Bài dịch tín hiệu hệ thống trường ĐHBK TPHCM chương 3

Bài dịch tín hiệu hệ thống trường ĐHBK TPHCM chương 3

CHƯƠNG 3:

BIỂU DIỄN TÍN HIỆU DÙNG CHUỖI FOURIER

Nội dung

3.1 Tín hiệu và vectơ

3.2 So sánh tín hiệu: Tương quan

3.3 Biểu diễn tín hiệu dùng tập tín hiệu trực giao

3.4 Chuỗi Fourier lượng giác

Tài liệu tham khảo:

B.P Lathi, Signal Processing and Linear Systems, Berkeley-Cambridge Press, 1998

Chương quan trọng, tạo kiến thức cơ bản để biểu diễn tín hiệu và so sánh tín hiệu

Trong chương 2, ta đã viết ngõ vào bất kỳ f(t) thành tổng của các thành phần xung Đáp ứng (trạng thái zêrô) của hệ TT-BB khi có ngõ vào f(t) là tổng các thành phần đáp ứng hệ

thống dưới dạng tính tích phân chập (convolution) Có nhiều phương thức nhằm biểu

diễn ngõ vào f(t) theo các dạng tín hiệu khác Do đó, vấn đề biểu diễn tín hiệu dùng tập

các tín hiệu là rất quan trọng khi nghiên cứu tín hiệu và hệ thống Chương này đề cập đến phương thức biểu diễn tín hiệu thành tổng của nhiều thành phần Bài toán này tương tự như vấn đề biểu diễn vectơ theo các thành phần

Tín hiệu và vectơ

Có sự tương đồng hoàn hảo giữa tín hiệu và vectơ Tuy nhiên tín hiệu không chỉ giống vectơ, mà tín hiệu là vectơ! Một vectơ có thể được biểu diễn thành tổng các thành phần theo nhiều phương thức khác nhau, tùy theo cách chọn hệ trục Một tín hiệu cũng có thể được biểu diễn thành tổng các thành phẩn theo nhiều cách khác nhau Ta hảy bắt đầu với một số ý niệm vectơ cơ bản rồi áp dụng vào các tín hiệu

3.1-1 Thành phần của vectơ

Vectơ được đặc trưng bởi biên độ và chiều Ta viết các vectơ ở dạng chử in đậm

Thí dụ, x là một vectơ nào đó có biên độ hay chiều dài là x Trong hình 3.1, với hai

vectơ f và x, định nghĩa phép dot (tích trong hay tích vô hướng) là:

f.x = f xcosq (3.1)

với q là góc giữa hai vectơ Từ đó, biểu diễn độ dài của vectơ x là x theo:

x2= x.x (3.2)

Gọi thành phần của f dọc theo x là cx vẽ trong hình 3.1 Thành phần f dọc theo x là ánh xạ của f theo x , và có được bằng cách vẽ đường thẳng góc từ đỉnh của f xuống x, vẽ trong hình 3.1 Như thế thì ý nghĩa toán học của một thành phần vectơ theo một vectơ

khác là gì? Xem trong hình 3.1, vectơ f có thể viết theo vectơ x là

f =cx+e (3.3) Tuy nhiên, đây không phải là phương pháp duy nhất biểu diễn f theo x Hình 3.2 vẽ hai trong vô số các phương pháp khác Từ hình 3.2a và 3.2b, ta có

f =c1x+e1=c2x+e2 (3.4)

Trong từng phương pháp thì f được biểu diễn theo x cộng vơói một vectơ gọi là vectơ sai

số Nếu ta xấp xỉ f bằng cx

f @cx (3.5) Sai số trong phép xấp xỉ này là vectơ e= f -cx Tương tự, sai số trong phép xấp xỉ trong hình 3.2a và 3.2b là e và 1 e Như thế phép xấp xỉ nào trong hình 3.1 cho ta vectơ 2

sai số bé nhất Định nghĩa thành phần của vectơ f theo vectơ x là cx với c được chọn sao

cho vectơ sai số e= f -cx là bé nhất

Gọi độ dài của thành phần của f theo x là f cosq nhưng cũng đồng thời là x c như vẽ trong hình 3.1, đo đó

x f

f.x=0 (3.7)

3.1-2 Thành phần của tín hiệu

Ý niệm về thành phần của vectơ là tính trực giao có thể được mở rộng cho tín hiệu Xét bài toán xấp xỉ một tín hiệu thực f (t)theo một tín hiệu thực x (t) trong khoảng ]

,

[t1 t2 là

f(t)@cx(t) t1£t£t2 (3.8) Sai số e (t) trong phép xấp xỉ này là:

îí

=

khác tri giá các

t t t t

cx t f t e

_0

)()()

1

2 2

)]

()([)

t t

[ ( ) ( )] 0

2

2 1

=úû

ùêë

1 2

1

2 2

d dt t f

dc

t t

t t

Từ đó

2 () () 2 2 ( ) 0

1 2

Và

E dt t x

dt t x t f

t x t

t

t t

)()(1)

(

)()(

2 1 2

1

2 1

ò

= (3.11)

Ta thấy có sự tương đồng đáng kể giữa hoạt động của vectơ và tín hiệu, từ các phương

trình (3.6) và (3.11) Rõ ràng từ hai biểu thức song song này, thì phần diện tích của tích

hai tín hiệu tương đương với tích trong (tích vô hướng) của hai vectơ Trong thực tế,

phần diện tích của tích f(t) và x(t) được gọi là tích hai vectơ Thực ra, diện tích của tích

f(t) và x(t) được gọi là tích trong của f(t) và x(t), được viết là ( )f , x Năng lượng của tín hiệu là tích trong của tín hiệu với chính nó, và tương đương với bình phương độ dài (chính là tích trong của vectơ với chính nó)

Tóm lại, nếu tín hiệu f (t) được xấp xỉ bằng một tín hiệu x (t) khác thì

)(

p

p p

sinsin

1sin)(1

0 0

Thành phần sin của f (t) là phần tô bóng trong hình 3.3 Từ tính tương đồng với vectơm

ta nói hàm vuông f (t) mô tả trong hình 3.3 có thành phần sóng sin và biên độ là 4/p.¢ t

r Bài tập E3.1

Chứng tõ là khoảng (-p £t£p), xấp xỉ “tốt nhất” của tín hiệu f(t)=t theo hàm

t

sin là 2sint Kiểm nghiệm lại là tín hiệu sai số e(t)=t-2sintlà trực giao với tín hiệu

t

sin trong khoảng -p £t£p Vẽ đồ thị t và 2sint trong khoảng -p £t£p s

3.1-3 Tính trực giao trong tính hiệu phức

Ta chỉ mới giới hạn trong trường hợp hàm thực của t Nhằm tổng quát kết quả cho hàm phức của t, xét lần nửa bài toán xấp xỉ hàm f (t) bằng hàm x (t) trong khoảng thời gian (t1£t£t2):

f(t)@cx(t) (3.15) Trong đó f (t) và x (t) là hàm phức theo t Nhắc lại là năng lượng E x của tín hiệu phức )

t t

x x t dt E

Trường hợp này, thường hệ số c và sai số là số phức

t t

e f t cx t dt

E (3.17) Nhắc lại

u+v2 =(u+v)(u*+v*)=u2 +v2u*v+uv* (3.18) Tiếp tục, sắp xếp phương trình (3.17)

2 2

0

1

2 2

1

)(

*)(

1)

(

*)(

1)

t x x t

f

E

Do hai thừa số đầu tiên của vế phải không phụ thuộc vào c, rõ ràng là E e được tối thiểu

hóa bằng cách chọn c sao cho thừa số thứ ba của vế phải là zêrô, tức là

= ò2

1

)(

*)(

1 t t x

dt t x t f E

jt t f t

trực giao với tín hiệu e s jt

Năng lượng của tổng tính hiệu trực giao

Ta biết là bình phương độ dài của tổng hai vectơ trực giao là bằng tổng của độ dài hai vectơ Do đó, nếu x và y trực giao, thì z = x + y, thì

z2 = x2+ y2

Tương tự, cho trường hợp tín hiệu Năng lượng của tổng hai tín hiệu trực giao thì bằng tổng năng lượng của hai tín hiệu Do đó, nếu tín hiệu x (t) và y (t) trực giao trong khoảng ]

2 1 2

1 2

1

)()(

*)

(

*)()

()

()

t t t

t t

t x t y t dt x t dt y t dt x t y t dt x t y t dt

=ò2 +ò

1

2 1

2 2

)()

(

t t

t

t y t dt dt

t

x (3.22)

Do tính trực giao, hai tích phân của các tích x(t)y*(t) và x*(t)y(t) là zêrô Kết quả này

có thể được mở rộng với tổng của một số tín hiệu trực giao tương hỗ

3.2 So sánh tín hiệu: tính tương quan

Phần 3.1 đã chuẩn bị cơ sở để so sánh tín hiệu Một lần nữa, ta có dùng lại ý niệm

của phép so sánh vectơ Hai vectơ f và x là tương đồng khi f có thành phần lớn theo x Nói cách khác, nếu c trong phương trình (3.6) lớn, thì hai vectơ f và x là tương đồng Ta

có thể xem c là phép đo định lượng tính tương đồng giữa f và x Tuy nhiên, đo lường này

có nhược điểm Mức tương đồng giữa f và x cần độc lập với độ dài của f và x Thí dụ, khi tăng đôi độ dài của f, mức tương đồng giữa f và x là không thay đổi Tuy nhiên, từ phương trình (3.6), ta thấy là khi tăng đôi f, thì cũng tăng đôi giá trị c (trong khi tăng đôi

x làm giảm nửa giá trị c) Đo lường của ta rõ ràng là sai Tính tương đồng giữa hai vectơ

được cho từ góc q giữa hai vectơ Góc q càng bé thì tính tương đồng càng cao, và ngược lại Do đó, có thể dùng cosq để đo mức tương đồng Cosq càng lớn, thì tính tương đồng

giữa hai vectơ càng cao Vật, đo lường hợp lý sẽ là c n = cosq, được cho bởi

x f

x f

c n =cosq = . (3.23)

Có thể kiểm nghiệm lại về tính độc lập của đo lường này với độ dài của f và x Tương đồng này đo lường c n được gọi là hệ số tương quan Quan sát thấy:

-1£c n £1 (3.24)

Do đó, biên độ của c n không bao giờ lớn hơn đơn vị Hai vectơ thẳng hàng có tính tương

đồng lớn nhất (c n = 1) Hai vectơ thẳng hàng đối chiều có tính không tương đồng cao nhất

(c n = - 1) Hai vectơ trực giao có tính tương đồng là zêrô

Dùng phương pháp tương tự để định nghĩa chỉ số tương đồng (hệ số tương tương quan) của tín hiệu Xét các tín hiệu trong khoảng từ - ¥ đến ¥ Muốn c trong phương trình (3.11) độc lập với năng lượng (kích thước) của f(t) và x(t), ta cần chuẩn hóa c bằng cách hai tín hiệu về năng lượng đơn vị Do đó, chỉ số tương đồng thích hợp c n cho phương trình (3.23) là

= ò-¥¥ f t x t dt

E E

c

x f

The Best Friends, Worst Enemies, and Complete Strangers

Ta có thể chứng tõ là nếu f(t)=Kx(t)thì c n = 1 khi K là hằng số dương bất kỳ, và

c n = - 1 khi K là hằng số âm bất kỳ Đồng thời c n = 0 nếu f(t) và x(t) trực giao Đo đó,

tương đồng lớn nhất [khi f(t)=Kx(t)] được cho bởi c n = 1, không tương đồng lớn nhất [khi f(t)=-Kx(t)] được cho bởi c n = - 1 Khi hai tín hiệu trực giao, tương đồng là zêrô Một cách định lượng, ta có thể xem tín hiệu trực giao là tín hiệu không tương quan Chú

ý, địng lượng thì tính không tương đồng khác với tính không tương quan Thí dụ, ta có

bạn tốt (c n = 1), kẻ thù xấu nhất (c n = -1), và kẻ lạ hoàn toàn, không cần quan tâm là ta có

tồn tại hay không (c n = 0) Kẻ thù không phải là người lạ, nhưng trong một số trường hợp người ta có thể nghĩ giống chúng ta, nhưng ngược lại?!!

Mở rộng ý niệm khi so sánh tín hiệu phức, định nghĩa c n lúc này là

= ò-¥¥ f t x t dt

E E

c

x f

0 2

5)

(t dt dt x

E x (3.28)

Dùng phương pháp này, ta tìm được E f1 = 5, E f2 = 1,25, và E f3 = 5 Để tìm E f4 và E f5 , ta

tìm năng lượng E của e -at u(t) trong khoảng thời gian từ t = 0 đến T:

=òT( )-at =òT - at = ( - - aT)

e a dt e dt e E

0

2 2

0

2

121

25,1(

961.0)

5)(

1617,2(

5,2(

1

tdt

p ¢

Nhận xét về kết quả: Do f 1 (t) = x(t), hai tín hiệu có khả năng tương đồng tối đa và c n = 1

Tuy nhiên, tín hiệu f 2 (t) còn cho thấy khả năng tương đồng tối đa với c n = 1 Lý do từ

định nghĩa c n dùng đo lường tính tương đồng của dạng sóng; và độc lập với biên độ

(cường độ) của các tín hiệu so sánh Tín hiệu f 2 (t) giống hệt x(t) về hình dạng; chỉ có biên độ (cường độ) là khác nhau Do đó, c n = 1 Mặt khác, tín hiệu f 3 (t) cho thấy khả năng không tương đồng tối đa với x(t) do bằng với - x(t) Trường hợp f 4 (t), c n = 0,961, cho thấy

có độ tương đồng cao với x(t) Điều này hợp lý do f 4 (t) rất giống với x(t) trong thời gian tồn tại của x(t) (từ 0 £ t £ 5) Qua kiểm tra, ta chú ý là là độ biến thiên hay thay đổi trong

x(t) và f 4 (t) có tốc độ giống nhau Đây không phải là trường hợp của f 5 (t), khi ta nhận thấy

là tốc độ thay đổi của f 5 (t) thường cao hơn của x(t) Hai tín hiệu vẫn còn tương đồng

nhau, đều còn giữa giá trị dương, và chưa có dao động Hai tín hiệu đều có giá trị zêrô

hay cường độ rất bé khi t > 5 Như thế, f 5 (t) tương đồng với x(t), nhưng không tương đồng như f 4 (t) Điều này giải thích tại sao f 5 (t) có c n = 0,628 Tín hiệu f 6 (t) thì trực giao với x(t), nên có c n = 0 Điều này cho thấy sự không tương đồng trong trường hợp này

không mạnh như như trường hợp f 3 (t) có c n = – 1 Kết luận này có vẽ kỳ cục do f 3 (t) có

vẽ như tương đồng với x(t) nhiều hơn so với f 6 (t) Tính không tương đồng giữa x(t) và

f 6 (t) có bản chất từ sự không ưa nhau (worst enemy); đó là chúng rất tương đồng nhau, nhưng theo hướng ngược lại Nói khác đi, tính không tương đồng giữa x(t) và f 6 (t) bắt nguồn từ việc chúng có không giống nhau Do đó tính không tương đồng giữa x(t) và

Ta giải thích ý niệm này dùng thí dụ trong radar khi tín hiệu xung được phát đi nhằm phát hiện các mục tiêu khả nghi Khi mục tiêu xuất hiện, xung được nó phản xạ lại, khi không có mục tiêu thì không có tín hiệu phản xạ, mà chỉ có nhiễu

Sự hiện diện hay không hiện diện của xung phản xạ xác nhận sự hiện diện hay không hiện diện của mục tiêu Vấn đề cốt lõi ở đây là để phát hiện được xung phản xạ bị suy giảm rất nhiều (dạng sóng đã biết) bị nhiễu che lấp Trong trường hợp này, yếu tố tương quan giữa xung nhận được và xung phát đi là trợ giúp quan trọng Tình huống tương tự tồn tại trong thông tin số khi ta cần phát hiện sự hiện diện của một trong hai dạng sóng đã biết với sự hiện diện của nhiễu

Ta bắt đầu giải thích phương thức phát hiện tín hiệu dùng kỹ thuật tương quan Xét trường hợp thông tin nhị phân (hai bit), trong đó hai dạng sóng đã được biết được nhận theo trình tự ngẫu nhiên.Trong mỗi thời điểm, ta nhận một xung và nhiệm vụ của ta là xác định xem đã nhận xung nào trong hai dạng xung đã biết Để phát hiện dễ dàng hơn, ta cần làm cho hai xung này không tương đồng càng nhiều càng tốt Do đó, ta nên chọn

xung âm so với xung kia Lựa chọn này cho ta tính không tương đồng lớn nhất (c n = – 1)

Sơ đồ này đôi khi còn được gọi là sơ đồ đối cực (antipodal) Ta cũng có thể chọn xung

trực giao để có c n = 0 Trong thực tế thường dùng cả hai lựa chọn này, cho dù sơ đồ đối cực cho phép phân biệt hai xung tốt nhất

Xét tiếp sơ đồ đối cực trong đó hai xung là p(t) và – p(t) Hệ số tương quan c n của các xung này là –1 Giả sử không có nhiễu và truyền dẫn là hoàn hảo Máy thu có bộ

tương quan để tính tương quan giữa p(t) và xung thu được Nếu tương quan là 1, ta khẳng định thu được p(t), và nếu tương quan là –1, ta khẳng định thu được – p(t) Nhờ có khả

năng không tương đồng lớn nhất giữa hai xung, nên việc tách xung dễ dàng Tuy nhiên trong thực tế, quá trình truyền thường không hoàn hảo, có nhiễu len vào tín hiệu thu Đồng thời, khi truyền, tín hiệu còn bị méo dạng và có thể bị trùng lắp nhau, làm thay đổi hình dạng tín hiệu thu được nên hệ số tương quan không còn là ±1, có biên độ bé, làm giảm khả năng phân biệt xung Ta dùng bộ tách xung theo ngưỡng, nhằm quyết định là

nếu hệ số tương quan là dương (c n > 0), thì xung thu được là p(t), và nếu tương quan là

âm (c n < 0), thì xung là – p(t)

Thí dụ, giả sử ta truyền p(t) Trong trường hợp lý tưởng, tương quan giữa xung này

tại máy thu là 1, là khả năng tối đa Do ảnh hưởng của nhiễu và các yếu tố không hoàn hảo khác, tương quan sẽ nhỏ hơn 1 Trong một số trường hợp tới hạn, yếu tố nhiễu và

trùng lắp với các xung khác làm xung này rất khác với xung p(t) và tương quan có giá trị

âm Trong trường hợp này thì bộ tách xung theo ngưỡng lại khẳng định xung nhận được

là – p(t), làm quá trình tách xung bị sai Tương tự, khi truyền – p(t), thì yếu tố nhiễu trong

kênh truyền, yếu tố méo dạng xung và trùng lắp xung có thể làm tương quan là dương, làm quá trình tách xung bị sai Nhiệm vụ của ta là đảm bảo xung truyền có năng lượng đủ lớn nhằm giữa cho các tổn thất do nhiễu nằm trong một giới hạn và sai số nằm trong biên

cho phép Trong trường hợp lý tưởng, biên này do tương quan c n cung cấp nhằm phân biệt được hai xung là 2 (từ 1 đến –1 và ngược lại) Yếu tố nhiễu và tính không hoàn hảo khi truyền làm giảm biên này Điều này, giải thích tại sao yếu tố quan trọng nhất vẫn là bắt đầu với biên càng lớn càng tốt Do đó, sơ đồ đối cực có tính năng tốt nhất nhằm để chống nhiễu và các yếu tố không hoàn hảo khi truyền Tuy nhiên, như đã nói ở trên, do

còn có các lý do khác, nên nhiều sơ đồ, thí dụ sơ đồ trực giao với c n = 0 cũng được dùng

dù có biên nhỏ hơn (từ 0 đến 1 và ngược lại) nhằm phân biệt các xung

Một số dạng tán xạ xung đã được thảo luận trong phần 2.7-5 và 2.7-6 Trong chương 4, ta sẽ thảo luận về méo dạng xung khi truyền Tính toán xác suất sai số khi có

nhiễu và các yếu tố không hoàn hảo khác nằm ngoài phạm vi tài liệu này, độc giả có thể tham khảo thêm tài liệu

3.2-2 Hàm tương quan

Xét ứng dụng tương quan để phát hiện tín hiệu trong radar, trong đó xung được phát đi nhằm phát hiện các mục tiêu khả nghi Khi mục tiêu xuất hiện, xung được nó phản xạ lại, khi không có mục tiêu thì không có tín hiệu phản xạ, mà chỉ có nhiễu Bằng cách phát hiện sự tồn tại hay không tồn tại của xung phản xạ ta khẳng định được sự tồn tại hay không tồn tại của mục tiêu Bằng cách đo thời gian trễ giữa xung truyền và xung nhận được (phản xạ) ta xác định được cự ly của mục tiêu Gọi xung truyền và xung phản xạ lần

lượt là g(t) và f(t), như vẽ trong hình 3.5 Nếu ta đã dùng trực tiếp phương trình (3.25) để

đo hệ số tương quan c n, ta có:

= 1 ò-¥¥ f(t)g(t)dt=0

E E

c

g f

n (3.29)

Tương quan là zêrô do các xung này tách biệt theo thời gian Tích phân (3.29) có giá trị zêrô ngay khi các xung giống hệt nhau nhưng có dời theo thời gian Để giải quyết

vấn đề này, ta so sánh xung nhận được f(t) với xung bị trễ theo thời gian g(t) với nhiều

giá trị trễ Nếu với một số tham số trễ làm tương quan mạnh hơn, ta không chỉ phát hiện

được xung mà cỏn phát hiện được thời gian dời của f(t) theo g(t) Do đó, thay vì dùng tích

phân bên vế phải, ta dùng một tích phân yfg (t) được gọi là hàm tương quan chéo của hai

tín hiệu thực f(t) và g(t), được định nghĩa theo:

yfg(t)=ò-¥¥ f(t)g(t-t)dt (3.30) Với t là biến phụ, và xung g(t – t) là xung g(t) dời đi t giây theo xung f(t) Do đó, yfg (t) chỉ thị tính tương đồng (tương quan) giứa xung f và xung g dời đi t giây Do đó, yfg (t) đo

lường tính tương đồng của xung kể cả khi chúng tách biệt nhau Trong trường hợp tín hiệu trong hình 3.5, yfg (t) cho thấy tương quan đáng kể chung quanh t = T Quan sát này

cho phép ta không chỉ phát hiện sự hiện hữu của mục tiêu mà còn tính được cự ly của mục tiêu

Tích chập và tương quan

Ta xem xét quan hệ khắn khít giữa tích chập và tương quan của f(t) và g(t) (từ phương trình 3.30) Chú ý là xung g(t – t) là xung g(t) dời đi t giây Do đó, yfg (t) là vùng diện tích do tích giữa xung f và xung g dời t theo thời gian (không có đảo) Tương

tự, ta thấy trong phép tính tích chập cũng theo các bước tương tự, trừ việc xung g được

đảo trước khi dời t theo thời gian Quan sát này gợi đến ý yfg (t) bằng f(t)*g(–t) [tích chập của f(t) với g(t) đảo theo thời gian), tức là:

Nhắc lại, yfg (t) là vùng diện tích do tích giữa xung f và xung g dời t theo thời gian (không

có đảo), và cho bởi tích chập của f(t) và g(–t)

Tương quan giữa tín hiệu với chính nó được gọi là tự tương quan Hàm tự tương

quan yf (t) của tín hiệu f(t) được định nghĩa là

yf(t)ºò-¥¥ f(t)f(t-t)dt (3.32) Trong chương 4, ta sẽ chứng minh là hàm tự tương quan cung cấp thông tin phổ rất có giá trị về tín hiệu

3.3 Biểu diễn tín hiệu dùng tập tín hiệu trực giao

Phần này trình bày phương pháp biểu diễn tín hiệu theo tổng các tín hiệu trực giao Dùng ý niệm vectơ, ta biết là có thể biểu diễn vectơ thành tổng các vectơ trực giao, nhằm tạo hệ trục trong không gian vectơ Vấn đề này tương tự trong tín hiệu với kết quả là tín hiệu song song với trường hợp của vectơ Hảy xét lại trường hợp biểu diễn dùng vectơ

3.3-1 Không gian vectơ trực giao

Xét không gian vectơ 3 chiều Cartesian mô tả dùng ba vectơ trực giao tương hỗ x 1,

x 2 , x 3 vẽ trong hình 3 6 Đầu tiên, ta tìm cách xấp xỉ vectơ ba chiều f theo hai vectơ trực

phần) của f lên x 1 và x 2 Do đó, các hằng số c 1 và c 2 được cho bởi phương trình (3.6)

Quan sát thấy vectơ sai số trực giao với cả hai vectơ x 1 và x 2

Tiếp tục xác định xấp xỉ “tốt nhất” cho f theo mọi thành phần vectơ trực giao

i i

x x

x f c

hỗ: x 1 , x 2 , và x 3 Lý do là f là vectơ ba chiều, và các vectơ x 1 , x 2 , và x 3 biểu diễn tập đầy

đủ của vectơ trực giao trong không gian ba chiều Tính đầy đủ ở đây tức là không thể tìm vectơ x 4 khác trong không gian này, và trực giao được với tất cả ba vectơ x 1 , x 2 , và x 3 Mọi vectơ trong không gian này đều có thể được biểu diễn (với sai số zêrô) theo ba vectơ

trên Các vectơ này được gọi là các vectơ cơ sở Nếu tập các vectơ {xi} không đầy đủ, sai

số xấp xỉ thường khác zêrô Do đó, trong trường hợp không gian ba chiều vừa thảo luận,

thường không thể biểu diễn vectơ f chỉ với hai vectơ cơ sở mà không bị sai số

Có nhiều cách lựa chọn vectơ cơ sở Trong thực tế, tập các vectơ cơ sở tương ứng

với chọn lựa đặc thù của hệ trục tọa độ Do đó, vectơ ba chiều f có thể được biểu diễn với

nhiều cách khác nhau, tùy theo hệ trục được dùng

3.3-2 Không gian tín hiệu trực giao

Đàu tiên, ta khảo sát tín hiệu thực, rồi mở rộng sang trường hợp tín hiệu phức Dùng ý niệm về xấp xỉ tín hiệu hiệu phát triển từ phương pháp xấp xỉ vectơ Ta định

nghĩa tính trực giao ta tập tín hiệu thực x1(t), x2(t), , xN(t), trong khoảng [t 1 , t 2] là

ò2 =îíì =¹

1

0)

()(

t t

n n

m

n m E

n m dt

t x t

x (3.36)

Nếu năng lượng E n = 1 với mọi n, thì tập là chuẩn và được gọi là tập trực giao

Tập trực giao có thể chuẩn hóa bằng cách chia x n (t) cho E với mọi n n

Xét phép xấp xỉ tín hiệu f(t) trong khoảng [t 1 , t 2 ] dùng tập thực N, gồm các tín hiệu trực giao tương hỗ x1(t), x2(t), , xN(t) là

f(t)@c1x1(t)+c2x2(t)+L+c N x N(t) (3.37a) å

=

= N

n n

n x t c t

f

1

)()

n x t c t

f t

e

1

)()

()

1 1

)(

)()(

dt t x

dt t x t f

c (3.39a)

f t x t dt n N

E

t n n

)(

t t

N

n n n

f

n n

=å¥

=

(3.41)

Trong đó các hệ số c n lấy từ phương trình (3.39) Do năng lượng tín hiệu sai số tiến về

zêrô, nên năng lượng của f(t) bằng với tổng của năng lượng các thành phần trực giao

c1x1 (t), c2x2(t), c3x3(t) ,

Chuỗi bên vế phải của phương trình (3.41) được gọi là chuỗi Fourier tổng quát

của f(t) theo tập {xn(t)} Khi tập {xn(t)} có năng lượng sai số E e ¦0 khi N ¦ ¥ với mọi thành phần của một lớp tín hiệu đặc thù, ta nói là tập {xn(t)} là tập đầy đủ trong [t 1 , t 2] với

lớp tín hiệu f(t), và tập {xn(t)} được gọi là hàm cơ sở hay tín hiệu cơ sở Ngoài những

ghi chú riêng, từ đây về sau, tài liệu này chỉ khảo sát tín hiệu năng lượng

Vậy, khi tập {xn(t)} là đầy đủ, ta có đẳng thức (3.41) Một điểm nhỏ cần được làm rõ là ý nghĩa của đẳng thức trong phương trình (3.41) Đẳng thức trong trường hợp

này không phải là đẳng thức theo nghĩa thông thường, mà theo ý nghĩa của năng lượng sai số, tức là, năng lượng của sai biệt giữa hai vế của phương trình (3.41) tiến về zêrô

Nếu hiểu theo nghĩa thông thường thì năng lượng sai số phải luôn là zêrô, nhưng ngược

lại là không đúng Năng lượng sai số có thể tiến về zêrô ngay cả khi sai biệt hai vế e(t) là khác zêrô trong một khỏng thời gian tách biệt nào đó Lý do là nagy cả khi e(t) khác zêrô trong các khoảng thời gian này, thì phần diện tích e 2 (t) vẫn là zêrô; nên chuỗi Fourier bên

vế phải phương trình (3.41) có thể khác f(t) tại một số hữu hạn các điểm Trong thực tế, khi f(t) có bước nhảy gián đoạn tại t = t0, chuỗi Fourier tương ứng tại hội tụ về trị trung

=

1

2 2

2 2 1 2 1 2

2

1

)(

n n n t

t f t dt c E c E L c E (3.42)

Phương trình này được gọi là định lý Parseval Nhắc lại là năng lượng tín hiệu (vùng

diện tích của trị bình phương tín hiệu) thì tương tự như độ dài của vectơ trong phép tương đồng vectơ – tín hiệu Trong không gian vectơ ta biết là bình phương của vectơ thì bằng với tổng các bình phương của độ dài và các thành phần trực giao Phương trình (3.42) khẳng định điều áp dụng cho các tín hiệu

Tổng quát cho tín hiệu phức

Kết quả trên có thể dùng cho các tín hiệu phức: Tập các hàm x1(t), x2(t), , xN(t) là trực giao tương hỗ trong khoảng [t 1 , t 2] khi

ò2 =îíì =¹

1

0)

(

*)

(

t

t

n n

m

n m E

n m dt

t x t

= (3.45) Phương trình (3.39) hay phương trình (3.45) cho thấy một tính chất quan trọng của hệ

số c 1 , c 2 , , c N; giá trị tối ưu của các hệ số trog phép xấp xỉ (3.37) là độc lập với số

lượng thừa số dùng trong phép xấp xỉ Thí dụ, nếu ta chỉ dùng một thừa số (N=1) hay hai thừa số (N=2) hay với bất kỳ thừa số nào, trị tối ưu của hệ số c 1 là như nhau (như trong

phương trình (3.39) Ưu điểm của phép xấp xỉ tín hiệu f(t) dùng các tín hiệu trực giao

tương hỗ là việc ta có thể tiếp tục thêm các thừa số vào phép xấp xỉ mà không làm ảnh hưởng đến các thừa số trước đó Đặc tính về tính finality các giá trị của các hệ số là rất quan trọng trong thực tế

Một số thí dụ về chuỗi Fourier tổng quát

Tín hiệu là vectơ theo mọi ý nghĩa Tương tự vectơ, một tín hiệu có thể được biểu diễn thành tổng các thành phần theo nhiều cách khác nhau Giống như hệ trục tọa độ vectơ được tạo nên từ các vectơ trực giao tương hỗ (hệ vuông góc, hệ trụ, hệ cầu), ta cũng có hệ tọa độ tín hiệu (tín hiệu cơ sở) tạo nên từ nhiều tập tín hiệu trực giao tương

hỗ Có rất nhiều tập tín hiệu trực giao có thể dùng như tín hiệu cơ sở trong chuỗi Fourier tổng quát Một số tập tín hiệu nổi tiếng là hàm lượng giác (sin), hàm mủ, hàm Waish, hàm Bessel, đa thức Legendre, hàm Laguerre, đa thức Jacobi, đa thức Hermite, và đa thức Chebyshev Tài liệu này chỉ quan tâm đến các tập hàm lượng giác và hàm mủ

Đôi dòng lịch sử: Nam tước Jean-Baptiste Joseph Fourier (1768 – 1830)

3.4 Chuỗi Fourier lượng giác

Xét tập tín hiệu {1, cosw0 t, cos2w0 t, , cosnw0 t, , ;

sinw0 t, sin2w0 t, , sinnw0 t, } (3.46)

Sóng sin với tần số nw0 đươc gọi là hài bậc n của sóng sin tần số w0 khi n là số nguyên

Trong tập này sóng sin tần số w0 được gọi là thành phần cơ bản Chú ý là thừa số hằng 1

là hài bậc 0 trong tập do cos(0 x w0 t) = 1

Phụ lục 3B chứng minh đây là tập trực giao trong mọi khoảng tồn tại T 0 = 2p/w0, gọi

là chu kỳ cơ bản Đặc biệt, cũng chứng minh là

0cos

cos

0 0 0

m n t

m t

nw w (3.47a)

0sin

sin

0 0 0

m n t

m t

nw w (3.47b)

0

0cos

T nw t mw t với mọi n và m (3.47c)

Ý niệm f T0 là tích phân trong khoảng từ t = t 1 đến t 1 + T 0 với mọi giá trị của t 1 Phương trình này cho thấy tập (3.46) là trực giao trong mọi khoảng kề nhau của thời gian tồn tại

T 0 Đây là tập lượng giác, có thể chứng minh là tập đủ Do đó, có thể biểu diễn tín hiệu

f(t) thành chuỗi Fourier lượng giác trong thời gian T 0 giây theo

=

1

0 0

a t

f w w t 1 £ t £ t1 +T 0 (3.48b) Với

0 0

0 1 1

0 2 0

cos

cos)(

T t t

T t t n

tdt n

tdt n t f a

w

w

n = 1, 2, 3, … (3.50)

Tích phân trong mẫu số của phương trình (3.50) theo phương trình (3.47a) (với m = n) là

T 0 /2 khi n ¹ 0 Hơn nữa, khi n = 0 thì mẫu số là T 0 Do đó

= ò1+0

1

0 0

sin)(

Dạng gọn của chuỗi Fourier

Chuỗi Fourier lượng giác trong phương trình (3.48) chứa các thừa số sin và cos với cùng tần số Có thể kết hợp lại thành một dạng sin với dùng tần số dùng đẳng thức lượng giác

a n cos nw0 t + b n sin nw0 t = C n cos(nw0 t + qn) (3.52) với

Dùng đẳng thức (3.52), chuỗi Fourier lượng giác trong phương trình (3.48) có thể viết

thành dạng gọn của chuỗi Fourier theo

C t

a t

Với (từ phương trình (3.51a)

= òp - =

p 0

2 /

è

æ+

=

-2 0

2 /

161

2504,02

cos2

n ntdt

è

æ+

=

-2 0

2 /

161

8504,02

sin2

n

n ntdt

21

504,0)

(

n

nt n nt n

ë

é+

=+

++

=+

=

2 2

2 2 2

2 2

2

161

2504,0)161(

64)

161(

4504

,0

n n

n n

b a

æ

-=

q (3.55)

Các giá trị C n và qn cho trường hợp dc và bảy hài đầu được tính tứ các phương trình

trên và vẽ trong bảng 3.1 Từ các giá trị này, ta biểu diễn f(t) theo dạng chuỗi Fourier gọn

å¥

=

+

2504

,0504

n t

Tính tuần hoàn của chuỗi Fourier lượng giác

Ta đã chứng minh phương thức biểu diễn một tín hiệu bất kỳ f(t) thành chuổi Fourier lượng giác trong các khoảng T 0 giây Trong thí dụ 3.3, ta chỉ biểu diễn e – t/2 trong một khoảng từ 0 đến p/2 Chuỗi Fourier tính từ phương trình (3.56) chỉ bằng e – t/2

n

n

n n t C

=+

1

0 0 0

C T

å¥

=

=++

(chu kỳ cơ bản) Thí dụ, j(t) là chuỗi Fourier bên vế phải của phương trình (3.56), là hàm tuần hoàn với các thời đoạn của f(t) trong khoảng (0 £ t £ p) lập lại tuần hoàn theo từng p giây, vẽ trong hình 3.7b Do đó, khi ta biểu diễn tín hiệu f(t) dùng chuỗi lượng giác trong một thời khoảng T 0 nào đó, thì hàm f(t) và chuỗi Fourier tương ứng j(t) chỉ cần bằng nhau trong khoảng T 0 này thôi Ngoài khoảng này, chuỗi Fourier lặp lại một cách tuần

hoàn với chu kỳ T 0

Nếu khi f(t) tự thân đã là hàm tuần hoàn với chu kỳ T 0 , thì chuỗi Fourier biểu diễn

thú vị nữa, là theo hình 1.7 thì tín hiệu tuần hoàn f(t) có thể được sinh ra từ việc lặp lại có chu kỳ các thời đoạn có độ rộng là T 0 Do đó, chuỗi Fourier lượng giác biểu diễn một thời

đoạn của f(t) tại thời điểm bắt đầu bất kỳ cũng biểu diễn f(t) với mọi t Do đó, khi tính toán các hệ số a 0 , a n và b n , ta có thể dùng giá trị t 1 bất kỳ trong phương trình (3.51) Nói

cách khác, ta có thể lấy tích phân này trong mọi khoảng T 0 Vậy các hệ số của chuỗi

Fourier biểu diễn tín hiệu tuần hoàn f(t) (với mọi t) có thể viết thành

= ò

0

)(1

cos)(2

T

n f t n tdt T

a w n = 1, 2, 3, … (3.58b)

= ò

0

0 0

sin)(2

T

n f t n tdt T

b w n = 1, 2, 3, … (3.58c)

Với òT0 là tích phân trong khoảng T 0 giây

Phổ Fourier

Chuỗi Fourier gọn trong phương trình (3.54) cho thấy là tín hiệu tuần hoàn f(t) có

thể được viết thành tổng các sóng sin có tần số 0 (dc), w0, 2w0, , nw0, với các biên độ

lần lượt là C 0 , C 1 , C 2 , , C n, và có pha là 0, q1, q2, , qn, Ta vẽ đồ thị biên

độ C n theo w (phổ biên độ) và qn theo w (phổ pha) Hai đồ thị này gọi chung là phổ tần

số của f(t)

Hình 3.7c và 3.7d vẽ phổ biên độ và phổ pha của tín hiệu tuần hoàn j(t); tức là biên

độ và pha của nhiều thành phần sóng sin của j(t) Khi biết được phổ tần số, ta có thể tái

tạo hay tổng hợp j(t), như trong vế phải của phương trình (3.56) Do đó, phổ tần số trong

bổ sung cho nhau, giúp hiểu rõ hơn bản chất của tín hiệu

Hội tụ của chuỗi và các bước nhảy gián đoạn

Điều thú vị trong chuỗi Fourier là khi f(t) có bước nhảy gián đoạn, chuỗi tại điểm

gián đoạn lại hội tụ về trung bình của vế trái và giới hạn của vế phải của f(t) tại thời điểm

gián đoạn Thí dụ, hình 3.7b, j(t) gián đoạn tại t = 0 với j(0 +) = 1 và j(0 -) = e-p/2 =

0,208 Chuỗi Fourier tương ứng hội tụ về giá trị (1+0,02008)/2 = 0,604 tại t = 0 Có thể kiểm nghiệm dễ dàng từ hình 3.56b bằng cách cho t = 0

Tồn tại của chuỗi Fourier: Điều kiện Dirichlet

Hai điều kiện cơ bản cho tồn tại của chuỗi Fourier là:

1 Để chuỗi tồn tại thì các hệ số a 0 , a n , và b n trong phương trình (3.51) phải hữu hạn

Từ các phương trình (3.51a), (3.51b), và (3.51c) thì các hệ số này tồn tại nếu f(t)

là tích phân tuyệt đối trong một chu kỳ, tức là:

ò <¥

0

)(

T f t dt (3.59)

Điều kiện này gọi là điều kiện Dirichlet yếu Nếu hàm f(t) thỏa điều kiện Dirichlet yếu,

thì điều kiện tồn tại của chuỗi Fourier được thỏa, nhưnh chuỗi có thể không hội tụ tại mọi

điểm Thí dụ, nếu hàm f(t) là không hữu hạn tại một số điểm, thì rõ ràng chuỗi biểu diễn

hàm sẽ không hội tụ tại các điểm này Tương tự, nếu hàm có vô số điểm cực đại và cực tiểu trong một chu kỳ, thì hàm chứa lượng đáng kể các thành phần tần số tiến về vô cùng

Do đó, các hệ số của chuỗi tại tần số cao không suy giảm nhanh, nên chuỗi không hội tụ

đều và nhanh Vậy, để chuỗi Fourier hội tụ, ngoài điều kiện (3.59), cần có thêm điều kiện sau

2 Hàm f(t) chỉ có hữu hạn các điểm cực đại và cực tiểu trong một chu kỳ, và chỉ

có một số hữu hạn các điểm gián đoạn trong một chu kỳ Hai điều kiện này được gọi là

điều kiện Dirichlet mạnh Cần chú ý là các tín hiệu tuần hoàn từ các phòng thí nghiệm

thỏa điều kiện Dirichlet, nên đều có chuỗi Fourier hội tụ Vậy, các tín hiệu tuần hoàn trong thực tế đều thỏa điều kiện đủ để chuỗi hội tụ

¢ Thí dụ 3.4

Tỉm chuỗi Fourier lượng giác dạng gọn của sóng vuông tuần hoàn f(t) vẽ trong hình

3.8a, rồi vẽ phổ biên độ và phổ pha

Trường hợp này, T 0 = 2p và w0 = 2p/ T0 = 1 Do đó

å¥

=

++

=

1

)(

n

n

n nt b nt a

a t

= ò

0

)(1

0

T a

Trong các phương trình trên, ta có thể lấy tích phân f(t) trong các khoảng thời gian

T 0 = 2p Hình 3.8 cho thấy chọn lựa tốt nhất để lấy tích phân là từ - p đến p Do f(t) chỉ bằng 1 trong khoảng ÷

ø

öç

è

2

æ-,2

pp

và f(t) = 0 trong đoạn còn lại,

2

12

1 / 2 2 /

p p

æ

=

2cos

1 / 2 2 /

pp

p

p p

n n

ntdt

ïï

ïî

ïï

ïíì

=-

=

=

L

L,15,11,7,32

,13,9,5,12

_0

n n

n n

even n

13cos3

1cos22

1)(

7

15cos5

1)3cos(

3

1cos22

1

)

pĐây đúng là chuỗi Fourier lượng giác dạng gọn Biên độ là

ì

=

odd n n

even n

C n

_2_0p

îí

ì

=-

¹

=

L

L,15,11,7,3

,15,11,7,30

n

n

n pq

Dùng các giá trị trên ta vẽ được đồ thị phổ biên độ và phổ pha Tuy nhiên, để đơn

giản, ta cho phép C n tồn tại các giá trị âm luân phiên nhau Chưa cần thêm - p để loại giá trị âm Nói cách khác, các pha của mọi thành thành là zêrô, nên ta có thể bỏ qua phổ pha

và chỉ xử lý phổ biên độ, như trong hình 3.8b Quan sát là phương pháp này đơn giản hơn

mà không làm mất thông tin và phổ biên độ trong hình 3.8 có đầy đủ thông tín về chuỗi

Fourier trong (3.61) Do đó, khi các thành phần sin triệt tiêu (b n = 0), nên cho phép C n

có các giá trị âm Phương pháp này cho phép thông tin về phổ được chuyển sang một

dạng phổ - phổ biên độ ¢

¢ Thí dụ 3.5

Tỉm chuỗi Fourier lượng giác dạng gọn của sóng vuông tuần hoàn f(t) vẽ trong hình 3.9a, rồi vẽ phổ biên độ và phổ pha của f(t)

Trường hợp này, chu kỳ T 0 = 2, vậy

=

1

)(

n

n

n n t b n t a

a t

Với

îí

2/12

)(

t t

A

t At

t f

Trường hợp này nên chọn khoảng tích phân từ (-1/2) đến (3/2) thay vì từ 0 đến 2

Hình 3.9a cho thấy trị trung bình (dc) của f(t) là zêrô, nên a 0 = 0, và

-

-2 / 3 2 / 1

2 / 1 2 / 1

2 / 3 2 /

2

2

tdt n t A tdt

n At tdt

n t f

ïî

ïï

ïíì

=-

=

=

÷ø

öçè

æ

=

L

L,15,11,7,38

,13,9,5,18

_0

2sin8

2 2

2 2 2

2

n n

A

n n

A

even n n

n

A

b n

ppp

p (3.62b)

Vậy

úû

ùêë

13sin9

1sin

8)

Để vẽ phổ Fourier, cần chuyển chuỗi thành dạng lượng giác gọn như trong phương trình (3.54), Trong trường hợp này, thừa số sin đã được chuyển thành dạng cosin dùng phép dời pha thích hợp Thí dụ

±sinkt=cos(ktm900)

Dùng đặng thức này, phương trình (3.63) viết thành

úû

ùêë

49

1)905cos(

25

1)903cos(

9

1)90cos(

3.4-1 Ảnh hưởng của tính đối xứng

Chuỗi Fourier của tín hiệu tuần hoàn trong hình 3.7a (thí dụ 3.3) gồm các thừa số

sin và cosin, nhưng chuỗi của tín hiệu f(t) trong hình 3.8a (thí dụ 3.4) chỉ chứa các thừa

số cosin, và chuỗi của tín hiệu f(t) trong hình 3.9a (thí dụ 3.5) chỉ chứa các thừa số sin

Đây không phải là điều gì bất thường Ta có thể chứng minh là chuỗi Fourier của hàm

chẵn f(t) chỉ gồm các thừa số cosin và chuỗi Fourier của hàm lẻ f(t) chỉ gồm các thừa số sin Tuy nhiên, từ tính đối xứng (chẵn hay lẻ), thông tin trong một chu kỳ của f(t) chỉ là

ẩn trong nữa chu kỳ, như trong hình 3.8a và 3.9a Trong các trường hợp này, khi biết được tín hiệu trong nữa chu kỳ và tùy theo dạng đối xứng (chẵn hay lẻ), ta xác định được dạng sóng tín hiệu trong toàn chu kỳ Do đó, các hệ số Fourier trong các trường hợp này

có thể được tính bằng cách chỉ lấy tích phân trong nữa chu kỳ thay vì toàn chu kỳ Để chứng minh, hảy xem lại là

= ò- / 2

2 / 0 0

0 0

)(

1 T

T f t dt T

cos)(

1 T T

n f t n tdt T

sin)(

1 T T

n f t n tdt T

b w (3.65c)

Đồng thời, cũng cần nhớ là cosnw0 t là hàm chẵn và sinnw0 t là hàm lẻ theo t Nếu f(t) là

hàm chẵn theo t, thì f(t)cosnw0 t cũng là hàm chẵn và f(t)sinnw0 t là hàm lẻ theo t (xem

phần 1.5-1), do đó dùng các phương trình (1.33a) và (1.33b) ta có:

= ò / 2

0 0 0

0

)(

2 T

dt t f T

4 T

n f t n tdt T

a w (3.65b)

b n =0 (3.66c)

Tương tự, nếu f(t) là hàm lẻ theo t, thì f(t)cosnw0 t là hàm lẻ theo t và f(t)sinnw0 t là hàm

chẵn theo t Do đó

a0 =a n =0 (3.67a) = ò /2

0

0

sin)(

4 T

n f t n tdt T

b w (3.67b) Nhờ tính đối xứng nên khi tính các hệ số chỉ cần tính tích phân trong nữa chu kỳ

Nếu tín hiệu tuần hoàn f(t), dời đi nữa chu kỳ, thì vẫn giữa nguyên trừ việc có dấu – 1,

T t

-ø

öçè

thì tín hiệu được gọi đối xứng nửa sóng Có thể chứng minh là tín hiệu đối xứng nửa

sóng, thì có các thành phần sóng hài bậc chẵn triệt tiêu (xem bài tập 3.4-7) Tín hiệu trong hình 3.9a là thí dụ về dạng đối xứng này Dạng đối xứng này cũng có trong tín hiệu hình 3.8a nhưng ở dạng khó phát hiện hơn

Tuy nhiên, dạng đối xứng nửa sóng càng rõ ràng khi ta trừ thành phần dc 0,5 khỏi tín hiệu Chú ý là tín hiệu có thành phần dc 0,5 và chỉ có hài bậc lẻ

r Bài tập E3.6

Tìm chuỗi Fourier lượng giác dạng gọn của các tín hiệu tuần hoàn trong hình 3.10a

và 3.10b Vẽ đồ thị phổ biên độ và phổ pha Cho phép C n có các giá trị âm nếu b n = 0 sao cho có thể loại được phổ pha Hướng dẩn: dùng phương trình (3.66) và (3.67) cho tính đối xứng

Đáp số:

ø

öç

12cos4

1cos43

1)

úû

ùêë

1)cos(

43

12ins2

1sin

2)

(

úû

ùêë

3

1)902cos(

2

1)90cos(

t t

t

3.4-2 Tìm tần số cơ bản và chu kỳ

Ta đã thấy là các tín hiệu tuần hoàn có thể được biểu diễn thành tổng các sóng sin

có tần số cơ bản w0 và các sóng hài của nó Như thế, phương thức xác định tần số cơ bản

là như thế nào? Xét ba hàm sau:

( ) 2 7cos( ) 3cos( ) 5cos(67 3)

2 3 2 1

2 1

f

f2(t)=2cos(2t+q1)+5sin(pt+q2)

f3(t)=3sin(3 2t+q)+7cos(6 2t+f)

Nhắc lại là mỗi tần số trong tín hiệu tuần hoàn là bội số nguyên của tần số cơ bản w0 Do

đó, tỉ số của hai tần số có dạng m/n trong đó m và n là các số nguyên Tức là tỉ số giữa hai

tần số là số hữu tỷ Khi tỉ số giữa hai tần số là số hữu tỷ, thì chúng được gọi là có quan hệ sóng hài (harmonically related)

Số dương lớn nhất mà mọi tần số đều là bội số nhân được gọi là tần số cơ bản

Các tần số trong phổ của f 1 (t) là ½, 2/3 , và 7/6 (ta không xét thành phần dc) Tỉ số giữa

các tần số liên tiếp lần lượt là ¾ và 4/7 Do các số đều là hữu tỷ, ba tần số trong phổ

được gọi là có quan hệ hài nên tín hiệu f 1 (t) là tuần hoàn Số lớn nhất của các bội số ½,

2/3 và 7/6 là 1/6 Hơn nữa, 3(1/6) = ½, 4(1/6)= 2/3, và 7(1/6) = 7/6 Do đó tần số cơ bàn

là 1/6 Ba tần số trong phổ là các hài bậc ba, bậc bốn và bậc bảy Quan sát thấy không có thành phần tần số cơ bản trong chuỗi Fourier này

Tín hiệu f 2 (t) là không tuần hoàn do tỉ số giữa hai tần số trong phổ là 2/p, không phải là số hữu tỷ Tín hiệu f 3 (t) là tuần hoàn do tỉ số giữa các tần số 3 2 và 6 2 là ½, là

số hữu tỷ Do đó, tần số cơ bản là w0 =3 2, và chu kỳ

p p

3

2)23(

è

+

÷ø

öç

è

455

4sin30

3

2cos)

Nếu là tín hiệu tuần hoàn, tìm tần số cơ bản và chu kỳ Tìm các hài hiện diện trong f(t)?

Đáp số: Tín hiệu tuần hoàn với

15

2

w và chu kỳ T 0 = 15p Hài bậc năm và bậc sáu s

3.4-3 Vai trò của phổ biên độ và phổ pha trong dạng sóng

Chuỗi Fourier lượng giác của tín hiệu f(t) cho thấy tính tường minh của các thành phần sóng sin trong f(t) Ta có thể tổng hợp f(t) bằng cách cộng các sóng sin trong phổ của f(t) Để tổng hợp xung vuông tuần hoàn f(t) trong hình 3.8a, ta cộng liên tiếp từng bước các sóng hài và xem xét tính tương đồng với giữa tín hiệu có được và f(t) Chuỗi

Fourier của hàm này tìm được trong thí dụ 3.4 là:

ø

öç

13cos3

1cos22

1)(

Bắt đầu tổng hợp chỉ dùng thừa số thứ nhất trong chuỗi (n = 0), là thành phần hằng ½

(dc); đây là phép xấp xỉ thô của sóng vuông, vẽ trong hình 3.11a Bước kế ta cộng thành phần dc với hài bậc một (cơ bản), tạo tín hiệu vẽ trong hình 3.11b Ta thấy tín hiệu tổng

hợp có vẽ giống f(t) Đây là dạng không mịn của tín hiệu f(t) Tín hiệu này không có các góc cạnh của dạng tín hiệu f(t), do các góc cạnh tương ứng với thay đổi nhanh và muốn

tái tạo thì cần tạo thay đổi nhanh (tức là thành phẩn tần số cao), vẫn chưa có trong bước này HÌnh 3.11c vẽ tổng của dc, hài bậc một và bậc ba (chưa có hài bậc chẵn) Khi tiếp tục tăng số lượng sóng hài, như trong hình 3.11d (tổng đến thành phần hài bậc năm) và hình 3.11e (tổng đến hài bậc chín), góc cạnh của xung trở nên sắc nét hơn và tín hiệu

càng giống với f(t)

Tốc độ suy giảm tiệm cận của phổ biên độ

Phổ biên độ cho thấy lượng (biên độ) của nhiều thành phần tần số của f(t) Nếu f(t) là

hàm mịn, các thay đổi này ít nhanh Tổng hợp các hàm này cần có thành phần sóng sin tần số thấp chủ đạo và lượng nhỏ các sóng sin thay đổi nhanh (tần số cao) Phổ biên độ của các hàm dạng này sẽ giảm tức thời theo tần số Để tổng hợp các hàm này ta chỉ cần ít thừa số trong chuỗi Fourier để xấp xỉ tốt tín hiệu Ngược lại, tín hiệu có dạng thay đổi nhanh, thí dụ có các bước nhảy gián đoạn, chứa nhiều thay đổi nhanh, nên khi tổng hợp cần lượng tương đối lớn các thành phần tần số cao Phổ biên độ của các tín hiệu dạng này giảm chậm theo tần số, vè để tổng hợp các tín hiệu này, ta cần nhiều thừa số trong chuỗi

Fourier để xấp xỉ được tốt Sóng vuông f(t) là hàm không liên tục với bước nhảy gián đoạn, nên phổ biên độ giảm hơi nhanh, theo 1/n (xem phương trình 3.61) Mặt khác, xung