Chapter 9 sampling rate conversion

Trong công thức của phép nội suy lý tưởng, tín hiệu rời rạc đã được chuyển đổi thành tín hiệu tương tự và sau đó quay trờ lại là tín hiệu rời rạc với tần số gấp đôiQuá trình chuyển đổi t

CHAPTER 9: Sampling Rate Conversion

9.1 Introduction

Ý tưởng nội suy là một khái niệm quen thuộc đối với hầu hết chúng ta và có nguồn gốc trong phân tích số Thông thường, nội suy được thực hiện trên một bảng số đại diện cho một hàm toán học Một bảng số có thể được in trong trong sổ tay hay dược lưu trữ trong bộ nhớ máy tính Các phép nội suy thường đơn giản là xấp xỉ tuyến tính ( hoặc đường thẳng) Điểm khác biệt chính giữa nội suy trong xử lý tín hiệu số và nội suy trong phân tích số là chúng ta sẽ giả định rằng dữ liệu đã cho không giới hạn bẳng tần đối với một số dải tần số và phát triển sơ đồ một cách tối ưu trên cơ sở này, trong khi một nhà phần tích số thường giả định rằng dữ liệu gồm mẫu của đa thức ( hoặc gần như vậy) và phát triển sơ đồ để giảm thiểu lỗi kết quả.

Để thúc đẩy khái niệm nôi suy trong xử lý tín hiệu, nó hữu dụng để nghĩ tới một tín hiệu tương tự cơ bản ( tín hiệu gốc) được lấy mẫu để tạo ra tín hiệu rời rạc đã cho x(n) Nếu đã được lấy mẫu ở tỷ lệ yêu cầu tối thiểu, sau đó dựa trên định lý lấy mẫu, tín hiệu có thể được khôi phục hoàn toàn

từ các mẫu x(n) Nếu bây giờ chúng ta lấy mẫu tín hiệu tương tự đã được phục hồi này, gấp đôi tỷ lệ cũ thì chúng ta đã thành công trong việc tăng gấp đôi tỷ lệ lấy mẫu hoắc nội suy theo hệ số 2 với số lỗi nội suy là không Đặc biệt, ta có:

Tín hiệu rời rạc ban đầu: x(n)= (9.1)

Tín hiệu tương tự được tái tạo: (9.2)

Tín hiệu tương tự được lấy mẫu lại:

= (9.3)

Dẫn đến tín hiêu rời rạc tốc độ cao: y(m) (9.4)

Trong công thức của phép nội suy lý tưởng, tín hiệu rời rạc đã được chuyển đổi thành tín hiệu tương tự và sau đó quay trờ lại là tín hiệu rời rạc với tần số gấp đôiQuá trình chuyển đổi tỷ lệ lấy mẫu trong lĩnh vực kỹ thuật số có thể được xem như một hoạt động lọc tuyến tính, như mình họa hình 9.2

Tín hiệu đầu vào x(n) được đặc trưng bởi tần số lấy mẫu , và tín hiệu đầu ra y(m) được đặc trưng bởi tần số lấy mẫu , trong đó và là khoảng lấy mẫu tương ứng

Trong việc xử lý, tỷ lệ được ràng buộc để trở nên hợp lý

(9.5)

Trong đó D và I là các số tương đối nguyên tố Chúng ta sẽ cho thấy rằng bộ lọc tuyến tính được đặc trưng bởi đáp ứng xung theo thời gian, biểu thị qua

Ví dụ:

Giải pháp: tín hiệu giảm tần số lấy mẫu y(m)={1,3,3,1} Nếu bây giờ ta làm chậm x(n) bằng một mẫu, ta có x(n-1)={0,1,2,3,4,3,2,1} Mẫu tín hiệu rút gọn tương ứng , nó khác với y(m-1)

Thực hiện trên Matlab:

Biểu diễn miền tần số của tín hiệu được giảm tần số lấy mẫu y(m)

Chúng ta biểu diễn Y() theo X( bằng cách sử dụng biến đổi Z Dãy tốc độ cao , được đưa ra bởi:

Biểu diễn miền tần số của tín hiệu được giảm tần số lấy mẫu y(m)

Như đã hiển thị trong 9.6 Hình 9.4 cho thấy một ví dụ về chuỗi x(n), và y(m) định nghĩa trong (9.7) – (9.10)

Bây giờ phép biến đổi Z của chuỗi đầu ra y(m) là:

Các bước quan trọng để có được biến đổi Z (9.12), cho những mẫu giảm (D, như sau:

Sự mở đầu của chuỗi tốc độ cao , có (D-1) số không ở giữa các giá trị được giữ lại x(nD)

Biểu diễn chuỗi xung cho chuỗi lấy mẫu định kỳ liên quan x(n) với

Bằng cách ước lượng Y(z) trên vòng tròn đơn vị, chúng ta thu được phổ của tín hiệu ra y(m) Vì tốc độ của y(m) là: , tần số biến đổi, ta ký hiệu là , tính bằng radian và tương đối với tỷ lệ lấy mẫu

9.2.2 The Idea Decimator

Nhìn chung, (9.18) sẽ không hoang toàn chính xác và bộ giảm tần số lấy mẫu (D-1)

sẽ gây ra lỗi răng cưa không thuận thuận nghịch Để tránh lỗi răng cưa, đầu tiên ta phải giảm băng thông của x(n) đến hay tương đương Sau đó ta có thể giảm mẫu theo D và tránh được răng cưa

Quá trình phân rã được minh họa trong hình 9.6, chuỗi đầu vào x(n) được chuyển qua bộ lọc thông thấp, đặc trung bởi đáp ứng xung h(n) và đáp ứng tần số , thỏa mãn điều kiện lý tưởng

Vì vậy, bộ lọc loại bỏ quang phổ của trong khoảng từ <<

Đầu ra của bộ lọc là một chuỗi v(n)

Đặc tính miền tần số của chuỗi đầu ra y(m) đạt được thông qua tín hiệu lọc v(n) có thể

được xác định bằng cách làm theo các bước phân tích được đưa ra trước đó, bằng cách liên

hệ phổ của y(m) với phổ của dãy đầu vào x(n) Làm theo các bước này, ta có thể cho thấy rằng:

Thực hiện trên Matlab

9.3 Xúc tác bởi một yếu tố I

Tốc độ lấy mẫu tăng lên theo hệ số nguyên của I — tức là, Fy = IFx — có thể được thực hiện bằng cách nội suy I-1 mẫu mới giữa các giá trị liên tiếp của tín hiệu Quá trình nội suy có thể được thực hiện theo nhiều cách khác nhau Chúng ta sẽ mô tả một quá trình duy trì hình dạng phổ của chuỗi tín hiệu x (n) Quá trình này có thể được thực hiện trong hai bước Bước đầu tiên tạo ra một tín hiệu trung gian ở tốc

độ cao Fy bằng cách xen kẽ các số không vào giữa các mẫu khác không trong quá trình anoperation được gọi là upsampling Trong bước thứ hai, tín hiệu trung gian được lọc để “điền vào” các mẫu xen kẽ 0 để tạo ra tín hiệu tốc độ cao nội suy Như trước đây, trước tiên chúng ta sẽ nghiên cứu các đặc điểm chính về thời gian và tần

số của tín hiệu được lấy mẫu và sau đó giới thiệu hệ thống nội suy

9.3.1 The Upsample

• Gọi v (m) biểu thị chuỗi trung gian với tốc độ Fy = IFx, thu được từ x (n) bằng cách thêm I - 1 số không vào giữa các giá trị liên tiếp của x (n) Như vậy:

• (9.26)

• Và tốc độ lấy mẫu của nó giống với tốc độ v (m) Sơ đồ khối của bộ lấy mẫu

khuếch đại được thể hiện trong Hình 9.9 Một lần nữa, bất kỳ hệ thống nào chứa

bộ lấy mẫu đều là một hệ thống thay đổi theo thời gian (Vấn đề P9.1)

X(n) 9.9 Một phần tử usampling

• Biểu diễn miền tần số của tín hiệu được lấy mẫu ngược y (m) Dãy

v (m) có một biến đổi z

(9.27)

• Phổ tương ứng của v(m) thu được bằng cách đánh giá (9.27) trên

vòng tròn đơn vị Như vậy:

(9.28)

• Trong đó biểu thị biến tần số liên quan đến tốc độ lấy mẫu mới F( tức

là Bây giờ mối quan hệ giữa tỉ lệ lấy mẫu là F= IF và do đó các biến tần số và có liên quan tới nhau theo công thức:

(9.29)

9.3.2 Nội suy lý tưởng

Vì chỉ các thành phần tần số của x (n) trong khoảng 0 <ωy <π / I là duy nhất, ảnh của X (ω) trên ωy = π / I nên bị loại bỏ bằng cách cho chuỗi v (m) qua một ống thông thấp fi với đáp ứng tần số HI (ωy) lý tưởng có đặc tính

• Kể từ khi ωy = ωx / I, (9.32) có thể được biểu thị bằng:

y(0)= (9.33)

• do đó, C = I là hệ số chuẩn hóa mong muốn

• Hình 9.11: Bộ nội suy lý tưởng bởi yếu tố I

• Cuối cùng, chúng tôi chỉ ra rằng chuỗi đầu ra y (m) có thể được biểu diễn dưới dạng tích chập của chuỗi v (n) với phản hồi mẫu đơn vị h (n) của bộ lọc thông thấp Như vậy:

9.34

• Vì v (k) = 0 ngoại trừ tại bội số của I, trong đó v (kI) = x (k), (9.34) trở thành: 9.35

9.4 Chuyển đổi tỷ lệ lấy mẫu theo một yếu tố hợp lý

• Đã thảo luận về các trường hợp đặc biệt của số thập phân (lấy mẫu theo hệ số D) và phép nội suy (lấy mẫu theo hệ số I), bây giờ chúng ta xem xét trường hợp chung của chuyển đổi

tỷ lệ lấy mẫu theo hệ số hợp lý I / D.

• Về cơ bản, chúng ta có thể đạt được sự chuyển đổi tỷ lệ lấy mẫu này bằng cách thực hiện nội suy đầu tiên theo hệ số I và sau đó phân tách đầu ra của nội suy theo yếu tố D Nói cách khác, chuyển đổi tỷ lệ lấy mẫu bởi hệ số hợp lý I / D được thực hiện bằng cách xếp tầng một bộ nội suy với một bộ số thập phân, như được minh họa trong Hình 9.14.

• Chúng tôi nhấn mạnh rằng tầm quan trọng của việc thực hiện nội suy thứ nhất và lần phân

rã thứ hai là để bảo toàn các đặc tính phổ mong muốn của x (n) Hơn nữa, với cấu hình thác được minh họa trong Hình 9.14, hai bộ lọc có đáp ứng xung {hu (k)} và {hd (k)} được vận hành ở cùng một tốc độ, cụ thể là IFx, và do đó có thể được kết hợp vào một bộ lọc thông thấp duy nhất với đáp ứng xung h (k), như được minh họa trong Hình 9.15 Đáp ứng tần số

H (ωv) của bộ lọc kết hợp phải kết hợp các hoạt động lọc cho cả phép nội suy và số thập phân, và do đó lý tưởng nhất là nó phải có đặc tính đáp ứng tần số

Khi = /I=/I

Giải thích về (9.36) Lưu ý rằng V (ωv) và do đó W (ωv) trong

Hình 9.15 tuần hoàn với chu kỳ 2π / I Do đó, nếu

• D <I, khi đó bộ lọc H (ωv) cho phép toàn thời gian đi qua và không cólọc thông thấp thuần

• D> I, sau đó bộ lọc trước tiên phải cắt bớt chu kỳ cơ bản của W (ωv)

để tránh lỗi răng cưa trong giai đoạn phân tách (D ↓ 1) theo sau

Đặt hai quan sát này lại với nhau, chúng ta có thể nói rằng khi

D / I <1, chúng tôi có nội suy ròng và không cần làm mịn bằng

• Hình 9.14:Phân tầng của bộ nội suy và bộ giải mã để chuyển đổi tốc độ lấy mẫu theo hệ số I / D

• Hình 9.15:Phương pháp chuyển đổi tỷ lệ lấy mẫu theo hệ số I / D

• H (ωv) trừ chu kỳ cơ bản của W (ωv) Về mặt này, H (ωv) hoạt động như một bộ lọc thông thấp như trong bộ nội suy lý tưởng Mặt khác, nếu D / I> 1, thì chúng ta

có số thập phân thuần Do đó, trước tiên cần phải cắt ngắn ngay cả chu kỳ cơ bản của W (ωv) để giảm dải tần xuống [−π / D, π / D] và tránh hiện tượng răng cưa trong số thập phân sau đó Về mặt này, H (ωv) hoạt động như một bộ lọc làm mịn trong bộ số thập phân lý tưởng Khi D hoặc I bằng 1, bộ thập phân / bộ nội suy tổng quát trong Hình 9.15 cùng với (9.36) giảm xuống bộ nội suy hoặc bộ giải mã

lý tưởng tương ứng là trường hợp đặc biệt

• Trong miền thời gian, đầu ra của bộ lấy mẫu khuếch đại là chuỗi

• và đầu ra của bộ lọc bất biến thời gian tuyến tính là

• Cuối cùng, đầu ra của bộ chuyển đổi tốc độ lấy mẫu là chuỗi {y (m)}, thu được bằng cách lấy mẫu xuống chuỗi {w (k)} theo hệ số D Như vậy

• Hình 9.16:Ví dụ về các tín hiệu x (n), v (k), w (k) và y (m) trong lấy mẫu

bộ chuyển đổi tỷ lệ của Hình 9.15 cho I = 3 và D = 2

• trong đó h (k) là đáp ứng xung của bộ lọc thông thấp bất biến theo thời gian hoạt động ở tốc độ lấy mẫu IFx Chúng tôi quan sát thêm điều đó cho bất kỳ số nguyên k,

Do đó g (n, m) tuần hoàn trong biến m với chu kỳ I Về độ phức tạp tính toán của bộ lọc thông thấp trong chung, chúng tôi lưu ý rằng nó có đầu vào khác không chỉ với mỗi I mẫu và đầu ra chỉ được yêu cầu mỗi mẫu

D Nếu chúng tôi sử dụng triển khai FIR cho bộ lọc thông thấp này,

chúng tôi chỉ cần tính toán đầu ra của nó trong số mọi mẫu D Tuy nhiên, nếu thay vào đó chúng ta sử dụng triển khai IIR, chúng ta thường phải tính toán các kết quả đầu ra trung gian cũng bởi vì về bản chất đệ quy

của bộ lọc Tuy nhiên, cả hai loại bộ lọc đều có lợi từ sự tiết kiệm tính toán do đầu vào thưa thớt của họ Biểu diễn miền tần số của tín hiệu

được lấy mẫu lại y (m) Mối quan hệ miền tần số có thể thu được bằng cách kết hợp các kết quả của quá trình nội suy và số thập phân Do đó,phổ ở đầu ra của bộ lọc tuyến tính với đáp ứng xung h (k) là

9.5THIẾT KẾ BỘ LỌC FIR ĐỂ CHUYỂN ĐỔI TỶ LỆ MẪU

9.5.1 GIAO DIỆN TÍCH HỢP FIR

Phương trình liên quan liên quan đến các biến đổi Fourier V (ω) và X (ω) là:

V (ω) = X(ωI) (9.48)

Tần số nén bằng I và biên độ yêu cầu hệ số tỷ lệ I, bộ lọc thông thấp lý tưởng được xác định:

(9.49)

VÍ DỤ 9.8 Thiết kế một nội suy

để tăng tốc độ lấy mẫu đầu vào theo

hệ số I = 5.Sử dụng thuật toán firpm

để xác định các hệ số của bộ lọc

FIR có độ gợn sóng 0,1 dB trong

băng thông và giảm ít nhất 30 dB

trong stopband Chọn các giá trị

hợp lý cho các tần số cạnh dải

HÌNH 9.19 Đồ thị thiết kế bộ lọc nội suy FIR cho I = 4 và L = 5

Lời giải: Tần số cắt băng thông phải là ωp = π / I = 0,2π Để có được một giá trị cho

chiều dài bộ lọc, chúng tôi chọn chiều rộng chuyển tiếp là 0,12π, điều này cho tần số cắt của dải dừng ωs = 0,32π Lưu ý rằng bộ lọc trong băng thông phải bằng I = 5, có nghĩa là gợn song các giá trị được tính bằng cách sử dụng các giá trị decibel được chia tỷ lệ bằng

5 Bộ lọc có độ dài M = 31 đạt được các thông số thiết kế đã cho ở trên

Các phản hồi của bộ lọc FIR được thiết kế được cho trong Hình 9.20 Cũng mặc dù bộ lọc này vượt qua tín hiệu ban đầu, nhưng có thể một số năng lượng quang phổ lân cận cũng

có thể bị rò rỉ qua nếu tín hiệu có đầy đủ băng thông của π radian Do đó, chúng tôi cần các thông số kỹ thuật thiết kế tốt hơn, được thảo luận hơn nữa trong phần này.

VÍ DỤ 9.9 Cho x (n) = cos (0,5πn) Tăng tỷ lệ lấy mẫu đầu vào theo hệ số I = 5, sử dụng bộ lọc được thiết kế trong Ví dụ 9.8.

HÌNH 9.20 Các phản hồi của bộ lọc nội suy FIR

HÌNH 9.21 Biểu đồ tín hiệu

Biểu đồ gốc tín hiệu được thể hiện

trong Hình 9.21 Biểu đồ phía trên bên

trái hiển thị một đoạn của tín hiệu đầu

vào x (n) và biểu đồ phía trên bên phải

hiển thị tín hiệu nội suy y (n) sử dụng

bộ lọc có độ dài 31 Biểu đồ được sửa

cho độ trễ của bộ lọc và ảnh hưởng

của phản ứng nhất thời của nó Có

phần ngạc nhiên rằng tín hiệu nội suy

không phải là những gì nó nên được

Đỉnh tín hiệu nhiều hơn một, và hình

dạng bị bóp méo Quan sát cẩn thận

biểu đồ phản hồi của bộ lọc trong

Hình 9.20 cho thấy rằng độ rộng

chuyển tiếp rộng và sự suy giảm nhỏ

hơn đã cho phép một số năng lượng

quang phổ bị rò rỉ, tạo ra sự biến dạng

9.5.2 CÁC THÔNG SỐ KỸ THUẬT THIẾT KẾ

Tương ứng là tần số cạnh băng thông và băng dừng của bộ lọc FIR pha tuyến tính thông thấp được cho bởi:

Trong đó Hr (ω) là đáp ứng biên độ có giá trị thực và θ (ω) là đáp ứng pha không quấn Sau đó, chúng tôi có các thông số kỹ thuật thiết kế bộ lọc sau:

HÌNH 9.23 Các ô tín hiệu và các ô thiết kế bộ lọc trong Ví dụ 9.10

Đồ thị gốc tín hiệu và đồ thị thiết kế

bộ lọc được thể hiện trong Hình 9.23

Các bộ lọc được thiết kế có độ suy

giảm dải dừng tối thiểu là 53 dB, và

kết quả là nội suy chính xác ngay cả

với thứ tự bộ lọc là 32

Biểu đồ gốc tín hiệu được thể hiện trong Hình 9.26 Các biểu đồ bên bờ cho thấy tín hiệu x1 (n) và tín hiệu phân rã tương ứng y1 (n), và bên phải đồ thị hiển thị giống nhau đối với x2 (n) và y2 (n) Trong cả hai trường hợp, số thập phân xuất hiện để được chính xác Nếu chúng ta đã chọn bất kỳ tần số nào trên π / 2, thì bộ lọc sẽ đã làm suy giảm hoặc triệt tiêu tín hiệu.

9.5.4 CÁC THÔNG SỐ KỸ THUẬT THIẾT KẾ

Khi chúng ta thay thế bộ lọc thông thấp lý tưởng HD (ω) bằng bộ lọc FIR bậc hữu hạn

H (ω), chúng ta phải cho phép một dải chuyển tiếp.

*ω x, p là băng thông tín hiệu

được bảo toàn

*ω x, s là tần số mà lỗi răng cưa

được chấp nhận ở trên

HÌNH 9.26 Biểu đồ tín hiệu

trong Ví dụ 9.12

tương ứng là tần số cạnh băng thông và băng dừng của bộ lọc FIR pha tuyến tính thông thấp cho trong (9.51).

thông số kỹ thuật thiết kế bộ lọc:

*Ripple băng chuyền δ1 đo độ gợn sóng trong băng chuyền và do đó kiểm soát

độ méo trong băng thông tín hiệu ωp.

*Rợn băng dừng δ2 kiểm soát lượng năng lượng bí danh (cũng được gọi là rò rỉ)

đi vào băng tần lên đến ωx, s

HÌNH 9.27 Các ô tín hiệu và các ô thiết kế bộ lọc

Biểu đồ gốc tín hiệu và phản hồi

của bộ lọc được thể hiện trong

Hình 9.27 Các bộ lọc được thiết

kế đạt được mức suy giảm là 51

dB và tín hiệu đã phân rã là chính

xác.

9.5.5 CHUYỂN ĐỔI TỶ SUẤT QUỐC GIA-YẾU TỐ FIR

Đối với tín hiệu x (n)

*ω x, p là băng thông tín hiệu cần được bảo toàn

*ω x, s1 là băng thông tín hiệu tổng thể

*ω x, s2 là băng thông tín hiệu được yêu cầu để không có lỗi răng cưa sau khi lấy mẫu lại

Bây giờ đối với phần nội suy, bộ lọc thông thấp phải vượt qua các tần số lên đến

ωx, p / I và giảm dần tần số bắt đầu từ (2π / I - ωx, s1 / I) Các phần decimation của

bộ lọc lại phải chuyển tần số lên đến ωx, p / I nhưng làm giảm tần số trên (2π / D -

ωx, s2 / I)