Chuyen de phuong trinh bat phuong trinh logarit chua tham so lxhc3

PHƯƠNG TRÌNH , BẤT PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT CHỨA THAM SỐ I VÍ DỤ MINH HỌA Ví dụ 1 Tìm giá trị thực của tham số m để phương trình 2 3 3log log 2 7 0x m x m    có hai nghiệm thực 1 2,x x thỏa mãn 1 2 81[.]

PHƯƠNG TRÌNH , BẤT PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT CHỨA THAM SỐ

I VÍ DỤ MINH HỌA

Ví dụ 1: Tìm giá trị thực của tham số m để phương trình log23x m log3x2m 7 0có hai nghiệm thực x x thỏa mãn 1, 2 x x1 2 81

A. m 4 B. m4 C. m81 D. m44

Lời giải

Điều kiện: x0 Đặt tlog3x với x    0 t ( ; )

log x m log x2m   7 0 t mt2m0 (*)

Để phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt 2 2

Với m¡ , phương trình (*) có hai nghiệm 1 3 1 1 2 3 1 3 2

log

log





 

1 2 log (3 1 2)

   mà x x1 2 81và t1 t2 m (hệ thức Viet)

Suy ra mlog 81 log 43  3 3 4

Chọn B

Ví dụ 2: Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình  2

2

4 log x log x m 0 có nghiệm thuộc khoảng (0;1)

4

4

m

4

m

Lời giải

Điều kiện: x0

2

4 log x log x  m 0 log x log x m 0

Đặt tlog2x với x(0;1) suy ra t ( ; 0), khi đó 2 2

t        t m m t t f t

2

f t    t f t        t t

Xét bảng biến thiên của hàm số ( )f t vowis t ( ; 0)

Ta thấy để phương trình đã cho có nghiệm thuộc đoạn (0;1) thì phương trình f t( )m có ít nhất

một nghiệm, khi đó 1

4

m

Chọn D

Ví dụ 3: Hỏi có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số thực m để phương trình logarit

log x log x 1 2m 1 0 có nghiệm thuộc đoạn 1;3 3

Lời giải

t x  x t Với 1 x 3 3 suy ra 1 t 2

Phương trình đã cho trở thành t2 t 2m2 (*)

Phương trình đã cho có nghiệm thuộc đoạn 3

  có nghiệm 1 t 2 Xét hàm số f t( ) t2 t với 1 t 2, ta thấy ( )f t là hàm đồng biến trên đoạn  1; 2

Suy ra 2 f(1) f t( ) f(2)  6, t  1; 2

Vậy phương trình có nghiệm  2 2m    2 5 0 m 2 suy ra có 3 giá trị nguyên m thỏa

mãn yêu cầu bài toán

Chọn A

Ví dụ 4: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình

3

2 log ( 1)

x

 có hai

nghiệm thực phân biệt

A.   1 m 0 B. m 1 C. Không tồn tại D.   1 m 0

Lời giải

Điều kiện:

3

1

x

 



 

log (x 1)

x

 

 trên khoảng D  ( 1; ) \ 0 

log ( 1) ln 3.( 1).log ( 1)

x



Do đó, hàm số đã cho đồng biến trên mỗi khoảng và (0;)

Bảng biến thiên

x 1 0 

'

y  

y  

1 

Dựa vào bảng biến thiên, suy ra phương trình f x( )mcó 2 nghiệm   m 1

Chọn B

Ví dụ 5: Hỏi có bao nhiêu giá trị m nguyên trong đoạn 2017; 2017 để phương trình log(mx)2 log(x1) có nghiệm duy nhất ?

Lời giải

Phương trình

2 2

0

1

1 0 log( ) 2 log( 1)

2 1(*) log( ) log( 1)

mx

x x

 

 







Dễ thấy x0 không là nghiệm của phương trình (*)

Khi đó, với 1

0

x x

 



 

 thì phương trình (*) trở thành

2

Xét hàm số f x( ) x 1 2

x

   trên khoảng ( 1; ) \ 0  , có

2

1 '( ) 1

f x

x

 

Phương trình

 

2 2

( 1; ) \ 0

( 1; )

x

x

x x

  







Bảng biến thiên

x 1 0 1 

'( )

f x   0 

( )

f x

0  

 4

Dựa vào bảng biến thiên, để phương trình f x( )m có nghiệm duy nhất 4

0

m m





  

Kết hợp với điều kiện m  2017; 2017 và m¡ suy ra 4

2017, 1

m m







Chọn C

Chú ý: Với dạng phương trình log ( ) log ( ) ( ) 0, ( ( ) 0)

( ) ( )

f x g x



điều kiện hoặc là ( )f x , hoặc là g x( )0 để tìm điều kiện của biến x Vậy ta sẽ chọn hàm số

không chứa tham số m để tìm điều kiện bài toán

Ví dụ 6: Cho phương trình 2 3 1 2

2

log (mx6x ) 2log (14 x 29x 2) 0 Hỏi có bao nhiêu giá trị

nguyên m để phương trình đã cho có ba nghiệm phân biệt?

Lời giải

log (mx 6x ) log ( 14x 29x 2)

2

1

2

2

x

x



Phương trình đã cho có ba nghiệm phân biệt (*) có ba nghiệm phân biệt 1 ; 2

14

 

Xét hàm số f x( ) 6x3 14x 29 2

x

    trên khoảng 1 ; 2

14

 

Ta có

1

2

x

x





 



(do 1 2

14 x )

Bảng biến thiên

x 1

14

1

2 1 2 '( )

f x  0  0

( )

f x

39

2 24 3

98 19

Dựa vào bảng biến thiên, để phương trình (*) có ba nghiệm phân biệt khi 19 39

2

m

 

Vậy không có giá trị nguyên nào của m thỏa mãn yêu cầu bài toán

Chọn A

Ví dụ 7: Biết rằng phương trình log (5 x43x23x m ) log 125(4x)3log (5 x1) có ba nghiệm thực phân biệt khi và chỉ khi m( ; )a b Mệnh đề nào dưới đây là đúng?

A. a b  4 B. a b 1 C. b2a6 D. 5a2b

Lời giải



 

4 2 2 4 2

Phương trình đã cho có ba nghiệm phân biệt (*) có ba nghiệm phân biệt x ( 1; 4)

Xét hàm số f x( )x42x24 trên khoảng ( 1; 4) , có f x'( )4x34x

Phương trình

3

'( ) 0

f x

  



Bảng biến thiên

x 1 0 1 4 '( )

f x  0  0 

( )

f x

4 220

5 5 Dựa vào bảng biến thiên, để phương trình f x( )m có ba nghiệm phân biệt thuộc khoảng ( 1; 4)

4

a

b

 



              

Chọn C

Ví dụ 8: Hỏi có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên m để phương trình dưới đây có hai nghiệm phân

biệt x x thỏa mãn điều kiện 1, 2 x12x221

2

2 log 2x  x 2 (1 2 )m  m log (x mxm )0

Lời giải

log 2x x 2 (1 2 )m m  log (x mx m ) 0

2x x 2 (1 2 )m m x mx 2m 0



 

(1) (2)

2

2

1





Khi đó

2

1

x x



Kết hợp hai điều kiện trên, ta được

m

m

  





  



là giá trị cần tìm

Vậy không có giá trị m ngyên nào thỏa mãn yêu cầu bài toán

Chọn B

Ví dụ 9: Xét các số nguyên dương a, b sao cho phương trình aln2x b lnx 5 0 có hai nghiệm phân biệt x x và phương trình 1, 2 5log2x b logx a 0 có hai nghiệm phân biệt x x thỏa 3, 4 mãn x x1 2 x x3 4 Tìm giá trị nhỏ nhất Smincủa S 2a3b

A. Smin 30 B. Smin 25 C. Smin 33 D. Smin 17

Lời giải

Phương trình

2 2





2 20 0

    

Theo hệ thức Viet, ta có

 

 

1 2

5

3 4

10

b a b

x x e

x x









1 2 3 4

5

a

Vì a, b là hai số nguyên dương suy ra a 3 amin 3 và b2 20a60bmin 8

Vậy Smin 2amin3bmin 2.3 3.8 30

Chọn A

Ví dụ 10: Tính tổng tất cả các gia trị của tham số a để phương trình sau có đúng 3 nghiệm

1 3

3

4x a log x 2x 3 2 x x.log 2 x a 2 0

Lời giải

2.4x a log x 2x 3 2 x x.log 2 x a 2

2

2 3 0,

x  x   x ¡ nến (*)

2x  x log x 2x 1 2 2 x a log 2 x a 2

Xét hàm số f t( )2 log (t 3 t2) làm hàm số đồng biến trên khoảng (2;)

Suy ra t1 t2 f t( )1  f t( )2 Do đó (*)  2   

2



(1) (2)

Xét  '(1) 2a1 và '(2)  4 (2a  1) 3 2a

Phương trình đã cho có 3 nghiệm khi và chỉ khi:

TH1 Phương trình (1) có nghiệm kép và (2) có hai nghiệm phân biệt

TH2 Phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt và (2) có hai nghiệm kép

TH3 Phương trình (1), (2) có hai nghiệm phân biệt và có một nghiệm trùng nhau

Giải 3 trường hợp ta tìm được 1, 3, 1

a a a suy ra a3

Chọn D

Ví dụ 11: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để bất phương trình

2

log x2log x3m 2 0 có nghiệm thực

3

m

Lời giải

Điều kiện: x0 Đặt tlog2x, với x0 suy ra t   ; 

Phương trình đã cho trở thành t2 2t 3m  2 0 3m   t2 2t 2 (*)

( ; )

 

Ta có      t2 2t 2 3 (t 1)2  3, t ¡ suy ra M 3 (2)

Từ (1), (2) suy ra 3m  3 m 1 là giá trị cần tìm

Chọn A

Ví dụ 12: Tìm m để bất phương trình  2 

logm x 2x m  1 0 nghiệm đúng với mọi x¡

A. 0 m 1 B. m1 C. m2 D. m2

Lời giải

Ta xét hai trường hợp

+) TH1: Với m1 , suy ra log (m 2    2x m 1) 0 x22x m  1 1

    nghiệm đúng với mọi x        ¡ ' 0 1 m 0 m 1

+) TH2: Với 0 m 1 , suy ra log (m x22x m   1) 0 x22x m  1 1

x22x m 0

Vì hệ số của x dương nên bất phương trình có nghiệm hoặc vô nghiệm 2

Kết hợp hai trường hợp, ta được m1 là giá trị cần tìm

Chọn B

Ví dụ 13: Hỏi có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên m trong đoạn 10;10 để bất phương trình

2

lg x m lgx m  3 0có nghiệm x1

Lời giải

Đặt tlgx suy ra với x  1 t 0

Khi đó bất phương trình đã cho trở thành 2 2

t mt     m t m t (1)

TH1 Với t1 , suy ra bất phương trình (1)

2

3 1

t

m t



 (2)

Xét hàm số

2

3 ( )

1

t

f t

t





 trên khoảng (0;1) , ta có

2 2

( 1)

t

 

(2)

 có nghiệm t(0;1) khi và chỉ khi m f(0) 3

TH2 Vớ t 1 , suy ra bất phương trình (1)

2

3 1

t m t



 

 (3)

Xét hàm số

2

3 ( )

1

t

f t

t





 trên khoảng (1;), ta có f t'( )  0 t 3

Bảng biến thiên

t 1 3 

'( )

f t  0  ( )

f t  

6

(3)

 có nghiệm t (1; ) khi và chỉ khi m f(3)6

6

m

m

 



 

 , kết hợp điều kiện

10, 9, 8, 7, 6,

10 10 5, 4, 6, 7,8, 9,10

m

m m

 

¢

Chọn C

Ví dụ 14: Cho bất phương trình  2   2 

1 log x  1 log mx 4x m Tìm tất cả giá trị thực của

tham số m để bất phương trình đã cho nghiệm đúng với mọi x¡

A. 2 m 3 B. 2 m 3 C. m3 D. m2

Lời giải

log 5 x 1  log mx 4x m

2



TH1 m0 hoặc m5 : (*) không thỏa mãn

TH2 m và  

1

2 '

(1) 2

(2)

5 : (*)

0

m m

m

  







 



   



Vậy m2;3 là giá trị cần tìm

Chọn A

Ví dụ 15: Cho hai số thực x, y thỏa mãn 9x24y2 5 và logm3x2ylog33x2y1 Tìm

giá trị lớn nhất của tham số m sao cho nghiệm  x y thỏa mãn điều kiện ; 3x2y5

Lời giải

Đặt X 3x2 ,y Y 3x2y và điều kiện , 0

X Y m





  

Theo bài ta có   

5

5

XY

X

X





Phương trình (*) logm X log 5 log3  3X 1

3

log 5 1 log log

log log 5 1 log

m X



Mặt khác 3x2y 5 X  5 log3X log 53 (2)

3

Đặt M log3m , ta có (3) 1 log 53 1 log3 log 53 1 5

3

Vậy chọn giá trị lớn nhất của m là 5

Chọn D

II BÀI TẬP TỰ LUYỆN

Câu 1: Phương trình log22xlog2x2 3 m có nghiệm x 1;8 khi và chỉ khi a m b Khi

đó tích số ab bằng:

Câu 2: Số giá trị nguyên của m để phương trình log 232 xlog 49 x2  4 m 0 có nghiệm

1 3

;

6 2

  là:

Câu 3: Phương trình 9x3 3m x3m0 có hai nghiệm phân biệt khi và chỉ khi

;( 0, 0)

a

b

   Giá trị của biểu thức (ba) bằng:

Câu 4: Phương trình 16m x(2m1).4x3m 4 0 có hai nghiệm trái dấu khi và chỉ khi:

3

m

0 4 3

m

m







4 0

3

m

  D. m 

Câu 5: Giá trị của m để phương trình

2 2

x x



    có hai nghiệm phân biệt sao cho

x x  là:

Câu 6: Giá trị của m để phương trình  2 

log  x mx m  1 log  0 có nghiệm duy nhất

là

A. m 5 B. m 2 C. m 3 D. m1

Câu 7: Cho phương trình 9x10.3x  1 m 0 Giá trị của m để phương trình trên có 2 nghiệm

là:

A. m  24;1 B. m 1;  C. m   5;  D. m  24;

Câu 8: Với giá trị nào của m để phương trình 9 x  3x m 0 có nghiệm ?

4

4

m

Câu 9: Phương trình   2( 2 1)   2 2

m   m   m có nghiệm khi:

A. 2 m 3 B. 2 m 9 C. 2 m 9 D. 2 m 3

Câu 10: Tìm m để phương trình 9 x,.3x 1 0 có hai nghiệm phân biệt:

A. m2 hoặc m 2 B. m2

C.   2 m 2 D. m 2

Câu 11: Tìm m để phương trình: x46x2log2m0 có 4 nghiệm phân bieetj trong đó có 3 nghiệm lớn hơn 1 ?

A.

9

1

1

9

1

1

5

1

1

2  m D. Đáp án khác

Câu 12: Tất cả các giá trị của m để phương trình 22x1m2 m 0 có nghiệm là:

A. m0;m1 B. 0 m 1 C. m0 D. m1

Câu 13: Để phương trình : m1 16 x2 2 m3 4 x6m 5 0 có hai nghiệm trái dấu thì m

phải thỏa mãn điều kiện:

A.    4 m 1 B. Không tồn tại m C. 1 3

2

m

6

m 

  

Câu 14: Tìm a để phương trình: x44x2 log3a  3 0 có 4 nghiệm thực phân biệt:

27 a

Câu 15: Tìm m để phương trình log2 3x m log 3x 1 0 có nghiệm duy nhất nhỏ hơn 1:

A. m2 B. Không tồn tại m C. m 2 D. m 2

Câu 16: Tìm m để phương trình log22xlog2x m 0 có nghiệm x 0;1 ?

4

4

Câu 17: Cho phương trình

3 2 2

2

x

m  x  x , với m là tham số Tất cả các giá trị của m

để phương trình trên có một nghiệm là:

A. m4 hoặc 0 m 234 B. m4 hoặc 0 m 234

C. m2; D. 234 m 22

Câu 18: Bất phương trình lg2x m lgx m  3 0 có nghiệm x1khi giá trị của m là:

A. (  ; 3) 6; B. ( 3) C. 6; D. 3; 6 

Câu 19: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho phương trình 2x2 x 12mx1 có nghiệm

A. m  1 2 2 hoặc m  1 2 2 B. m  1 2 2 hoặc m  1 2 2

C. 1 2 2     m 1 2 2 D. 1 2 2   m 2 2

Câu 20: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho phương trình

1

1

3x

m

   có nghiệm suy nhất

2

2 m

Câu 21: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho phương trình 2 x x m có nghiệm duy nhất

Câu 22: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho phương trình 4 xm.2x 4 0 có đúng hai nghiệm phân biệt

A. 4 m 6 B. m4 C. 0 m 6 D. m6

Câu 23: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho phương trình

3

log x 4x6 m có nghiệm kép

A. mlog 32 B. 2

3

m C. mlog 23 D. m

Câu 24: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho phương trình

log xlog (x 1) m có nghiệm duy nhất

Câu 25: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho phương trình

log (x 1) log (x 3) m có nghiệm kép

4

m 

Câu 26: Cho phương trình 3 2 2  x4 3 2 2 x m Giá trị của m để phương trình trên có

nghiệm là:

A. m2; B. m4; C. m2; D. m4;

Câu 27: Cho phương trình log (3 m2 )x log (43 x2)

A. m  4; 4 B. m  4; 4 C. m  4;5 D. m  4;5

Câu 28: Cho phương trình 1 2

2

log (m4 ) 2 log (x  x2)0 Giá trị của m để phương trình có

nghiệm trên đoạn  2;5 là:

A. m24;69 B. m20; 69 C. m10;70 D. m10;70

Câu 29: Cho phương trình log22x2log 22 x m 1 Giá trị của tham số m để phương trình có

nghiệm là:

A. m2 B. m 2 C. m2 D. mR

Câu 30: Giá trị của m để phương trình 9 x(m1).3x m 0 có 2 nghiệm phân biệt x x sao 1; 2 cho x12x22 4 là:

A. m9;m 9 B. m3;m 3 C. 9; 1

9

3

m m 

Đáp án

11-C 12-B 13-D 14-C 15-C 16-A 17-A 18-A 19-B 20-A 21-D 22-B 23-C 24-B 25-A 26-D 27-D 28-A 29-B 30-C