Khóa luận tốt nghiệp toán Phép nghịch đảo

Trong đó, ở nhiều trường hợp phép biến hình là công cụ hữu hiệu cho phép giải toán hợp lí và ngắn gọn hơn trong việc giải các lớp bài toán hình học như: bài toán chứng minh, bài toán quỹ

TRƯỜNG ĐẠI HỌC sư PHẠM HÀ NỘI 2 KHOA TOÁN

Trong quá trình thực hiện khoá luận em đã nhận được nhiều sự giúp đỡ quý báu

và bổ ích từ các thầy cô và bạn bè Em xin chân thành cảm ơn các thầy cô trong khoa Toán trường Đại học sư phạm Hà Nội 2 đã tận tâm giảng dạy, truyền thụ kiến thức và kinh nghiệm quý báu để em hoàn thành tốt khoá học Đặc biệt, em xin bày tỏ lòng cảm

ơn sâu sắc của mình tới thầy Bùi Văn Bình, thầy đã trực tiếp hướng dẫn, nhiệt tình giúp đỡ

và chỉ bảo em trong suốt quá trình thực hiện khoá luận

Em xin chân thành cảm ơn các thầy cô trong tổ Hình học - khoa Toán, thư viện nhà trường, gia đình và bạn bè đã tạo mọi điều kiện, động viên, giúp đỡ để em hoàn thành khoá luận này

Nguyễn Thị Mai Lan

Tôi cam đoan khoá luận “Phép nghịch đảo ” là kết quả nghiên cứu của tôi dưới sự hướng dẫn của thầy Bùi Văn Bình

Tôi xin khẳng định kết quả nghiên cứu trong khoá luận này không trùng với kết quả của bất cứ tác giả nào khác Nếu sai tôi xin chịu hoàn toàn trách nhiệm

Nguyễn Thị Mai Lan

LỜI CẢM ƠN

MỤC LỤC

Trong đó, ở nhiều trường hợp phép biến hình là công cụ hữu hiệu cho phép giải toán hợp lí và ngắn gọn hơn trong việc giải các lớp bài toán hình học như: bài toán chứng minh, bài toán quỹ tích, bài toán dựng hình và bài toán tính toán.

Trong chương trình THPT một số phép biến hình đã được đưa vào giảng dạy như : phép đối xứng trục, phép đối xứng tâm, phép quay, phép tịnh tiến, phép vị tự, phép đồng dạng tuy nhiên phép nghịch đảo cũng là một phép biến hình nhưng lại không được đề cập đến Hầu như các bài áp dụng phép nghịch đảo là các bài toán hay, các bài toán thi học sinh giỏi quốc gia, quốc tế Việc sử dụng phép nghịch đảo để giải quyết các bài toán hình học nhiều khi rất cần thiết Đặc biệt trong nhiều bài toán, nhiều khi không dùng phép nghịch đảo thì việc tìm một lời giải trở nên gặp rất nhiều khó khăn cho người học toán

Phép nghịch đảo là một công cụ quan trọng trong hình học, nó xuất hiện như một điều tất yếu của sự phát triển tư duy toán học - tư duy biến hình Trong mỗi bài toán có sử dụng phép nghịch đảo để giải quyết thì phép nghịch đảo là một mắt xích quan ừọng, một định hướng thông suốt trong quá trình tư duy Ngoài ra, phép nghịch đảo với các tính chất khác biệt của

nó đưa đến hướng giải quyết mới trong việc giải một số lớp bài toán của hình học

Với những lý do trên chúng tôi lựa chọn đề tài “Phép nghịch đảo” để thực hiện khóa luận tốt nghiệp Đại học

4

2 Mục đích, nhiệm vụ nghiên cứu

Nghiên cứu các kiến thức cơ bản của phép nghịch đảo và ứng dụng của nó trong việc giải các lớp bài toán hình học

Xây dựng hệ thống các ví dụ minh họa và bài tập tự luyện thể hiện việc sử dụng phép nghịch đảo vào giải các lớp bài toán hình học

3 Đối tượng, phạm vi nghiên cứu

Đối tượng nghiên cứu: phép nghịch đảo Phạm vi nghiên cứu: ứng dụng của phép nghịch đảo trong việc giải các lớp bài toán hình học

4 Phương pháp nghiên cứu

Nghiên cứu lí luận, phân tích, tổng họp, đánh giá

Nghiên cứu sách giáo trình, bài giảng chuyên đề và các tài liệu tham khảo có liên quan

5 Cấu trúc khóa luận

Ngoài phần mở đầu, kết luận, khóa luận gồm hai chương:

Không gian bảo giác En ( n = 2,3) bổ sung phần tử {oo} ( điểm vôcực) đuợc gọi là không gian bảo giác B"

Quy uớc: Trong không gian Bn mỗi đuờng thẳng hay mặt phẳng đều đi qua {oo}

Trong không gian bảo giác Bn cho điểm o ( ^ 00) cố định và số thực k

Ỷ 0 Phép biến hình trong không gian Bn biến :

M —>M' = N (M)Nếu M = o thì M' = 00 Nếu M = 00 thì M' = o

5

Nếu M Ể {o, oo| thì nằm trên OM và OM' OM= k đuợc gọi là phép nghịch đảo cực o, phuơng tích k.

Kí hiệu: NQ hoặc N(0, k)

Nhận xét: N(0, k) = Xo = N(0, -k) trong đó Xo là phép đối xứng tâm o

1.2Tính chất

Phép nghịch đảo là phép biển hình đối hợp: N 2 là phép đồng nhất.

Thật vậy, với V Mta có:

Nếu phuơng tích nghịch đảo k > 0 thì phép nghịch đảo NQ có tập

các điểm bất động là siêu cầu tâm o, bán kính là Vk ( g ọ i là siêu cầu nghịch đảo)

Nếu phuơng tích nghịch đảo k< 0 thì phép nghịch đảo không có điểm bất động.

Thật vậy:

Điểm M bất động qua phép nghịch đảo NQ <=> Nq(M) = M<=>OM2 = k

Nếuk > 0 thì MeNếu k < 0 thì không có điểm bất động nào

1.3Định lí

6

1.3.1 Đinh ỉỉl

Cho hai điểm M, N và ảnh M', N 7 của chúng qua phép nghịch đảo Nq

ĐỘ dài của MN và MTM' liên hệ bởi công thức sau:

|k|.MNMTST' =

OM.ON

Thật vậy:

ìSs Truông hợp o, M, N không thẳng hàng Theo tính chất 2 ta có tứ

AOMN-AONM

s MTST_ OM_ OM'.OM_ |k| yra MN ON

ON.OM OM.ON

IkLMNHay MTST'=

Nếu qua phép nghịch đảo Nq, siêu càu (Ci) = ( Oi,R) biến

ứiàĩih siêu cầu (C2) = ( 0 2,R) thì:

Gọi MN là đường kính của (Ci) mà o eMN và M, N1 thứ tự là ảnh của M, N qua Nq

8

1.3.2 Đinh lí 2

Cho phép nghịch đảo Nq, k > 0 của không gian B n Hai điểm

M, M' tuơng ứng với nhau qua phép nghịch đảo Nq khỉ và chỉ khỉ qua

M và M' có n siêu cầu trực giao với siêu cầu nghịch đảo.

Chứng minh

Ta chứng minh định lí ừong không gian B2, trong không gian B3

tiến hành tương tự

(=>) Giả sử M và M' tương ứng nhau qua phép nghịch đảo NQ , k

> 0 của không gian B2 Ta phải chứng minh hai đuờng ừong (Ci), (C2) trực giao với siêu cầu nghịch đảo (C) = (o, Vk)

(C2) = (MTST)

R

R2=|k|

o _o

|k|.MNOM.ON

Gọi (C) là đường tròn bất kì qua M, M'.

Để chứng minh định lí 1.3.3 tà chứng minh bổ đề sau đây:

Bổ đề : Trong không gian Bn, phép nghịch đảo Nghiến đường

cong (C) thành đường cong (C) Nếu A, A' là hai điểm tương ứng trên (C), (C) và tại đó có các tiếp tuyến thì các tiếp tuyến này đối xứng với nhau qua đường trung trực của AA'.

1

Chứng minh bổ đề

M', A' cùng thuộc một đường tròn (K), khi M dần tới A thì M' dần tới A'và cát tuyến AM dần đến tiếp tuyến At, cát tuyến AM dần đến tiếp tuyến A't', đường ừòn (K) dần tới đường tròn (K0)

Khi M = A thì At, A't' cũng là các tiếp tuyến của đường tròn (Ko), do đó chúng đối xứng nhau qua đường trung trực của AA'

Chứng minh định lí

Giả sử CÓ hai đường cong (C) VÀ (D) CẮT nhau Ở A, qua NQ biến thành hai đường cong tương ứng (C), (D1) cắt nhau tại A' = Nq (A)

1

Theo bổ đề trên thì các tiếp tuyến At và A't'đối xứng nhau qua đường trung trực của AA', các tiếp tuyến Au và Au' cũng đối xứng nhay qua đường trung trực AA'.

Theo phép đối xứng trục ta có:

(At,Au) = - (A't\ Au')

Do đó phép nghịch đảo bảo tồn góc giữa hai đường cong và làm ngược hướng của mình

1.3.4 Đinh lí 4 »

Phép nghịch đảo biển siêu phẳng không đi qua cực nghịch đảo thành siêu cầu đi qua cực nghịch đảo và biển siêu cầu đi qua cực nghịch đảo thành siêu phang không đi qua cực nghịch đảo.

Khi đó ÕM.ÕĨVf= ÕRÕH =k => Tứ giác MMNH là tứ

giác nội tiếp

=>( HM, MM) = (HH, MH) = 90°

Do OH1 cố định => M nằm trên đường tròn đường kính

Ngược lại, Lấy điểm N' bất kì ừên đường tròn đường kính OH,

N = NQ (N1), tương tự như trên ta có:

(NH, NN) = (NH, HH1) = 90° =^OH _LHN ^ N e d Vậy Nq((1) = (OK)

Do tính chất: Phép nghịch đảo là phép biến hình đối hợp nên phép nghịch đảo biến đường tròn đi qua cực nghịch đảo thành đường thẳng không đi qua cực nghịch đảo

Phép nghịch đảo biến siêu cầu không đi qua cực nghịch đảo thành siêu cầu không đi qua cực nghịch đảo.

Chứng minh:

Ta chứng minh trong B2 trong B3 tiến hành tương tự:

Giả sử cho phép nghịch đảo No và (C) là đường tròn không đi qua

o (C) có tâm I, OI cắt (C) tại A, B

Gọi A',B' thứ tự là ảnh của A, B qua phép nghịch đảo NQ và

1

(C) là đường tròn đường kính AB' Ta chứng minh (C) = NQ(C).

- Với V M e(C), M= NQ(M)

Nếu M =A hoặc B thì M trùng A'hoặc B'tức M e( AT3')

Nếu M Ể {A,B} thì tó giác AMMA' là tứ giác nội tiếp

=>AMO = AAM

Tứ giác BMMB'nội tiếp ^>A'BM= BMM Do M

G(C) =^AMB= 90° tức là M e(C) (1)

Với VNeíC) đều có A, B là ảnh của A',B' qua phép nghịch đảo NQ.

=>N = NQ (N1) nằm trên đường tròn đường kính AB Vậy V N*

e(C) đều có N e(C) sao cho N^(N) = N' (2)

- Tích của hai phép nghịch đảo không cùng cực phương tích dương cỏ thể

phân tích một cách duy nhất thành tích của một phép đổi xứng qua siêu phẳng và một phép nghịch đảo hoặc một phép nghịch đảo và một phép đối xứng qua siêu phẳng mà siêu phẳng đổi xứng là siêu phẳng đẳng phương của hai siêu cầu nghịch đảo.

trực giao với cả (C), (ơ) và tâm ( МММ') nằm trên Л.Xét Mi = SA (M), li = M"M1 n ■ Do tâm của ( МММ") trên

(M'M", М'О) = (ЩГ ,lp) -»(ММ', MO) = (IịM" , IịO)

1

( vì MMi // OIi) Vậy tứ giác PM^Onội tiếp =>Ii = NQ,(0) => li cốđịnh.

Xét phép nghịch đảo N* = N (Ib^ I / (МММ')), k = '9l/ (МММ') làhằng số do { (МММ')} là bộ phận chum liên hợp (C), (ơ) có trục đẳng phương là СЮ' Ta có NQ=NQ, = N* °S A

Xét M2 = SA (M"),12 = М'ЧУ^П Do đó MM2M"M1 là hình ứiang cân trục A nên Ib h đối xứng qua Д

1

CHƯƠNG 2PHÉP NGHỊCH ĐẢO VÀ ỨNG DỤNG TRONG VIỆC GIẢI CÁC

Dấu hiệu 1: Trong giả thiết (hình vẽ) hay kết luận của bài toán có tích độ dài đại số, hay tích độ dài của hai đoạn thẳng Chẳng hạn OM OM' = k với o, M, M thẳng hàng, điểm o thường là giao điểm của một

số đường tròn hoặc một số đường thẳng còn M và M' nằm trên hai đường tròn hoặc một nằm trên đường thẳng còn điểm kia nằm trên một đường tròn, k là hằng số xác định thường là phương tích của o với đường tròn M, M

Dấu hiệu 2: Trong dữ kiện bài toán có nhiều đường tròn tương giao với nhau: tiếp xúc, trực giao, cắt nhau theo một góc a cho trước Vì phép nghịch đảo có khả năng biến đường ừòn thành đường thẳng và ngược lại đồng thời bảo tồn góc giữa hai đường cong nên khi gặp bài toán có dấu hiệu trên ta có thể nghĩ đến việc dùng phép nghịch đảo để đưa bài toán về dạng đơn giản

2.2 Phép nghịch đảo và bài toán chứng minh

Bài toán chứng minh là bài toán cơ bản trong toán học nói chung

và ừong hình học nói riêng Bài toán chứng minh chứa đựng trong hàu

hết các bài toán hình khác như bài toán dựng hình, bài toán quỹ tích, bài toán tính toán.

Để giải bài toán chứng minh thông thường xuất phát tò giả thiết

A và những mệnh đề đúng đã biết, bằng lập luận chặt chẽ, quy tắc suy luận logic, dựa vào các định nghĩa, tiên đề tính chất, hệ quả của các đối tượng hình học để đi đến kết luận B Trong một số trường họp có thể phải chứng minh thêm một số bài toán phụ làm cơ sở để chứng minh bài toán ban đầu

2.2.2 Phương pháp giải

Để giải một bài toán chứng minh có ứng dụng phép nghịch đảo, thông thường bao gồm các thao tác sau:

Nghiên cứu kỹ đề tài, vẽ hình chính xác

Xác định rõ yếu tố cần chứng minh, các yếu tố cố định và quan

hệ ban đầu giữa các yếu tố đó

Dựa vào kết quả phân tích ở trên, lựa chọn một phép nghịch đảo với cực nghịch đảo và phương tích nghịch đảo xác định

Xác định ảnh và mối quan hệ giữa các ảnh của các yếu tố hình học để thể chuyển bài toán về một bài toán mới đơn giản hơn

Giải bài toán mới

Dựa vào tính chất của phép nghịch đảo để suy ra điều phải chứng

Lời giải:

Gọi K, L,M lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC,

CA của AABC

Giả sử :(S )là đường tròn đi qua các các điểm K, L, M (Si )là

đường tròn nội tiếp AABC

(S2) là đường tròn bàng tiếp tiếp xúc vơi các cạnh AB

f|PQ-Xét phép nghịch đảo N = N ( K,

KD) ta có: N (D) = D, N (E) = E N [(SO] = (Si*), N [(Sa)] = (Sa*)

Vị tự (Si) và (S2) với tâm vị tự K ta có (Si*) n AB = E, (S2*) n AB = D

Do đó ta có:(Si*) = (Si), (S2*) = (S2) hay Si, s2 bất biến qua phép

Ví du 2: Cho đường tròn tâm o đường kính AB và đường thẳng

d _L AB Đường tròn tâm A cắt (O) ở c và cắt d ở D' AC cắt d tại c,AD' giao với (O) tại giao điểm thứ hai D

Chứng minh rằng : cc = DD'

Lời giải:

Gọi I là giao điểm của d và AB; đặt к = ALAB

Xét phép nghịch đảo N = ]Чд, ta có N(B) = I Theo giả thiết d

_LAB và do tính chất bảo toàn góc của phép nghịch đảo nên:

N(AB) J_N(d) => N(d) -LAB (1)

Mặt khác led =^>B G N(d) (2)

Từ (1) và (2) suy ra N(d) = (O), suy ra:

N(C) = С ACẢC = к và N(D) = D' <^> AD.AD' = к Lại có c, D' e(A) => AC = AD' =>AC = AD =>cc = Dơ

*) Gọi p, P' lần lượt là giao điểm của tiếp tuyến tại A với ВТ, в T'

Ta có: ОМ 1 АТ, BP _L АТ => ом // BP Xét trong ЛАВР có О là trung điểm AB, ом // BP => ОМ là đường trung bình của AABP Mà

M là trung điểm của AB nên AP = 2.AM Tương tự ta có AP' =

2.AM Do đó AP AP = 4k không đổi

Lập luận tương tự phàn trên, thay M M, к bởi p, P', 4k ta có TT' đi quađiểm cố định B4 = N2 (B3) với B3 = N3 (B), và hai phép nghịch đảo :

Với 3 điểm A', B', ơ bất kỳ ta luôn có: АЪ' + B'C > CA' |k|.AB |

k|.BC _ |k|.CA ^DADB + DB.DC “ DC.DA

<^> AC.BD <AB.CD + AD.BC

Dấu “ = ” xảy ra <» A', B', ơ thẳng hàng ứieo thứ tự

<^> Bốn điểm А, B, c, D đồng phẳng và tứ giác ABCD nội tiếp

Ví dụ 4: Cho 4 điểm không thẳng hàng А, B, c, D

CMR: Góc giữa hai đường tròn ( ABC) và ( ABD) bằng góc giữa haiđường tròn (CDA) và (CDB)

N[(CDB)] = (B'CD')Gọi D'x là tiếp tuyến của đường tròn (B'CD1) tại D'.

Ta có СТШ = CD’x = ị sđ CD’

Do đó góc giữa B' С và B' D' bằng góc giữa с D' và (B' с D') Do tính chất bảo toàn góc giữa hai đường của phép nghịch đảo suy ra góc giữa (ABC) và (ABD) bằng góc giữa (CDA) và (CDB)

Ví du 5: Cho đường ừòn (O, R) cố định và đường kính di động

BC của nó Giả sử A là điểm cố định khác о , không nằm trên (O) và

AB, AC cắt (О) tại điểm thứ hai lần lượt tại B', с

a, CMR: Các đường ừòn (ABC), (AB'C) đi qua điểm cố định khác А

b, CMR: Đường tròn ơle của ДАВС đi qua điểm cố định khác o

a, Xét phép nghịch đảo Ni = N (O, - R2), Ni (B) = c.

Gọi Ai = Ni (A) Do A cố định nên Ai cố định

Khi đó tứ giác ABAiC nội tiếp nên đường ừòn (ABC) đi qua Ai cố định

Xét phép nghịch đảo N2 = N (A, £p A/ (O)).

N2(B)=B\ N2(C)=C

=^>N2[(ABC)] = BC , mà BC đi qua o cố định =>

Đường tròn (AB' C) đi qua Oi = N2 (O) cố định)

b, Đường tròn ơle của tam giác ABC đi qua trung điểm o của BC, hai chân đường cao B', c do đó đường tròn (OB' C)

Do N2 (O) = Oi, N2 (B') = B, N2 (C) = c nên N2 [(OB' C)] = (OiBC) Vì

Oi cố định nên thay vai trò của điểm A ở câu a) bỏi Oi ta có (OiBC) đi qua D = N2(Oi) cố định và (OiBC) đi qua D' = N2( D)

Ví du 6 : Trong không gian (( ệ ) ? tâm o, bán kính R và điểm A cốđịnh nằm ngoài (W). Mặt phẳng (a) thay đổi qua tâm o cắt ( ^) theo đường tròn (S)

a, CMR: Mặt càu (‘ễ) qua A và (S) đi qua một điểm cố định khác A

b, Điểm M di động trên (S), AM cắt mặt cầu ( ệ ( p ) tại N CMR: N

di chuyển ừên một đường ừòn (S') và mặt càu qua A và (S') đi qua một điểm cố định khác A

a) Gọi CD là đường kính bất kỳ của (S)

Xét phép nghịch đảo: N1 = N (O, - R2), N1 (C) = D

Gọi Al = Ni (A) thì Al cố định do A cố định.

Theo tính chất của phép nghịch đảo : tứ giác ACAiD nội tiếp

=> Al E (ACD) <z( W' ) đi qua Ai cố định

Xét phép nghịch đảo N2 = N (O, k), N2 (M) = N , N2[( Г)] = {W)

Gọi mặt cầu ( р*7*) = N [(a)]

MàM e (S) = («) n(r)suyraN e( r*)n ( Г) = (S').

Do đó điểm N di chuyển trên đường tròn (S') cố định

Ta có mặt cầu ( < ễ P *) đi qua A và (S')

Do (a) đi qua о cố định nên ( W*) = N2 [(«)] đi qua Oi = N2 (O) cố định

Ví du 7: Trong không gian cho đường tròn (S) nằm trên mặt phẳng (a)

Điểm о nằm ngoài (a). GỌi H là hình chiếu vuông góc của

О ữên (a). Điểm M bất kì thuộc (S), M là hình chiếu của H lên OM CMR: M nằm trên một đường tròn cố định

Ta có: OM OM = OH2

Xét phép nghịch đảo: N = N ( o, OH2) , N (M) = M Ta

có: M e (ar), mặt phang (a)không đi qua o

=>M G = N ((aO) ( Mặt cầu (<ệ) cố định qua O)

Mặt khác: M G mặt cầu (<ệ) đi qua o và (S) nên M e(yổ) = N ((<ệ))

( Mặt phẳng (yỡ) cố định không qua O)

Do đó: M e (S') = ( lTp) n (/?) (đường tròn (S1) cố định), (đpcm)

Ví du 8 : Trong mặt phẳng (a) cho đường tròn tâm o và hai dây cung

AC, BD cắt nhau tại H Trên đường thẳng vuông góc với (a) tại H ta lấy điểm s Gọi A', B', C,D' lần lượt là hình chiếu vuông góc của H trên các đường thẳng SA, SB, sc, SD Chứng minh rằng A', B',

Lời giải:

Gọi I là tâm của mặt cầu chứa chỏm cầu (C ) Xét mặt phẳng (a) đi qua I, o, O’

Mặt phẳng (a) sẽ cắt toàn bộ hình vẽ như sau:

Cắt chỏm cầu (C ) theo hình viên phân (c) theo đường tròn lớn (T) Cắt O’ theo đường tròn lớn (T) cắt tiếp diện chung của о và о ’ tại p Khi

đó ta có : (t) và (t’) nội tiếp viên phân (c) và tiếp xúc ngoài với nhau tại p.Mặt phẳng (a) cắt mặt cầu (I) theo đường tròn (t*) tạo ra hình viên phân nhỏ

Do đó (t) (f) đều là các đường tròn kép và ta có :

Vậy JP là tiếp tuyến chung của (t) (t’) hay JP = A.

Kết luận: Tiếp diện chung của (O) và (O’) tại p đi qua điểm J cố định (đỉnh của chỏm càu (C) đã cho

2.3 Phép nghịch đảo và bài toán quỹ tích

Bài toán quỹ tích là bài toán tìm quỹ tích hay tập hợp những điểm có

tính chất a cho trước Quỹ tích này có thể là tập rỗng, tập hữu hạn điểm hoặc tập vô hạn điểm

Thông thường để giải bài toán quỹ tích ta cần tiến hành theo hai bước : Bước 1 (phàn thuận): Chứng minh những điểm có tính chất a thuộc hình H

Bước 2 (phàn nghịch): Chứng minh mọi điểm thuộc hình H đều có tính chất a.