ khó để học sinh rút ra được kinh nghiệm khi làm toán

VD 1: Từ 1 hộp chứa 3 bi trắng, 2 bi đỏ, lấy ngẫu nhiên đồng thời 2 bi

a- Nêu không gian mẫu

A: “Hai bi cùng màu trắng”

B: “Hai bi cùng màu đỏ”

C: “Hai bi cùng màu”

D: “Hai bi khác màu”

HD: a- Ta đánh số các bi trắng là 1, 2, 3; các bi đỏ là 4, 5

Không gian mẫu là:

= {1, 2 }, {1 ,3}, {1, 4}, {1, 5}, {2, 3}, {2, 4}

{2, 5}, {3, 4}, {3, 5}, {4, 5}

n () = 10

b- Ta có A= {1,2}, {1,3}, {2,3} => n (A) = 3

B = {4, 5} => n (B) = 1

C = A  B => n (C) = 4

D = C

Do đó:

P (A) = 3 ; P (B) = 1 ; P(C) = 4 = 2

P(D) = P(C) = 1- P(C) = 1- 2 = 3

VD 2: Một hộp đựng 4 bi trắng, 6 bi đỏ Lấy ngẫu nhiên 2 bi cùng lúc

a- Nêu số phần tử của không gian mẫu

b- Tính xác suất để lấy được :

A: “ Hai bi màu trắng”

B: “ Hai bi màu đỏ”

C: “ Hai bi khác màu”

HD : a- Nhận xét: ở ví dụ 2, không thể liệt kê các cách lấy 2 bi bất kỳ trong 10 viên

bi rồi đếm số phần tử của không gian mẫu Do đó, ta lập luận như sau:

Mỗi cách lấy 2 viên bi bất kỳ trong 10 viên bi là 1 tổ hợp chập 2 của 10 phần tử

Số kết quả lấy 2 bi bất kỳ là:

C102 45n()45 b- Gọi A là biến cố lấy được 2 bi trắng

Số cách lấy 2 bi trắng trong 4 bi trắng là :

C42  6 n(A)  6

Vậy :

P(A) = 6 = 2

45 15

* Gọi B là biến cố lấy được 2 bi màu đỏ

Số cách lấy 2 bi đỏ trong 6 bi đỏ là :

C62  15 n(B)  15

Vậy :

P(B) = 15 = 1

* Gọi C là biến cố lấy được 2 bi khác màu

Bước 1: Lấy 1 bi trắng :

C14 4

Bước 2 : Lấy 1 bi đỏ :

C16  6

Số cách lấy 2 bi khác màu : 4 x 6 = 24

Vậy:

P(C) = 24 = 8

VD 3: Hai hộp đựng bi ( các bi có cùng kích thước và đồng chất ) , hộp thứ nhất có 6

bi xanh và 4 bi đỏ , hộp thứ hai có 5 bi xanh và 7 bi đỏ Lấy ngẫu nhiên từ mỗi hộp 2

2-Tính xác suất sao cho :

a) 2 bi lấy được từ hộp thứ nhất có màu xanh

b) 2 bi lấy được từ hộp thứ hai có màu đỏ

c) 2 bi lấy được từ hai hộp cùng màu ?

d) 2 bi lấy được từ hai hộp khác màu ?

G : 1- Số cách lấy 2 bi ở hộp thứ nhất : C102  45

Số cách lấy 2 bi ở hộp thứ hai : C122  66

Số cách lấy 2 bi ở mỗi hộp là : n(  ) C102.C122  45 66 ( cách)

2- Gọi biến cố A : “ 2 bi lấy được ở hộp thứ nhất có màu xanh “

Số phần tử của biến cố A là : n(A) C62.C122  15 66

Xác suất của biến cố A là :

3

1 45

15 ) (

) ( )





n

A n A P

Gọi biến cố B : “ 2 bi lấy được ở hộp thứ hai có màu đỏ “

Số phần tử của biến cố B là : n(B) C102.C72  45 21

Xác suất của biến cố B là :

22

7 66

21 ) (

) ( )





n

B n B P

Gọi biến cố C : “ 2 bi lấy được ở hộp thứ nhất và thứ hai cùng màu “ -2 bi lấy ở mỗi hộp cùng màu đỏ : C42.C72 6.21

-2 bi lấy ở mỗi hộp cùng màu xanh : C62.C52  15 10

Số phần tử của biến cố C là : n(C) C42.C72 C62.C52  276

Xác suất của biến cố C là :

165

46 66 45

276 )

(

) ( )





n

C n C P

Gọi biến cố D : “ 2 bi lấy ra từ hai túi khác màu “

Hs nhận xét biến cố D là biến cố đối của biến cố C : DC

Suy ra :

165

119 165

45 1 ) ( 1 ) ( )

P

Như vậy:

Ở VD1, học sinh liệt kê các phần tử của không gian mẫu Từ đó, nêu được số phần tử của các biến cố A, B, C, D rồi áp dụng định nghĩa tính xác suất

Ở VD 2, học sinh không thể liệt kê các phần tử của không gian mẫu mà phải dùng công thức tổ hợp để tính các kết quả có thể xảy ra của phép thử; cũng như dùng công thức tổ hợp, công thức nhân để tính số phần tử của các biến cố A, biến cố B, biến

cố C Sau đó dùng hệ thức để tính xác suất P(C)

Ở VD 3, học sinh dùng công thức tổ hợp và công thức cộng để tính số phần tử của biến cố C vì các khả năng xảy ra là như nhau , riêng đối với câu d) học sinh nhận xét được 2 biến cố C và D là đối nhau và áp dụng hệ quả để tính xác suất P(D)

6- Cho các bài tập tương tự để học sinh thực hiện ở nhà

Bài 1 : Lấy ngẫu nhiên một thẻ từ một hộp chứa 20 thẻ được đánh số từ 1 đến 20 Tìm xác suất để thẻ được lấy ghi số chẵn và chia hết cho 3 ?

ĐS :

20

3

Bài 2 : Hộp có 4 bi đỏ và 6 bi vàng Lấy ngẫu nhiên cùng lúc 3 viên bi Tính xác suất

để lấy được : a) 1 bi đỏ và 2 bi vàng b) số bi đỏ nhiều hơn số bi vàng

ĐS : a)

2

1

b)

3 1

Bài 3: Túi phải có ba bi trắng , hai bi đen Túi trái có bốn bi trắng , năm bi đen Lấy ngẫu nhiên 1 bi từ mỗi túi

1)Nêu số kết quả của việc lấy ngẫu nhiên một bi từ mỗi hộp ?

2)Tính xác suất sao cho : a- hai bi lấy ra đều màu trắng

b- hai bi lấy ra đều cùng màu

ĐS : 1) 45 2a)

45

12

2b)

45

22

Bài 4 : Một con xúc sắc cân đối và đồng chất được gieo hai lần

1) Mô tả không gian mẫu ? 2) Tính xác suất sao cho tổng số chấm trong hai lần gieo là 6

Bài 5 : Gieo ba con xúc sắc cân đối và đồng chất một cách ngẫu nhiên

1) Mô tả không gian mẫu ?

2) Tính xác suất để tổng số chấm trên mặt xuất hiện của ba con xúc sắc bằng 9 ?

ĐS : 1) Ω = 63  216 2)

216 25

PHẦN III : KẾT QUẢ ĐẠT ĐƯỢC SAU KHI THỰC HIỆN ĐỀ TÀI

Việc giảng dạy kiến thức mới về tiết học : “xác suất và biến cố “ đòi hỏi giáo viên phải đầu tư thật chặt chẽ theo 6 yêu cầu trên ( giống như 4 bước lên lớp : kiểm tra kiến thức cũ , dẫn dắt vào bài mới , truyền đạt nội dung của kiến thức mới , cũng cố nội dung của tiết học ) thì hy vọng sẽ giúp cho học sinh học các tiết về chương II này được nhẹ nhàng, dễ hiểu vì học sinh thích thú, tìm tòi, và khắc sâu được kiến thức Sau khi thực hiện 6 khâu cơ bản của đề tài nảy , hầu hết các em học sinh rất hứng thú với dạng bài tập mới nầy , kết quả là các em đã biết vận dụng lý thuyết để giải toán , thậm chí có những bài khó hơn và nhiều bài các em đã có những cách giải khác nhưng đều đúng với đáp án

Đánh giá kết quả thông qua việc kiểm tra 45 phút về dạng bài tập nầy ở 3 lớp 11a4, 11a5, và 11a6 nhận thấy kết quả 98/ 132 học sinh đạt yêu cầu ( từ 5 trở lên ) tỷ lệ 74,5% so với lúc trước khi chưa thực hiện đề tài là 51/132 học sinh đạt yêu cầu là 38,6% Kết quả này như vậy là có khả quan so với đối tượng các em là học sinh lần đầu nắm bắt kiến thức mới

PHẦN IV : KẾT LUẬN

Đề tài này có thể mở rộng và triển khai cho tất cả các tiết học khác ( môn Đại số và môn Hình học ) ở cả 3 khối : 10 , 11 và 12 bởi tính kế hoạch và thực tiễn Ví dụ bài “ Đường tròn “ ( Hình học 10 - hk II)

Gv có thể xây dựng tiết học theo các khâu trên :

1- Chuẩn bị truyền đạt kiến thức mới : cho học sinh ôn tập các định nghĩa đã học

về đường tròn , tâm O, đường kính , bán kính , các quỹ tích của đường tròn

2- Chuẩn bị một số câu hỏi để học sinh khắc sâu kiến thức mới :

- để tìm tâm và bán kính của đường tròn qua 3 điểm ta làm thế nào ?

- để tìm tâm và bán kính đường tròn qua 4 điểm ta làm thế nào ?

- tiếp tuyến với đường tròn là đường thẳng như thế nào ? 3- Chuẩn bị nhiều ví dụ về phương trình đường tròn :

- viết phương trình đường tròn dưới dạng chính tắc

- viết phương trình đường tròn dưới dạng tổng quát

4- Các bài tập liên quan đến đường tròn như : phương trình tiếp tuyến , điều kiện

để đường thẳng là tiếp tuyến của đường tròn …

5- Chuẩn bị các bài tập mẫu về đường tròn và phương trình tiếp tuyến với đường tròn ( tăng dần về độ khó như tiếp tuyến đi qua 1 điểm nằm ngoài đường tròn) 6- Soạn thêm các bài tập tương tự cho học sinh làm ở nhà

Mong được sự đóng góp thêm nhiều ý kiến của các thầy cô đồng nghiệp để một số kinh nghiệm của tôi cho chuyên đề : Để dạy tốt tiết học “ Xác suất và biến cố “ được sâu hơn ,phong phú hơn, hiệu quả hơn

Chu Văn An ngày 26 tháng 3 năm 2012

Gv thực hiện đề tài

NGUYỄN TOÀN THIỆN