Chương III: Quan hệ pot

Định nghĩa: Một quan hệ hai ngôi R trên tập một tập A khác rỗng được gọi là một quan hệ thứ tự nếu và chỉ nếu có ba tính chất: phản xạ, phản xứng và truyền bắc cầu... Quan hệ thứ tự toà

1

Định nghĩa:

Một quan hệ hai ngôi R trên tập một tập A (khác rỗng) được gọi là một quan hệ thứ tự nếu và chỉ nếu có ba tính chất: phản xạ, phản xứng và truyền ( bắc cầu )

Ta kí hiệu quan hệ thứ tự là: ≺

Cặp (A, ≺) được gọi là tập sắp thứ tự hay poset

2

Vd1: Với 2 số a và b trên tập N* ta nói a b có quan hệ lũy thừa

(“^”) nếu tồn tại một số nguyên dương k sao cho a mũ k bằng

b

Khi đó (N*, ^ ) là tập sắp thứ tự vì quan hệ “ ^ “ có tính:

• Phản xạ: aN* ta có, a^a vì a=a1

• Phản xứng: a^b nghĩa là  k sao cho ak =b.

b^a nghĩa là  j sao cho bj =a (k, j nguyên) Khi đó, ta có ak = b  akj =bj

akj = a  k=1 và j=1  a = b

• Bắc cầu: a^b nghĩa là  k sao cho ak = b b^c nghĩa là  j sao cho bj = c

Vd2: Với 2 số a và b trên tập R*+ ta nói a và b có

quan hệ R nếu phương trình: ax = b có nghiệm

Khi đó, (R*+ , R ) không là tập sắp thứ tự vì quan

hệ R không có tính phản xứng Vì:

Phương trình: 2x =3 có nghiệm và phương trình

3x =2 có nghiệm, nhưng 2  3.

4

 Cho (S,≺) là tập sắp thứ tự Khi đó, với 2 phần tử

a và b thuộc S Nếu a ≺ b hoặc b ≺ a thì a và b

được gọi là so sánh được Ngược lại, ta nói a và b

không so sánh được

 Cho (S,≺) là 1 tập sắp thứ tự và với mỗi hai phần

tử a và b tùy ý thuộc S ta đều có a và b so sánh

được thì ta nói đó là tập sắp thứ tự toàn phần

Ta cũng nói rằng ≺ là thứ tự toàn phần hay thứ tự

tuyến tính

 Ngược lại, nếu tồn tại 2 phần tử a và b thuộc S

sao cho a và b không so sánh được thì ta nói (S,≺)

là tập sắp thứ tự bán toàn phần và ≺ là quan hệ

Vd: Quan hệ (N*,^) là tập sắp thứ tự bán toàn phần vì:

 Nó là 1 tập sắp thứ tự.

 Không tồn tại 2^3 hay 3^2.

6

Vd: Quan hệ “  ” trên tập số nguyên dương là thứ tự

toàn phần Cho (R , ) là tập sắp thứ tự vì quan hệ

“ “ có tính:

 Phản xạ: aR ta có, a  a.

 Phản xứng: a  b và b  a  a = b.

 Bắc cầu: a  b và b  c thì a  c.

Ta có quan hệ “  ” là một quan hệ thứ tự toàn phần vì  a  b thì ta có b  a (b=a). 7

Định nghĩa:

Cho (A, ) và (B, ’) là hai tập sắp thứ tự toàn phần Ta định nghĩa thứ tự trên A x B như sau: ≺

(a1,b1) (a ≺ 2,b2) nếu a1 < a2 hay (a1 = a2 và b1 ’ b2 ).

Ta thấy đây là thứ tự toàn phần trên A x B vì nó có tính:

1 Phản xạ: (a,b)  A x B thì ta có (a,b) vì a = a và ≺ b ’ b.

2 Phản xứng: Nếu (a1,b1) (a ≺ 2,b2) (1) và (a2,b2) (a ≺ 1,b1) (2) thì ta có: nếu a1  a2 thì (1)  a1 < a2 và (2)  a2 < a1 (Vô lý)

Vậy a1 = a2.

Tương tự, ta có b1 = b2

Vậy, ta có: (a1,b1) = (a2,b2) 8

3 Bắc cầu: Nếu (a1,b1) (a ≺ 2,b2) (1) và (a2,b2) (a ≺ 3,b3) (2) thì ta

có a1  a2 và a2  a3  a1  a3 Nếu a1 < a3 thì ta đã có (a1,b1) (a ≺ 3,b3)

Nếu a1 = a3 thì chứng minh tương tự ta sẽ có b1 ’ b3

Vây ta luôn có (a1,b1) (a ≺ 3,b3)

Quan hệ thứ tự toàn phần này được gọi là thứ tự tự điển ≺

9

Phần tử trội:

 Phần tử b trong tập sắp thứ tự S được gọi là phần tử trội

của phần tử a trong tập S nếu a b.≺

 Chúng ta cũng nói rằng a là được trội bởi b Phần tử b

được gọi là trội trực tiếp của a nếu b là trội của a, và

không tồn tại trội c của a sao cho: a c b, a ≺ ≺  b  c

Vd: Với tập sắp thứ tự (N, <) thì ta có:

 5 là phần tử trội của 2 vì 2 < 5

 3 là phần tử trội trực tiếp của 2 vì không tồn tại số c

 N sao cho 2 < c < 3 (2  c  3)

 4 là phần tử trội nhưng không trội trực tiếp của 2 vì

tồn tại phần tử c = 3 mà 2 < c < 4

10

 Định nghĩa: Biểu đồ Hasse của tập sắp thứ tự (S, ) là ≺

một đồ thị có hướng mà:

Mỗi phần tử của S được biểu diễn bằng một điểm trên

mặt phẳng

Nếu b là trội trực tiếp của a thì vẽ một cung đi từ a

đến b

 Vd: Cho (S, ) là một tập sắp thứ tự với S = {a, b, c, d, ≺

e} a b, a c, b c, b d.≺ ≺ ≺ ≺

b

d

e

a

c

11

Vd: Cho tập sắp thứ tự ({1, 2, 5, 7, 8, 15, 30}, “|”)

Hãy vẽ biểu đồ Hasse của nó.

1

2

5

7 8

15

Định nghĩa: Trong một tập sắp thứ tự (S, ), một phần tử a ≺  S được

gọi là:

 Cực tiểu nếu: x  S ta đều có a x ≺

 Cực đại nếu: x  S ta đều có x a ≺

Kí hiệu:

 Phần tử cực tiểu: a = min(S, ) ≺

 Phần tử cực đại: b = max(S, ) ≺

Nhận xét:

 Trong một tập sắp thứ tự có thể không có phần tử cực đại và cực

tiểu.

 Nếu tồn tại phần tử cực đại và cực tiểu thì chúng là duy nhất.

 Nếu tập sắp thứ tự (S, ) có |S| hữu hạn và là quan hệ thứ tự ≺ ≺

toàn phần thì (S, ) luôn có phần tử cực đại và phần tử cực tiểu ≺ 13

Cho tập sắp thứ tự (S, “”) với S = [5, 10] (S  R)

Khi đó ta có:

• Min(S, “”) = 5.

• Max(S, “”) = 10.

Tập sắp thứ tự (S, “|”) với S = {3, 4, 5, 6, 7} không

có phần tử cực đại và phần tử cực tiểu

Tập sắp thứ tự (S, “^”) với S = {2, 4, 16, 256, 4096}

có:

• Min (S, “^”) = 2.

• Không có phần tử cực đại.

14

Định nghĩa: Một phần tử a trong tập sắp thứ tự (S, ) được ≺

gọi là:

 Tối tiểu nếu không tồn tại bất kì phần tử a’  S (a’  a) mà

a’ a ≺

 Tối đại nếu không tồn tại bất kì phần tử a’  S (a’  a) mà a

a’.

≺

Nhận xét:

Trong một tập sắp thứ tự thì luôn luôn tồn tại phần tử tối

tiểu và tối đại, nhưng chúng có thể không là duy nhất

Trong biểu đồ Hasse:

 Không có cung nào xuất phát từ phần tử tối đại.

 Không có cung nào kết thúc tại phần tử tối tiểu. 15

Vd: Cho tập sắp thứ tự ({1, 2, 5, 7, 8, 15, 30}, “|”}.

Hãy tìm các phần tử tối đại và tối tiểu của nó

 Phần tử tối đại (màu đỏ) : 7, 8, 30

 Phần tử tối tiểu (màu xanh) : 1, 5, 7

1

2 5

7

8

15

16

 Sẽ thêm vào sau

17