The tich khoi da dien va khoi chop

- Thể tích tứ diện ABCD: Thể tích của một khối tứ diện bằng một phần ba tích số của diện tích mặt đáy và chiều cao của khối tứ diện tương ứng.. V 1 S BCD .AH 3  - Thể tích khối chóp ta

THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN VÀ KHỐI CHÓP DẠNG TOÁN 1 THỂ TÍCH KHỐI TỨ DIỆN

- Tứ diện ABCD: bốn mặt là tam giác

- Tứ diện đều khi có 6 cạnh bằng nhau, bốn mặt là tam giác đều

- Thể tích tứ diện ABCD: Thể tích của một khối tứ diện bằng một phần ba tích số của diện tích mặt đáy

và chiều cao của khối tứ diện tương ứng V 1 S BCD AH

3



- Thể tích khối chóp tam giác S.ABC: Thể tích của một khối chóp bằng một phần ba tích số của diện

tích mặt đáy và chiều cao của khối chóp đó V 1 B.h

3



Chú ý:

1) Tứ diện hay hình chóp tam giác có 4 cách chọn đỉnh chóp

2) Tứ diện nội tiếp hình hộp, tứ điện gần đều (có 3 cặp cạnh đối bằng nhau) nội tiếp hình hộp chữ nhật và tứ diện đều nội tiếp hình lập phương

3) Khi tính toán các đại lượng, nếu cần thì đặt ẩn rồi tìm phương trình đề giải ra ẩn đó

4) Đề tính diện tích, thể tích có khi ta tính gián tiếp bằng cách chia nhỏ các phần hoặc lấy phần lớn hơn trừ

đi các phần dư,

Bài toán 1: Cho tứ diện đều ABCD có cạnh bằng a Tính khoảng cách giữa các cặp cạnh đối diện và thể tích

của hình tứ diện đều đó

  nênJABcân tạiJ IJ AB

Tương tựICDcân đỉnh I nên:

Bài toán 3: Cho tứ diện ABCD có các mặt ABC và ABD là các tam giác đều cạnh a, các mặt ACD và BCD

vuông góc với nhau

a) Hãy tính theo a thể tích khối tứ điện ABCD

b) Tính số đo của góc giữa hai đường thẳng AD, BC

Giải

a) Gọi M là trung điểm của CD, khi đó AM CD,

BM CD.

Từ giả thiết suy ra AMB 90

Mà AM BMnên tam giác AMB vuông cân tại M

Bài toán 4: Cho tứ diện SABC có các cạnh bên SA = SB = SC = d và ASB120 , BSC 60 , ASC  90

a) Chứng minh tam giác ABC là tam giác vuông

b) Tính thể tích tứ diện SABC

Giải

a) Tam giác SBC đều nên BC = d

Tam giác SAB cân và góc ASB120nên

Tam giác SAC vuông tại S nênACd 2.

Tam giác ABC vuông tại C vì: BC 2AC 2d 22d 23d 2AB 2

b) Vì SA = SB = SC nên ta suy ra hình chiếu vuông góc của đỉnh S xuống mặt phẳng (ABC) phải trùng với trung điểm H của đoạn AB vì ta có HA = HB = HC

Vì ASB120 nên SH SB d

  , ta có

2 ABC

Bài toán 5: Cho tứ diện ABCD Chứng minh thể tích tứ diện không đổi trong các trường hợp:

a) Đỉnh A di chuyển trên mặt phẳng (P) song song với (BCD)

b) Đỉnh A di chuyển trên đường thẳng d song song với BC

c) Hai đỉnh B và C di chuyển trên đường thẳng  nhưng vẫn giữ nguyên độ dải

Giải

Thể tích tứ diện ABCD không đổi vì:

a) Tam giác đáy BCD cố định và đường cao không

đổi là khoảng cách từ A mặt phẳng (BCD), chính là

khoảng cách giữa 2 mặt phẳng song song (P) và (BCD)

b) Tam giác đáy BCD cố định và đường cao không

  không đổi và chiều cao

Bài toán 7: Cho điểm M nằm trong hình tứ diện đều ABCD Chứng minh rằng tổng các khoảng cách từ M

tới bốn mặt của hình tứ diện là một số không phụ thuộc vào vị trí của điểm M

Tổng đó bằng bao nhiêu nếu cạnh của tứ diện đều bằng a?

Giải

Gọi h là chiều cao và S là diện tích các mặt tứ diện đều

GọiH ,H ,H ,H 1 2 3 4lần lượt là hình chiếu của điểm

M trên các mặt phẳng (BCD), (ACD), (ABD), (ABC)

Khi đóMH ,MH ,MH ,MH lần lượt là khoảng

a) Thể tích khối tứ diện ABMN

b) Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau AB và MN

Khoảng cách h giữa hai đường thẳng AB và

MN bằng khoảng cách từ AB tớimp MNM hay

Bài toán 10: Cho hình lăng trụ đứngABC.A B C  có đáy ABC là tam giác vuông tại B,

ABa, AA2a, A C 3a Gọi M là trung điểm của đoạnA C , I là giao điểm của AM vàA C Tính theo a thể tích khối tứ diện IABC và khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (IBC)

V IH S

b) HạAK  A B K  A B .VìBCABB A nênAKBCAK IBC

Khoảng cách từ A đến mặt phẳng (IBC) là AK

Bài toán 11: Cho hình lập phươngABCD.A B C D   có cạnh bằng a GọiOlà tâm của mặt đáyA B C D   ,

điểm M nằm trên đoạn thẳng BD sao choBM 3 BD

4

 Tính thể tích khối tứ diệnABMOvà khoảng cách

giữa hai đường thẳng AM ,O D.

Giải

Gọi O là tâm của hình vuôngABCDOOABM 

Từ giả thiết suy ra M là trung điểm của OD

Ta có

2 2 ABM ABD

Suy ra V ABMO 1 S ABM OO 1 3a a a

Giải

Ta có:BCBD a 2b ,C D 2  a 2

Suy ra tam giácBC D cân tại B

Gọi H là trung điểm của CD thìBHC D

Tam giácBC H vuông:

Khi a = b thì hình hộp đã cho là hình lập phương

Từ đó tính được góc giữa hai mặt phẳng bằng90

DẠNG TOÁN 2 THỂ TÍCH KHỐI CHÓP

- Hình chóp tứ giác S.ABCD, ngũ giác S.ABCDE,

- Hình chóp đều: Hình chóp có đáy đa giác đều và các cạnh bên bằng nhau

Trung đoạn của hình chóp đều là đoạn nối đỉnh với trung điểm của cạnh đáy

- Thể tích khối chóp: Thể tích của một khối chóp bằng một phân ba tích số của diện tích mặt đáy và chiếu cao của khối chóp đó

1) Hình chóp đều thì hình chiếu của đỉnh chóp là tâm của đáy

2) Khi xác định giao điểm, giao tuyến, thiết diện ta thường dùng cách cắt nhau, kéo dài cắt nhau, đường gióng, giao tuyến gốc và các quan hệ song song, vuông góc đề bài cho

3) Khi tính toán các đại lượng, nếu cần thì đặt ẩn rồi tìm phương trình đề giải ra ẩn đó

4) Đề tính diện tích, thể tích có khi ta tính gián tiếp bằng cách chia nhỏ các phần hoặc lấy phần lớn hơn trừ đi các phần dư,

Bài toán 1: Cho khối chóp tam giác đều S.ABC có chiều cao bằng h và góc ASB bằng2 Hãy tìm thể tích khối chóp

Khi đóSK x cot ,OK xtan 30 x

nên hình chóp O.ABC có thể coi là hình chóp A.OBC

với đáy là OBC và đường cao là AO

Do đó: V 1 S OBC OA abc

Bài toán 3: Cho hình chóp tam giác đều S.ABC, có độ dài cạnh đáy bằng a Gọi M và N lần lượt là các

trung điểm của các cạnh SB và SC Tính thể tích hình chóp S.AMN, biết rằng mặt phẳng (AMN) vuông góc với mặt phẳng (SBC)

Giải

Gọi K là trung điểm của BC vàI SKMN.

Từ giả thiết suy raMN 1 BC a ,MN BC

suy ra I là trung điểm của SK và MN

Ta cóSAB SACnên hai trung tuyến tương ứng

AM  AN, do đóAMNcân tại A, suy raAI MN.

Hai tam giác đồng dạngBHM ,BB S g.g  suy ra:

a 18 3a

a) Ta có BCAB,SASBBC nên tam giác

SBC vuông cân tại B, SCa 2.

Gọi I là trung điểm của SC ta có BI SCvà BI a 2

2

Trong mặt phẳng (ABC) gọi H là hình chiếu vuông

góc của B trên AC, ta có:

Bài toán 6: Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông cân tại B, cạnh BC = 2a Gọi M là trung điểm

của AC Hình chiếu H của S lên mặt đáy (ABC) thuộc tia đối của tia MB sao cho MB = 2MH Biết rằng góc

giữa SA và mặt phẳng (ABC) bằng60 Tính thể tích khối chóp S.ABC và khoảng cách từ trung điểm E của

SC tới mp(SAH)

Giải

Vì tam giác ABC vuông cân tại B và BC = 2a nên: AC2a 2

Ta có BM là trung tuyến ứng với cạnh huyền nên:

VìSH ABCnênSA, ABC  SAH  60

Tam giác SAH vuông tại H: SH AH tan60 a 30

2

Từ đó suy ra:

3 SABC ABC

Trong đó K là hình chiếu của M lên AH

Tam giác AMH vuông tại M:

Bài toán 7: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi cạnh bằng a 3 , đường chéo AC = 2a, hai mặt

phẳng (SAC) và (SBD) cùng vuông góc với đáy vàSCa 3 Tính thể tích khối chóp S.ABCD và chứng minh rằng hai mặt phẳng (SAB) và (SBC) vuông góc với nhau

Giải

Gọi O là giao điểm của AC và BD

Từ giả thiết ta cóSOABCD

Tam giác SOC vuông:

Ta có V SABCD 1 OB AC SO 1 2a.a 2.a 2 4a

Gọi H là trung điểm của SB, tam giác SBC cân tại C nên CHSB.

Tương tựAHSB Suy ra góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (SBC) là góc giữa hai đường thẳng HA và HC

 nên tam giác ABC vuông tại H

Vậy hai mặt phẳng (SAB) và (SBC) vuông góc với nhau

Bài toán 8: Tính thể tích hình chóp đều S.ABCD biết SA = b và góc giữa mặt bên và đáy bằng.

Giải

HạSH ABCDthì H là tâm hình vuông ABCD

Gọi M là trung điểm BC thìSM ,HM BCSHM .

2b cos 1 cos a

1 4 b sin cos 1 cos

Bài toán 9: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang vuông tại C và D, AD = 3a, BC = CD = 4a Cạnh

bên SAa 3và vuông góc với mp(ABCD) Gọi E là điểm nằm trên cạnh AD sao cho AE = a, F là trung điểm của CD Tính thể tích khối chóp S.DEBE và côsin của góc giữa hai đường thắng SE và BF

Giải

Ta có:

S S S

Bài toán 11: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và D; AB = AD = 2a, CD =a;

góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABCD) bằng60 Gọi I là trung điểm của cạnh AD Biết hai mặt phẳng (SBI) và (SCI) cùng vuông góc với mặt phẳng (ABCD), tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a

Bài toán 12: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là nửa lục giác đều ABCD nội tiếp trong đường tròn đường

kính AD = 2a và có cạnh SA vuông góc với mặt phẳng đáy, SAa 6

a) Tính các khoảng cách từ A và B đến mặt phẳng (SCD)

b) Tính thể tích khối chóp S.ABCD

c) Tính khoảng cách giữa đường thẳng AD và mặt phẳng song song (SBC)

Giải

a) Vì ABCD là nửa lục giác đều nội tiếp

trong đường tròn đường kính AD = 3a nên ta

3 ABCD

Ta có: d AD; SBC   d A; SBC   d A;SE AF.

Xét tam giác vuôngAEB,SAE : AE a sin60 a 3

DẠNG TOÁN 3 THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN

- Thể tích của khối lăng trụ:

Thể tích của khối lăng trụ bằng tích số của diện tích mặt đáy và chiều cao của khối lăng trụ đó

Vì BCDE là hình vuông cạnh a với tâm O và tam

giác ABD là tam giác vuông cân đỉnh A nên:

Suy ra khối tám mặt đều có thể tích là:

3 1

Giả sử có khối tám mặt đều với các đỉnh là S ,S , A,B,C,D 

Gọi M và N lần lượt là trọng tâm của tam giác SAB và SBC

thì đoạn thẳng MN là một cạnh của khối lập phương

Gọi M ,N lần lượt là trung điểm của AB và BC

thì M và N lần lượt nằm trênSMvàSNnên:

Bài toán 3: Cho khối tứ diện ABCD có thể tích V Tính thể tích khối đa diện có 6 đỉnh là 6 trung điểm của 6

cạnh của tứ diện ABCD

Giải

Giả sử trung điểm các cạnh của tứ diện ABCD là M, N, P, Q, R, S

Khối đa diện với các đỉnh là M, N, P, Q, R, S nhận

được từ khối tứ diện ABCD bằng cách bỏ đi 4 khối tứ

diện sau đây: AMRQ, BMSP, CPRN, DSQN

Mỗi khối tứ diện này có thể tích bằng1 V

Bài toán 5: Cho hình lăng trụ đứngABC.A B C  có đáy là tam giác vuông tại A, AB = 2a, AC = a,

AA 2a 2 Gọi D, E lần lượt là điểm đối xứng của Bvà Cqua A Gọi M là trung điểm của AD Mặt phẳngMB C cắt AE tại N Tính thể tích khối đa diệnAB C MN  và góc giữa hai đường thẳng AB ,C M  

Bài toán 6: Cho hình lăng trụ đứngABC.A B C  có đáy là tam giác vuông tại A, AB AAa, ACa 2 Gọi E là trung điểm của BC, F là điểm nằm trên đoạn thẳng BC sao cho BC = 3BF Chứng minh rằngmp AB F  vuông góc vớimp BCC B  và tính theo a thể tích của khối tứ diện ABEF

Giải

cos cos A B,B C

4

b) Xem tứ diện A BB C  là hình chóp có đỉnh Avà đáy là tam giác BB C thì diện tích đáy là d

Suy raMACBBAAMAC

Trong tam giác vuông BCM ta có: CM  BC 2BM 2  4a 23a 2 a

Tương tự ta có AM = a nên tam giác ACM cân tại M

Gọi N là trung điểm của AC Ta cóMN AC.

Trong tam giác vuông AMN ta có:

Bài toán 9: Cho hình lăng trụ đứngABC.A B C  có đáy là tam giác cân tại C, BAC 30 , ABa 3,

AA a Gọi M là trung điểm củaBB Tính thể tích khối đa diệnMC ABC và cosin của gócgiữa hai mặt phẳngAMCvà (ABC)

Ta có V MC ABC V M ACCV M ABC

Hạ BH vuông góc với AC thìBH ACC 

Ta cóS ABC S AMC cos AMC , ABC   S AMC cos

Tam giác ACC , ABM ,MB C  vuông ta có

a) Tính diện tích thiết diện của hình lập phương cắt bởi mặt phẳng (P)

b) Mặt phẳng (P) chia hình lập phương thành hai khối đa diện, hãy tìm x để thể tích của một trong hai khối

đa diện đó gấp đôi thể tích đa diện kia

Gọi I là trung điểm của đoạn MN và Olà tâm của hình vuông A B C D   thì OI là đường cao của hình thang

Cho khối chóp tam giác S.ABC

Trên ba đường thẳng SA, SB, SC lấy ba điểm A ,B ,C  khác với S thì có tỉ số:

3) Dùng tỉ số diện tích, thế tích để chứng minh các hệ thức về các đại lượng hình học

Bài toán 1: Cho khối chóp tam giác S.ABC Trên ba đường thẳng SA, SB, SC lấy ba điểm A ,B ,C  khác với S

Gọi H và Hlần lượt là hình chiếu của A và A

Xét khối tứ diện ABCD Lấy điểm M nằm giữa C và D

sao cho CM = kMD Khi đó, khối tứ diện ABCD được

phân chia thành hai khối tứ diện ABCM và ABMD

Ta có:

ABM ABCM C ABM





Vậy V ABCM k.V ABMD

Bài toán 3: Chứng rằng nếu có phép vị tự tỉ số k biến tứ diện ABCD thành tứ

diệnA B C D   thì A B C D 3

ABCD

V

k V

Bài toán 4: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại đỉnh B, AB = a, SA = 2a và SA

vuông góc với mặt phẳng đáy Mặt phẳng qua A vuông góc với SC cắt SB, SC lần lượt tại H, K Tính theo a thể tích khối tứ diện SAHK

GọiEMNCD Khi đó QPEAD.

Gọi F là trung điểm của BC và G là điểm trên AC sao cho DG PQ

Gọi V là thể tích tứ diện ABCD,V 1

là thể tích khối đa diện ABMNQP, V là 2

thể tích khối đa diện CDNMPQ

Bài toán 6: Khối chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành Gọi M là trung điểm SC Một mặt phẳng  đi qua AM và song song với BD chia khối chóp thành hai phần Tính tỉ số thể tích hai phần đó

Giải

Gọi O là tâm của đáy ABCD, AM cắt SO tại G

Vì G là trọng tâm của tam giác SAC nên SG 2

Bài toán 7: Cho khối chóp tứ giác đều S ABCD Một mặt phẳng  đi qua A, B và trung điểm M của cạnh

SC Tính tỉ số thể tích của hai phần khối chóp bị phân chia bởi mặt phẳng đó

Nếu gọi V là thể tích của khối lăng trụ thì thể tích

của khối tứ diệnC ABC làV

3 , do đó thể tích của

Gọi I là giao điểm của đường thắngMBvà đường thẳngAA, N là giao điểm củaICvà AC

Thiết diện của khối lăng trụ khi cắt bởimp B C M   là hình thangB C NM  

Mặt phẳngB C M  chia khối lăng trụ thành hai phần, gọiV là thể tích của phần chứa cạnh 1 AAvàV là thể 2

Ta có mp(AMN) cắt khối hộp theo một hình bình hành AMEN, với E nằm trong đoạnCCmàC E x Qua

MN vẽ một mặt phẳng song song với mp(ABCD) cắt khối hộp theo hình bình hành MJNI

GọiV là thể tích phần khối hộp nằm giữa 1

thiết diện AMEN vàmp A B C D    vàV là 2

thể tích phần còn lại của khối hộp

Ta có V 1 V MJNA B C D   V JMNEV IAMN

Vì V JMNE V IAMNnên V 1 V IMJNA B C D   

Do đó V 2 V IMJNABCD

Bài toán 1: Chứng minh rằng trung điểm các cạnh của một hình tứ điện đều là các đỉnh của một hình tám

mặt đều Hãy so sánh thế tích của tứ diện đều đã cho và thể tích của hình tám mặt đều đó

Giải

Gọi M, N, P, Q, R, S lần lượt là trung điểm của các

cạnh AB, CD, AC, BD, AD, BC của tứ diện đều

ABCD thì các tam giác MPR, MRQ, MQS, MBP,

NPR, NRQ, NQS, NSP là những tam giác đều, vậy ta

Bài toán 2: Cho khối chóp S.ABC có đường cao SA bằng 2a, tam giác ABC vuông ở C

có AB2a,CAB 30 Gọi H và K lần lượt là hình chiếu của A trên SC và SB

5a 3

21



Bài toán 3: Khối chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của AB, AD

và SC Chứng minh mặt phẳng (MNP) chia khối chóp thành hai phần có thể tích bằng nhau

Giải

Đường thẳng MN cắt CD, BC tại K, I

PI cắt SB tại E, PK cắt SD tại F

Mặt phẳng (MNP) cắt hình chóp theo thiết diện

MNFPE, chia thể tích ra hai phần, gọiV là thể 1

Bài toán 4: Cho khối lăng trụ tam giác đềuABC.A B C   Gọi M là trung điểm của AA Mặt phẳng đi qua

M ,B ,C chia khối lăng trụ thành hai phần Chứng minh thể tích của hai phần đó bằng nhau

Giải

Mặt phẳngMCBchia khối lăng trụ đều

ABC.A B C  thành hai khối chóp:C.MABB

vàB MA C C   Hai khối chóp đó có chiều cao bằng nhau (bằng chiều cao của tam giác đều ABC), có đáy là hai hình thang vuông bằng nhau

Vậy hai khối chóp đó có thể tích bằng nhau

Bài toán 5: Cho tứ diện ABCD có điểm O nằm trong tứ diện và cách đều các mặt của tứ diện một khoảng r

(tâm mặt cầu nội tiếp) Gọih ,h ,h ,h lần lượt là khoảng cách từ các điểm A, B, C, D đến các mặt đối diện A B C D

Bài toán 6: Cho hình lập phươngABCD.A B C D   cạnh a Gọi I, J, K lần lượt là trung điểm của CD, AD,DD

và O là tâm của hình vuôngA B C D    Tính thể tích khối tứ diện OIJK và chứng minh rằngB D vuông góc với mp(IJK)