chuyên đề bất biến và nửa bất biến - lê anh vinh

Học sinh sẽ thắc mắc một cách tự nhiên: làm thế nào giáo viên biết được số còn lại trên bảng?. Rõ ràng các phép biến đổi có thể thực hiện theo nhiều cách khác nhau, nhưng sau các phép bi

Bất biến và nửa bất biến

Lê Anh Vinh

ĐH Giáo dục, ĐHQGHN

Chúng ta sẽ bắt đầu bằng một ví dụ đơn giản Giáo viên yêu cầu học sinh làm một thí nghiệm nhỏ – viết lên bảng a + b số gồm a số 0 và b số 1 Sau đó thực hiện a + b − 1 lần phép biến đổi sau: xoá hai số bất kỳ trên bảng Nếu chúng bằng nhau thì viết số 0 lên bảng và nếu khác nhau thì viết số 1 lên bảng Sau khi học sinh làm thử trên vở, giáo viên có thể nói ngay số còn lại trên bảng là số 1 hay số 0

Học sinh sẽ thắc mắc một cách tự nhiên: làm thế nào giáo viên biết được

số còn lại trên bảng? Rõ ràng các phép biến đổi có thể thực hiện theo nhiều cách khác nhau, nhưng sau các phép biến đổi, tổng các số trên bảng là không đổi theo modulo 2 Do đó, số còn lại trên bảng sẽ là 1 nếu b lẻ và 0 trong trường hợp ngược lại

Chúng ta tiếp tục với ví dụ sau

Bài toán 1.1 Khối A0 có một ngôn ngữ riêng chỉ gồm hai chữ cái A và 0, đồng thời thỏa mãn hai điều kiện sau:

• Nếu xóa hai chữ cái kề nhau A0 trong bất kì một từ nào, ta không làm thay đổi nghĩa của từ đó

• Nếu thêm tổ hợp 0A hoặc AA00 vào vị trí bất kì nào trong một từ, ta cũng không làm thay đổi nghĩa của từ đó

Liệu hai từ A00 và 0AA có cùng nghĩa không?

Dễ thấy sau mỗi phép biến đổi, số lượng A và 0 thêm vào hay bớt đi là như nhau Vì vậy, xuất phát từ A00 với nhiều chữ cái 0 hơn, ta không thể thu được 0AA với nhiều chữ cái A hơn Đại lượng bất biến ở đây có thể chọn

là sai khác giữa số chữ cái A và chữ cái 0 trong một từ

Lời giải trên đã chỉ ra ý tưởng cơ bản nhất của bất biến Cho trước một

số cấu hình, chúng ta có thể thực hiện một số phép biến đổi trên chúng Câu hỏi đặt ra là có thể thu được một cấu hình này từ một cấu hình khác không? Tính bất biến thường được dùng để chỉ ra rằng từ một cấu hình không thể đạt tới một cấu hình khác Để làm được điều đó, chúng ta xây dựng một đại lượng không đổi (hoặc thay đổi đơn điệu - khi đó ta có khái niệm nửa bất biến) dưới các phép bién đổi sao cho giá trị của đại lượng này là khác nhau

ở hai cấu hình trong câu hỏi Tuy nhiên, đối với các bài toán bất biến, phần khó nhất thường là chỉ ra đại lượng bất biến Trong bài giảng này, chúng ta

sẽ hệ thống một số dạng bất biến thường gặp qua một loạt các ví dụ từ đơn giản đến nâng cao

Bài toán 1.2 Một hình tròn được chia làm 6 ô dẻ quạt bằng nhau và đặt một quân tốt vào mỗi ô Trong mỗi bước, cho phép chuyển hai quân tốt bất

kỳ vào ô kề với nó Hỏi có thể chuyển tất cả quân cờ vào một ô hay không? Chứng minh Đánh số các ô từ 1 đến 6 theo chiều kim đồng hồ Với mỗi cách sắp xếp, xét S là tổng các ô có chứa quân cờ (tính cả bội) Khi đó, tính chẵn

lẽ của S không thay đổi

Trong một số trường hợp, bất biến không chỉ được dùng để chứng minh

ta không thể thu được cấu hình này từ một cấu hình khác mà còn có thể sử

dụng để tìm hiểu cấu hình nào có thể thu được từ một cấu hình cho trước.

Ta có ví dụ sau

Bài toán 1.3 Các số 1, 2, 3, , 20 được viết lên bảng Mỗi phép biến đổi, ta xóa hai số a, b và thêm vào số a + b − 1 Số nào sẽ còn lại trên bảng sau 19

bước?

Chứng minh Với bộ n số trên bảng ta xét đại lượng X bằng tổng các số trên bảng trừ đi n Khi đó X không thay đổi trong các phép biến đổi Lúc đầu

X = (1 + 2 + + 20) − 20 = 190 Sau 19 bước, X = 190 hay số còn lại sẽ là 191

Sẽ không ngạc nhiên nếu như một số học sinh đưa ra lập luận như sau: tại mỗi bước, tổng các số giảm đi 1 Lúc đầu tổng là 210 và sau 19 bước, số còn lại sẽ là 210 - 19 = 191 Cách giải này hiển nhiên đúng nhưng không làm

rõ được ý tưởng của “bất biến” Chúng ta sẽ đưa cho học sinh một bài toán tương tự, mà ở đây, những lập luận “rút gọn” như vậy là khó có thể thực hiện được

Bài toán 1.4 Các số 1, 2, 3, , 20 được viết lên bảng Mỗi phép biến đổi, ta xóa hai số a, b và thêm vào số ab + a + b Số nào sẽ còn lại trên bảng sau 19

bước?

Sau đây là một số bài toán khá thú vị sử dụng ý tưởng của bất biến Bài toán 1.5 Trong bàn cờ8 × 8, một ô bị tô màu đen và các ô còn lại được

tô màu trắng Liệu có thể làm cho cả bảng màu trắng bằng cách tô lại các hàng và cột không? Ở đây, tô lại một hàng hay cột được hiểu như là một phép đổi màu tất cả các ô trên hàng hoặc cột đó

Bài toán 1.6 Giải Bài 5 cho bảng 3 × 3

Bài toán 1.7 Giải Bài 5 cho bảng 8 × 8với bốn ô ở góc được tô màu đen và các ô khác được tô màu trắng

Lưu ý rằng Bài 5, khác với Bài 6 và Bài 7, có thể giải chỉ sử dụng tính chẵn lẻ của số ô đen trên bảng Để giải Bài 6, ta có thể xét tính chẵn lẻ của

số ô đen trong bốn ô ở góc Để giải Bài 7, ta phải xét tính chẵn lẻ của số ô đen trong bốn ô cụ thể, ví dụ bốn ô ở góc phải trên

Bài toán 1.8 Các số 1, 2, , 2013 được viết lên bảng Cho phép xóa đi hai

số và thay bởi hiệu của chúng Liệu có thể thu được một bảng gồm toàn số 0 không?

Có nhiều cách để giải bài toán trên, một trong những bất biến có thể sử dụng là tính chẵn lẻ của tổng các số viết trên bảng Lưu ý rằng tổng và hiệu của hai số bất kỳ là cùng tính chẵn lẻ

Bài toán 1.9 Có 13 con tắc kè xanh, 15 con tắc kề đỏ và 17 con tắc kè vàng trên một hòn đảo Khi hai con tắc kè khác màu gặp nhau, chúng đổi sang màu còn lại Liệu có thể đến một lúc nào đó tất cả các con tắc kè có cùng màu hay không?

Chứng minh Mỗi “trạng thái” trên đảo gồm a con tắc kè xanh, b con tắc kè

đỏ vàccon tắc kè vàng vớia+b+c = 45 Phép biến đổi màu sẽ chuyển từ trạng thái(a, b, c)sang một trong ba trạng thái(a−1, b−1, c+2),(a−1, b+2, c−1)hoặc

(a+2, b−1, c−1) Dễ thấy(a−1)−(b−1) ≡ (a−1)−(b+2) ≡ (a+2)−(b−1) ≡ a−b mod 3 Bất biến X =sai khác giữa số tắc kè xanh và số tắc kề đỏ theo modulo

3 Lúc đầu X ≡ 2 mod 3 và khi tất cả các tắc kè cùng màu thì X ≡ 0 mod 3

Vì vậy, trường hợp tất cả các con tắc kè có cùng màu không thể xảy ra Bài toán 1.10 Viết 11 số +1 và 01 số −1 lên đỉnh của 12 giác đều Cho phép đổi dấu của các số trên k đỉnh bất kỳ của đa giác Có thể hay không luôn chuyển số −1 sang đỉnh kề của nó nếu

a) k = 3;

b) k = 4;

c) k = 6?

Chứng minh Câu trả lời là phủ định trong cả ba trường hợp Chứng minh cho cả ba trường hợp có thể thực hiện như sau: chúng ta chọn các đỉnh cách đều nhau đúng k − 1 đỉnh (ví dụ khi k = 3 ta chọn được 4 đỉnh, khi k = 4 ta chọn được 3 điểm và k = 6 ta chọn được 2 điểm) Bất biến của chúng ta là tích các số trên các đỉnh được chọn Chúng ta xếp số −1 vào một trong các điểm được chọn Dễ kiểm tra rằng nếu số −1 được chuyển sang đỉnh kề thì tích các số trên các điểm được chọn lúc đó sẽ là 1

Lưu ý rằng khái niệm bất biến là khá trừu tượng và phức tạp đối với phần lớn học sinh trong lần tiếp cận đầu tiên Chúng ta nên lưu ý phân tích các lập luận logic của việc sử dụng các đại lượng bất biến trong giải các bài toán cụ thể Ở đây, chúng tôi chỉ đưa ra những gợi ý tóm tắt cho các bài toán nhưng khi hướng dẫn cho học sinh, có thể sử dụng các ví dụ minh họa khiến lời giải trở nên trực quan và dễ hiểu hơn Ngoài ra, chúng ta chỉ nên giới thiệu khái niệm và phương pháp sử dụng bất biến sau khi mỗi học sinh đã tự tìm tòi

và giải quyết độc lập một vài ví dụ minh họa đơn giản nhất, thậm chí đã sử dụng bất biến mà không hề ý thức được điều đó Rõ ràng, bước khó nhất khi giải các bài toán sử dụng bất biến là phát hiện ra được đại lượng bất biến phù hợp Đây là một nghệ thuật mà chúng ta chỉ có thể thành thạo được thông qua việc giải một loạt các bài toán trong cùng một chủ đề

2 Cơ bản

Chúng ta đã gặp một số bất biến trong phần Khởi động Tiếp theo chúng

ta sẽ xem xét một số dạng bất biến cơ bản khác, ví dụ như tính chẵn lẻ, tô màu, công thức đại số, cặp nghịch đối của hoán vị, Đối với mỗi bài toán, giáo viên có thể bắt đầu bằng việc thảo luận với học sinh dạng bất biến có thể sử dụng là gì

Bài toán 2.1 Trên bảng viết các số1, 2, , 1000 Ở mỗi bước cho phép thay một số bằng tổng các chữ số của nó Quá trình dừng lại khi có toàn các số có một chữ số Hỏi số số 1 còn lại trên bảng nhiều hơn hay số số 2 còn lại trên bảng nhiều hơn?

Chứng minh Nếu chúng ta viết tất cả các số trên bảng theo modulo 9 thì các

số này sẽ là bất biến trong các phép biến đổi Do số các số đồng dư 1 mod 9 nhiều hơn số các số đồng dư 2 mod 9 trong tập {1, , 1000}, số các số 1 còn lại trên bảng sẽ nhiều hơn số số 2 còn lại trên bảng

Bài toán 2.2 Vào năm 3000, ở Việt Nam, một nhân dân tệ (RMB) đổi được

10 đồng Việt Nam (VNĐ) Trong khi đó, ở Trung Quốc, một VNĐ đổi được

10 RMB Một du khách người Nhật lúc đầu có 01 VNĐ Ông này có thể đi lại tùy ý giữa hai nước VN và TQ Hỏi ông ta có thể làm cho số VNĐ và RMB ông ta có là bằng nhau hay không?

Chứng minh Xét X = số VNĐ − số RMB của du khách Khi đó X mod 11

sẽ là bất biến trong các bước đổi tiền Nếu số VNĐ và RMB bằng nhau thì

X ≡ 0 mod 11 Lúc đầu X ≡ 1 mod 11, do đó không thể thu được X ≡ 0 mod 11 Ta có câu trả lời phủ định

Bài toán 2.3 Hình vuông8 × 8 bỏ đi hai ô ở góc đối nhau Có thể phủ phần còn lại bởi 31 quân đômino 1 × 2 không? Nếu bỏ hai ô bất kì thì sao?

Chứng minh Chúng ta tô màu hình vuông đen trắng như bàn cờ vua Hai ổ

ở góc đối nhau luôn cùng mau nên sau khi bỏ chúng đi, số ô đen khác số ô trắng Mỗi quân đômino phủ đúng một ô đen, một ô trắng nên phần còn lại của hình vuông không thể phủ kín được bởi các quân đômino Bất biến ở đây chính là hiệu số giữa số ô trắng và số ô đen trên bảng

Bài toán 2.4 Cho đa thức P (x) = ax2+ bx + c, có thể thực hiện một trong hai phép biến đổi:

a) Đổi chỗ a và c

b) Đổi biến x bởi x + t với t ∈R.

Hỏi từ x2− 31x − 3 có thu được x2− 20x − 12 không? Tìm mối liên hệ của hai đa thức bậc hai P (x) và Q(x) sao cho từ đa thức này có thể thu được đa thức kia bởi hai phép biến đổi nói trên

Chứng minh Bất biến của chúng ta là định thức ∆ = b2− 4ac của đa thức

P (x) = ax2+ bx + c Dễ kiểm tra rằng hai phép biến đổi a) và b) không làm thay đổi định thức của đa thức Định thức ∆ 1 của x2− 31x − 3 và định thức

∆2 của x2− 20x − 12 là khác nhau Ta có câu trả lời phủ định! Chúng tôi để lại câu hỏi tìm mối liên hệ giữa hai đa thức bậc hai nhận được từ nhau qua hai phép biến đổi trong đề bài cho bạn đọc

Bài toán 2.5 Tô đen 09 ô của hình vuông10 × 10 Mỗi lần tô màu đen một

ô chưa tô nếu nó kề với ít nhất hai ô đen (kề được hiểu là chung cạnh) Có thể tô màu hết bàn cờ hay không? Nếu là 10 ô thì sao? Nếu là hình vuông

n × n thì lúc đầu cần tô đen ít nhất bao nhiêu ô để có thể tô đen cả bàn cờ?

Chứng minh Nếu tô 10 ô thì câu trả lời là khẳng định Ví dụ ta có thể bắt đầu với 10 ô đen trên đường chéo chính của hình vuông

Nếu tô 9 ô thì câu trả lời là phủ đinh Xét X là tổng chu vi của phần tô đen trên hình thì lúc đầu X ≤ 36 Dễ kiểm tra X là nửa bất biến, cụ thể, X

là không tăng Nếu cả bàn cờ được tô màu thì lúc này X = 40 - mâu thuẫn Vậy, không thể tô đen được cả bàn cờ nếu xuất phát với 9 ô màu đen

Bài toán 2.6 Cho một hoán vị của các số 1, 2, , 2012 Mỗi lần cho đổi chỗ hai số bất kì Sau 2011 bước có thể quay về hoán vị ban đầu không?

Chứng minh Bài toán này liên quan đến số cặp nghịch đối của một hoán vị Cặp nghịch đối của hoán vị π của {1, , n} là số cặp 1 ≤ i < j ≤ n sao cho

π(i) > π(j) Bạn đọc hãy tự kiểm tra rằng tính chẵn lẻ của số cặp nghịch đối thay đổi khi chúng ta hoán vị một cặp trong dãy Sau 2011 bước, số cặp nghịch đối sẽ bị thay đổi tính chẵn lẻ và chúng ta không thể quay trở về hoán

vị ban đầu

Bài toán 2.7 Trên bảng viết các số 1, 2, 3, 4, 5 Mỗi bước cho phép chọn hai

số a, b và thay bởi a + b, ab Hỏi có thu được 21, 27, 64, 180, 540 hay không? Chứng minh Bài toán này thoạt nhìn khá đơn giản nhưng để tìm được bất biến không phải là điều dễ dàng Trước hết ta kiểm tra rằng số các số chia hết cho 3 không giảm và số lượng này tăng khi và chỉ khi từ hai số chia 3 dư

1 và chia 3 dư 2 chúng ta thu được một số chia hết cho 3 và một số chia hết cho 2 Vì vậy, khi chúng ta lần đầu tiên chuyển sang trạng thái có 4 số chia hết cho 3 thì số còn lại chia 3 dư 2, nhưng 64 chia 3 dư 1 nên câu trả lời sẽ

là phủ định

Bài toán 2.8 Trên bảng viết số99 99(2012 lần) Mỗi bước cho phép chọn một số a, phân tích a thành tích hai số m, n và viết lên bảng m ± 2, n ± 2 tùy

ý Ví dụ: a = 15, a = 3.5 có thể viết lên bảng 1 = 3 − 2 và 7 = 5 + 2 Hỏi sau một số bước như vậy, có thể thu được trên bảng toàn các số 9 không?

Chứng minh Đây cũng không phải là một bài toán “dễ” như cách phát biểu cũng như lời giải của nó Bất biến là trên bảng luôn có ít nhất một số chia 4

dư 3

Bài toán 2.9 Một túi gồm 1001 viên đá Mỗi bước chọn một túi có nhiều hơn 01 viên Bỏ đi một viên và chia các viên còn lại thành 02 túi Hỏi có thể làm như vậy để thu được tất cả các túi đều có 03 viên?

Chứng minh Xét X là tổng số đá và số túi tại mỗi bước Dễ thấy X mod 4

không đổi Lúc đầu X = 1002 không chia hết cho 4 Nếu tất cả các túi có 3 viên thìX lúc đó chia hết cho 4, mẫu thuẫn Vậy câu trả lời là phủ định Bài toán 2.10 Chúng ta xét một quân cờ đặc biệt, được gọi là quân “lạc đà”, di chuyển trên bàn cờ 10 × 10 như là một quân mã (1, 3) Có nghĩa là di chuyển sang ô kề và sau đó di chuyển ba ô theo hướng vuông góc với hướng vừa di chuyển Quân mã thông thường di chuyển theo hướng(1, 2) Liệu quân lạc đà có thể di chuyển từ một ô sang ô kề nó không?

Chứng minh Câu trả lời là không Xét các tô màu đen trắng của bàn cờ thông thường Dễ dàng kiểm tra được rằng quân lạc đà luôn di chuyển trong các ô cùng màu và hai ô kề nhau lại là khác màu

Bài toán 2.11 Một bảng hình chữ nhật có thể phủ kín không đè lên nhau bởi các hình 1 × 4 và 2 × 2 Khi bỏ các hình này ra ngoài, chúng ta làm mất một hình 2 × 2 và thay vào đó một hình 1 × 4 Liệu có có thể dùng các hình lúc này phủ kín hình chữ nhật được không?

Chứng minh Câu trả lời là phủ định Hãy tìm một cách tô màu các ô của hình chữ nhật bởi các màu 1, 2, 3, 4 sao cho mỗi hình 2 × 2 có một ô mỗi màu

và hình1 × 4hoặc không có ô màuihoặc có 2 ô màui với mỗii = 1, 2, 3, 4

Bài toán 2.12 Có thể hay không một quân mã đi qua tất cả các ô của bàn

cờ 4 × N, mỗi ô đúng một lần và quay lại ô xuất phát ban đầu?

Chứng minh Tô màu hàng thứ nhất1, 2, 1, 2, Tô màu hàng thứ hai3, 4, 3, 4,

Tô màu hàng thứ ba 4, 3, 4, 3, , và tô màu hàng thứ tư 2, 1, 2, 1, Giả sử tồn tại một chu trình bởi quân mã trên bàn cờ Dễ kiểm tra rằng với cách tô của chúng ta, nếu quân mã đứng ở ô màu 1 hoặc 2 thì bước tiếp theo sẽ là

ô màu 3 hoặc 4, tương ứng Do số ô mỗi màu là như nhau, các cập màu sẽ thay đổi luân phiên trong chu trình Bạn đọc hãy tự chỉ ra rằng lúc này ta phải luân phiên giữa các ô màu 1 và màu 3 hoặc luân phiên giữa các ô màu

2 và màu 4 Hay nói một cách khác, chúng ta không thể đi hết được cả bàn cờ

Bài toán 2.13 Có ba máy in thẻ trong đó các thẻ là một cặp các số tự nhiên (không sắp thứ tự) Máy thứ nhất nhận một thẻ với hai số a, b và cho ra thẻ với hai số a + 1, b + 1 Máy thứ hai chỉ nhận các thẻ với hai số chẵn a, bvà cho

ra thẻ với hai số a/2, b/2 Máy thứ ba nhận thẻ gồm hai a, b và thẻ gồm hai

b, c và cho ra thẻ gồm hai số a, c Các máy cũng sẽ trả lại các thẻ được đưa vào Có thể nhận được thẻ gồm hai số 1 và 2012 chỉ từ một tấm thẻ gồm hai

số 5 và 19 được không? Tổng quát, từ thẻ gồm hai số 5 và 19 có thể nhận được những thẻ như thế nào?

Chứng minh Ba phép toán có thể viết lại dưới dạng (a, b) → (a + 1, b + 1),

(a, b) → (a/2, b/2) và (a, b), (b, c) → (a, c) Trong phép biến đổi thứ nhất, hiệu giữa hai số trên thẻ không đổi Trong phép biến đổi thứ hai, hiệu giữa hai

số trên thẻ giảm một nửa Và trong phép biến đổi thứ ba, hiệu hai số trên thẻ mới bằng tổng hiệu các số trên hai thẻ cũ Như vậy, hiệu các số trên thẻ không phải là bất biến! Tuy nhiên, nếu nhìn kĩ, có thể tính chia hết cho một

số bất kì sẽ được bảo toàn Kiểm tra được rằng 19 − 5 = 14 chia hết cho 7