Chuyen de bat phuong trinh logarit

BẤT PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT Để giải bất phương trình logarit, ta áp dụng đơn điệu của các hàm số đó  Với hàm số logarit Ta cần đặt điều kiện tồn tại các biểu thức logarit Ta có loga N khi và chỉ khi 0,[.]

BẤT PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT

Để giải bất phương trình logarit, ta áp dụng đơn điệu của các hàm số đó

 Với hàm số logarit: Ta cần đặt điều kiện tồn tại các biểu thức logarit

Ta có loga N khi và chỉ khi a0,a1 và N 0

0 a 1: loga N loga M N M 0

1:

a loga N loga M   0 N M Chú ý rằng nếu loga N logb N ta biến đổi về cùng một cơ số, chẳng hạn

log

log

a

a

N

b

 Sử dụng phương pháp đổi cơ số và đặt ẩn phụ tương tự với các bài toán phương trình

logarit

Ví dụ 1: Tập nghiệm của bất phương trình 1  3 

3

log x 1 log 2x là S ( ; )a b ( ; )c d với

, , ,

a b c d là các số thực Hỏi có bao nhiêu số thực dương trong bốn số a b c d, , , ?

Lời giải

Ta có    

3

2

1 5 1

1 5

2

2

1 5

2 2

x

x

S

x x

x x

  







  

   





Suy ra

1, 2

S a b c d

  



Vậy trong bố số a b c d, , , có hai số thực dương

Chọn D

Ví dụ 2: Tập nghiệm của bất phương trình  2 

2

log x 6x 5 2 log (2x)0 là

2

S  



  D. 1; 2

2



 

Lời giải

Ta có

2 2

6 5 0 log ( 6 5) 2 log (2 ) 0 2 0

log (2 ) log ( 6 5)

x

   







2

x

x





Chọn C

Ví dụ 3: Tập nghiệm của bất phương trình (log 8 logx  4x2) log2 2x0 là

2

S   

2

S  

2

S 



 

Lời giải

Cách 1 Điều kiện : 0 x 1

8

1 (log 8 log ) log 2 0 2 log log 2 0

log

x

log 1 3

log (log 1) 0 (log 3) 0

x

2 2

2 2

1

log 1

log 0 log

1

x

x x

x









   thỏa mãn điều kiện

Cách 2 Ta có, bất phương trình

0, 1 1

(3log 2 log )(log 1) 0(*)





 

Đặt  2  

0 0

t t

t

2

2

0; 1;

S x

Chọn B

Ví dụ 4: Tập nghiệm của bất phương trình log20,2xlog0,2x 6 0 có dạng S  a b; Tích a x

b thuộc khoảng nào dưới đây?

A. 0;1

2

1

;1 2

3 1;

2

 

 

3

; 2 2

 

Lời giải

Ta có 20,2 0,2

log log 6 0

(log 3)(log 2) 0 2 log 3

 

1

25

25 125

x

a

x

b



Vậy tích axb0, 2 thuộc khoảng 0;1

2

 

Chọn A

Ví dụ 5: Tập nghiệm của bất phương trình

2

4

x x x



  có dạng   a b;  c; với

, ,

a b c là các số nguyên Tính tổng S   a b c

Lời giải

Điều kiện:

2

0 4

x

 

 và

2 6

4

x

 

 (*)

Bất phương trình

Kết hợp với điều kiện (*), ta được 2  8 3

   

8

4; 3 8;

x

S x





          là tập nghiệm của bất phương trình

Chọn A

Ví dụ 6: Tập nghiệm của bất phương trình log 3 2 1

2

x

x x





 là

A. S  0; 2 B. S  1; 2 C. S  0;1 D. S2;

Lời giải

Điều kiện:

0, 1

0, 1

0 3

3 2

1

2

2

x x

x

x x

x









(*)

2

x

x



1 2

x x

x x







Kết hợp hai trường hợp, suy ta tập nghiệm của bất phương trình là S (1; 2)

Chọn B

Ví dụ 7: Biết tập nghiệm S của bất phương trình log (93 x 2) 1 là khoảng ( ; )a b Tính hiệu số

b a

A. b a log 109 B. b a 1 C. log92

5

b a  D. log95

2

b a 

Lời giải

9

log 2

9 2 0 9 2

log 5

9 2 3 9 5

x

x

S x

9

log 5 log 2 log

a

b a b





 

Chọn D

Ví dụ 8: Tìm tập nghiệm S của bất phương trình 2 log (2 ) 2 x 2 log (2 x2)

A. S 2; B. S   ; 2  2; C. S  2 D. S2; 0

Lời giải

Bất phương trình 2 2

2

0; 2 0

2 log (2 ) 2 log ( 2)

log (8 ) log ( 2)





 

2

8 ( 2) ( 2)

x

          

Chọn C

Ví dụ 9: Biết tập nghiệm S của bất phương trình log0,3(4x2)log0,3(12x5) là một đoạn Gọi m,

M lần lượt là giá trị nhỏ nhất, lớn nhất của tập S Mối liên hệ giữa m và M là

Lời giải

Bất phương trình 0,3 2 0,3

12 5 0 12 5 0 log (4 ) log (12 5)

4 12 5 4 12 5 0

1

;

x x

x

 



 



Vậy 5, 1

M  m suy ra 1 5 3

2 2

M    m

Chọn A

Ví dụ 10: có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của a để bất phương trình

2

2log a 3 2 logx ax 0

nghiệm đúng với mọi x¡ ?

Lời giải

2log a 3 2 logx ax  0 x 2 logx a2log a 3 0

Đặt 1

2

log

t a, khi đó bất phương trình trở thành x22 t x  2t 3 0 (*)

Bất phương trình (*) nghiệm đúng với mọi x¡ khi và chỉ khi '

(*) 0

 

2 2

1 2

1

2

Vậy có tất cả 7 giá trị nguyên của a thỏa mãn yêu cầu bài toán

Chọn C

Ví dụ 11: Có tất cả bao nhiêu giá trị của x thỏa mãn đồng thời hai điều kiện 1

3

x là số nguyên

log 5 x log 3x ?

Lời giải

Xét bất phương trình 1 1

3 log 5 log (3 )

x





  



2

( 1)( 4) 0

5 4 0

x





          

Mặt khác 1

3

x là số nguyên 3 1

3

x

 là số nguyên 3x1 chia hết cho 3

Ta có

5

3

x x

x

x

 



 



           



Vậy có tất cả 2 giá trị của x thỏa mãn yêu cầu bài toán

Chọn B

Ví dụ 12: Gọi S là tập nghiệm của bất phương trình 1 2 1

2

log (x 5) log (3x)0 và S là tập 2

nghiệm của bất phương trình log (2 x 1) 1 Khẳng định nào dưới đây đúng ?

A. S1S2 1;3 B. S1S2  1;3 C. S1S2  1;1 D. S1S2  1;3

Lời giải

Xét bất phương trình 2 1

2

log (x 5) log (3x)0 (1)

Ta có (1)

log ( 5) log (3 ) 0 log ( 5) log (3 )

1  

Xét bất phương trình log (2 x  1) 1 log (2 x 1) log 22   x 1 S2  1; 

Vậy S1S2   1;3  1;   1;3

Chọn A

Ví dụ 13: Tìm tập nghiệm S của phương trình 1 1 2 2

log (x 2) log ( )x log (x  x) 1

A. S 2; B. S  1; 2 C.  0; 2 D. 1; 2 

Lời giải

Điều kiện: x1 Bất phương trình 1 1 2 2

log (x 2) log ( )x log (x  x) 1

2 2

log ( 2) log log

2

x x

x



Chọn C

Ví dụ 14: Tập nghiệm của bất phương trình 2 1 9

9

log 1 log x log x 1

có dạng S 1;b

a

  

  với ,

a b là các số nguyên dương Khẳng định nào dưới đây là đúng về mối liên hệ giữa a, b ?

Lời giải

Bất phương trình

9

9

9

1 log log 0 log 1 log log 1

1 log log 2





9

1

3 log

x

x







Suy ra tập nghiệm S của bất phương trình là 1;3 1; 3

3

a

     

Chọn C

Ví dụ 15: Hỏi có bao nhiêu giá trị nguyên x trong đoạn 2017; 2017 thỏa mãn bất phương trình

log xlog xlog x.log x

A. 2017 B. 4026 C. 2018 D. 2016

Lời giải

Bất phương trình log3x (1 log3x).log5xlog (3 ).log3 x 5x (1)

 Nếu x1 suy ra (1) 5 3 5

3

log log (3 )

1 log log (3 ) 1

x

5

x x

x

 Nếu x1 suy ra (1) luôn đúng

 Nếu 0 x 1 suy ra (1) log 35 x   1 0 x 1

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là

5 3

x x

 





 



Kết hợp m  2017; 2017 suy ra có tất cả

2016 giá trị nguyên m thỏa mãn yêu cầu bài toán

Chọn D

III BÀI TẬP TỰ LUYỆN

Câu 1: Nghiệm của bất phương trình log (2 x 1) 2 log (54   x) 1 log (2 x2) là:

A.   4 x 3 B. 2 x 3 C. 1 x 2 D. 2 x 5

Câu 2: Bất phương trình 3 1

3

2 log (4x 3) log (2x 3) 2 có tập nghiệm là:

A. 3;

4

 

3

;3 4

3

;3 4

3

; 4

 

 

Câu 3: Tập nghiệm của bất phương trình log0,2(x 1) log0,2(3x) là:

A. S   ;3 B. 1; C. S 1;3 D. S  1;1

Câu 4: Nghiệm của bất phương trình log (2 x 1) 2 log (54   x) 1 log (2 x2) là:

A. 2 x 5 B. 1 x 2 C. 2 x 3 D. Đáp số khác

Câu 5: Tập nghiệm của bất phương trình   4 lgx 3 là:

A. (3; 4) B. (0;1000)(10000;)

Câu 6: Giải bất phương trình: 3 2 1 1

1

2

Câu 7: Nghiệm của bất phương trình 1 2 5

3

log (x 6x 8) 2 log (x 4) 0 là:

A. x4 B. x2 C. Vô nghiệm D. 0 x 1

Câu 8: Nghiệm của bất phương trình log (2 x 1) 2 log (54   x) 1 log (2 x2) là:

A. 2 x 3 B. Đáp số khác C. 2 x 5 D. 1 x 2

Câu 9: Tập nghiệm của bất phương trình 2 log (2 x 1) log (52  x) 1 là:

A.  3;5 B. 1;3  C.  1;5 D. 3;3

Câu 10: Tập các số x thỏa mãn log0,4(x  4) 1 0 :

A. 4;5; 6  B. 6;5; C. 4; D. ; 6;5

Câu 11: Bất phương trình 4 log25xlog 5x 3 có nghiệm là:

A. 5 x 5 B. 0 x 5;x5 C. x 5;x5 D. 0 1; 1

Câu 12: Tập các số x thỏa mãn log0,4(x  4) 1 0 là:

2

 

13

; 2

 

  C. 4; D. 4;13

2

 

Câu 13: Tập nghiệm của BPT

2

5

0 log ( 4) 1

x x





  là:

A. S 5; B. S4 2; C. S (4;) D. S4 2;

Câu 14: Cho bất phương trình 3

10

log 2x 1 1 có tập nghiệm là S Khi đó R S bằng: \

     

     

     

    D. Đáp số khác

Câu 15: Bất phương trình: 2 1

2

log (2x 1) log (x 2) 1 có tập nghiệm là:

A. 5;3

2

  B. 2; C. 2;5

2

  D. 2;3 

Câu 16: Tập nghiệm của bất phương trình 2 2

3

log (2x   x 1) 0 là:

A. 1;3

2

 

3 0;

2

C. ;1 17 1 17;

2

  

 

Câu 17: Giải bất phương trình log (3 x9500) 1000

Câu 18: Giải bất phương trình 1 500

2

log (x4 ) 1000

A. 4500 x 2 B. x0 C. 21000  x 0 D. 0 x 2

Câu 19: Giải bất phương trình 3 2 1

3

log (x  1) log (x 1) 1000

A. x 1 9500 B. x210001 C. x3001 D. 1 x 3001

Câu 20: Giải bất phương trình 1 2 1

log (x  1) log (x 1) 1000

Câu 21: Giải bất phương trình 1 2 1001

3

log (log (3x1)) 0

3 x B. x1 C.1 3

2

x

3 x

Câu 22: Giải bất phương trình 2

2

1 log log ( 2) 1000

2

C. 2  x 1 1 4 500 D. 2  x 1 2 2 1000

Câu 23: Giải bất phương trình

2017

2 1

1

x x



A. 0 x 1 B. x1 C. x1 hoặc x0 D. 1 x 2

Câu 24: Giải bất phương trình

2017

2

1

x x

2  x B.1 3

2

x

2

x D. 1 x 9

Câu 25: Nghiệm của bất phương trình log 3(2x 1) log (43 x1)

4

x   

2

x  

Câu 26: Nghiệm của bất phương trình 21 2

2

log xlog (2 ) 5x  0 là:

4

x  

4

x  

4

x   

Câu 27: Nghiệm của bất phương trình 1 2

2 2

1 log (x x 2) log

x x

   là:

Câu 28: Nghiệm của bất phương trình log (21 1) log (1 1)

x  x là:

A. x1 B. 0 x 1 C.   2 x 1 D. x2;0 x 1

Câu 29: Nghiệm của bất phương trình log (2 x 3) log (38 x1)3 5 là:

3 x

   C. x5 D. x5

Câu 30: Tìm tập nghiệm của bất phương trình

2

3

A. x3 B. 1; 2

3

  

1

;1 2

  

1

;5 3

  

 

Câu 31: Bất phương trình log (33 2) log 3 7

2

x

x   có tập nghiệm là:

4

x  

C. x 1; 34 3; D. x 1; 3 3;

Câu 32: Nghiệm của bất phương trình xlog (3 x 1) 3 là:

Câu 33: Nghiệm của bất phương trình 2 1

2

2 1 log log (2 2)

4 5

x

x x



Câu 34: Giải bất phương trình 1 1

3

log (x 1) log (x 1) log (5 x) 1 :

Câu 35: Giải bất phương trình 2 1 1

log log x log x 3 1

:

5 3

   

 

1 2

2

x

 

Câu 36: Giải bất phương trình 1 2

3

1 2

1

x x



1

x x





  

Câu 37: Giải bất phương trình log (1 2 log2  9x) 1

9

9 x D. 1 3

3 x

Câu 38: Giải bất phương trình 3 2 1 1

log x 5x 6 log x 2 log (x3)

A. S 3; 10 B. S 3; C. S 3;9 D. S 10;

Câu 39: Biết tập nghiệm S của bất phương trình log0,3(4x2)log0,3(12x5) là một đoạn Gọi m,

M lần lượt là giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của tập S Mối liên hệ giữa m và M là

Câu 40: Nghiệm của bất phương trình 3lgx23lgx252 là

100

Câu 41: Bất phương trình 21 1

log x3log x 2 0 có tập nghiệm S  a b; Giá trị của a2 b

bằng

A. 16 B.12 C. 8 D. 4

Câu 42: Khoảng nghiệm của bất phương trình 2

4

log ( 2) 0

x  x  chứa khoảng nào dưới đây?

A.  5; 2  B.  5; C.  2;  D. 2; 5

Đáp án

1-B 2-C 3-D 4-C 5-C 6-D 7-C 8-A 9-B 10-A 11-B 12-D 13-D 14-D 15-C 16-C 17-B 18-C 19-A 20-D 21-D 22-A 23-B 24-C 25-C 26-C 27-B 28-C 29-D 30-C 31-C 32-C 33-B 34-D 35-B 36-C 37-D 38-D 39-A 40-B 41-C 42-B