bài giảng tín hiệu hệ thống

1 Khái niệm tín hiệu và hệ thống 1.1 Định nghĩa tín hiệu vμ phân loại tín hiệu ư Định nghĩa: Tín hiệu lμ một hoặc nhiều hμm thời gian, mang thông tin vật lý vμ được truyền tải bằng một

BμI GIảNG MÔN HọC TíN HIệU Vμ Hệ THốNG

Nguyễn Doãn Phước

Bộ môn ĐKTĐ, Trường ĐHBK Hμ Nội

Mục lục

1.1 Định nghĩa tín hiệu và phân loại tín hiệu 1 1.2 Định nghĩa hệ thống và phân loại hệ thống 3

2.1 Đáp ứng thời gian và mô hình đáp ứng xung 5 2.2 Mô hình trạng thái hệ liên tục 8 2.3 Mô hình trạng thái hệ không liên tục 9

3.1 Chuỗi Fourier 10 3.2 Phép biến đổi Fourier (toán tử Fourier) 12

4.1 Đặc tính tần số và đồ thị hàm đặc tính tần 16 4.2 Đáp ứng tần số và quan hệ với đáp ứng thời gian 17 4.3 Lọc tín hiệu 19

5.1 Phép biến đổi Laplace (toán tử Laplace) 21 5.2 Hàm truyền mô tả hệ liên tục tuyến tính tham số hằng 23

6.1 Phép biến đổi Z 24 6.2 Hàm truyền mô tả hệ tuyến tính không liên tục 26

Tμi liệu tham khảo

[1] Carlson,G.E.: Signal and linear Systems Analysis with MatLab (in lần thứ 2) John Wiley & Sons Inc., 1998

[2] Sundararajan,D.: A Practical Approach to Signal and Systems John Wiley & Sons Inc., 2008 [3] Phước,N.D.&Minh,P.X.: Nhận dạng các hệ thống điều khiển (in lần thứ 3) NXB Khoa học và Kỹ thuật, 2005

[4] Tú Anh,Đ.: Slides bài giảng môn học Tín hiệu và Hệ thống, Trường ĐHBK Hà Nội, 2008

1 Khái niệm tín hiệu và hệ thống

1.1 Định nghĩa tín hiệu vμ phân loại tín hiệu

ư Định nghĩa: Tín hiệu lμ một hoặc nhiều hμm thời gian, mang thông tin vật lý vμ được

truyền tải bằng một đại lượng vật lý (khác)

Ví dụ: Tiếng nói lμ một đại lượng vật lý Tiếng nói được biến đổi thμnh dòng điện lμ

một đại lượng vật lý khác để truyền hữu tuyến đi xa Dòng điện được mô tả bằng một

hμm thời gian i(t) Như vậy hμm thời gian i(t) ở đây lμ một tín hiệu, nó mang thông

tin của tiếng nói vμ được truyền tải nhờ dòng điện

ư Phân loại: Cơ sở để phân loại tín hiệu lμ hμm thời gian x(t) mô tả nó Chúng được

phân loại thμnh từng cặp (phạm trù) riêng biệt:

1) liên tục vμ không liên tục (phân loại thông qua miền xác định t∈R) Một tín hiệu

được gọi lμ liên tục, nếu hμm x(t) mô tả nó liên tục từng đoạn, ngược lại nó được

gọi lμ tín hiệu không liên tục Tín hiệu không liên tục được mô tả bằng dãy các giá

trị {x k }, k=…,ư1,0,1,…, trong đó x k lμ giá trị (trích mẫu) của x(t) tại điểm thời gian t=kT a , tức lμ x k =x(kT a)

2) tương tự vμ rời rạc (phân loại thông qua miền giá trị x∈R) Tín hiệu tương tự lμ

tín hiệu mμ hμm x(t) mô tả nó có miền giá trị tạo thμnh từng khoảng liên thông,

ngược lại nó sẽ được gọi lμ tín hiệu rời rạc Chẳng hạn tín hiệu có giá trị chỉ lμ những số hữu tỷ lμ tín hiệu rời rạc

3) tiền định vμ ngẫu nhiên (phân loại theo sự mô tả bởi một hay nhiều hμm),

4) tuần hoμn vμ không tuần hoμn,

5) nhân quả vμ phi nhân quả (causal vμ uncausal) Tín hiệu nhân quả lμ hμm x(t) thỏa mãn x(t)=0 khi t<0, ngược lại nó sẽ được gọi lμ phi nhân quả

Việc phân chia chúng thμnh từng cặp như vậy để nói rằng một tín hiệu không thể có

các tính chất trong cùng một cặp Chẳng hạn không thể có tín hiệu vừa tương tự, vừa rời rạc, song lại có tín hiệu vừa không liên tục vμ vừa rời rạc Tín hiệu không liên tục

vμ rời rạc được gọi lμ tín hiệu số

Ngoμi ra, tín hiệu còn được đánh giá qua P x t dt( )

ư Một số tín hiệu điển hình: Tín hiệu điển hình được hiểu lμ những tín hiệu cơ bản nhất

mμ các tín hiệu khác biểu diễn được thông qua chúng

1) Tín hiệu bước nhảy đơn vị (hμm Heaviside): 1( ) 1 khi 0

0 khi 0

t t

4) Tín hiệu điều hòa: x t1( )=sin(ωt+ϕ) vμ x t2( )=cos(ωt+ϕ)

tức lμ xung dirac được xem như một ánh xạ δ: x(t) x(0)∈R từ không gian hμm

số vμo trường số thực Dấu tích phân trong (1.1) không có ý nghĩa về mặt toán

học, nó chỉ có nghĩa rằng phép tính đó có tính chất giống như một tích phân vμ

người ta gọi nó lμ hμm mở rộng δ(t) Công thức (1.1) được suy ra từ việc xấp xỉ

hμm liên tục x(t) bất kỳ thμnh tổng tuyến tính của các hμm xung vuông:

mẫu nμy thì tín hiệu không liên tục {x k }, k=…,ư1,0,1,…, thu được từ việc trích

mẫu x k =x(kT a ) của tín hiệu liên tục x(t), với T a lμ chu kỳ trích mẫu sẽ có dạng:

1.2 Định nghĩa hệ thống vμ phân loại hệ thống

ư Định nghĩa: Hệ thống lμ tập hợp các phần tử (linh kiện, thiết bị, phương pháp, thuật

toán …) được kết nối với nhau để thực hiện một nhiệm vụ cụ thể vμ có giao tiếp với môi trường bên ngoμi bằng các tín hiệu vμo vμ ra (hình 1.2)

Ví dụ: Hệ thống bình trộn dung dịch (hình 1.3) Các phần tử của chúng gồm hai bình

chứa dung dịch khác nhau, các đường ống dẫn dung dịch vμ hai van chỉnh lưu lượng

được kết nối với nhau cả về mặt cơ khí vμ cả về các định luật cân bằng Hệ thống bình trộn giao tiếp với môi trường bên ngoμi bằng các độ mở van (tín hiệu vμo) vμ nồng độ dung dịch chảy ra (tín hiệu ra)

ư Phân loại: Cơ sở để phân loại hệ thống gồm 4 yếu tố: số các tín hiệu vμoưra, cấu trúc

liên kết các phần tử bên trong, nhiệm vụ của hệ thống vμ dạng tín hiệu giao tiếp với môi trường xung quanh:

1) Số tín hiệu vμoưra: Hệ SISO, nếu hệ chỉ có một tín hiệu vμo vμ một tín hiệu ra

Tương tự lμ các hệ MIMO, MISO, SIMO

2) Cấu trúc liên kết các phần tử: Hệ kín lμ hệ có ít nhất một đường mô tả mối liên kết giữa các phần tử tạo thμnh vòng kín, ngược lại được gọi lμ hệ hở

3) Nhiệm vụ của hệ thống: Nếu ký hiệu các tín hiệu vμo lμ u=(u1,…,u m)T, các tín hiệu ra lμ y=(y1,…,y p)T thì nhiệm vụ của hệ sẽ chính lμ ánh xạ (mô hình):

:

a) Hệ tham số hằng, nếu mô hình toán T u: y của nó không thay đổi (theo thời gian vμ theo không gian Ngược lại hệ sẽ được gọi lμ không dừng, nếu mô hình của nó thay đổi theo thời gian (thường còn được gọi lμ hệ nonautonom), hoặc hệ phân bố rải, nếu mô hình của nó thay đổi theo không gian

b) Hệ tuyến tính, nếu ánh xạ T lμ tuyến tính, ngược lại thì được gọi lμ phi tuyến c) Hệ nhân quả (causal), nếu mô hình toán y=T u( ) của nó thỏa mãn:

( )( ) ( ) khi 0

y t =T uτ ≤ ≤ (chỉ phụ thuộc hiện tại vμ quá khứ của u) τ t

ngược lại thì được gọi lμ phi nhân quả (phụ thuộc cả thời tương lai của u )

d) Hệ tĩnh, nếu có y t( )=T u( ( )τ ) khi t=τ, ngược lại thì gọi lμ động

4) Tín hiệu giao tiếp bên ngoμi: Hệ liên tục, nếu tín hiệu vμoưra lμ liên tục ( ), ( ) u t y t ,

ngược lại nếu tín hiệu vμoưra lμ không liên tục { },{ }u k y k , thì được gọi lμ hệ không liên tục Hệ có tín hiệu vμo ưra vừa không liên tục, vừa rời rạc được gọi lμ hệ số

ư Mô tả hệ thống: Lμ hình thức biểu diễn ánh xạ T trong (1.3) Công việc xác định ánh xạ T được gọi lμ mô hình hóa Các hình thức mô tả cơ bản bao gồm:

1) Mô hình vμoưra (phương trình vi phân) cho hệ liên tục:

, , , n, , , , m 0

2) Mô hình vμoưra (phương trình sai phân) cho hệ không liên tục:

trong đó x=(x1,…,x n)T lμ vector các đại lượng trạng thái (bên trong) hệ

4) Mô hình trạng thái (hệ phương trình sai phân) cho hệ không liên tục:

1 ( , ) vμ k ( , )

ư Sơ đồ khối: Biểu diễn cấu trúc bên trong một hệ lớn gồm nhiều hệ con hợp thμnh,

cùng các đường nối liên kết tín hiệu vμoưra giữa các hệ con đó (hệ con còn được gọi lμ khâu hoặc khối) Ngoμi ra trong sơ đồ khối còn có các nút cộng, trừ hoặc các nút tách (chia) tín hiệu ánh xạ vμoưra Tk của từng khối được biểu diễn kèm theo bằng cách viết vμo bên trong khối đó (hình 1.4) Sơ đồ khối có ba cấu trúc cơ bản, đó lμ:

1) Hai khối mắc nối tiếp

2) Hai khối mắc song song

3) Hai khối mắc hồi tiếp

ư Bμi tập:

1) Hãy xây dựng mô hình vμoưra cho các hệ

SISO ở hình 1.5, trong đó u(t) lμ tín hiệu

vμo vμ y(t) lμ tín hiệu ra của hệ

2) Xây dựng mô hình trạng thái tương đương cho hệ có mô hình vμoưra:

y theo tín hiệu vμo u cho hệ không liên k

tục với mô hình trạng thái

2 Biểu diễn trên miền thời gian

2.1 Đáp ứng thời gian vμ mô hình đáp ứng xung

ư Hệ không liên tục: Mô hình vμoưra (1.5) của hệ tuyến tính SISO không liên tục, tham

số hằng, có dạng:

Bμi toán xác định đáp ứng của hệ (2.1) được hiểu lμ xác định dãy giá trị tín hiệu ra

{y k }, k=0,1,… từ tín hiệu vμo {u k }, k=0,1,… vμ các trạng thái đầu y0, y1, … , ynư1

cho trước Vì tín hiệu vμoưra lμ causal nên phải có uk =0, y k =0 khi k<0

2) Phương pháp gián tiếp: Do phương trình sai phân (2.1) lμ tuyến tính nên nghiệm

{y k} của nó sẽ lμ tổng của hai thμnh phần gồm nghiệm phương trình thuần nhất,

còn gọi lμ đáp ứng tự do, vμ nghiệm riêng, gọi lμ đáp ứng cưỡng bức

a) Đáp ứng tự do: Lμ nghiệm của

y +a y ư + +a yư = với giá trị đầu y0, y1, … , ynư 1 (2.2)

Ký hiệu nghiệm đó lμ y k = ⋅c z k với c lμ hằng số thì khi thay vμo (2.2), sẽ được:

1 1

Phương trình (2.3) có tên gọi lμ đa thức đặc tính của (2.2)

Giả sử (2.3) có n nghiệm z1, z2, … , z n khác nhau đôi một (chú ý rằng chúng

có thể lμ nghiệm phức, nhưng sẽ tạo thμnh các cặp liên hợp) Khi đó nghiệm

thuần nhất của (2.2) sẽ lμ:

1 1 1 2

Trường hợp phương trình đặc tính (2.3) có nghiệm bội, chẳng hạn có nghiệm z i

bội q, thì thμnh phần c z tương ứng trong (2.4) sẽ được thay bởi: i i k

Các hằng số c1, c2 , … , cn trong (2.4) cũng như c i,1 , c i,2 , … , ci,q trong (2.5)

sẽ được xác định từ n trạng thái đầu y0 , y1 , … , y nư 1 cho trước ở cả hai

trường hợp luôn có n hằng số cần phải xác định từ n giá trị đầu

b) Đáp ứng cưỡng bức: Lμ một nghiệm riêng của (2.1) ứng với trạng thái đầu bằng

0 Nghiệm riêng nμy thường được tìm bằng cách giả định trước cấu trúc của y k

theo u k đã biết nhưng với tham số bất định Sau đó ta sẽ xác định các tham số

đó bằng cách thay vμo (2.1) rồi cân bằng hệ số của hai vế Bảng sau giới thiệu

một số cấu trúc của y k với A vμ A i lμ tham số chưa biết, được chọn theo u k:

c) Nghiệm chung: Nghiệm của (2.1) tìm theo phương pháp gián tiếp sẽ lμ tổng

của nghiệm thuần nhất (2.4), tức lμ quá trình tự do vμ một nghiệm riêng (quá

trình cưỡng bức) được tìm từ b)

ư Hệ liên tục: Không mất tính tổng quát nếu ta cho rằng mô hình vμoưra (1.4) của hệ

SISO, nhân quả, liên tục, tuyến tính tham số hằng, lμ:

a y+a y +a y + … +aư y ư +y =b u b u+ + … +b u (2.6)

Bμi toán xác định đáp ứng cho hệ (2.6) được hiểu lμ tìm nghiệm y(t) của phương trình

vi phân tuyến tính tham số hằng (2.6) khi biết trước u(t), tức lμ khi biết trước vế

phải, vμ n giá trị đầu y(0),y(1)(0), ,y(nư1)(0) Do (2.6) lμ tuyến tính nên nghiệm y(t)

của nó sẽ lμ tổng của hai thμnh phần gồm nghiệm thuần nhất (có vế phải bằng 0 cùng

các giá trị đầu cho trước), còn gọi lμ đáp ứng tự do, vμ một nghiệm riêng của (2.6) có

vế phải u t( )=b u t0 ( )+b u1 (1)( )t + … +b u n ( )n( )t đã biết, được xác định từ u(t) đã cho vμ

các giá trị đầu bằng 0, gọi lμ đáp ứng cưỡng bức

1) Đáp ứng tự do: Lμ nghiệm của

Các hằng số c1, c2 , … , c n trong (2.8) cũng như c i,1 , c i,2 , … , c i,q trong (2.9) sẽ

được xác định từ n trạng thái đầu y(0),y(1)(0), ,y(nư1)(0) cho trước

2) Đáp ứng cưỡng bức: Lμ một nghiệm riêng của (2.6) ứng với các trạng thái đầu

bằng 0 vμ vế phải ( )u t khác 0 Nghiệm riêng nμy được tìm bằng cách giả định

trước cấu trúc của y(t) theo ( ) u t đã biết nhưng với tham số không biết trước Sau

đó thay vμo (2.6) rồi cân bằng hệ số của hai vế để có các tham số nμy

Bảng sau lμ một số dạng đặc biệt của y(t) được chọn theo ( ) u t cho hệ bậc 2

(n=2), trong đó A vμ A i lμ tham số chưa biết cần được xác định:

0

m i i i

1) Xét hệ không liên tục (2.1) Ký hiệu {g k }, k=0,1,… lμ tín hiệu ra khi tín hiệu vμo

có dạng dãy xung {δk}={1,0,0, …} vμ hệ đang ở trạng thái đầu bằng 0 Do mọi

dãy giá trị tín hiệu vμo {u k }, k=0,1,… bất kỳ luôn biểu diễn được dưới dạng tổng

Nói cách khác, dãy giá trị đáp ứng xung {g k }, k=0,1,… lμ một mô hình mô tả hệ

(2.1), nó cho phép ta xác định được tín hiệu ra {y k }, k=0,1,… từ tín hiệu vμo

{u k }, k=0,1,… khi hệ có trạng thái đầu bằng 0, theo công thức tích chập (2.10)

Dãy giá trị đáp ứng xung nμy còn được gọi lμ dãy giá trị hμm trọng lượng để nhấn

mạnh tính chất “mô hình” của nó

2) Tương tự ta xét hệ liên tục (2.6) vμ gọi g(t) lμ đáp ứng của nó với hμm xung dirac

δ(t) khi hệ có trạng thái đầu bằng 0 Vì mọi tín hiệu vμo u(t) bất kỳ nμo khác

luôn có dạng tổng tuyến tính (1.1) các hμm xung diract, tức lμ:

Vậy đáp ứng xung g(t) của hệ (2.6) lμ một mô hình Nó cho phép ta xác định được

tín hiệu ra y(t) từ tín hiệu vμo u(t) khi hệ có trạng thái đầu bằng 0, theo công

thức tích chập (2.11) Cũng vì lý do đó, hμm đáp ứng xung nμy còn được gọi lμ

ư Bμi tập:

1) Tìm đáp ứng cho hệ 4y kư6y kư1+3y kư2 =u k khi đầu vμo lμ dãy giá trị trích mẫu

của tín hiệu 1(t) vμ các giá trị đầu lμ y0=1, y1=ư1

2) Tìm đáp ứng cho hệ y+y(2)= ưu u(1) khi tín hiệu đầu vμo lμ u=2t+sin(3 )t vμ

các trạng thái đầu lμ y(0)=ư1, y(1)

(0)=1

2.2 Mô hình trạng thái hệ liên tục

Với ký hiệu phép tính đạo hμm

k k k

d p dt

( )

n n

SISO nhân quả, liên tục, tuyến tính, tham số hằng có mô hình vμoưra (2.6) Phương

trình trạng thái nμy có A lμ ma trận nìn, B lμ vector cột, C lμ vector hμng vμ D lμ hằng

ở hệ không dừng, các ma trận A,B,C,D trong (2.14) sẽ phụ thuộc thời gian, còn ở

hệ tham số rải các ma trận nμy sẽ phụ thuộc tham số không gian Nghiệm tổng quát của

(2.14) với giá trị đầu x(0)=x0 lμ:

( ) 0

k

At e

Hãy viết mô hình trạng thái của hệ có mô hình vμoưra y(2)= vμ tìm đáp ứng khi u

tín hiệu vμo lμ ( )u t =tsin(2 )t vμ trạng thái đầu lμ y(0)= y(1)(0)=1

2.3 Mô hình trạng thái hệ không liên tục

Tương tự như đã lμm với hệ liên tục mμ ở đó mô hình trạng thái (2.12), (2.13) được

dẫn ra từ mô hình vμoưra (2.6), thì ở đây, từ mô hình vμoưra (2.1) của hệ không liên tục,

sau khi bổ sung các hệ số b m+1= =b n= , cũng như ký hiệu 0 z y⋅ k=y k+1 chỉ phép tính

dịch trục vμ n giá trị trạng thái:

1 ,1 , ,2 , , ,

1

k k k

k n

x x

3 Chuỗi Fourier và phép biến đổi Fourier

Đây lμ điều kiện để dấu bằng cũng đúng tại t0

3) Dirichlet: Điều kiện đủ để chuỗi Fourier (3.1) ở vế phải hội tụ lμ:

Nếu khoảng ( 0 , T ) chia đ−ợc thμnh hữu hạn các khoảng con sao cho hμm x(t) lμ

liên tục, đơn điệu trong các khoảng con đó

Một cách nói khác: Nếu hμm x(t) chỉ có hữu hạn các điểm không liên tục vμ cũng

∞

= < ∞

∑

tức lμ khi đó giới hạn x(t) của chuỗi (3.1) cũng lμ hμm liên tục, khả vi, khả tích

giống nh− các phần tử của chuỗi

− Khai triển chuỗi: Các hệ số thực a k , b k , k=,0,1, … vμ hệ số phức c k , k=…,−1,0,1,… trong chuỗi (3.1) đ−ợc xác định từ x(t) theo:

gọi lμ đa hμi của x(t) Phân tích đơn hμi vμ đa hμi được sử dụng nhiều trong các

ngμnh thuộc lĩnh vực điều khiển truyền tải điện vμ điện tử công suất, cũng như phân tích các dao động điều hòa thμnh phần của tín hiệu tuần hoμn trong các quá trình vật lý âm học, nhiệt học, điện, cơ …

2) Tìm nghiệm tuần hoμn của một số phương trình vi phân đạo hμm riêng mô tả quá trình truyền sóng, truyền nhiệt

3) Lọc nhiễu với tần số xác định có trong tín hiệu tuần hoμn x(t)

4) Phân tích sự giao thoa các đáp ứng xung trong hệ tuyến tính

5) Xấp xỉ một tín hiệu x(t) tuần hoμn, liên tục từng đoạn bằng tổng hữu hạn các

Chú ý rằng khi đó, xung quanh điểm không liên tục t0 của x(t), tổng hữu hạn ở vế

phải vẫn lμ một hμm liên tục với các thμnh phần dao động có biên độ lớn Tổng

các số hạng n cμng lớn, biên độ dao động nμy cμng lớn Hiện tượng đó được gọi lμ

hiện tượng Gibb (hình 3.1)

6) Thiết kế tín hiệu tuần hoμn x(t) với dải tần số lμm

việc cho trước

7) Với tín hiệu không liên tục {x k }, k=…,ư1,0,1,…,

trong đó x k =x(kT a ) vμ T a lμ chu kỳ trích mẫu được

suy ra từ tín hiệu liên tục x(t), thì từ N giá trị trích

mẫu x0, x1,…, xNư 1 có được trong một chu kỳ T,

(NT a =T) các hệ số Fourier trong (3.1) sẽ được tính

theo:

Hình 3.1: Hiện tượng Gibb

1 1 1 0

chuỗi Fourier (3.1) đ−ợc áp dụng cho tín hiệu không liên tục Chú ý: Tên gọi rời

rạc ở đây không liên quan tới tính chất miền giá trị của ánh xạ (3.1) nh− đã định

nghĩa cho tín hiệu Để chặt chẽ, ta nên gọi nó lμ chuỗi Fourier cho tín hiệu không

liên tục thay vì chuỗi Fourier rời rạc

T k k

0

( )2

T

k k k

3.2 Phép biến đổi Fourier (toán tử Fourier)

Cho hμm x(t) ảnh Fourier của nó, ký hiệu bởi X ( jω) đ−ợc định nghĩa lμ:

− Trả lời:

1) (Điều kiện đủ để tồn tại ảnh Fourier) Hμm x(t) phải có chuẩn bậc 1, tức lμ tích

phân vô hạn thứ nhất trong (3.5) phải hội tụ, hay tín hiệu x(t) có công suất hữu

2) Nếu x(t) không liên tục tại t0 thì để ảnh ng−ợc ở công thức thứ hai trong (3.5)

cũng đúng tại t0, hμm x(t) phải có giá trị tại t0 lμ:

4) Phép biến đổi Fourier lμ nội xạ (injective): x(t)≠y(t) ⇒ F{x(t)}≠F{y(t)}

5) Nếu có ( )x t =x t( ) thì cũng có X(−jω)= X j( ω), trong đó a lμ ký hiệu chỉ số phức

lμ đóng trong không gian L1 Bởi vậy nếu hai hμm x(t), y(t) đã có ảnh Fourier

X(jω), Y(jω) thì tích chập z(t) của nó cũng có ảnh Fourier Z(jω) vμ

Chú ý: Do phép nhân x(t)⋅y(t) không đóng trong L1, nên mặc dù hai hμm x(t),

y(t) đã có ảnh X(jω), Y(jω) song có thể tích của chúng lại không có ảnh Fourier

8) Parseval: Giữa năng l−ợng tín hiệu x(t) vμ ảnh Fourier X(jω) của nó có quan hệ: