Tailieumontoan com Sưu tầm CHUYÊN ĐỀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT Tài liệu sưu tầm, ngày 15 tháng 11 năm 2020 Website tailieumontoan com KIẾN THỨC CẦN NHỚ 1 Bất phương trình lôgarit cơ bản 1 Xét bất phương trình loga x b≥ Trường hợp 1a > , ta có log ba x b x a≥ ⇔ ≥ Trường hợp 0 1a< < , ta có log 0 ba x b x a≥ ⇔ < ≤ 2 Xét bất phương trình loga x b≤ Trường hợp 1a > , ta có log 0 ba x b x a≤ ⇔ < ≤ Trường hợp 0 1a< < , ta có log ba x b x a≤ ⇔ ≥ 3 Xét bất phương trình loga x b> Trường hợp 1a > , ta c[.]
Trang 1Tailieumontoan.com
Sưu tầm
CHUYÊN ĐỀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT
Tài liệu sưu tầm, ngày 15 tháng 11 năm 2020
Trang 2KI ẾN THỨC CẦN NHỚ
1.Bất phương trình lôgarit cơ bản:
1 Xét bất phương trình loga x≥ b
Trường hợp a>1, ta có loga x≥ ⇔ ≥ b x a b
Trường hợp 0< < , ta có loga 1 0 b
a x≥ ⇔ < ≤ b x a
2 Xét bất phương trình loga x≤ b
Trường hợp a> , ta có log1 a x≤ ⇔ < ≤ b 0 x a b
Trường hợp 0< < , ta có loga 1 b
a x≤ ⇔ ≥ b x a
3 Xét bất phương trình loga x> b
Trường hợp a> , ta có log1 b
a x> ⇔ >b x a Trường hợp 0< < , ta có loga 1 a x≥ ⇔ < ≤ b 0 x a b
4 Xét bất phương trình loga x< b
Trường hợp a> , ta có log1 a x< ⇔ < < b 0 x a b
Trường hợp 0< < , ta có loga 1 b
a x< ⇔ > b x a
Mở rộng:
1 loga f x( )≥b
Trường hợp a> , ta có log1 a f x( )≥ ⇔b f x( )≥ a b
Trường hợp 0< < , ta có loga 1 a x≥ ⇔ <b 0 f x( )≤ a b
Các dạng log ( )a f x > ;logb a f x( )≤b;loga f x( )< tương tự b
2 loga f x( )≥loga g x( )
Trường hợp a>1, ta có loga f x( )≥loga f x( )⇔ f x( )≥g x( )> 0
Trường hợp 0< < , ta có loga 1 a f x( )≥loga f x( )⇔ <0 f x( )≤g x( )
Các dạng BPT log ( ) log ( );log ( ) log ( )a f x < a g x a f x ≤ a g x làm tương tự
2.Các phương pháp thường dùng giải Bất phương trình logarit:
- Đưa về dạng BPT cơ bản
- Đưa về cùng cơ số
DẠNG TOÁN 16: BẤT PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT
Trang 3- Đặt ẩn phụ
- Mũ hóa
- Phương pháp hàm số
I CÁC D ẠNG BÀI TẬP TƯƠNG TỰ
-Điều kiện xác định của bất phương trình
-Giải BPT logarit cơ bản;thường gặp
-Tìm nghiệm nguyên của bất phương trình logarit
-Tìm nghiệm bất phương trình logarit thỏa mãn điều kiện cho trước
-Cho một bât phương trình lôgarit, nếu đặt ẩn phụ thì thu được bất phương trình nào (ẩn t)
-Tìm điều kiện của tham số để bất phương trình logarit thỏa mãn điều kiện cho trước như có nghiệm; vô nghiệm; nghiệm đúng với mọi x
-Biện luận số nghiệm BPT
A (10;+ ∞) B (0;+ ∞) C [10;+ ∞) D (−∞;10)
Phân tích hướng dẫn giải
1 DẠNG TOÁN: Đây là dạng toán giải bất phương trình lôgarit dạng cơ bản loga x≥ b
2 HƯỚNG GIẢI:
B1: Tìm điều kiện
B2:Giải bất phương trình
B3 :Đối chiếu điều kiện và kết luận tập nghiệm
Từ đó, ta có thể giải bài toán cụ thể như sau:
Lời giải:
Chọn C
Điều kiện: x>0
Ta có logx≥ ⇔ ≥ So với điều kiện, ta được 1 x 10 x≥ 10
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là [10;+ ∞)
Bài t ập tương tự và phát triển
M ức độ 1
Câu 1 Điều kiện xác định của bất phương trình log (23 x− > là: 3) 1
A x> 3 B 3
2
2
2< < x
Lời giải:
Chọn B
Trang 4Điều kiện: 2 3 0 3
2
x− > ⇔ > x
Vậy điều kiện xác định của bất phương trình là 3
2
x>
Câu 2 Điều kiện xác định của bất phương trình 2
1 3
log (x −2 )x < −2 là:
A 0 < <x 2 B x< 0 C x> 2 D 0
2
x x
<
>
Lời giải:
Chọn D
2
x
x
<
− > ⇔ >
Vậy điều kiện xác định của bất phương trình là 0
2
x x
<
>
Câu 3 Điều kiện xác định của bất phương trình log (log2 2 x)> là: 0
A x> 1 B x> 0 C x> 2 D 0 < <x 1
Lời giải:
Chọn A
Điều kiện:
2
1
x
Vậy điều kiện xác định của bất phương trình là x> 1
Câu 4 Tập nghiệm của bất phương trình log2x< là 1
A (2;+ ∞) B ( )0; 2 C (0; 2] D (−∞; 2)
Lời giải:
Chọn B
Điều kiện: x> 0
Ta có log2 x< ⇔ < So v1 x 2 ới điều kiện, ta được 0< < x 2
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là ( )0; 2
Câu 5 Có bao nhiêu giá trị nguyên của x là nghiệm của bất phương trình 1
3
log x≥ − 2
Lời giải:
Chọn B
Điều kiện: x>0
3
1
3
x≥ − ⇔ ≤x − ⇔ ≤ Đói chiếu điều kiện, ta được 0x < ≤ x 9
Trang 5Do x nguyên nên có t ất cả 9 giá trị x thỏa mãn bất phương trình
Câu 6 Tập nghiệm của bất phương trình log2(x− <1) 3 là:
A (−∞;10) B ( )1;9 C (1;10) D (−∞;9)
Lời giải:
Chọn B
Điều kiện: x− > ⇔ >1 0 x 1
2
log x− < ⇔ − <1 3 x 1 2 ⇔ <x 9 So với điều kiện, ta được 1< < x 9
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là ( )1;9
Câu 7 Bất phương trình 1( )
3
log 3x− > −1 3 có bao nhiêu nghiệm nguyên
Lời giải:
Chọn B
Điều kiện: 3 1 0 1
3
x− > ⇔ > x
3
−
− > − ⇔ − < ⇔ < ⇔ <
So với điều kiện, ta được 1 28
3< <x 3
Vậy bất phương trình có các nghiệm nguyên làx∈{1; 2;3; 4;5; 6; 7;8;9}
Số nghiệm nguyên là 9.`
Câu 8 Tập nghiệm của bất phương trình log5(2x+ <1) 2 là:
A 1;
2
− ∞
1
;12 2
C (−∞;12) D (12;+∞)
Lời giải:
Chọn B
2
x+ > ⇔ > − x
5
log 2x+ < ⇔1 2 2x+ <1 25⇔2x<24⇔ <x 12
Đối chiếu điều kiên ta có tập nghiệm của bất phương trình là 1;12
2
Câu 9 Tập nghiệm của bất phương trình 2 2
4 log 2 log
9
x≥ là:
A (−∞;1] B (0;1] C [1;+∞) D [2;+∞)
Trang 6Lời giải:
Chọn B
Điều kiện: x> 0
4
9
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là (0;1]
Câu 10 Tập nghiệm của bất phương trình log 13( −x)≥log 273 là:
A (−∞ −; 2) B..[− +∞2; ) C (−∞ −; 2] D [3;+∞)
Lời giải:
Chọn C
Điều kiện:1 − > ⇔ <x 0 x 1
Ta có log 13( −x)≥log 273 ⇔ − ≥ ⇔ ≤ −1 x 3 x 2
Đối chiếu điều kiện có tập nghiệm của bất phương trình là (−∞ −; 2]
M ức độ 2
Câu 1 Tìm tập nghiệm S của bất phương trình 2
log x−5 log x+ ≥ 4 0
C S(0;3 81; D S ( ;3 81;
Lời giải:
Ch ọn C
Điều kiện x> 0
Đặt t=log3x t, ∈ BR ất phương trình trở thành:
1
t
t
≥
3 3
Kết hợp điều kiện ta có: S(0;3 81;
Câu 2 Khi đặt t =log5x, x> thì bất phương trình 0 2( )
log 5x −3log x− ≤ trở thành bất phương 5 0 trình nào sau đây?
A t2− − ≤6t 4 0 B t2− − ≤6t 5 0
C t2− − ≤4t 4 0 D t2− − ≤ 3t 5 0
L ời giải:
Ch ọn C
Trang 7( )
2
log 5x −3log x− ≤5 0 ( )2
log x 1 6 log x 5 0
5 5
log x 4 log x 4 0
Với t =log5x bất phương trình trở thành: 2
t − − ≤ t
Câu 3 Tìm tập nghiệm S của bất phương trình 1( ) 1( )
log x+ <1 log 2x−1
A S = −( 1; 2) B 1; 2
2
= C (−∞; 2) D S =(2;+ ∞)
Lời giải:
Ch ọn B
Điều kiện:
1
1
2
x x
x
log x+ <1 log 2x− ⇔ + >1 x 1 2x− ⇔ <1 x 2
Kết hợp điều kiện ta có tập nghiệm BPT là: 1; 2
2
=
Câu 4 Tìm tập nghiệm S của bất phương trình log2(2x+ ≥1) log2(x−5)
A 4;
3
+∞
1
;5 2
3
Lời giải:
Ch ọn D
5
x x
x
4
3
x+ ≥ −x ⇔ x+ ≥ − ⇔ ≥ x x
Kết hợp điều kiện ta có tập nghiệm BPT là: 4;5
3
Câu 5 Tìm tập nghiệm S của bất phương trình log3x>log 83( −x)
A S = −∞( ; 4) B S =(8;+ ∞) C ( )0; 4 D S =( )4;8
L ời giải:
Chọn D
x
x x
Khi đó: log3x>log 83( −x)⇔ > − ⇔ >x 8 x x 4
Kết hợp điều kiện ta có tập nghiệm BPT là: S =( )4;8
Trang 8Câu 6 Tập xác định của hàm số y= log2(4−x)−1 là:
A (−∞; 4) B [2; 4) C (−∞; 2) D (−∞; 2]
Lời giải:
Chọn D
Hàm số xác định khi và chỉ khi
2
x
Vậy tập xác định của hàm số là (−∞; 2]
Câu 7 Gọi S là tập nghiệm của bất phương trình log2(2x+5)>log2(x−1) Hỏi trong tập S có bao
nhiêu phần tử là số nguyên bé hơn 10?
Ch ọn C
Điều kiện:
5
1 2
1
x x
x
Khi đó: log2(2x+5)>log2(x−1)
2x 5 x 1 x 6
Kết hợp với điều kiện ta có tập nghiệm là: 1;
Số giá trị nguyên dương bé hơn 10 là: 8
Câu 8 Tập nghiệm của bất phương trình ( 2 )
1 2
log 3x −2x < là 0
3
−∞ − ∪ + ∞
1
; 3
−∞ −
1
;1 3
−
D (1;+ ∞)
Lời giải:
Chọn A
2
1
3
x
x
>
− >
< −
− >
Tập nghiệm BPT là: 1 ( )
3
−∞ − ∪ + ∞
Câu 9 Gọi S là tập nghiệm của bất phương trình 1( ) 3( )
3
log x− +1 log 11 2− x ≥0 Hỏi trong tập Scó bao nhiêu phần tử là số nguyên?
Trang 9Lời giải:
Ch ọn A
Điều kiện:
11
1 2
1
x x
x
3
log x− +1 log 11 2− x ≥0 log311 2 0
1
x x
−
11 2
1 1
x x
−
−
12 3
0 1
x x
−
−
1 x 4
⇔ < ≤
Kết hợp điều kiện tập nghiệm BPT là S=(1; 4]
Số giá trị nguyên của S là: 3
Câu 10 Tìm tập nghiệm S của bất phương trình ( ) ( )2
log 2x− >1 log x
A S =(1;+∞) B.S =(0;+∞) C S=( )0;1 D 1;
4
Lời giải:
Ch ọn A
Điều kiện 1
2
x> Khi đó bất phương trình tương đương với
log 2x− >1 log x ⇔log 2x− >1 log x⇔ >x 1 Vậy tập nghiệm là S =(1;+∞)
M ức độ 3
Câu 1 Tập nghiệm của bất phương trình ( 2 ) ( )
log 2x +3x+ >1 log 2x+1 là:
A 1; 0
2
B
1 0;
2
1
; 0 2
1
; 2
Lời giải:
Ch ọn C.
Điều kiện: 2
1 1
2
2
1 2
x
x x
x
< −
+ + > ⇔ > − ⇔ > −
> −
log 2x +3x+ >1 log 2x+ 1
( 2 ) ( )2
log 2x 3x 1 log 2x 1
1
0
2
x
⇔ − < <
Trang 10Đối chiếu điều kiện có tập nghiệm của bất phương trình đã cho là 1; 0
2
Câu 2 Bất phương trình 2
2 3
log log (e x 2x x)0
có bao nhiêu nghiệm nguyên dương bé thua
2020
L ời giải:
Ch ọn B
Điều kiện:
( ) ( ) ( )
2
2
2 2
3
log log (e x 2x x) 0 log (x 2x x) 1(TM(3))
( )
2
2
2
2 2
x
x
− <
− ≥
⇔
2 1 2 0 4 1 2
x x x x x x
>
>
<
< −
>
≤
2
4
x x x
>
⇔ < ≤
< −
4 1
x x
< −
⇔ >
(thỏa mãn (1))
Tập nghiệm BPT là S= −∞ − ∪ +∞( ; 4) (1; )
Số nghiệm nguyên dương nhỏ hơn 2020 là 2018 giá trị
Câu 3 Bất phương trình 2 log 43 x 3 log 183 x27 có tập nghiệm là a b; Tổng a b bằng
A 19
13
17
15
4
L ời giải:
Chọn D
Điều kiện:
3
2
x x
x x
x
Trang 11
Khi đó: 2 log 43 x 3 log 183 x27
2
16x242x 18 0
3 3
Kết hợp với điều kiện ta có tập nghiệm là: 3;3
4
a b
Câu 4 Tổng tất cả các nghiệm nguyên của bất phương trình 2 log2 x 1 2 log2x bằng 2
Lời giải:
Ch ọn D
x
x x
4
2
x
2
x
2
x x
Đối chiếu điều kiện ta có tập nghiệm là: 2;3 Bất phương trình có nghiệm nguyên là x= 3
Vậy tổng các nghiệm nguyên là 3
Câu 5 Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để bất phương trình
log x (m1)x m 3 log x 4 nghiệm đúng với mọi x R∈
Lời giải:
Chọn A
log x (m1)x m 3 log x 4 nghiệm đúng ∀ ∈x R
(m 1)x m 1 0 , x R
Trang 12⇔ =m 1
Vậy có một giá trị m thỏa mãn
Câu 6 Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để bất phương trình 2
log x2 log x2m 5 0
có nghiệm
A m> 6 B m< 6 C m≤ 3 D m< 3
Lời giải:
Ch ọn D
2
log x2 log x2m (1) 5 0
Điều kiện x> Đặt 0 log3x=t t; ∈ R
BPT trở thành: t2− +2t 2m− < ⇔5 0 2m< − + +t2 2t 5 (2)
(1) có nghiệm khi và chỉ khi (2) có nghiệm t R∈
Xét hàm số f t( )= − +t2 2t+5 trên R
'( ) 2 2
f t = − + ; '( ) 0t f t = ⇔ = Ta có bảng biến thiên: t 1
Từ BBT ta có bất phương trình có nghiệm khi và chỉ khi 2m< ⇔ <6 m 3
Vậy m< 3
Câu 7 Tìm tất cả giá trị thực của tham số m để bất phương trình ( 2)
log mx−x ≤log 9 vô nghiệm?
A − ≤ ≤ 6 m 6 B 6
6
m m
>
< −
C m< 6 D − < < 6 m 6
Lời giải:
Ch ọn D
0
9
− >
( 2)
log mx−x ≤log 9 vô nghiệm
2
9 0
⇔ − + ≤ vô nghiệm
2
9 0 ,
0
⇔ ∆ <
2
⇔ − < ⇔ − < <
Trang 13Vậy 6− < < m 6
Câu 8 Tìm tất cả các giá trị của m để bất phương trình 2
2 2
log x+mlog x− ≥m 0 nghiệm đúng
với mọi giá trị của x∈(0;+∞)?
0
m m
≤ −
≥
C − ≤ ≤ 4 m 0 D − < < 4 m 0
Lời giải:
Chọn C
Đkiện: x> 0
Đặt t=log2 x t; ∈
Bất phương trình trở thành: 2
0
t +mt− ≥ m
BPT đã cho nghiệm đúng với ∀ ∈x (0;+∞) khi và chỉ khi 2
0
t +mt − ≥ nghiệm đúng t m ∀ ∈
2
Vậy 4− ≤ ≤ m 0
Câu 9 Tập nghiệm của bất phương trình 2
2
x e e có dạng [ ]a b; Tính 2ab
Lời giải:
Ch ọn B
Điều kiện x> 0
Ta có: eln2x =(elnx)lnx =xlnx
2
2
2e x2e ln x 4 2 lnx 2
2
1
e
−
Tập nghiệm BPT là 2
2
1
; e
e
2
1
2ab 2 .e 2
e
Câu 10 Tập nghiệm của bất phương trình 2 2
2
1 log log
2 x−10x x + > là: 3 0
2
2
; 0 ; 2
2
2
Lời giải:
Chọn A
Điều kiện: x>0 (*) Đặt u=log2 x⇒ =x 2 u
Bất phương trình đã cho trở thành 2 ( ) 2
2
10
2
u
u
−
Trang 14Đặt 2
2 , u 1
u
- Với u> ⇒1 log2x> ⇒ > 1 x 2
1
2
u< − ⇒ x< − ⇒ <x
Kết hợp điều kiện (*), ta được nghiệm của bất phương trình đã cho là x>2 hoặc 0 1
2
x
< <
M ức độ 4
Câu 1 Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho khoảng ( )2;3 thuộc tập nghiệm của bất
log x + >1 log x +4x+m −1
A. − ≤ ≤12 m 13 B m≤13 C m≥ −12 D 12
13
m m
≤ −
≥
Lời giải:
Chọn A
log x + >1 log x +4x+m −1
2
2 2
2 2
4
1
5
x
< − + =
+ + >
Hệ trên thỏa mãn ∀ ∈x ( )2;3 2 3
2 3
( ) 12 khi 2
( ) 13 khi 2
x
x
m
< <
< <
Câu 2 Bất phương trình: 2 2 2 2020 4038
log x−4038 log x+2019 +x −2 x+2 ≤0 có tập nghiệm là:
S= +∞ B S =(−∞; 2020) C { }2019
2
L ời giải:
Chọn C
2 2 2 2020 4038
log x−4038 log x+2019 +x −2 x+2 ≤0
2
log x−2019 + x−2 ≤0
⇔
2 2019
x x
⇔
2019
2
x
Câu 3 Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị của tham số m để trong tất cả các cặp ( )x y; thỏa mãn
2 2
2
x + +y x+ y− ≥ đồng thời tồn tại duy nhất cặp ( )x y; sao cho 4x+3y−2m= Tính 0
tổng các giá trị của S
L ời giải:
Trang 15Ch ọn B
Ta có 2 2
2
x+ +y x+ y− ≥ 4 4 2 02 2
+ − >
4x 4y 2 x y 2 4 (x 2) (y 2) (1)
Do tồn tại duy nhất cặp ( )x y; sao cho 4x+3y−2m= (2) 0
Nên ( ) (2 )2
Hay đường thẳng (2)tiếp xúc với hình tròn (1)
( ) ;
8 6 2
5
I
m
2
m m
=
Vậy tổng các giá trị của S là 14.
Câu 4 Cho bất phương trình 2 ( ) ( )
2 2
1
logm + 2− x + ≥1 m−1 Hỏi có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của
m để bất phương trình trên có nghiệm duy nhất
Lời giải:
Ch ọn B
Điều kiện cần: Nhận thấy nếu x= là nghix0 ệm của bất phương trình đã cho thì x= − x0 cũng là nghiệm của bất phương trình Vậy bất phương trình có nghiệm duy nhất thì x0 = − ⇔x0 x0 = 0 Thay x= và bất phương trình thu được 0 2 ( ) ( )
1
logm+ 1≥ m−1 ⇔ m−1 ≤ ⇔0 m=1 Điều kiện đủ: Thay m= vào bất phương trình đã cho ta được 1
2
log 2− x + ≥ ⇔ −1 0 2 x + ≥ ⇔1 1 x + ≤ ⇔1 1 x ≤ ⇔ =0 x 0
Vậy với m= bất phương trình có nghiệm duy nhất 1 x= 0
Câu 5 Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m đê bất phương trình
1 log+ x + ≥1 log mx +4x+m nghiệm đúng với mọi x R∈
A − < ≤1 m 0 B − < <1 m 0 C 2< <m 3 D 2< ≤m 3
Lời giải :
Ch ọn D
1 log+ x + ≥1 log mx +4x+m
2
⇔
Trang 16Bất phương trình nghiệm đúng x R∀ ∈ 2
,
2
2
+ + >
⇔
2
2
0
m m m
>
− <
− >
⇔ < ≤
Câu 6 Biết bất phương trình ( 1) ( )
2020
log x.2020x− ≤m x−1 nghiệm đúng với mọi x dương Khẳng
định nào sau đây là đúng?
A. m∈[ ]1; 2 B m∈[ ]4;5 C m∈[3; 4) D. m∈(5; 6]
L ời giải :
Ch ọn A.
2020
log x.2020x− ≤m x−1 nghiệm đúng với mọi x dương
2020
2020
⇔ ≤ − − − đúng với ∀ >x 0( )*
Khi đó ( )* đúng khi y=(m−1) (x− m−1) là tiếp tuyến của đồ thị f x( )=log2020x tại điểm
( )1; 0
M
Câu 7 Gọi S =[ ]a b; là tập hợp tất cả các giá trị của tham số m để bất phương trình
3
log x.3x ≥ m x− +1 1 có nghiệm đúng với mọi x∈[ ]3;9 Tính tổng T a b= +
4
16
16
16
L ời giải :
Ch ọn D.
Bất phương trình log3( )x.3x ≥ m x( − + ⇔1) 1 log3x≥( m−1) (x− m−1 *) ( )
Ta cần tìm m để (*) nghiệm đúng ∀ ∈x [ ]3;9
Xét sự tương giao của đồ thị y=log3x C d( ); : y=( m−1) (x− m− 1)
Xét m− ≤ ⇔ ≤ ≤1 0 0 m 1khi đó với ∀ ≥ thì (C) nằm phía trên của đường thẳng (d) hay (*)x 1 đúng với ∀ ≥x 1 nghĩa là nó cũng đúng với mọi ∀ ∈x [ ]3;9 (1)
Xét m− > ⇔ >1 0 m 1 Khi đó đường thẳng (d) cắt đồ thị (C) tại điểm có hoành độ x= và 1
một điểm có hoành độ x= x0
