THỂ TÍCH KHỐI CHÓP I Phương pháp giải Hình chóp tứ giác S ABCD, ngũ giác S ABCDE, Hình chóp đều Hình chóp có đáy đa giác đều và các cạnh bên bằng nhau Trung đoạn của hình chóp đều là đoạn nối đỉnh với[.]
Trang 1THỂ TÍCH KHỐI CHÓP
I Phương pháp giải
- Hình chóp tứ giác S.ABCD, ngũ giác S.ABCDE,
- Hình chóp đều: Hình chóp có đáy đa giác đều và các cạnh bên bằng nhau
Trung đoạn của hình chóp đều là đoạn nối đỉnh với trung điểm của cạnh đáy
- Thể tích khối chóp: Thể tích của một khối chóp bằng một phân ba tích số của diện tích mặt đáy và chiếu cao của khối chóp đó
1
V B.h
3
=
- Hình chóp cụt do mặt phẳng song song với đáy cắt chia hình chóp Hình chóp cụt có 2 đáy song nhau và chiều cao là khoảng cách giữa 2 đáy song song nhau đó
- Thể tích khối chóp cụt: 1( )
Chú ý:
1) Hình chóp đều thì hình chiếu của đỉnh chóp là tâm của đáy
2) Khi xác định giao điểm, giao tuyến, thiết diện ta thường dùng cách cắt nhau, kéo dài cắt nhau, đường gióng, giao tuyến gốc và các quan hệ song song, vuông góc đề bài cho
3) Khi tính toán các đại lượng, nếu cần thì đặt ẩn rồi tìm phương trình đề giải ra ẩn đó 4) Đề tính diện tích, thể tích có khi ta tính gián tiếp bằng cách chia nhỏ các phần hoặc lấy phần lớn hơn trừ đi các phần dư,
II Ví dụ minh họa
Bài toán 1: Cho khối chóp tam giác đều S.ABC có chiều cao bằng h và góc ASB bằng2 Hãy tìm thể tích khối chóp
Giải
Giả sử O là tâm tam giác đều ABC
Khi đóSO⊥(ABC)và SO= h.
Trang 2Gọi K là trung điểm của AB
Đặt AK x.=
Khi đóSK x cot ,OK xtan 30 x
3
2 2 2 x 2
ABC 2
− Vậy
S ABC ABC 2
−
Bài toán 2: Cho hình chóp O.ABC có các cạnh bên OA = a, OB = b, OC = c và chúng vuông góc với nhau
từng đôi một:
a) Tính thể tích hình chóp O.ABC
b) Tính chiều cao OH và diện tích tam giác ABC
Giải
a) Ta có AO⊥OB và AO⊥OCdo đóOA⊥(OBC)
nên hình chóp O.ABC có thể coi là hình chóp A.OBC
với đáy là OBC và đường cao là AO
Do đó: V 1 S OBC OA abc
b) HạOH ⊥(ABC)thì H là trực tâm của đáy
Ta có:
2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2 2 2 2
Do đó:
2 2 2 2 2 2
abc OH
a b b c a c
=
Và
2 2 2 2 2 2 ABC ABC
Bài toán 3: Cho hình chóp tam giác đều S.ABC, có độ dài cạnh đáy bằng a Gọi M và N lần lượt là các trung
điểm của các cạnh SB và SC Tính thể tích hình chóp S.AMN, biết rằng mặt phẳng (AMN) vuông góc với mặt phẳng (SBC)
Giải
Gọi K là trung điểm của BC và I =SKMN.
Từ giả thiết suy raMN 1 BC a ,MN BC
suy ra I là trung điểm của SK và MN
Ta có SAB = SACnên hai trung tuyến tương ứng
Trang 3AM =AN , do đó AMN cân tại A, suy ra AI ⊥MN.
Mà(SBC) (⊥ AMN)AI ⊥(SBC)AI ⊥SK.
Do đó SAK cân tại A, suy ra SA AK a 3
2
Ta có
2 2 2
2 2 2 3a a a
SK SB BK
2 2 2
2 2 2 SK 3a a a 10
2 AMN
S MN AI
Hình chóp S.AMN có thể tích:
2 AMN
Vậy:
3
a 5
48
=
Bài toán 4: Trong mặt phẳng (P) cho tam giác đều ABC cạnh bằnga 6 GọiBlà điểm đối xứng với B qua trung điểm M của AC Dựng điểm S sao choSB =3avà vuông góc với mặt phẳng (ABC) Gọi H là hình chiếu của M lên SB Tính thể tích khối chóp H.ABC và góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (SBC)
Giải
Tam giác đều ABC cạnh bằng a 6 nên BM AB 3 a 18
Suy raBB =2BM =a 18
Tam giác SBB vuông tại B:
SB= SB +BB = 9a +18a =3a 3
Hai tam giác đồng dạngBHM ,BB S g.g ( )nên
a 18
a 18
Suy ra: ( ( ) )
d H , ABC BH a 3 1
d S , ABC = = 3a 3 =
d H , ABC a
H ABC ABC
Ta có AC⊥BM và AC⊥SBnênAC⊥(SBB)AC⊥SB
Mà SB⊥MH, do đóSB⊥(AHC)
Do đó góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (SBC) là góc giữa hai đường thẳng HA và HC
Trang 4Hai tam giác đồng dạngBHM ,BB S g.g ( )suy ra:
a 18 3a
MH
Trong tam giác AHC có đường trung tuyến HM bằng một nửa cạnh đối diện nên tam giác vuông tại H
Vậy góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (SBC) bằng90
Bài toán 5: Cho hình chóp S.ABC có SA là đường cao và đáy là tam giác ABC vuông tại B, BC = a Hai mặt
phẳng (SCA), (SCB) hợp nhau góc 60 và BSC = 45
a) Tính cosin của góc =ASC
b) Tính thể tích tứ diện
Giải
a) Ta cóBC⊥AB,SASB⊥BC nên tam giác
SBC vuông cân tại B, SC=a 2.
Gọi I là trung điểm của SC ta có BI ⊥SCvà BI a 2
2
= Trong mặt phẳng (ABC) gọi H là hình chiếu vuông
góc của B trên AC, ta có:
BH ⊥ACBH ⊥ SAC BH⊥SC.
Mặt khác, ta có BI⊥SC
Nên ta suy raSC⊥(BHI)do đóHIB 60 ,HI BI a 2
Xét tam giác vuông HIC, ta có:
2 2 2
2 2 2 2a 2a 5a a 5
Ta có sin ICH IH a 2 2 2 1
1 a 2
SA SC sin ICH a 2.
Vậy cos SA 2
SB 5
b)V 1 S ABC SA 1 1 a 3 a.a 2
3
a 6
30
=
Bài toán 6: Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông cân tại B, cạnh BC = 2a Gọi M là trung điểm
của AC Hình chiếu H của S lên mặt đáy (ABC) thuộc tia đối của tia MB sao cho MB = 2MH Biết rằng góc
Trang 5giữa SA và mặt phẳng (ABC) bằng 60 Tính thể tích khối chóp S.ABC và khoảng cách từ trung điểm E của
SC tới mp(SAH)
Giải
Vì tam giác ABC vuông cân tại B và BC = 2a nên: AC=2a 2
Ta có BM là trung tuyến ứng với cạnh huyền nên:
1
BM AC a 2
2
Do đó MH 1 BM a 2
Tam giác AMH vuông tại M ta có:
2
2 2 2 a a 10
VìSH⊥(ABC)nên(SA, ABC( ) )=SAH = 60
Tam giác SAH vuông tại H: SH AH tan 60 a 30
2
Từ đó suy ra:
3 SABC ABC
Ta có: ( ( ) ) 1 ( ( ) ) 1 ( ( ) )
d E, SAH d C , SAH 2.d M , SAH MK
Trong đó K là hình chiếu của M lên AH
Tam giác AMH vuông tại M:
2
a 2
a 2
2a 2
Bài toán 7: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi cạnh bằng a 3 , đường chéo AC = 2a, hai mặt phẳng
(SAC) và (SBD) cùng vuông góc với đáy vàSC=a 3 Tính thể tích khối chóp S.ABCD và chứng minh rằng hai mặt phẳng (SAB) và (SBC) vuông góc với nhau
Giải
Gọi O là giao điểm của AC và BD
Từ giả thiết ta cóSO⊥(ABCD)
Tam giác SOC vuông:
2 2 2 2
SO= SC −OC = 3a −a =a 2
Tam giác AOB vuông:
2 2 2 2
OB= AB −OA = 3a −a =a 2
Trang 6Ta có V SABCD 1 OB AC SO 1 2a.a 2.a 2 4a
Gọi H là trung điểm của SB, tam giác SBC cân tại C nên CH⊥SB.
Tương tự AH⊥SB Suy ra góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (SBC) là góc giữa hai đường thẳng HA và HC
Từ SB⊥(AHC)OH⊥SB.
Tam giác SOB vuông tại O:
2 2 2 2 2
OH a
OA =OS +OB =2a +2a =
Do đóOH 1 AC
2
= nên tam giác ABC vuông tại H
Vậy hai mặt phẳng (SAB) và (SBC) vuông góc với nhau
Bài toán 8: Tính thể tích hình chóp đều S.ABCD biết SA = b và góc giữa mặt bên và đáy
bằng.
Giải
HạSH ⊥(ABCD)thì H là tâm hình vuông ABCD
Gọi M là trung điểm BC thìSM ,HM ⊥BCSHM =.
Gọi a là cạnh đáy
Trong tam giác vuông SMB có:
2 2
2 2 2 4b a
4
−
Trong tam giác vuông SMH có:
cos 2 cos
2 2 2 2 2
2
4b cos
1 cos
+ nên
2 2
2b cos 1 cos a
1 cos
+
=
+ Trong tam giác SHM có:
b cos 1 cos b sin 1 cos
Suy ra
2
2 2
1 4 b sin cos 1 cos
+
+
Bài toán 9: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang vuông tại C và D, AD = 3a, BC = CD = 4a Cạnh
bên SA=a 3và vuông góc với mp(ABCD) Gọi E là điểm nằm trên cạnh AD sao cho AE = a, F là trung điểm của CD Tính thể tích khối chóp S.DEBE và côsin của góc giữa hai đường thắng SE và BF
Giải
Ta có:
S =S +S
Trang 71 1
DE.BC DF BC
2
.2a.4a 2a.4a 8a
Từ đó suy ra:
SDEBF DEBF
1
3
=
3 2
cos SE,BF cos SE,BF
SE.BF
SE.BF = SA+AE BC+CF = AE.BC=a.4a=4a
2 2 2 2 2 2 2 2 2
SE.BF= SA +AE BC +CF = 3a +a 16a +4a =4a 5
4a 5 5
Bài toán 10: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng a,SA=a 3và
SA vuông góc với mặt phẳng đáy Tính theo a thể tích khối tứ diện SACD và tính côsin của góc giữa hai đường thẳng SB, AC
Giải
Thể tích của khối tứ diện SACD là:
3 SACD
V DA.DC.SA
Gọi M là trung điểm của SD
Ta có OM SBnên
g SB; AC =g OM ,OC
Tam giác vuông SAB có:
2 2 2 2
SB= SA +AB = 3a +a =2a
Nên OM = a.
Tương tự, SD 2a= MD= a CM =a 2.
Xét tam giác OMC, ta có
2 2 2
Bài toán 11: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và D; AB =
AD = 2a, CD =a; góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABCD) bằng60 Gọi I là trung điểm
Trang 8của cạnh AD Biết hai mặt phẳng (SBI) và (SCI) cùng vuông góc với mặt phẳng (ABCD), tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a
Giải
Vì (SBI), (SCI) cùng vuông với đáy nênSI ⊥(ABCD)
Hạ IK⊥BCkẻSK ⊥BCSKI = 60
ABCD
1
2
và
ABI CDI IBC
BC= AB CD− +AD =5a BC=a 5
và S IBC 1 BC.IK IK 3a 5 SI 3.IK 3a 15
Vậy
3 ABCD
Bài toán 12: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là nửa lục giác đều ABCD nội tiếp trong đường tròn đường kính
AD = 2a và có cạnh SA vuông góc với mặt phẳng đáy, SA=a 6
a) Tính các khoảng cách từ A và B đến mặt phẳng (SCD)
b) Tính thể tích khối chóp S.ABCD
c) Tính khoảng cách giữa đường thẳng AD và mặt phẳng song song (SBC)
Giải
a) Vì ABCD là nửa lục giác đều nội tiếp
trong đường tròn đường kính AD = 3a nên ta
có:AD BC và AB=BC=CD= , đồng thời a
AC⊥CD, AB⊥BD, AC=BD=a 3.
Do đó CD⊥(SAC)
Hạ AH ⊥SC mà AH ⊥CD
nên AH⊥(SCD)d A, SCD( ( ) )= AH
Tam giác SAC vuông tại A:
( ) ( )2 2
AH = SA + AC = a 6 + a 3 =2a
2 2
AH 2a AH a 2.
Gọi I là trung điểm của AD ta cóBI CDnên BI song song với mặt phẳng (SCD)
Từ đó suy ra ( ( ) ) ( ( ) ) 1 ( ( ) ) 1 a 2
d B; SCD d I ; SCD d A; SCD a 2
b) Thể tích khối chóp S.ABCD:
Trang 93 ABCD
V S SA a 6 a 2.
+
c) Ta có AD BC nên AD (SBC )
Hạ AE⊥BCSE⊥BCBC⊥(SAE) ( SAE) (⊥ SBC )
Hạ AF⊥SEthì AF⊥(SBC )
Ta có: d AD; SBC( ( ) )=d A; SBC( ( ) )=d A;SE( )=AF.
Xét tam giác vuôngAEB,SAE : AE a sin 60 a 3
2
2 2 2 2
AF =SA + AE =6a = 3