Tín hiệu hệ thống bài dịch

Ngõ ra của máy điện thoại và máy ghi hình là tín hiệu liên tục theo thời gian ngày nay, điều này là chưa đúng?!!, trong khi giá trị GNP theo quí, giá trị bán hàng của công ty, và chỉ số

CHƯƠNG 1 GIỚI THIỆU VỀ TÍN HIỆU VÀ HỆ THỐNG

Nội dung

1.1 Phân loại tín hiệu

1.2 Các mô hình và phép tính tín hiệu

1.3 Phân loại hệ thống

1.4 Mô hình hệ thống: Mô tả quan hệ ngõ vào – ngõ ra hệ thống

Tài liệu tham khảo:

B.P Lathi, Signal Processing and Linear Systems, Berkeley-Cambridge Press, 1998

Chương trình bày một số đặc tính cơ bản của tín hiệu, đồng thời giới thiệu các ý niệm cơ bản chính và giải thích định tính phương thức hoạt động của hệ thống, tạo cơ sở cho phần còn lại của tài liệu

Tín hiệu

Tín hiệu là tập các thông tin hay dữ liệu, Thí dụ tín hiệu trong điện thoại hay truyền hình, doanh số bán của một công ty, hay chỉ số giá chứng khoán hàng ngày (thí dụ chỉ số Dow Jones) Các thí dụ trên cho thấy tín hiệu là hàm theo biến thời gian độc lập, tuy không phải lúc nào cũng đúng Thí dụ điện tích được phân bố trong một vật thì tín hiệu là điện tích lại phụ thuộc nhiều vào yếu tố không gian, không phải là thời gian Tài liệu này quan tâm chủ yếu đến các tín hiệu phụ thuộc theo thời gian Tuy nhiên, phương thức này còn áp dụng được cho các dạng biến độc lập khác

Hệ thống

Hệ thống xử lý các tín hiệu, nhằm thay đổi hay lấy thêm thông tin từ tín hiệu Thí

dụ, người lính phòng không cần thông tín từ mục tiêu di động của đối phương mà radar của mình đang theo bám Thông qua xử lý đúng tín hiệu radar (ngõ vào), anh ta có thể ước lượng được vị trí sắp tới của mục tiêu Như thế, hệ thống là một thực thể (entity) nhằm xử lý tập các tín hiệu (ngõ vào) để tạo một tập tín hiệu khác (ngõ ra) Hệ thống có thể được tạo lập từ các thiết bị vật lý, như các hệ thống điện, hệ thống cơ, hay thủy lực (phần cứng), hay có thể là một thuật toán để tính toán ngõ ra khi có tín hiệu ngõ vào (phần mềm)

1.1 Kích thước của tín hiệu (đo lường tín hiệu)

Kích thước của một thực thể là con số nhằm chỉ thị độ lớn hay cường độ của thực thể này Nói chung, biên độ tín hiệu thay đổi theo thời gian Như thế, làm cách nào để đo lường một tín hiệu tồn tại trong một khoảng thời gian với biên độ có thay đổi dùng chỉ một con số nhằm chỉ thị kích thước hay cường độ của tín hiệu? Đo lường này không chỉ xem xét về tín hiệu biên độ, mà còn xem xét đến thời gian tồn tại Thí dụ nếu ta có ý định chỉ dùng một số V để đo kích thước của con người, ta không chỉ xem xét vòng ngực

mà còn phải xem thêm về chiều cao Nếu ta dùng giả thiết là hình dạng con người là một hình khối tròn có bán kính r (thay đổi theo chiều cao h) thì đo lường hợp lý kích thước của người có chiều cao H là thể tích V, cho theo công thức:

V

0 2

)(

p

Năng lượng tín hiệu

Từ đó, tiếp tục xem xét vùng điện tích của tín hiệu f(t) như phép đo kích thước, do

phần này không chỉ dùng biên độ, mà còn quan tâm đến thời gian tồn tại của tín hiệu Tuy

nhiên, phương pháp này có thể cho kết quả đo lường sai khi f(t) là tín hiệu lớn, tạo các

vùng diện tích có giá trị dương và giá trị âm, có khả năng triệt tiêu nhau, làm cho phép đo

có giá trị nhỏ hơn giá trị thực Vấn đề này được hiệu chỉnh bằng cách định nghĩa kích

thước của tín hiệu là vùng điện tích của f 2

(t), là vùng điện tích luôn có giá trị dương Gọi

đo lường này là năng lượng tín hiệu E f, được định nghĩa (cho tín hiệu thực) là:

E f =ò-+¥¥ f2(t)dt (1.1)

Khi f(t) là tín hiệu phức, ta có công thức tổng quát:

E f =ò-+¥¥ f(t)2dt (1.2) Tuy còn có thể đo lường tín hiệu bằng nhiều cách khác, thí dụ như vùng điện tích của f (t), nhưng phép đo năng lượng với khả năng biểu diễn dạng toán học, còn có ý nghĩa chỉ thị năng lượng của tín hiệu (sẻ được minh họa ở phần sau)

Công suất tín hiệu

Năng lượng tín hiệu cần hữu hạn để đo lường được kích thước tín hiệu, Điều kiện cần để năng lượng hữu hạn là biên độ tín hiệu ® khi 0 t ®¥ (xem hình 1.1a), nếu không tích phân trong phương trình (1.1) sẽ không hội tụ

Trong một số trường hợp, thí dụ khi biên độ của f(t) không ® khi 0 t ®¥, (hình 1.1b), thì năng lượng tín hiệu là vô hạn Trường hợp này, cần đo kích thước tín hiệu theo trị trung bình theo thời gian của năng lượng, nếu tồn tại Đo lường này gọi là công suất của tín hiệu

Định nghĩa công suất P f của tín hiệu f(t) là:

= ® ¥ ò- / 2

2 / 2

)(

1

T T

Khi f(t) là tín hiệu phức, ta có công thức tổng quát:

= ® ¥ ò-/2

2 /

2

)(

1

T T

T

P (1.4)

Ta thấy là công suất tín hiệu P f là trung bình theo thời gian của bình phương biên

độ tín hiệu, tức là trị bình phương trung bình của f(t) Hơn nữa, căn bình phương của P f

là trị rms (root mean square) của f(t)

Trung bình của tín hiệu trong khoãng thời gian dài vô hạn tồn tại nếu tín hiệu là tuần hoàn hay statistical regularity Khi không thỏa điều kiện này thì có thể không tồn tại

trị trung bình Thí dụ, tín hiệu hàm dốc f(t) = t tăng vô hạn khi t ®¥, như thế không tồn tại công suất cũng như năng lượng của tín hiệu này

Nhận xét

Năng lượng tín hiệu được định nghĩa từ phương trình (1.1) và (1.2) không chỉ thị năng lượng thực của tín hiệu do năng lượng tín hiệu không chỉ phụ thuộc vào tín hiệu mà còn phụ thuộc vào tải của tín hiệu Năng lượng này có thể được biểu diễn như năng lượng

tiêu tán (dissipated) của một tải chuẩn hóa với giá trị 1 ohm khi áp điện áp f(t) vào hai đầu trở (hay khi cho dòng f(t) qua trở 1 ohm này) Trường hợp này đo lường “năng

lượng” chỉ thị khả năng của năng lượng chứ không là năng lượng thực Như thế, các ý niệm về bảo toàn năng lượng không dùng được cho ý niệm “năng lượng tín hiệu” này Lý luận tương tự cho trường hợp “công suất tín hiệu” theo định nghĩa (1.3) và (1.4) Các đo lường này không chỉ thị thích hợp cho kích thước tín hiệu, là ý niệm hữu ích trong nhiều

ứng dụng Thí dụ, ta xấp xỉ tín hiệu f(t) bằng tín hiệu g(t), sai số xấp xỉ là e(t) = f(t) –g(t) Năng lượng (hay công suất) của e(t) là chỉ thị thích hợp tính đúng của phép xấp xỉ, nhằm

cung cấp cho ta một đo lường định lượng nhằm xác định tính khớp của phép xấp xỉ trong

hệ thống thông tin, khi truyền qua kênh truyền, tín hiệu tin tức bị sai lệch do tín hiệu không mong muốn (nhiễu) Chất lượng tín hiệu thu được được đánh giá thông qua kích thước tương đối của tín hiệu mong muốn và tín hiệu không mong muốn (nhiễu) Trường hợp này, tỉ số giữa công suất tín hiệu mang tin tức và công suất nhiễu (tỉ số tín hiệu trên nhiễu) là chỉ thị tốt để đánh giá chất lượng tín hiệu thu được

Đơn vị đo năng lượng và công suất:

Phương trình (1.1) và (1.2) chưa có thứ nguyên đúng, do ta không dùng ý niệm năng lượng theo nghĩa qui ước, mà chỉ dùng chỉ thị kích thước tín hiệu Tương tự cho trường hợp công suất ở (1.3) và (1.4) Trường hợp này, đơn vị của năng lượng và công

suất được định nghĩa theo bản chất của tín hiệu f(t) Nếu f(t) là tín hiệu điện áp, thì năng lượng E f có thứ nguyên là V 2 s (vôn bình phương-giây) và công suất P f có thứ nguyên là

V 2 (vôn bình phương) Khi f(t) là tín hiệu dòng điện, thì năng lượng E f có thứ nguyên là

■ Thí dụ 1.1:

Xác định đo lường thích hợp cho các tín hiệu trong hình 1.2

Trong hình 1.2a, biên độ tín hiệu ® khi 0 t ®¥, vậy đo lường thích hợp cho

tín hiệu là năng lượng E f, cho bởi:

8444

)2()

Trong hình 1.2b, biên độ tín hiệu không ® khi 0 t ®¥ Đồng thời, tín hiệu là tuần hoàn nên tồn tại công suất Dùng công thức (1.3) xác định công suất Đơn giản hóa phép tính do quan sát thấy tín hiệu tuần hoàn lập lại mỗi chu kỳ 2 giây (trong trường hợp này) Vậy:

3

1)(2

1)(2

1 2 1

1 2

Xác định công suất và trị rms của:

(a) f(t)=Ccos(w0t+q), (b) f(t)=C1cos(w1t+q1)+C2cos(w2t+q2) (w1¹w2),

2 / 2

2 0

2 2

)]

22cos(

1[2

lim)

(cos

1

T

T T T

T

T

C dt

t C

T

2 /

2 / 2

2 2

)22cos(

2

lim2

T

T T T

T

C dt

2

2

C

P f = (1.5a)

(b) Trong chương 4, ta chứng minh được là tổng hai sin có thể là tuần hoàn hay không tuần hoàn, điều này tùy thuộc vào tỉ số w1/w2 là hữu tỉ hay không, Do đó, chưa xác định được chu kỳ của tín hiệu này Như thế, xác định công suất dùng

phép lấy trung bình của năng lượng trong T giây, với T ®¥ Vậy:

2 /

2 2 2 2 1 1

/ 2

2 2

[

1

T T

T T

T t

C như tính toán ở phần (a) Tương tự trong phần (a), ta thấy thừa số thứ

ba triệt tiêu, sau cùng:

22

2 2 2

)(

n

n n

C t

P (1.5c) (c) Khi tín hiệu là phức, dùng phương trình (1.4) để tính công suất:

= ® ¥ ò- / 2

2 /

D Bài tập E 1.1

Chứng tõ năng lượng của các tín hiệu trong hình 1.3a, b, c và d lần lượt là 4, 1, 4/3, và 4/3 Nhận thấy khi nhân đôi tín hiệu thì năng lượng tăng gấp 4, và khi dời tín hiệu theo thời gian không ảnh hưởng đến năng lượng Chứng minh là công suất của tín hiệu trong hình 1.3e là 0,4323 Tìm trị rms của tín hiệu trong hình 1.3e? Ñ

D Bài tập E 1.2

Làm lại thí dụ 1.2a để tìm công suất tín hiệu sin Ccos(w0t+q) bằng cách lấy trung bình năng lượng tín hiệu trong một chu kỳ T0 =2p/w0 (thay vì lấy trung bình trong khoãng thời gian vô hạn) Chứng tõ là công suất của tín hiệu hằng f(t)=C0 là C 02

và trị rms là C0 Ñ

D Bài tập E 1.3

Chứng tõ khi w1=w2, thì công suất của f(t)=C1cos(w1t+q1)+C2cos(w2t+q2)

là [C1+C2+2C1C2cos(q1-q2)]/2, không bằng giá trị ( 2)/2

2 2

1.2 Phân loại tín hiệu

Có nhiều lớp tín hiệu, trong tài liệu này ta chỉ quan tâm đến các lớp tín hiệu sau:

1 Tín hiệu liên tục và tín hiệu rời rạc theo thời gian

2 Tín hiệu analog và tín hiệu số

3 Tín hiệu tuần hoàn và tín hiệu không tuần hoàn

4 Tín hiệu năng lượng và tín hiệu công suất

5 Tín hiệu xác định và tín hiệu ngẫu nhiên

1.2-1 Tín hiệu liên tục và tín hiệu rời rạc theo thời gian

Tín hiệu xác định với mọi giá trị của thời t (hình 1.4a) được gọi là tín hiệu liên tục

theo thời gian, và tín hiệu chỉ xác định với các giá trị thời gian rời rạc (hình 1.4b) là tín hiệu rời rạc theo thời gian Ngõ ra của máy điện thoại và máy ghi hình là tín hiệu liên tục theo thời gian (ngày nay, điều này là chưa đúng?!!), trong khi giá trị GNP theo quí, giá trị bán hàng của công ty, và chỉ số chứng khoán từng ngày là các tín hiệu rời rạc

1.2-2 Tín hiệu analog và tín hiệu số

Ý niệm về tín hiệu liên tục theo thời gian thường bị hiểu lầm là tín hiệu analog Hai ý niệm này khác nhau, tương tự như ý niệm giữa tín hiệu rời rạc và tín hiệu số Tín hiệu có biên độ với biên độ có thể có giá trị bất kỳ trong tầm liên tục thi được gọi là tín hiệu analog Điều đó có nghĩa là biên độ tín hiệu analog có thể có vô hạn giá trị Tín hiệu

số, thì biên độ chỉ có thể có số hữu hạn các giá trị Tín hiệu dùng trong máy tính số là tín hiệu số do chỉ có hai giá trị biên độ (tín hiệu nhị phân) Tín hiệu số có thể có M giá trị là

tín hiệu bậc M, trong đó nhị phân (M=2) là một trường hợp đặc biêt Cụm từ liên tục theo thời gian và rời rạc theo thời gian cho thấy bản chất của tín hiệu theo trục thời gian (trục ngang) Cụm từ analog và số, thì lại cho thấy bản chất của tín hiệu theo trục biên độ

(trục dọc) Hình 1.5 vẽ tín hiệu analog rời rạc theo thời gian Tín hiệu analog có thể

chuyển thành tín hiệu số (qua bộ chuyển đổi ADC) qua quá trình lượng tử hóa (làm tròn giá tri) như giải thích ở phần 5.1-3

1.2-3 Tín hiệu tuần hoàn và tín hiệu không tuần hoàn

Tín hiệu f(t) là tuần hoàn khi có một số hằng số dương T 0

f(t)= f(t+T0) với mọi giá trị t (1.6)

Trị bé nhất của T 0 thỏa điều kiện tuần hoàn (1.6) là chu kỳ của f(t) Các tín hiệu

trong hình 1.2b và 1.3e là tín hiệu tuần hoàn có chu kỳ lần lượt là 2 và 1, Tín hiệu không tuần hoàn là tín hiệu không có chu kỳ Các tín hiệu trong hình 1.2a, 1.3a 1.3b, 1.3c và 1.3d đều là tín hiệu không tuần hoàn

Từ định nghĩa, tín hiệu tuần hoàn f(t) không thay đổi khi dời một chu kỳ theo thời gian Do đó, tín hiệu tuần hoàn phải bắt đầu từ t=-¥, nếu không, giả sử khi bắt đầu từ 0

Một đặc tính quan trọng của tín hiệu tuần hoàn f(t) là f(t) có thể được tạo ra từ cách mở rộng tuần hoàn (periodic extension) một đoạn bất kỳ của f(t) với thời khoảng T 0 (chu kỳ) Từ đó, ta có thể tạo f(t) từ bất kỳ đoạn nào của f(t) với thời khoảng một chu kỳ bằng cách đặt đoạn này và tái tạo tín hiệu Hình 1.7 vẽ tín hiệu tuần hoàn f(t) với chu kỳ

T 0 = 6 Phần tô đen trong hình 1.7a cho thấy một đoạn của tín hiệu f(t) bắt đầu tại t=-1

và có thời khoảng một chu kỳ (6 giây) Đoạn này, khi lặp lại không dừng theo các hướng,

tạo ra tín hiệu tuần hoàn f(t) Độc giả có thể kiểm nghiệm lại là có thể tạo với bất kỳ đoạn nào của f(t) , thời điểm nào với thời khoảng là một chu kỳ

Tín hiệu bắt đầu từ t=-¥ và tiếp tục không dừng được gọi là tín hiệu không dừng (everlasting signals) Như thế, tín hiệu không dừng tồn tại suốt trong khoãng

Tín hiệu không bắt đầu trước khi t = 0, được gọi là tín hiệu nhân quả Tức là, f(t)

là tín hiệu nhân quả nếu:

f(t)=0 khi t<0 (1.7)

Các tín hiệu trong hình 1.3a, b, c cùng các hình 1.9a và 1.9b là các tín hiệu nhân

quả Tín hiệu khởi đầu trước t = 0 được gọi là tín hiệu không nhân quả; tuy nhiên tín hiệu

không nhân quả trong hình 1.1 và 1.2 là tín hiệu dừng Một tín hiệu có giá trị zêrô với mọi t³0 được gọi là tín hiệu phản nhân quả (anticausal signal)

Nhận xét:

Rõ ràng là trong thực tế, ta không tạo ra được tín hiệu không dừng thực Như thế tại sao ta lại bận tâm đến chúng như thế? Các chương kế cho thấy một số tín hiệu (bao gồm cả các tín hiệu không dừng sin) tuy không tạo ra được trong thực tế nhưng lại rất hữu ích khi nghiên cứu về tín hiệu và hệ thống

1.2-4 Tín hiệu năng lượng và tín hiệu công suất

Tín hiệu có năng lượng hữu hạn gọi là tín hiệu năng lượng, và tín hiệu có công suất hữu hạn và khác không thì được gọi là tín hiệu công suất Các tín hiệu trong hình

1.2a và 1.2b lần lượt là các tín hiệu năng lượng và tín hiêu công suất Nhận thấy công suất chính là trung bình theo thời gian của năng lượng Khi lấy trung bình trong khoảng

thời gian vô hạn, tín hiệu có năng lượng hữu hạn sẽ có công suất bằng không, và tín hiệu

có công suất hữu hạn sẽ có năng lượng là vô hạn Từ đó, một tín hiệu thì không thể vừa là tín hiệu công suất vừa là tín hiệu năng lượng Nếu đã là tín hiệu công suất thì không thể

là tín hiệu năng lượng và ngược lại Trường hợp tín hiệu hàm dốc là một thí dụ

Nhận xét:

Mọi tín hiệu thực tế đều có năng lượng hữu hạn nên là tín hiệu năng lượng Một tín hiệu công suất thì cần phải có độ rộng vô cùng; công suất của chúng, tức là năng lượng trung bình trong thời khoảng lớn vô hạn, sẽ không tiến về giới hạn (khác không)

Rõ ràng là không thể tạo ra được tín hiệu công suất thực trong thực tế do tín hiệu này có

độ rộng vô hạn và năng lượng vô hạn

Đồng thời, do các tín hiệu tuần hoàn có vùng diện tích của 2

là tín hiệu công suất có công suất P f =1, bất chấp giá trị của a Ñ

1.2-5 Tín hiệu xác định và tín hiệu ngẫu nhiên

Một tín hiệu là tín hiệu xác định khi biết được hoàn toàn mô tả vật lý của tín

hiệu, dạng mô tả toán học hay dạng đồ thị Một tín hiệu mà giá trị không thể dự báo được một cách chính xác nhưng chỉ biết được các thừa số về mô tả thống kê, như trị trung bình,

trung bình bình phương, thì được gọi là tín hiệu ngẫu nhiên Giáo trình này chưa nghiên

cứu về các tín hiệu dạng này

1.3 Một số phép tính lên tín hiệu

Phần này trình bày ba phép tính hữu ích cho tín hiệu: phép dời, phép tỉ lệ, và phép đảo Do biến độc lập của tín hiệu là biến thời gian, nên các phép tính ở đây là: phép dời theo thời gian, phép tỉ lệ theo thời gian, và phép đảo theo thời gian (phép gấp) Tuy nhiên, phương pháp này còn dùng được cho biến độc lập dạng khác (thí dụ biến tần số hay biến cự ly)

1.3-1 Phép dời theo thời gian

Xét tín hiệu f(t) trong (Hình 1.8a) và tín hiệu dời T giây theo thời gian (Hình 1.8b)

được gọi là f(t) Thay đổi của f(t) tại thời điểm t cũng là thay đổi của f(t) tại thời điểm

■ Thí dụ 1.3:

e t

)( = - vẽ ở hình 1.9a đã được là trễ 1 giây Vẽ tìm mô tả toán học

của hàm này Làm lại bài tập khi f(t) được làm sớm 1 giây

Hàm f(t) có mô tả toán học như sau:

îí

0)

(

2

t

t e t f

t

(1.10) Gọi f d (t)là hàm f(t) được làm trễ (dời phải) một giây như hình 1.9b Hàm này là f( t - 1); mô tả toán học có được từ f(t) bằng cách thay t bằng t – 1 vào (1.10) Vậy:

îí

-10

10

10

1)

(

) 1 ( 2

t hay t

t hay t

e t f

10

10

10

1)

(

) 1 ( 2

t hay t

t hay t

e t f

t

D Bài tập E 1.5

Viết mô tả toán học của tín hiệu f3(t) của hình 1.3c Tín hiệu này được làm trễ đi

2 giây Vẽ tín hiệu trễ Chứng minh tín hiệu trễ f d (t)có thể mô tả toán học thành

)2

1.3-2 Phép tỉ lệ theo thời gian

Tỉ lệ là phép nén hay giãn tín hiệu theo thời gian Xét tín hiệu f(t) trong hình

1.10a Tín hiệu f(t) trong hình 1.10b là f(t) nén theo thời gian với tỉ lệ 2 Như thế, thay đổi của f(t) tại thời điểm t cũng xuất hiện trong f(t) tại thời điểm t/2, nên

)()(2t = f t

Và

)2()(t = f t

■ Thí dụ 1.4:

Hình 1.11a vẽ tín hiệu f(t) Vẽ và viết mô tả toán học tín hiệu sau khi nén theo

thời gian với tỉ lệ 3 Làm lại khi tín hiệu được làm giãn theo tỉ lệ 2

Tín hiệu f(t) có thể được mô tả theo

ïî

ïí

-otherwise

t e

t t

0

302

05,12

)( /2 (1.17)

Hình 1.11b vẽ f c (t), là tín hiệu f(t) được nén theo thời gian với tỉ lệ 3, nên mô tả toán học là f(3t), có được bằng cách thay t bằng 3t trong vế phải của phương trình 1.17

ïî

ïí

<

£-

=

-otherwise

t hay

t e

t hay

t t

f t

0

103

302

05,00

35,12

)3()

Nhận thấy là tại thời điểm t = -1,5 và 3 của f(t) tương ứng với t = -0,5 và 1 của tín hiệu nén f(3t)

Hình 1.11c vẽ f e (t), là tín hiệu f(t) được giãn theo thời gian với tỉ lệ 2; nên có mô

tả toán học là f (t/2), thay t bằng t/2 trong f(t) Vậy

ïî

ïí

<

£-

=

-otherwise

t hay

t e

t hay

t t

f t

0

603

2/02

030

2/5,12

)2/()

Nhận thấy là tại thời điểm t = -1,5 và 3 của f(t) tương ứng với t = - 3 và 6 của tín hiệu giãn f(t/2) ■

D Bài tập E 1.6

Chứng tõ khi nén tín hiệu sin với tỉ lệ n (n > 1) ta có tín hiệu sin với cùng biên độ

và pha, nhưng có tần số tăng n lần Tương tự, khi giãn tín hiệu sin với tỉ lệ n (n > 1) ta có tín hiệu sin với cùng biên độ và pha, nhưng có tần số giảm n lần Minh họa bằng cách vẽ tín hiệu sin 2t và các tín hiệu có từ tín hiệu này lần lượt được nén với tỉ lệ 3 và giãn với tỉ

lệ 2 Ñ

1.3-3 Phép đảo theo thời gian

Xét tín hiệu f (t) vẽ ở hình 1.12a Xem f (t) là một khung đồng cứng, có khớp nối theo trục dọc Để thực hiện đảo f (t) theo thời gian, ta xoay khung 1800 theo trục dọc Phép đảo theo thời gian hay còn gọi là phép gấp [phản chiếu của f (t) theo trục dọc], tạo tín hiệu f(t) (hình 1.12b) Nhận xét thấy các thay đổi trong hình 1.12a tại thời điểm t cũng là thay đổi ở hình 1.12b tại thời điểm - t Vậy:

f(-t)= f(t)

Vậy, khi thực hiện phép đảo theo thời gian, ta thay t bằng - t Như thế, phép đảo tín hiệu f (t) cho tin hiệu f ( t- Do đó, tín hiệu phản ảnh của ) f (t) theo trục dọc và )

( t

f - Nhắc lại là tín hiệu phản ảnh của f (t) theo trục tung là - f (t)

■ Thí dụ 1.5:

Xét tín hiệu f (t) vẽ ở hình 1.13a, vẽ f ( t- là tín hiệu đảo của ) f (t)

Giá trị của f (t) tại các thời điểm – 1 và – 5 được ánh xạ thành các thành điểm 1 và 5 của )

( t

)(t e t

f = , nên f(-t)=e-t/2 Tín hiệu f ( t- được mô tả ở hình 1.13b Có )thể mô tả f (t) và f ( t- theo: )

îí

-=

otherwise

t e

t f

t

0

51)

(

2 /

Tín hiệu đảo theo thời gian f ( t - có được bằng cách thay t bằng – t trong ) f (t) là

îí

-otherwise

t hay t

e t f

t

0

515

1)

(

2 /

1 Hàm bước đơn vị u(t)

Ta đã biết là tín hiệu nhân quả (causal) là tín hiệu bắt đầu từ t=0 Các tín hiệu này có thể được mô tả một cách thích hợp theo hàm bước đơn vị u (t) như vẽ ở hình 1.14a và được định nghĩa là:

îí

01)(

t

t t

u (1.20) Nếu muốn tín hiệu bắt đầu từ t=0 (có giá trị là 0 khi t=0) thì chỉ cần nhân tín hiệu này với u (t) Thí dụ, tín hiệu e-atlà tín hiệu không dừng bắt đầu từ t=-¥ Dạng nhân quả của tín hiệu này, vẽ ở hình 1.14b, là dạng e-at u (t)

Tín hiệu bước đơn vị còn rất hữu ích khi đặc trưng hàm với nhiều dạng mô tả toán học khác nhau trong các thời khoảng khác nhau Thí dụ các hàm được vẽ ở hình 1.11 Các hàm này có nhiều mô tả toán học tại các thời khoảng khác nhau, như vẽ ở hình 1.17, 1.18a, và 1.18b Các mô tả này thường dài dòng và không thích hợp cho phép xử lý toán học Khi dùng hàm bước đơn vị, ta có thể mô tả các hàm này thành một biểu thức xác

định với mọi t

Thí dụ, xét xung vuông vẽ ở hình 1.15a, do tín hiệu xung vuông f (t) có thể viết

thành tổng của hai hàm bước đơn vị dời theo thời gian như hình 1.15b Hàm bước đơn vị

Mô tả tín hiệu hình 1.16a

Tín hiệu hình 1.16 có thể được chia thành hai thành phần f1(t) và f2(t), lần lượt

vẽ ở hình 1.16b và 1.16c Hình 1.16b cho thấy f1(t) là hàm dốc t nhân với tín hiệu cổng

Hình 1.16c cho thấy f2(t) là tích của hàm có độ dốc - 2, có giá trị là - 2t+c Hàm dốc

qua gốc 0 khi t=0, nên c=6, là - t2( -3), với xung cổng là u(t-2)-u(t-3) Vậy:

■ Thí dụ 1.7:

Biểu diễn tín hiệu trong hình 1.11a dùng một biểu thức xác định với mọi t

Trong khoảng từ -1,5 đến 0, tín hiệu là hằng số 2, và từ 0 đến 3, có giá trị là / 2

e- Vậy:

()=2[ ( +1,5)- ( )]+2 -/2[ ()- ( -3)]

t u t u e t u t

u t

=2 ( +1,5)-2(1- -/2) ()-2 -/2 ( -3)

t u e t u e t

vẽ ở hình 1.19a

Các dạng xung khác, như xung dạng mủ, xung tam giác hay dạng hàm Gauss cũng có thể được dùng xấp xỉ hàm xung Đặc tính quan trọng của xung đơn vị không nằm ở hình dạng xung, mà do độ rộng xung tiến về không trong khi diện tích được giữ không đổi Thí dụ, trường hợp xung hàm mủ ae- at u (t)

vẽ ở hình 1.20a càng trở nên cao và hẹp dần khi a tăng Tại giới hạn a®¥ , cao độ của xung ® , và độ rộng ¥ ® Trong khi đó, 0phần diện tích của xung đơn vị luôn là đơn vị, bất chấp giá trị của a do:

Từ phương trình (1.21), cho thấy hàm kd(t)=0 với mọi t¹0, và có điện tích là

k Vậy kd(t) là hàm xung có diện tích là k (khác với xung đơn vị, có diện tích là 1)

Phép nhân hàm với xung đơn vị

Xét trường hợp nhân hàm f(t) (liên tục tại t = 0) với hàm d(t) Do xung chỉ tồn

tại tại t = 0, và giá trị của f(t) tại t=0 là f(0), ta có:

f(t)d(t)=f(0)d(t) (1.23a) Tương tự, nếu nhân f(t) với xung d(t-T), (xung tại vị trí t = T), thì

f(t)d(t-T)=f(T)d(t-T) (1.23b) Cho thấy là f(t) là liên tục tại t= T

Đặc tính lấy mẫu của hàm xung đơn vị

vị Đặc tính này rất quan trọng và hữu dụng, và được gọi là đặc tính lấy mẫu hay đặc

tính sàng lọc (sifting) của xung đơn vị

Từ phương trình (1.23b):

ò-¥¥f(t)d(t-T)dt=f(T) (1.24b)

Phương trình (1,24b) là một dạng khác của đặc tính lấy mẫu hay đặc tính sàng lọc Trong trường hợp phương trình (1.24b) thì xung d(t-T) tồn tại ở t= Như vậy, diện T

tích do f(t)d(t-T) là f(T), giá trị của f(t) tại thời điểm mà xung tồn tại (tại t= ) với T

giả sử là hàm là liên tục tại thời điểm tồn tại của xung

Xung đơn vị là hàm tổng quát

Định nghĩa toán học chưa chặt chẻ của xung đơn vị trong phương trình (1.21), tạo

ra nhiều khó khăn lớn Đầu tiên, hàm xung chưa được định nghĩa là hàm độc nhất: thí dụ,

ta chứng minh được là d(t)+d&(t) cũng thỏa được phương trình (1.21)* Hơn nữa, d(t)cũng chưa thực sự là một hàm theo nghĩa thông thường Một hàm thường được đặc trưng bởi các giá trị của nó theo mọi giá trị thời gian Hàm xung thì triệt tiêu với mọi giá trị, trừ giá trị t=0 Khó khăn này được giải quyết bằng cách định nghĩa hàm xung là một hàm

tổng quát thay vì là hàm bình thường Một hàm tổng quát được định nghĩa từ ảnh hưởng

của mình lên các hàm khác chưa không từ giá trị theo mỗi thời điểm

Từ đó, hàm xung được định nghĩa từ đặc tính lấy mẫu [phương trình (1.24)] Ta chưa nói hàm xung là gì hay nó ra sao, mà định nghĩa hàm xung theo ảnh hưởng của nó lên hàm thử f(t) Ta định nghĩa hàm xung đơn vị là hàm có phần diện tích của tích số gữa hàm với f(t) bằng với giá trị của hàm f(t) tại thời điểm tồn tại của xung đơn vị, với giả

sử là hàm f(t) liên tục tại thời điểm tồn tại xung đơn vị Theo hướng này thì cả hai phương trình (1.24a) và (1.24b) đều chưa định nghĩa được hàm xung Nên nhớ rằng đặc tính lấy mẫu [phương trình (1.24)] là hệ quả của định nghĩa truyền thống (Dirac) về xung [phương trình (1.21)] Ngược lại, đặc tính lấy mẫu [phương trình (1.24)] định nghĩa hàm xung theo hướng hàm tổng quát

Tiếp đến, ta giới thiệu ứng dụng quan trọng của hàm tổng quát để định nghĩa hàm xung Do hàm bước đơn vị u (t) không liên tục tại t =0, nên không tồn tại đạo hàm

dt

du / không tồn tại tại t =0 theo nghĩa thông thường Ta sẽ chứng minh là các đạo hàm này tồn tại theo nghĩa tổng quát, và thực ra, đó chính là hàm d(t) Để chứng minh, ta ước lượng tích phân của (du/dt)f(t)với cách lấy tích phân từng phần:

dt

du

)()()

()()

du=d (1.27) Vậy:

ò-t¥d(t)dt =u(t) (1.28)

Kết quả này còn có thê tìm được dùng phương pháp đồ thị từ hình 1.19b Ta thấy

là phần diện tích từ - đến t trong dạng giới hạn của )¥ (t trong hình 1.19b là zêrô nếu

t

01

00)

(t t

d (1.29)

wdw

dw

w

Hướng dẫn: Dùng phương trình (1.23) Ñ

d

ø

öçè

æ

4cos)2

d

(c) ò-¥¥

- -

)2

t x

e dt t

(1.30c)

So sánh phương trình này với công thức Euler, ta thấy st

e là dạng tổng quát của e jwt, trong đó biến thời gian j là biến từ của biến tổng quát phức w s=s+ jw Do đó, biến s

là biến tần số Phương trình (1.30) cho thấy hàm e st bao hàm rất nhiều lớp hàm, như sau: (minh họa ở hình 1.21)

Tần số phức thường được biểu diễn trong mặt phẳng tần số phức (mặt phẳng s) như

hình 1.22 Trục ngang là trục thực (trục s) còn trục dọc là trục ảo (trục j ) Trị tuyệt w

đối của phần ảo của s là w (tần số radian), chỉ thị tần số dao động của e ; phần thực st

của s (tần số neper) cho thông tin về tốc độ tăng hay giảm của biên độ st

e

Khi tín hiệu có tần số phức nằm trên trục thực (trục s, với w = 0) thì tần số dao động

là zêrô và tín hiệu tăng hay giảm đơn điệu theo dạng hàm mủ (hình 1.21a)

Khi tín hiệu có tần số nằm trên trục ảo (trục j , với s = 0), thì w st =1

e và tín hiệu có dạng hàm sin truyền thống với biên độ không đổi (hình 1.21b)

Trường hợp s=0 ((s =w=0) thì tín hiệu là tín hiệu hằng (dc) do 0t =1

Tín hiệu vẽ ở hình 1.21c và 1.21d có s và w đều khác không; tần số s có dạng phức

và không nằm trên các trục

Tín hiệu trong hình 1.21c giảm theo hàm mủ, có s âm và nằm bên trái trục ảo

Ngược lại, tin hiệu hình 1.21d tăng theo dạng mủ, với s dương và nằm bên phải trục

ảo

Vậy, mặt phẳng s (hình 1.21) có thể được phân thành hai phần: nửa mặt phẳng trái (LHP) tương ứng với tín hiệu giảm theo dạng mủ và nửa mặt phẳng phải (RHP) tương ứng với tín hiệu tăng theo dạng mủ Trục ảo phân cách hai vùng này và tương ứng với các tín hiệu có biên độ không đổi

Thí dụ, tín hiệu sin tăng theo dạng mủ e2tcos(5t+q)

có thể xem là tổng của hai hàm

e 5 và e- 5t với các tần số phức lần lượt là ± j5và nằm trên trục phức

Ta thấy là hàm mủ đơn điệu e±2t là tín hiệu sin tổng quát với tần số phức là ± 2

1.5 Các hàm đối xứng chẵn và đối xứng lẻ

Hàm f e (t)được gọi là hàm chẵn theo t nếu

f e(t)= f e(-t) (1.31) Hàm f o (t)được gọi là hàm lẻ theo t nếu

f o(t)=-f o(-t) (1.32)

Hàm chẵn có cùng giá trị tại các thời điểm t và –t, tức là đối xứng qua trục dọc, như

vẽ ở hình 1.23a Mặt khác, Hàm lẻ có giá trị ngược dấu nhau tại các tại thời điểm t và –t, còn gọi là phản đối xứng theo trục dọc, như vẽ ở hình 1.23b

2)( (1.33a)

Và theo hình 1.23b thì

ò-a =

a f o(t)dt 0 (1.33b) Chứng minh: dùng các định nghĩa trong các phương trình (1.31) và (1.32) và xem như bài tập

1.5-2 Thành phần chẵn và thành phần lẻ của tín hiệu

Tín hiệu f (t) có thể biểu diễn thành tổng hai thành phần chẵn và lẻ, do:

)]

()([)]

()([)

Tử định nghĩa của phương trình (1.31) và (1.32), ta thấy thừa số thứ nhất của vế phải là hàm chẵn và thừa số thứ hai là hàm lẻ

Hệ thống được đặc trưng bởi các ngõ vào, các ngõ ra (hay đáp ứng) và luật hoạt

động (hay luật) đủ để mô tả hoạt động của hệ thống Thí dụ, trong hệ thống điện, luật

hoạt động là các quan hệ dòng – áp quen thuộc của điện trở, tụ điện, cuộn dây, biến áp, transistor, v.v,…, cùng các quan hệ liên kết (thí dụ luật Kirchoff) Dùng các luật này, tìm được phương trình toán học mô tả quan hệ giữa các ngõ vào và các ngõ ra Các phương

trình này được gọi là mô hình toán học của hệ thống Vậy, hệ thống được đặc trưng từ

các ngõ vào, các ngõ ra và mô hình toán học

Một hệ thống có thể được mô tả dùng “hộp đen” với một tập các điểm vào của các biến vào f1(t), f2(t),L, f j(t) và một tập các điểm để quan sát các biến ra

)(,),

Việc nghiên cứu hệ thống có ba lĩnh vực: mô hình toán học, phân tích và thiết kế Tuy đã đề cập đến mô hình toán học, nhưng ta quan tâm nhiều đến quá trình phân tích và thiết kế Phần lớn nội dung trong sách này trình bày về bài toán phân tích, tức là phương thức xác định ngõ ra của hệ thống dưới tác động của các ngõ vào và mô hình toán học của hệ thống (hay luật điều khiểun hệ thống) Ngoài ra, ta còn khảo sát bài toán thiết kế

hệ thống, là phương thức tạo hệ thống đẻ có ngõ ra mong muốn khi có tác động của các ngõ vào

Dữ liệu cần thiết để tính toán đáp ứng hệ thống

Để hiểu thêm về dữ liệu cần thiết khi tính toán đáp ứng hệ thống, xét mạch RC đơn giãn (hình 1.26) với ngõ vào là nguồn dòng f (t) Điện áp ngõ ra cho bởi:

= + ò-t¥

d f C t Rf t

y() ( ) 1 (t) t (1.36a)

Cận của tích phân ở vế phải là từ ® đến t do tích phân biểu diễn diện tích mà ¥

tụ nạp từ nguồn dòng f (t), và điện tích này là kết quả của dòng điện qua tụ từ - Viết ¥lại phương trình (1.36a)

¥ -

t d f C d f C t Rf t y

0

0

)(

1)(

1)()

Thừa số thứ hai trong vế phải là điện áp tụ tại t = 0, điện áp v (0), vậy

= C + + òt f d

C t Rf v

t y

1)()0()

0

)(

1)()()

Phương trình (1.36a) cho phép tính điện áp ngõ ra tại thời điểm t khi biết được dòng

điện vào qua tụ trong suốt thời gian qua khứ (từ - đến t ) Mặt khác, khi ta biết được ¥dòng điện vào f (t) tại thời điểm t , phương trình (1.26d) cho phép tính 0 y (t) với t³ t0

Như thế, đáp ứng của hệ thống tại t > được xác định từ các ngõ vào trong khoảng từ t t0 0

đến t và các điều kiện đầu tại t= t0

Trong thí dụ trên, ta chỉ có một điều kiện đầu Tuy nhiên, các hệ thống phức tạp hơn cần có nhiều điều kiện đầu hơn Thí dụ, trong mạch thụ động RCL, cần có các giá trị dòng điện qua cuộn dây và điện áp qua tụ để xác định các ngõ ra tại t³ khi các ngõ t0

vào trong trong tầm [ t 0, ]

1.7 Phân loại hệ thống

Hệ thống được phân loại thành:

1 Hệ thống tuyến tính và hệ thống phi tuyến;

2 Hệ thống có tham số không đổi và hệ thống có tham số thay đổi theo thời gian;

3 Hệ thống tĩnh (không nhớ) và hệ thống động (có nhớ);

4 Hệ thống nhân quả và hệ thống không nhân quả;

5 Hệ thống có tham số tập trung và hệ thống có tham số phân bố

6 Hệ thống liên tục và hệ thống rời rạc theo thời gian;

7 Hệ thống tương tự và hệ thống số;

1.7-1 Hệ thống tuyến tính và hệ thống phi tuyến

Ý niệm về tính tuyến tính

Hệ thống có ngõ ra tỉ lệ với các ngõ vào là một thí dụ về hệ thống tuyến tính Tuy

nhiên, tính tuyến tính còn bao hàm cả đặc tính cộng Đặc tính này có thể được trình bày

như sau: Hệ thống là tuyến tính nếu nguyên nhân c khi tác động riêng lẻ, tạo ảnh hưởng 1

1

cả hai nguyên nhân này vào hệ thống, sẽ tạo ra ảnh hưởng chung e1+ Vậy, nếu: e2

c1® và e1 c2 ® (1.37) e2Thì với cả c 1 và c 2:

c1+c2 ®e1+e (1.38) Ngoài ra, hệ thống tuyến tính còn thỏa mãn tính đồng nhất hay tính tỉ lệ, tức là:

c® e

Thì với mọi k thực hay ảo

kc®ke (1.39) Vậy, tuyến tính có hai đặc tính: tính đồng nhất (tỉ lệ) và tính cộng Các đặc tính này được tổ hợp thành một đặc tính gọi là tính xếp chồng, có thể được biểu diễn như sau: Nếu c1 ® và e1 c2 ® e2 Thì với mọi giá trị hằng số k 1 và k 2

hiệu là không tuyến tính:

Hướng dẫn: chứng tõ phương trình (1.39) không thỏa khi k là số phức Ñ

thành phân đáp ứng khi ngõ vào là zêrô chỉ phụ thuộc vào điều kiện đầu tại t =0 và ngõ vào f(t)=0 tại t³0 và thành phần đáp ứng trạng thái zêrô chỉ phụ thuộc ngõ

vào f (t) tại t³0 với điều kiện đầu được giả sử là zêrô Khi mọi điều kiện đầu thích hợp đều là zêrô, thì hệ thống là trạng thái zêrô Ngõ ra của hệ thống chỉ là zêrô khi ngõ vào là zêrô nếu hệ thống ở trạng thái zêrô

Tóm lại, đáp ứng của hệ tuyến tính được diễn tả thành tổng của thành phần ngõ vào zêrô và thành phần trạng thái zêrô

Đáp ứng tổng= đáp ứng ngõ vào zêrô + đáp ứng trạng thái zêrô (1.41)

Đặc tính của hệ tuyến tính cho phép phân chia ngõ ra thành các thành phần tử điều

kiện đầu và từ ngõ vào được gọi là đặc tính phân giải (decomposition property)

Trường hợp mạch RC trong hình 1.26, đáp ứng y (t)được tính từ phương trình (1.36c)

y(t)=v C(0) + + òt f d

C t Rf

1)( t t (1.42) = Thành phần ngõ vào-zêrô + thành phần trạng thái zêrô

Phương trình (1.42) cho thấy: nếu f(t)=0 tại t³0, ngõ ra y(t)=v C(t), thì ngõ ra

cũng phải tăng k lần Tương tự, nếu tăng ngõ vào k lần, thì thành phần đáp ứng trạng thái zêrô cũng phải tăng k lần

Điều này đã được chứng minh ở phương trình (1.42) cho trường hợp mạch RC ở hình 1.26 Thí dụ, nếu ta tăng đôi điều kiện đầu v C(0), thì thành phần đáp ứng ngõ vào zêrô cũng tăng đôi; nếu ta tăng đôi ngõ vào, thì thành phần đáp ứng trạng thái zêrô cũng tăng đôi

dt

df b dt

f d b y a dt

y d a dt

y

d

m m m n

n n n

n

0 1

0 1

( ) 3y(t) f(t)

dt

dy t

Nhận xét thêm về hệ thống tuyến tính

Hầu hết các hệ thống quan sát được trong thực tế đều trở thành phi tuyến khi áp tín hiệu vào đủ lớn Tuy nhiên, nhiều hệ thống cũng phi tuyến đối với tín hiệu vào nhỏ Phân tích các hệ này thường khó khăn Tính phi tuyến có thể xuất hiện với nhiều dạng, nên thường không thể mô tả chúng theo dạng toán học thông thường được Các hệ thống không chỉ được xếp theo lớp, mà trong từng hệ thống, khi thay đổi điều kiện đầu hay biên

độ tín hiệu vào cũng làm thay đổi bản chất của vấn đề Nói cách khác, đặc tính xếp chồng của hệ thống tuyến tính là nguyên lý độc nhất đủ mạnh để tìm nghiệm tổng quát Đặc tính xếp chồng (tuyến tính ) đơn giản hóa rất nhiều việc phân tích hệ tuyến tính Đặc tính phân giải cho phép ước lượng riêng biệt hai thành phần của ngõ ra Thành phần ngõ vào zêrô có thể được tính với giả sử ngõ vào là zêrô, và thành phần trạng thái zêrô được tính với giả sử với điều kiện đầu là zêrô Tuy nhiên, khi biểu diễn f (t) thành tổng những hàm đơn giãn hơn

f(t)=a1f1(t)+a2f2(t)+L+a m f m(t)

Do tính tuyến tính, đáp ứng y (t) được viết thành

y(t)=a1y1(t)+a2y2(t)+L+a m y m(t) (1.45) Với y k (t) là đáp ứng trạng thái zêrô của ngõ vào f k (t) Điều này đưa đến nhiều hàm

ý quan trọng, được nhắc tới nhiều trong các chương kế, cho thấy tính cực kỳ hữu dụng và

mở ra hướng mới trong phân tích hệ thống tuyến tính

Thí dụ, xét hàm f (t) bất kỳ vẽ ở hình 1.27a Có thể xấp xỉ f (t) dùng tổng của xung

vuông có độ rộng tD và độ cao thay đổi Quá trình xấp xỉ được cải thiện khi Dt®0, tức

là khi các xung vuông biến thành các xung cách nhau tD giây (với Dt ®0) Như thế, ngõ vào bất kỳ có thể được thay bằng tổng trọng các xung cách nhau D giây (với t

Tương tự, trong hình 1.27b, thì f (t) được xấp xỉ dùng phép tổng nhiều hàm bước có

biên độ khác nhau và cách khoảng nhau t D Phép xấp xỉ được cải thiện khi tD giảm nhỏ dần Như thế, nếu biết được đáp ứng hệ thống với tín hiệu vào là hàm bước đơn vị, thì có thể tính được dễ dàng đáp ứng hệ thống với ngõ vào f (t) bất kỳ Xu hướng này được dùng trong chương 2 khi phân tích hệ thống tuyến tính trong miền thời gian

Trong các chương 4, 6, 10 và 11 xu hướng này cũng được dùng với các tín hiệu cơ bản có dạng hàm sin hay hàm mủ Khi đó, ta chứng minh là tín hiệu vào bất kỳ có thể được xem là tổng trọng của hàm sin (hay hàm mủ) với nhiều tần số khác nhau Hiểu biết

về đáp ứng của hệ thống với tín hiệu vào sin cho phép ta xác định đáp ứng của hệ thống với tín hiệu vào f (t) bất kỳ

1.7-2 Hệ thống tuyến tính và hệ thống phi tuyến

Hệ thống có tham số không đổi theo thời gian là hệ thống bất biến (hay hệ có tham số

hằng) Trong các hệ thống này, khi ngõ vào được làm trể T giây, thì ngõ ra vẫn như củ nhưng được trễ đi T giây (với giả sử có cùng điều kiện đầu) Đặc tính này được vẽ trong

hình 2.28

Có thể chứng tõ được là hệ thống trong hình 1.26 là hệ bất biến theo thời gian Mạch điện gồm các phần tử RCL và các phần tử tích cực thường dùng như transistor là hệ thống bất biến theo thời gian Một hệ thống có quan hệ vào –ra mô tả dùng phương trình

vi phân có dạng (1.44) là hệ thống tuyến tính - bất biến (LTI) khi các hệ số a i và b i của phương trình là hằng số Khi các hệ số này là hàm theo thời gian, thì hệ thống là tuyến tính – thay đổi theo thời gian

Hệ thống mô tả trong bài tập E1.12 là hệ tuyến tính – thay đổi theo thời gian Thí dụ khác của hệ tuyến tính – thay đổi theo thời gian là micrô than, trong đó giá trị điện trở R

là hàm theo theo áp suất cơ học do âm thanh tác động lên các hạt than của micrô Mạch

tương được của micrô được vẽ ở hình 1.29 Đáp ứng là dòng điện i(t) và phương trình mô

tả mạch là:

( ) R(t)i(t) f(t)

dt

t di

chỉ phụ thuộc các ngõ vào tại thời điểm này Thí dụ, trong mạng thuần trở, ngõ ra của

mạng tại thời điểm t nào đó chỉ phụ thuộc ngõ vào tại thời điểm t này Trong các hệ thống

dạng này, không cần thông tin quá khứ khi xác định đáp ứng Các hệ thống này được gọi

là hệ thống tức thời (không có tính nhớ hay hệ thống tĩnh) Nói rõ hơn thì, hệ thống là hệ

tức thời (hay không có tính nhớ) nếu ngõ ra tại thời điểm t, chỉ phụ thuộc vào cường độ

của các tín hiệu vào tại thời điểm này, không phụ thuộc vào các giá trị quá khứ hay tương lai của các ngõ vào Ngược lại là hệ thống động (hệ thống có nhớ) Hệ thống có đáp ứng

tại t được xác định hoàn toàn bởi tín hiệu vào trong khoảng T giây trước đó [khoảng thời gian từ (t - T) đến T] được gọi là hệ thống có nhớ hữu hạn (finite-memory) trong T giây

Mạng chứa phần tử cảm và điện dung thường là nhớ hữu hạn do đáp ứng của các mạng này tại thời điểm t, thì được xác định từ các ngõ vào trong suốt quá khứ (-¥, t) Điều này đúng với mạch RC trong hình 1.26

Trong tài liệu này, ta chủ yếu khảo sát hệ thống động Hệ thống tức thời được xem là trường hợp đặc biệt của hệ thống động

1.7-4 Hệ thống nhân quả và hệ thống không nhân quả

Hệ nhân quả (còn gọi là hệ vật lý hay hệ không dự đoán trước

(non-anticipative)) là hệ có ngõ ra tại thời điểm bất kỳ t 0 chỉ phụ thuộc vào giá trị của ngõ vào

khứ và hiện tại của f(t), không phụ thuộc vào giá trị tương lai của f(t) Đơn giãn hơn thì

trong hệ nhân quả, ngõ ra không thể bắt đầu trước khi áp tín hiệu vào Nếu đáp ứng bắt đầu trước khi có ngõ vào, tức là hệ thống biết được trị của tương lai trong tương lai và tác động dựa theo kiến thức này trước khi có tín hiệu vào Hệ thống vi phạm điều kiện nhân

quả thì được gọi là không nhân quả (hay hệ dự đoán trước)

Các hệ thống thực tế vận hành trong thời gian thực thì nhất thiết phải là hệ nhân quả

Ta vẫn chưa biết cách nào để xây dựng hệ thống đáp ứng được với các ngõ vào tương lai (các ngõ vào chưa được áp vào hệ thống Hệ thống không nhân quả là hệ thống tiên tri, đáp ứng được với các ngõ vào tương lai và đáp ứng với chúng trong thời gian hiện tại

Vậy, nếu ta áp vào một tín hiệu tại t = 0 vào hệ thống không nhân quả, thì ngõ ra có thể bắt đầu trước cả khi t = 0 Thí dụ, xét hệ thống đặc trưng bởi

y(t)= f(t-2)+ f(t+2) (1.46)

Tín hiệu vào f(t) trong hình 1.30a, tạo ngõ ra y(t), tính từ phương trình 1.46 (vẽ ở hình 1.40b), bắt đầu trước khi áp tín hiệu ngõ vào Phương trình (1.46) cho thấy ngõ ra y(t) tại thời điểm t, được cho bởi tổng của giá trị vào trước t hai giây và ngõ vào sau t hai giây (tại t – 2 và t + 2) Nhưng nếu ta vận hành hệ thống theo thời gian thực của t, ta sẽ không biết được giá trị của ngõ sau sau t hai giây Tức là không thể thiết lập được hệ thống này

trong thời gian thực Do đó, không thực hiện được hệ không nhân quả trong thời gian thực

Tại sao cần nghiên cứu hệ không nhân quả?

Từ thảo luận nói trên, có vẽ như là hệ không nhân quả không có mục đích thực tế Điều này chưa đúng, việc nghiên cứu hệ không nhân quả có giá trị do nhiều nguyên nhân Thứ nhất, hệ không nhân quả thực hiện được khi biến độc lập không phải là thời gian (thí

dụ là biến không gian) Thí dụ, xét điện tích có mật độ q(x) đặt theo trục x với x³0 Mật độ điện tích này tạo điện trường E (x) hiện diện tại mỗi điểm trên trục x từ x=-¥đến ¥ Trong trường hợp ngõ vào [thí dụ điện tích q(x)] bắt đầu từ x = 0 Rõ ràng, hệ

điện tích không gian này là không nhân quả Phần thảo luận này cho thấy là chỉ có hệ có biến thời gian độc lập cần phải là nhân quả để có thể thực hiện được Các hệ không dùng biến thời gian độc lập, như các hệ quang học, thực hiện được dù không là hệ nhân quả Tuy nhiên, ngay cả với các hệ dùng biến thời gian độc lập dùng trong xử lý tín hiệu thì việc nghiên cứu hệ không nhân quả vẫn quan trọng Trong các hệ không nhân quả này, ta

có thể có được dữ liệu đã được ghi nhận trước đó (thường xuất hiện trong các tín hiệu tiếng nói, địa vật lý, và khí tượng dùng các đầu dò không gian) Trong các trường hợp

này, ta đã có được các giá trị tương lai của tín hiệu (so với thời điểm khảo sát t) Thí dụ,

giả sử ta đã có tập ghi giá trị các tín hiệu vào của hệ thống mô tả bởi phương trình (1.46)

Từ đó, tính được y(t), do tại từng thời điểm t, chỉ cần tìm trong tập dữ liệu đã có để biết được các giá trị ngõ vào tại các thời điểm trước hai giây hay sau hai giây so với t Vậy là

thực hiện được hệ không nhân quả, dù không tại thời gian thực Ta có thể thực hiện được

hệ không nhân quả, với điều kiện chấp nhận ngõ ra với thời gian trễ Xét hệ thống có ngõ

ra y ˆ t( )là tín hiệu y (t) trong phương trình (1.46) được làm trễ hai giây (hình 1.30c), nên:

y(t)=y(t-2)= f(t-4)+ f(t)

Với giá trị của ngõ ra y ˆ t( ) tại các thời điểm t là tổng các giá trị của ngõ vào f và t tại thời điểm sớm hơn t bốn giây [tại (t – 4)] Trường hợp này, ngõ ra tại thời điểm t không

phụ thuộc vào giá trị tương lai của ngõ vào, nên hệ thống là nhân quả Ngõ ra y ˆ t() của

hệ, giống với phương trình (1.46) hay hình 1.30 trừ yếu tố trễ hai giây Như thế, hệ không nhân quả có thể thực hiện được hay thỏa một cách xấp xỉ trong thời gian thực dùng hệ nhân quả có trễ

Lý do thứ ba để nghiên cứu hệ không nhân quả do hệ cung cấp biên trên của tính năng hệ nhân quả Thí dụ nếu muốn thiết kế mạch lọc để tách tín hiệu khỏi nhiễu, thì bộ lọc tối ưu rõ ràng là hệ không nhân quả Dù không thực hiện được, tính năng của hệ không nhân quả hoạt động như giới hạn trên phần hiệu năng thực hiện được và cung cấp chuẩn để ước lượng tính năng của mạch lọc nhân quả

Thoáng nhìn thì hệ không nhân quả có vẽ bí hiểm Thực ra, hệ không có gì là bí mật

và có thể thực hiện xấp xỉ dùng hệ vật lý với khâu trễ Nếu ta muốn biết việc sắp xảy ra trong năm tới, thì có hai lựa chọn: đến gặp nhà tiên tri (nhân vật không thực hiện được) cho ta kết quả tức thời, hay tìm gặp một nhà thông thái, và cho ông ta một thời gian trễ là một năm để cho ta kết quả Nếu nhà thông thái này thực sự là thông thái, ông ta có thể đoán được tương lai trong thời gian trễ ít hơn một năm thông các xu hướng phát triển Đó chính là trường hợp của hệ không nhân quả, không hơn không kém

Chứng tõ là có thể thực hiện được hệ nếu ta chấp nhận ngõ ra với khâu trễ 5 giây Ñ

1.7-5 Hệ thống có tham số tập trung và hệ tham số phân bố

Khi nghiên cứu hệ thống điện, ta thường dùng quan hệ dòng – áp cho nhiều linh kiện khác nhau (thí dụ, do luật Ohm) Khi thực hiện, ta thường giả sử là dòng qua các linh kiện (điện trở, tụ, v.v,…) là như nhau tại mọi vị trí của linh kiện Như thế, ta đã giả sử tín hiệu điện lan truyền tức thời qua linh kiện, Tuy nhiên, thực tế thì tín hiệu điện là sóng không gian điện từ đòi hỏi thời gian lan truyền hữu hạn

Thí dụ, dòng điện lan truyền qua linh kiện với vận tốc hữu hạn và có thể có các giá trị khác nhau tại các vị trí khác nhau trong cùng linh kiện Như thế, dòng điện là hàm không chỉ theo thời gian mà còn theo không gian Tuy nhiên, khi kích thước thật của linh kiện nhỏ so với bước sóng của tín hiệu truyền, ta có thể giả sử dòng điện qua linh kiện là

không đổi Giả sử này tạo ra hệ có tham số tập trung, trong đó từng linh kiện được xem

là có giá trị tập trung tại một điểm trong không gian Giả sử này thường đúng ở tần số thấp (bước sóng dài) Như thế, trong mô hình tham số tập trung, tín hiệu được xem là chỉ phụ thuộc vào biến thời gian, nên phương trình hệ thống chỉ cần một biến độc lập (biến thời gian), và là phương trình vi phân thông thường

Ngược lại, trong hệ thống tham số phân bố như đường dây dài, ống dẫn sóng, anten,

và đèn ở tần số vi ba, thì các giả sử về tham số tập trung không còn giá trị Các tín hiệu này làm hàm của cả không gian và thời gian, nên mô hình toán học phải có dạng phương trình vi phân riêng phần Tài liệu này chỉ thảo luận về hệ có tham số tập trung

1.7-6 Hệ thống liên tục và hệ rời rạc theo thời gian

Phần 1.2-1 đã phân biệt rõ giữa tín hiệu rời rạc và liên tục theo thời gian Hệ thống có

các ngõ vào và các ngõ ra là tín hiệu liên tục theo thời gian được gọi là hệ thống liên

tục Mặt khác, hệ có các ngõ vào và các ngõ ra là tín hiệu rời rạc theo thời gian được gọi

là hệ thống rời rạc Khi lấy mẩu tín hiệu liên tục, ta có tín hiệu rời rạc Có thể xử lý tín

hiệu liên tục thông qua xử lý các mẩu này dùng hệ thống rời rạc

1.7-7 Hệ thống analog và hệ thống số (digital)

Các tín hiệu analog và số đã được thảo luận trong phần 1.2-2 Hệ thống có các ngõ

vào và các ngõ ra là tín hiệu analog được gọi là hệ thống analog Mặt khác, hệ có các ngõ vào và các ngõ ra là tín hiệu số được gọi là hệ thống số Máy tính số là một thí dụ về

hệ thống số (hệ nhị phân), và ta thấy rằng máy tính cũng đồng thời là hệ thống số và là hệ thống rời rạc theo thời gian

Các phương pháp khác dùng xếp loại hệ thống

Còn có nhiều dạng hệ thống khác, như hệ thống khả nghịch (invertible) và hệ thống

không khả nghịch (noninvertible) Một hệ thống S thực hiện một số tác động lên tín hiệu

vào, nếu có thể dùng ngõ ra y(t) để tái tạo tín hiệu ngõ vào f(t), hệ thống S được gọi là hệ

thống khả nghịch Hệ thống không khả nghịch, thì nhiều ngõ vào khác nhau có thể tạo ra cùng ngõ ra (thí dụ bộ nắn điện), nên không thể xác định được tín hiệu vào từ ngõ ra đã

biết Như thế, trong hệ thống khả nghịch, mỗi tín hiệu vào riêng biệt sẽ tạo ra được tín hiệu ra riêng biệt tương ứng, tức là phép áp một-một giữa ngõ vào và ngõ ra tương ứng, đảo bảo là mỗi ngõ ra chỉ có một ngõ vào độc nhất Hệ thống nhằm tạo tác động nghịch

nhằm khôi phục tín hiệu vào từ tín hiệu ra được gọi là hệ thống nghịch của S Thí dụ, hệ

thống có ngõ ra quan hệ với ngõ vào theo phương trình y(t)=af(t)+b là hệ thống khả nghịch Nhưng bộ nắn điện, đặc trưng bởi phương trình y(t)= f(t) là hệ thống không khả nghịch vì không tái tạo được ngõ ra từ hệ thống dạng này

Bộ vi phân lý tưởng là không khả nghịch do khi lấy tích phân ngõ ra ta không khôi phục lại được tín hiệu gốc, trừ khi biết được một phần thông tin về tín hiệu Thí dụ, nếu

Ngoài ra, hệ thống còn có thể là hệ thống ổn định và hệ thống không ổn định Các chương tiếp sẽ thảo luận kỹ hơn về ý niệm ổn định

D Bài tập E 1.1

Chứng tõ hệ thống mô tả bởi phương trình y(t)= f2(t)là không khả nghịch Ñ

1.8 Mô hình hệ thống: Mô tả vào – ra

Như đã nói, lý thuyết hệ thống liên quan đến nhiều dạng hệ thống, như điện, cơ, thủy lực, âm học cơ – điện, và hóa học cùng các hệ xã hội, kinh tế, và sinh học Bước đầu trong phân tích bất kỳ hệ thống nào là kiến tạo mô hình hệ thống, là biểu thức toán học hay luật nhằm thỏa mãn một cách xấp xỉ đặc tính động của hệ thống Chương này chỉ xem xét hệ thống liên tục theo thời gian (Chương 8 thảo luận về hệ thống rời rạc theo thời gian.)

Để kiến tạo mô hình hệ thống, ta cần nghiên cứu quan hệ giữa nhiều biến trong hệ thống Thí dụ trong hệ thống điện, ta cần xác định mô hình thỏa quan hệ dòng – áp của từng phần tử, như luật Ohm cho điện trở Hơn nữa, ta còn phải xác định nhiều dạng ràng buộc về điện áp và dòng điện khi kết nối nhiều linh kiện điện lại với nhau Các luật về kết nối như luật Kirchoff về điện áp và dòng điện Từ các phương trình này, ta lượt bớt các biến không mong muốn, để có được quan hệ giữa biến ra theo biến vào Thí dụ sau đây trình bày phương pháp tìm quan hệ vào – ra của một số hệ tuyến tính – bất biến dạng điện

+ ò- ¥ t t (1.48) Lấy vi phân hai vế của phương trình

dt

df t y dt

dy dt

y(t) t 1 ( ) (1.53) Phương trình (1.48) cũng được viết lại thành

Đây chính là phương trình (1.52)

Nhắc lại là phương trình (1.55) không phải là phương trình đại số, và D2+ D3 +2

không phải là thừa số đại số nhân với y(t); mà là toán tử tác động lên y(t) Tức là ta phải thực hiện các phép tính sau lên y(t) Lấy đạo hàm bậc hai lên y(t) và cộng với 3 lần đạo hàm bậc nhất của y(t) và 2 lần y(t) Rõ ràng, đa thức chứa D nhân với y(t) biểu diễn một

số toán tử vi phân tác động lên y(t)

■ Thí dụ 1.11:

Tìm phương trình quan hệ vào – ra của mạch RC nối tiếp trong hỉnh 1.32 khi điện áp

ngõ vào f(t) và ngõ ra lần lượt là: (a) dòng điện vòng x(t) (b) điện áp ra trên tụ y(t)

(a) Phương trình vòng của mạch là

+ ò-t¥x d = f t

C t

Rx( ) 1 (t) t () (1.56)

Hay + ò-t¥ =

t f d x t

x + = (1.58)

Nhân hai vế của phương trình với D, (tức là lấy vi phân hai vế), ta có

(15D+5)x(t)=Df(t) (1.59a) hay

dt

df t x dt

15 (1.59b) (b) Hơn nữa, do

5

1)

dt

dy C t

Thế vào phương trình (1.59a)

(3D+1)y(t)= f(t) (1.60) Hay

3 y(t) f(t)

dt

dy+ = (1.61) ■

v L = = Đáp số (D2+3D+2)v C(t)=2f(t) Ñ

■ Thí dụ 1.12:

Hệ chuyển động quay có phương trình chuyển động tương tự như trong trường hợp

hệ dịch chuyển Thay vì lực F, ta có momen xoắn T Thay vì khối lượng M, ta có momen quán tính J, thay vì gia tốc tuyến tính x&&, ta có gia tốc góc q&& Phương trình chuyển động cho hệ quay là T =Jq&& (thay vì là F =M x&&)

Rất nhiều hệ thống điện cơ chuyển đổi năng lượng điện thành chuyển động cơ học và ngược lại Hảy xem xét thí dụ đơn giản về hệ thống điều khiển phần ứng (với dòng điện phần cảm i không đổi) của động cơ DC, như vẽ ở hình 1.33a Gọi à vị trí góc quay của f

rôto, momen T (t) do rôto tạo ra tỉ lệ với dòng điện phần ứng f (t), vậy:

T(t)=K T f(t) (1.62)

hình 1.33b Hệ số nhờn đàn hồi (có hệ số B), tỉ lệ với vận tốc quay q&, tạo momen tiêu hao B Với J là momen quá tính của tải (bao gồm cả rôto của động cơ) thì momen q&

(JD2+BD)q(t)=T(t)=K T f(t) (1.64)