Các Bài Giảng Về Tổ Hợp_Biến cố và xác suất của biến cố

Phép thử ngẫu nhiên và không gian mẫu  Phép thử ngẫu nhiên gọi tắt là phép thử là một hành động mà ta không biết trước kết quả của nó, tuy nhiên có thể xác định được tập hợp tất cả cá

Biến cố và xác suất của biến cố

A Tóm tắt lý thuyết và một số ví dụ minh họa

1 Phép thử ngẫu nhiên và không gian mẫu

 Phép thử ngẫu nhiên (gọi tắt là phép thử) là một hành động mà ta không biết trước kết quả

của nó, tuy nhiên có thể xác định được tập hợp tất cả các kết quả có thể xảy ra

Tập hợp tất cả các kết quả có thể xảy ra của một phép thử được gọi là không gian mẫu của phép thử đó và được ký hiệu là 

Ví dụ 1 Xét phép thử: gieo một đồng tiền Nếu quan tâm đến việc sau khi gieo, đồng tiền nằm

sấp hay nằm ngửa thì không gian mẫu của phép thử là  S N, , trong đó S ký hiệu cho kết quả: đồng tiền nằm sấp, N ký hiệu cho kết quả: đồng tiền nằm ngửa

Ví dụ 2 Xét phép thử: gieo đồng thời hai con súc sắc

+) Nếu quan tâm đến số chấm trên từng con súc sắc thì không gian mẫu của phép thử là

 

 i j; ,i j 1, 2, , 6

    , trong đó i j;  ký hiệu cho kết quả: con súc sắc thứ nhất có i chấm, con súc sắc thứ hai có j chấm

+) Nếu quan tâm đến tổng số chấm trên hai con súc sắc thì không gian mẫu của phép thử là

2, 3, ,12

   Trong đó, i ký hiệu cho kết quả: tổng số chấm trên hai con súc sắc là i

2 Biến cố

 Biến cố A liên quan đến phép thử T là một sự kiện mà việc xảy ra hay không xảy ra của A

phụ thuộc vào kết quả của T

Mỗi kết quả của phép thử T làm cho A xảy ra được gọi là một kết quả thuận lợi cho A

Tập hợp các kết quả thuận lợi cho A được ký hiệu là  Ta cũng nói biến cố A A được mô tả bởi tập các kết quả  A

Ví dụ 3 Xét phép thử: gieo một con súc sắc Nếu quan tâm đến việc số chấm xuất hiện trên súc

sắc là bao nhiêu thì không gian mẫu của phép thử này là  1, 2, 3, 4, 5, 6 Trong đó, i ký hiệu cho kết quả: số chấm trên con súc sắc là i

Xét biến cố A: “số chấm xuất hiện trên con súc sắc là một số chẵn” Rõ ràng biến cố A xảy ra khi và chỉ khi số chấm xuất hiện trên con súc sắc hoặc bằng 2, hoặc bằng 4, hoặc bằng 6 Vậy

tập hợp các kết quả thuận lợi cho A là  A 2, 4, 6

 Một số biến cố đặc biệt

+) Biến cố chắc chắn của phép thử T là biến cố luôn xảy ra khi thực hiện phép thử T Biến cố chắc chắc được mô tả bởi tập  và do đó người ta cũng ký hiệu biến cố chắc chắn là 

+) Biến cố không thể của phép thử T là biến cố không bao giờ xảy ra khi thực hiện phép thử T Biến cố không thể được mô tả bởi tập  và do đó người ta cũng ký hiệu biến cố không thể là



3 Xác suất của biến cố

Cho không gian mẫu  của một phép thử nào đó Ta luôn giả thiết  là không gian mẫu đồng khả năng, tức là khả năng xảy ra của mối hiện tượng trong nó đều bằng nhau

 Định nghĩa xác suất của biến cố: Khả năng năng xảy ra biến cố A   được gọi là xác suất của biến số đó

Nếu ký hiệu P A  là xác suất của biến cố A, A là số phần tử của A A,  là số phần tử của  thì xác suất của biến cố A được tính bởi   A

P A  



 Vài tính chất xác suất

+) Xác suất của biến cố không thể và biến cố chắc chắn: P    0, P    1

+) Với mọi biến cố A ta có 0P A 1

Ví dụ 4 Tính xác xuất để khi gieo hai đồng thời con súc sắc, tổng số chấm trên hai con súc sắc

là 7

Giải

Ký hiệu i j;  là kết quả: con súc sắc thứ nhất xuất hiện i chấm, con súc sắc thứ hai xuất hiện j

chấm

+) Ta thấy cả i và j đều có khả năng nhận một trong 6 giá trị từ 1 đến 6 Do đó

 

 i j; ,i j 1, 2, , 6

+) Tập các kết quả thuận lợi cho A:“ tổng số chấm trên hai con súc sắc là 7” là

           

1; 6 , 2;5 , 3; 4 , 4;3 , 5; 2 , 6;1

A

ta có A 6

36 6

A

P A    

4 Quy tắc cộng xác suất

a) Biến cố hợp

 Hợp của hai biến cố: Cho hai biến cố A và B Biến cố “A hoặc B xảy ra”, ký hiệu là AB

được gọi là hợp của hai biến cố A và B

 Hợp của nhiều biến cố: Cho k biến cố A , 1 A , , 2 A Biến cố “có ít nhất một trong các biến k

cố A , 1 A , , 2 A xảy ra” , ký hiệu là k A1A2A k được gọi là hợp của các biến cố A , 1 A , 2

, A k

b) Biến cố xung khắc: Hai biến cố A và B được gọi là xung khắc nếu biến cố này xảy ra thì

biến cố kia không xảy ra

c) Quy tắc cộng xác suất

* Nếu hai biến cố A và B xung khắc thì xác suất của biến cố hợp AB (biến cố “A hoặc B

xảy ra” ) là: P A BP A P B 

* Nếu các biến cố A , 1 A , , 2 A đôi một xung khắc thì: k

 1 2 k  1  2  k

P A A A P A P A P A

d) Biến cố đối: Cho A là một biến cố Khi đó biến cố “không xảy ra A”, ký hiệu là A , được gọi

là biến cố đối của biến cố A Cho biến cố A, xác suất của biến cố đối của nó được tính bởi công

thức

  1  

5 Quy tắc nhân xác suất

a) Biến cố giao

 Giao của hai biến cố: Cho hai biến cố A và B Biến cố “cả A và B đều xảy ra”, ký hiệu là

AB được gọi là giao của hai biến cố A và B

 giao của nhiều biến cố: Cho k biến cố A , 1 A , , 2 A Biến cố “ tất cả các biến cố k A , 1 A , , 2

k

A đều xảy ra” , ký hiệu là A1A2A k được gọi là giao của các biến cố A , 1 A , , 2 A k

b) Biến cố độc lập

Hai biến cố A và B được gọi là độc lập nếu sự xảy ra của biến cố này không ảnh hưởng đến xác xuất của biến cố kia

c) Quy tắc nhân xác suất

Nếu A và B là hai biến cố độc lập thì P A B P A P B   

Nếu k biến cố A , 1 A , , 2 A đôi một độc lập thì k

 1 2 k    1 2  k

P A A A P A P A P A

B Bài tập

Bài 1 Gieo ba đồng xu một cách độc lập Tính xác suất để

1) Cả ba đồng xu đều sấp

2) Có ít nhất một đồng xu sấp

3) Có đúng một đồng xu sấp

Bài 2 Xác suất bắn trúng hồng tâm của một người bắn cung là 0, 2 Tính xác suất để trong ba lấn bắn độc lập

1) Người đó bắn trúng hồng tâm cả ba lần

2) Người đó bắn trúng hồng tâm đúng một lần

3) Ngưới đó bắn trúng hồng tâm ít nhất một lần

Bài 3 Giao hai đồng xu A và B một cách độc lập Đồng xu A được chế tạo cân đối Đồng xu

B được chế tạo không cân đối nên xác suất xuất hiện mặt sấp gấp ba lần xác suất xuất hiện mặt ngửa Tìm xác suất để

1) Khi gieo hai đồng xu thì cả hai đồng xu đều ngửa

2) Trong cả hai lần gieo thì trong mỗi lần cả hai đồng xu đều ngửa

Bài 4 Trong một bài thi trắc nghiệm khách quan có 10 câu Mỗi câu có 5 phương án trả lời, trong đó chỉ có một phương án đúng Một học sinh làm bài bằng cách mỗi câu đều chọn ngẫu nhiên một phương án trả lời Tính xác suất để học sinh đó trả lời đúng cả 10 câu

Bài 5 Trong một hòm đựng 10 chi tiết đạt tiêu chuẩn và 5 chi tiết là phế phẩm Lấy đồng thời 3

chi tiết Tính xác suất:

1) Cả 3 chi tiết lấy ra thuộc loại đạt tiêu chuẩn

2) Trong số 3 chi tiết lấy ra có 2 chi tiết đạt tiêu chuẩn

Bài 6 Thang máy của một tòa nhà 7 tầng xuất phát từ tầng một với 3 khách Tìm xác suất để:

1) Tất cả cùng ra ở tầng bốn

2) Tất cả cùng ra ở một tầng

3) Mỗi người ra một tầng khác nhau

Bài 7 Một người gọi điện thoại cho bạn nhưng lại quên mất 3 chữ số cuối và chỉ nhớ rằng chúng

khác nhau Tìm xác suất để người đó quay số một lần được đúng số điện thoại của bạn

Bài 8 Ta kiểm tra theo thứ tự một lô hàng có 10 sản phẩm Mỗi sản phẩm thuộc một trong hai

loại: Tốt hoặc Xấu Ký hiệu Ak (k = 1,…,10 ) là biến cố chỉ sản phẩm kiểm tra thứ k thuộc loại xấu Biểu diễn các biến cố sau theo Ak :

1) Cả 10 sản phẩm đều xấu

2) Có ít nhất một sản phẩm xấu

3) Có 6 sản phẩm kiểm tra đầu là tốt, các sản phẩm còn lại là xấu

4) Có 6 sản phẩm kiểm tra đầu là xấu.|

Bài 9 Hai người cùng bắn vào một mục tiêu Khả năng bắn trúng của từng người là 0,8 và 0,9

Tìm xác suất:

1) Chỉ có một người bắn trúng mục tiêu

2) Có người bắn trúng mục tiêu

3) Cả hai người bắn trượt

Bài 10 Có 1000 vé số trong đó có 20 vé trúng thưởng Một người mua 30 vé, tìm xác suất để

người đó trúng 5 vé

Bài 11 Để được nhập kho, sản phẩm của nhà máy phải qua 3 vòng kiểm tra chất lượng độc lập

nhau.Xác suất phế phẩm được phát hiện ra ở các vòng lần lượt theo thứ tự là 0,8; 0,9 và 0,99 Tính xác suất phế phẩm được nhập kho

Bài 12 Một thủ kho có một chùm chìa khóa gồm 9 chiếc trông giống hệt nhau trong đó chỉ có

một chiếc mở được kho Anh ta thử ngẫu nhiên từng chìa khóa một, chiếc nào được thử thì không thử lại Tính xác suất anh ta mở được cửa ở lần thử thứ 4

Bài 13 Một lô hàng có 9 sản phẩm Mỗi lần kiểm tra chất lượng lấy ngẫu nhiên 3 sản phẩm Sau

khi kiểm tra xong trả lại vào lô hàng Tính xác suất để sau 3 lần kiểm tra lô hàng, tất cả các sản phẩm đều được kiểm tra

Bài 14 Một nhà máy ôtô có ba phân xưởng I, II, III cùng sản xuất ra một loại pít-tông Phân

xưởng I, II, III sản xuất tương ứng 36%, 34%, 30% sản lượng của nhà máy, với tỷ lệ phế phẩm tương ứng là 0,12; 0,1; 0,08

1) Tìm tỷ lệ phế phẩm chung của nhà máy

2) Lấy ngẫu nhiên một sản phẩm kiểm tra và được sản phẩm là phế phẩm Tính xác suất để phế phẩm đó là do phân xưởng I, II, III sản xuất