Dang bai tap tim cuc tri cua ham so 7gm9m

TÌM CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ A Phương pháp giải Cho hàm số f xác định trên tập hợp D  D và 0x D a) 0x được gọi là một điểm cực đại của hàm số f nếu tồn tại một khoảng (a; b) chứa điểm 0x sao cho  a;b[.]

TÌM CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ

A Phương pháp giải

Cho hàm số f xác định trên tập hợp D D  và x0D

a) x được gọi là một điểm cực đại của hàm số f nếu tồn tại một khoảng (a; b) chứa điểm 0 x 0 sao cho  a;b D và

   0

f x f x với mọi x   a;b \ x0

Khi đó f x 0 được gọi là giá trị cực đại của hàm số f kí hiệu yCĐ

b) x được gọi là một điểm cực tiểu của hàm số f nếu tồn tại một khoảng (a; b) chứa điểm 0 0

x sao cho  a;b D và

   0

f x f x với mọi x   a;b \ x0

Khi đó f x 0 được gọi là giá trị cực tiểu của hàm số f kí hiệu yCT

Điểm cực đại và điểm cực tiểu được gọi chung là điểm cực trị Giá tri cực đại và giá trị cực tiểu được gọi chung là cực trị , nếu x là một điểm cực trị của hàm số f thì điểm 0 x ;f x0  0 

được gọi là điểm cực trị của đồ thị hàm số f

Điều kiện cần để hàm số có cực trị:

Giả sử hàm số f đạt cực trị tại điểm x 0

Khi đó, nếu f có đạo hàm tại x thì 0 f x 0 0

Điều kiện đủ để hàm số có cực trị: có hai dấu hiệu:

- Cho yf x  liên tục trên khoảng (a; b) chứa x , có đạo hàm trên các khoảng 0 a; x0 và

x ;b : 0 

Nếu f x  đổi dấu từ âm sang dương thì f đạt cực tiểu tại x 0

Nếu f x  đổi dấu từ dương sang âm thì f đạt cực đại tại x 0

- Cho yf x  có đạo hàm cấp hai trên khoảng (a;b) chứa x 0

Nếu f x 0 0 và f x0 0 thì f đạt cực tiểu tại x 0

7 / 3



Nếu f x 0 0 và f x0 0 thì f đạt cực đại tại x 0

Quy tắc 1

1 Tìm f x 

2 Tìm các điểm x i 1,2, i   tại đó đạo hàm của hàm số bằng 0 hoặc hàm số liên tục nhưng không có đạo hàm

3 Xét dấu f x  Nếu f x  đổi dấu từ - sang + khi x qua điểm x thì hàm số đạt cực tiểu lại i i

x , còn nếu f x  đổi dấu từ + sang - khi x qua điểm x thì hàm số đạt cực đại tại i x i

Quy tắc 2

1 Tìm f x 

2 Tìm các nghiệm x i 1,2, i   của phương trình f x 0

3 Tìm f x và tính f xi

Nếu f xi 0 thì hàm số đạt cực đại tại điểm x i

Nếu f xi 0 thì hàm số đạt cực tiểu tại điểm x i

B Ví dụ minh họa

Bài toán 1 Tìm cực trị của các hàm số sau:

a)   1 3 2

3

3

Giải

a) D Ta có   2

f x x  x

f x  x  x    x hoặc x  1 BBT

y



1

Vậy hàm số đạt cực đại tại điểm x  3,f     3 1 và đạt cực tiểu tại điểm   7

1, 1

3

x  f    b) D Ta có   2

2 2 0,

f x x  x  x (do      1 2 0) nên hàm số đồng biến trên R, không

có cực trị

Bài toán 2 Tìm cực trị của các hàm số sau:

a) 4 2

Giải

y   x hoặc 5 2

2

x  y  x 

20 0, 0 10 0 2

      

  nên hàm số đạt cực đại tại x0,y CĐ 4 và đạt cực tiểu

x  y  

Ta có y     0 x 2 hoặc x 0 hoặc x 3

BBT

y



0



Vậy điểm cực đại  2; 0 và cực tiểu 0; 108  

Bài toán 3 Tìm cực trị các hàm số

a)   2

3 4

Giải

a) D ,

2 2

3 4, 4 1

y



 

     



2 3, 4 1

y



      

 BBT

y

CT

CĐ

CT

Vậy hàm số đạt CĐ 3 25;

2 4

 

 , CT 4; 0, CT 1; 0

b) Hàm số f liên tục trên

Ta có:     2 0

f x



 



Với x 0, f x    2x 2, f x     0 x 1

Với x 0, f x  2x  2 0

BBT

0 Vậy điểm CĐ 1;1, CT 0; 0

Bài toán 4 Tìm cực trị của hàm số

a) 2 1

8

x

y

x





1 1 1

x

  



Giải

y

y    x hoặc x 2 BBT

y 0

1/ 8



1/ 4

0

Vậy hàm số đạt cực đại tại 2, y 1

4

CĐ

x  và đạt cực tiểu tại 4, y 1

8

CT

 2

1

1

x

 hoặc x 2

 3    

2

1

x

         

Vậy hàm số đạt cực đại tại x  2, yCĐ   4 và đạt cực tiểu tại x 0, yCT  0

Bài toán 5 Tìm cực trị của hàm số

a)

2

2 3

1

y

x

 



2 1 5

x y x







Giải

a) D \  1 Ta có

 

2 2

2 5

1

x

 

       

 BBT

y



4 2 6

 

2 6  4



Vậy điểm CĐ  1 6; 4 2 6   , CT  1 6; 2 6  4

b) D \ 5  Ta có

 2

11

0, 5 5

x



    

 nên hàm số nghịch biến trên từng khoảng xác định,

do đó không có cực trị

Bài toán 6 Tìm cực trị của các hàm số sau:

2 5

5

y x x

Giải

a) D Ta có

2

1

2 5

x



  BBT

y 

2



Vậy hàm số đạt CT 1; 2

b) D Với x 0 thì 3 2    

Bảng biến thiên





y



0

3

3 4





Vậy hàm số đạt cực đại tại x 0,y CĐ  0 và đạt cực tiểu tại 3

2, CT 3 4

x y  

Bài toán 7 Tìm cực trị của hàm số

y x

Giải

a) D ,y  2cos 2x

0 cos 2 0

4

y   x   x  k

4

x  k k

; 4sin 2

y   x

4

y  k  

nên hàm số đạt cực đại tại điểm , , 4

4

y  k 

nên hàm số đạt cực tiểu tại điểm: 3 , , 2

b) D , y  2sin cosxx  sin 2 x

0 sin 2 0

y   x  x k hay ,

2

   ; 2cos 2

2

y  k  

  , nên hàm số đạt cực đại tại điểm x 2 k ,k

   , y CĐ   1

Ta có y k   2 0 nên hàm số đạt cực tiểu tại các điểm: xk ,k ,y CT   2

Bài toán 8 Tìm cực trị của hàm số

a) y x sin 2x 2 b) y  3 2cosx cos 2 x

Giải

a) D , y    1 2cos 2 x

1

y  x    x  k k y x

y     k     

    nên hàm số đạt cực đại tại điểm

x   k k y    k 

    nên hàm số đạt cực tiểu tại các điểm:

3

b) y  2sinx 2sin 2x 2sinx1 2cos  x:

sinx 0

cos

2







  



hoặc 2 2 ,

3

   

2cos 4cos 2

Ta có y k  2cosk  4cos 2k  2cosk   4 0, với mọi k , nên hàm số đã cho đạt cực tiểu tại các điểm xk,

2 2cos

CT

y   k bằng 0 khi k chẵn và bằng 4 khi k lẻ

Ta có 2 2 2 cos2 4 cos4 6 cos2 3 0

C Bài tập tự luyện

Câu 1: Tìm giá trị cực đại y CD của hàm số 3

yx  x

A y CD  4 B y CD  1 C y CD 0 D yCD  1

Câu 2: Cho hàm số

2

y

x 1





 Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A Cực tiểu của hàm số bằng 3 B Cực tiểu của hàm số bằng 6

C Cực tiểu của hàm số bằng 1 D Cực tiểu của hàm số bằng 2

Câu 3: Đồ thị của hàm số yx33x2 9x 1 có hai điểm cực trị A và B Điểm nào dưới đây thuộc đường thẳng AB?

A P 1;0   B M 0; 1   C N 1; 10   D Q1;10

Câu 4: Đồ thị của hàm số y  x3 3x2 5 có hai điểm cực trị A và B Tính diện tích S của tam giác OAB với O là gốc tọa độ

A S9 B S 10

3

Câu 5: Điểm cực đại của hàm số yx33x2 2 là

A x0 B x2 C y0 D y2

Câu 6: Điểm cực đại của hàm số y  x3 3x2 2 là

Câu 7: Điểm cực tiểu của hàm số y 1x3 2x2 3x 1

3

Câu 8: Hàm số yx4 2x2 2 có bao nhiêu điểm cực trị?

Câu 9: Cực đại (giá trị cực đại) của hàm số y  x4 2x2 2 bằng

Câu 10: Cực tiểu (giá trị cực tiểu) của hàm số y 1x4 8x2 3

4

Câu 11: Số điểm cực trị của hàm số yx3 x2 3x 1 là

Câu 12: Tìm điểm cực tiểu của đồ thị hàm số yx3 3x2 1?

A 0; 2  B  0;1 C 5; 2  D 2; 5 

Câu 13: Số điểm cực trị của hàm số

2

y

x 1

 



 là

Câu 14: Hàm số

2 x y

1 x



 đạt cực tiểu tại

Câu 15: Giá trị cực tiểu (cực tiểu) của hàm số

2

2

y

 



  bằng

3

Câu 16: Số điểm cực trị của hàm số yx5 x31 là

Câu 17: Số điểm cực trị của hàm số yx5 x3 1 là

A 3 B 1 C 2 D 4

Câu 18: Hàm số nào sau đây không có điểm cực trị

Câu 19: Tổng các điểm cực trị của hàm số yx33x22 bằng

Câu 20: Tổng các điểm cực trị của hàm số y 1x3 5x2 6x 1

Câu 21: Tổng các điểm cực trị của hàm số y 1x3 5x2 11x 2016

3

Câu 22: Tích các điểm cực trị của hàm số y 1x3 4x2 9x 2026

3

Câu 23: Biết hàm số   1 3 3 2

    có hai điểm cực trị là x , x Đẳng thức 1 2 nào sau đây đúng?

A x1x2 2 B x1x2 3 C x1x2  3 D x1x2 3

Câu 24: Biết hàm số   1 3 3 2

   có hai điểm cực trị là x , x1 2 Đẳng thức nào sau đây đúng?

A x1x2  2 B x1x2  3 C x1x2 3 D x1x2 1

Câu 25: Tính giá trị cực đại  yCD của hàm số yx4 2x2 3

A yCD  4 B yCD 4 C yCD  3 D yCD 3

Câu 26: Hàm số

2

y

x 1

 



 có các điểm cực đại và cực tiểu theo thứ tự là

Câu 27: Biết hàm số

2

y

x 1



 có hai điểm cực trị là x , x Tính 1 2 Px1x2?

Câu 28: Biết hàm số

2

y

x 1



 có hai điểm cực trị là x , x Tính 1 2 Px x1 2?

Câu 29: Hàm số

2

y

x 1



 đạt cực tiểu tại điểm

2

 

2

 

2

 

2

 



Câu 30: Hàm số

2

y

x 1

 



 đạt cực tiểu tại điểm

Câu 31: Điểm cực tiểu của đồ thị hàm số   2

C : y 8 x là

A 0;2 2 B 0; 2 C  2;2 D 2;2

Câu 32: Điểm cực tiểu của đồ thị hàm số  C : x x2 là

Câu 33: Điểm cực đại của đồ thị hàm số   2

C : yx 4x là

A  2;2 B  2;0 C  2;2 D 2;0