Chương III: Quan hệ doc

Tập con này liệt kê các cặp của S2 có quan hệ R... R không phản xạ nếu:... 1.2: Sự phân hoạch thành các lớp tương đương:Cho S,~, qhệ tương đương ~ sẽ phân chia S thành các lớp tương đươn

1 Định nghĩa: Một quan hệ hai ngôi R trên S ≠ ∅ thực chất là 1 tập con R của S2 Tập con này liệt

kê các cặp của S2 có quan hệ R

R = { (x,y) ∈ S2 / x R y } ∈ S2

∀x,y ∈ S: x R y <=> (x,y) ∈ R

x ¬R y <=> (x,y) ∉ R

 Ví dụ:

Trên tập hợp X = { 1,2,3,4} , xét quan hệ 2 ngôi

R được định nghĩa bởi:

R = { (1,1), (1,3), (2,2), (2,4), (3,1), (3,3), (4,2), (4,4)}

Với quan hệ này ta có:2 R 4,nhưng 2 ¬R 3

2.Cách xác định 1 qhệ 2 ngôi R trên S khác ∅: Cách 1: Liệt kê R như 1 tập con của S

Ví dụ: S = Z Cho qhệ 2 ngôi trên S là:

R = {(0,0); (1,3);(-2,-5)(7,-6)}

(R là tập con của S2)

2.Cách xác định 1 qhệ 2 ngôi R trên S khác ∅: Cách 2: Nêu ra nội dung của qhệ 2 ngôi

Ví dụ: S = Z

∀x,y ∈ S: x R y <=> 3x2 > 2y3 + 1

5 R 3

4 ¬R 3

2.Cách xác định 1 qhệ 2 ngôi R trên S khác ∅:

Cách 3: Biểu diễn qhệ 2 ngôi R bằng ma trận

vuông nhị phân:

Kết quả trả về: 1 nếu x R y

0 nếu x ¬R y

Ví dụ: S = { a,b,c,d} và qhệ 2 ngôi R ( trên S) có ma trận như sau:

Ví dụ:

R = { (a,a);(a,c);(c,a);(c,c);(c,d);(d,b)}

3 Các tính chất:

Với R là quan hệ 2 ngôi trên S ≠ ∅ 3.1: Tính phản xạ:

a. R phản xạ nếu “∀x ∈ S: x R x “

b. R không phản xạ nếu:

 Ví dụ về tính chất phản xạ:

S= { 1,2,3} là tập hợp con của T={1,2,3,4}

R={(2,2),(1,3),(3,3),(1,1)} là tập hợp con của S2 và T2

R (trên S): R phản xạ vì 2 R 2; 1 R 1; 3 R 3

R ( trên T):R ko phản xạ vì tồn tại 4 thuộc T, 4 ¬R 4

3.Các tính chất:

3.2: Tính đối xứng:

R đối xứng nếu: “∀x,y ∈ S: x R y => y R x và

ngược lại

Ví dụ:

A={1,2,3}, xét quan hệ trên A

R3 = {(1,1), (3,2), (1,3), (3,1), (2,3)} là quan hệ đối xứng

R4 = {(2,1), (1,2), (3,2), (1,3), (3,1), (3,3)} là quan

hệ không đối xứng

3.Các tính chất:

3.3: Tính phản xứng:

R phản xứng nếu

∀x,y ∈ S: x R y và y R x => x = y Hoặc R phản xứng nếu:

∀x,y ∈ S: x ≠ y => x ¬R y và y ¬R x

3.Các tính chất:

3.4: Tính truyền (tính bắc cầu):

R truyền nếu

∀x,y,z ∈ S: x R y và y R z => x R z

1.Định nghĩa: Cho (S,R)

R gọi là qhệ tương đương nếu R có tính chất:

 Phản xạ

 Đối xứng

 Truyền

Kí hiệu :R ≡ ~

Ví dụ: S= { mọi người}

∀x,y ∈ S, ta đặt x ~ y <=> x cùng tuổi với y

∀x ∈ S, x cùng tuổi với x, nghĩa là x ~ x

∀x,y ∈ S, x ~ y => x cùng tuổi với y => y cùng tuổi với x => y ~ x ( tính đối xứng)

Tương tự với tính bắc cầu

1.Định nghĩa: Cho (S, ~) và a ∈ S

Tìm x ∈ S mà x ~ a

Đặt [a] = { x ∈ S / x ~ a} = { a,…}

∅ ≠ [a] là tập con của S

[a] là lớp tương đương của a xác định bởi quan hệ tương tương ~

1.2: Sự phân hoạch thành các lớp tương đương:

Cho (S,~), qhệ tương đương ~ sẽ phân chia S thành các lớp tương đương rời nhau từng đôi một Mỗi lớp tương đương có dạng [a] với a nào đó ∈ S

Nếu 2 ptử có qhệ ~ thì chúng thuộc cùng 1 lớp tương đương : x ~ y

Nếu 2 ptử không qhệ ~ thì chúng thuộc 2 lớp tương đương rời nhau : x ~ y