Phuong trinh mu va logarit rsor1

Trang 1 CHUYÊN ĐỀ 5 PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LÔGARIT 1 KIẾN THỨC TRỌNG TÂM Phương pháp chung Đưa về cùng một cơ số, đặt ẩn phụ, biến đổi tích, Lôgarit hóa, mũ hóa Sử dụng bất đẳng thức, tính đơn điệu của hà[.]

CHUYÊN ĐỀ 5 - PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LÔGARIT

1 KIẾN THỨC TRỌNG TÂM

Phương pháp chung:

- Đưa về cùng một cơ số, đặt ẩn phụ, biến đổi tích,…

- Lôgarit hóa, mũ hóa

- Sử dụng bất đẳng thức, tính đơn điệu của hàm số, định lý Lagrange,…

Phương trình mũ và lôgarit

- Dạng: a x b a 0,a1

Nếu b0, phương trình vô nghiệm

Nếu b0, phương trình có nghiệm duy nhất xloga b

Nếu a1: loga f x loga g x  0 f x g x 

Nếu 0 a 1: loga f x loga g x  f x g x 0

Hệ phương trình mũ và lôgarit

Việc giải hệ phương trình mũ và lôgarit về cơ bản cũng giống như giải các hệ phương trình đại số như rút thế, cộng đại số, đặt ẩn phụ, biến đổi tích, đánh giá, tính chất đơn điệu của hàm số, … phối hợp với các biến đổi về biểu thức mũ và lôgarit, mũ hóa, lôgarit hóa

a) cos 72  x cos36 x 3.2x b)

sin 4

a) Phương trình: 2cos 72  x 2cos36 x 3

t e

   suy ra hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng 1;0 và  0;1

Vì u v, cùng dấu nên u v, cùng thuộc một khoảng 1;0 hoặc  0;1 do đó PT:

Vậy f x 0 có tối đa 2 nghiệm mà f  0  f  1 0 nên tập nghiệm là S  0;1

Bài toán 5.5: Giải các phương trình sau:

a) 5x2x 2x 1 4 5x x4x 1 52x

4x2x 2 2x 1 sin 2x    y 1 2 0

Hướng dẫn giải

a) Điều kiện x0 Phương trình tương đương với

  log 2 log 2  log 2  log 2  

2 log 2

Đây là phương trình bậc hai theo 4y nên có không quá hai nghiệm Theo định lý Rolle thì phương trình

  0

f y  có không quá ba nghiệm Mặt khác ta thấy 1

0,2

- Nếu cos 2x0, lập luận tương tự trường hợp trên: loại

- Nếu cos 2x0 thì PT được thỏa mãn và phương trình đã cho có nghiệm ,

Gọi a là nghiệm của phương trình trên thì có 3a2a 6a 5a

Xét hàm số f t   t 1a t a, khi đó f t  liên tục trên  2;5 và

  Ta có f  2  f  5

Áp dụng định lý Rolle trên  2;5 thì tồn tại số c thuộc  2;5 sao cho f ' c 0 do đó

Vì c thuộc  2;5 nên a0 hoặc a1

Thử lại đúng, vậy phương trình có 2 nghiệm là x0 và x1

Bài toán 5.8: Giải các phương trình:

3 log 4

20

3

x x

x x

Bài toán 5.10: Giải các phương trình sau:

a) log1x 2x logx2 2 x0 b) log 2 3 1 log 3 2 1

0

x x

Suy ra phương trình ff f y    y có nghiệm duy nhất là y2, suy ra x1

Vậy phương trình đã cho có nghiệm là x1

Bài toán 5.11: Giải các phương trình

      nghịch biến trên ¡ nên y1 là

nghiệm duy nhất, do đó PT cho có nghiệm x212

Bài toán 5.12: Giải các phương trình sau:

log x x  1 log x x  1 log x x 1

b) log2log log3 4x log4log log3 2x 

và 5x  1 1 nên phương trình trên vô nghiệm

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm là x0,x1

Do đó f là hàm số đồng biến và f  11 0 nên phương trình đã cho có nghiệm duy nhất là x11

Bài toán 5.14: Giải các phương trình sau:

f x      do đó x0 là điểm cực tiểu của hàm số

Suy ra f x  f x 0 0 nên PT 4x1 2x1x vô nghiệm

Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất là x0

Vậy PT có nghiệm duy nhất x2

Bài toán 5.16: Giải các phương trình sau:

Suy ra PT có nghiệm duy nhất 1 1

- Nếu x1 thì bất đẳng thức ở trên đổi chiều: không thỏa mãn

Vậy bất phương trình đã cho có nghiệm x1

g  nên g x   0 x 0, do đó g x  cùng dấu với x

Suy ra bất phương trình đã cho tương đương với

1

x

x x

Vậy tập nghiệm của BPT là 0;1

Bài toán 5.18: Giải các bất phương trình

2 ) b) Đặt

log 2

0

31

log 20

31

2 hay

x x

b) Điều kiện tanx0 Đặt ttan ,x t0 thì

Mặt khác VP 21 tanx 2 nên dấu = đồng thời xảy ra  t tanx  0 x k,k¢

Bài toán 5.21: Giải các bất phương trình:

x x

   b) ĐK: x0 Xét x4 thì log2x2 còn 6 x 2 (loại)

Xét 0 x 4 thì log2x  2 6 x nên BPT nghiệm đúng

Khi x1 thì f ' x 0 nên f x  đồng biến: x1 suy ra f x  f  1 0

Do đó x1  f x 0 Tương tự khi 0 x 1 thì f ' x 0 nên f x  nghịch biến:

12

Vậy hệ PT đã cho có nghiệm là     x y;  1;1 , 15;15

Bài toán 5.26: Giải các hệ phương trình:

log 1 3sin log 3cos

log 1 3cos log 3sin

 nên f đồng biến trên 0;1, do đó PT   u v t

Ta có PT: log 1 32  t2log 33 t , giải ra nghiệm duy nhất:

1

,2

2

k l y

Nếu a là nghiệm thì a cũng là nghiệm nên chỉ cần xét a0

Xét hàm số f x  x t xt,x1 với số thực t dương tùy ý

f x tx x , do x1 nên 1x2t 0 suy ra hàm số này đồng biến trên 1;

Do đó, ta được bất đẳng thức sau: 2a2a  3a 3a 5a5a và dấu đẳng thức chỉ xảy ra khi a0 Suy ra 2 2 a 2a 3 3a3a 5 5a5a

Đẳng thức phải xảy ra nên a0 hay 2x  y 0 2x y

Thay vào phương trình (2) ta có:

a) Điều kiện x0,y0 Xét x  0 y 0: loại nên x0

Giả sử x y thì từ hệ trên suy ra f y  f x  y x

Do đó nếu  x y, là nghiệm của hệ thì x y nên có phương trình 2  

x  x x  Vì vế trái là hàm đồng biến và x0 thỏa mãn Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất là x y 0

Bài toán 5.30: Giải các hệ phương trình:

b) Điều kiện 0 x y, 3,y1,logy3x0,log3y x0

 2 :sin  log log

1

y x

Hệ phương trình đã cho có thể viết lại là:

Vậy hệ phương trình cho có nghiệm là 0;0;0 , 1;1;1  

Bài toán 5.33: Tìm các nghiệm dương của hệ phương trình:

22

Đây chính là nghiệm của hệ phương trình đã cho

Bài toán 5.35: Cho x là nghiệm của PT: 3 2 2  x  2 1 x 3

Chứng minh x cũng là nghiệm của PT:  2 1 2cos

PT (*) này có biệt thức  0 nên có đúng 2 nghiệm phân biệt Từ bảng biến thiên của f x  suy ra phương trình f x 0 có không quá ba nghiệm phân biệt

Xét hàm số tương ứng với PT (1) là f x  x cos ,x D¡

Ta có f ' x  1 sinx 0, x nên f là hàm đồng biến

Mà f  0 0, f  1 0 và f là hàm liên tục nên phương trình f x 0 có nghiệm duy nhất  0;1 Chứng minh tương tự ta có 3 nghiệm   , ,  0;1

y x e

 , t 1, ta chứng minh g t 0 có hai nghiệm trong khoảng 1;

Bài toán 5.39: Tìm điều kiện để phương trình:

a) log32x log23x 1 2m 1 0 có nghiệm thuộc đoạn 1;3 3

f t  t t  t f t   t nên f đồng biến trên  1; 2

Điều kiện có nghiệm: f  1 2m 2 f  2

Điều kiện có nghiệm duy nhất: a0 hay a12

Bài toán 5.40: Tìm điều kiện để bất phương trình:

   nên đồng biến trên 0; và f  2 0

Do đó, bất phương trình tương đương:

2 2

Do đó y1 và x0: nghiệm duy nhất Vậy m0

Bài toán 5.42: Tìm m để hệ sau có nghiệm:

a) Lôgarit hóa Kết quả x1 hoặc x 1 log 32

b) Lôgarit hóa Kết quả  5 

5

2 log 3 44log 3 7

b) Chia 2 vế cho 4x Kết quả x1

Bài tập 5.4: Giải các phương trình:

a) 3 cosx 2 cosx  cosx b) cot 2x tan 2x 2tan 2x1

Bài tập 5.5: Giải các phương trình:

a) Đưa về cơ số 2 Kết quả x4

b) Đưa về cơ số 2 Kết quả x3

Bài tập 5.6: Giải các phương trình:

a) log log4 2xlog log2 4x2 b) log 16 log 64x2  2x 3

a) Chia 2 vế cho 4x 0 Kết quả 0 x 4

Bài tập 5.11: Tìm điều kiện m để phương trình:

a) 9sin2x9cos2x m có nghiệm