Đề thi và đáp án học sinh giỏi môn toán thầy giáo Lê Văn Khởi và Lê Văn Minh

Đề thi và đáp án học sinh giỏi môn toán thầy giáo Lê Văn Khởi và Lê Văn Minh

Đề thi học sinh giỏi lớp 12

Môn: Toán Thời gian: 180 phút

Giáo viên thực hiện: Lê Văn Minh

Lê Văn Khởi

Câu 1: (4 điểm)

a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số (C)

b) Biện luận theo k số nghiệm của phơng trình:

(1)

Câu 2: (4 điểm)

b) Tìm m để pt sau có nghiệm:

Câu 3: (5 điểm)

a) Tính:

b) Tìm thoả mãn

c) Cho các số dơng a, b, c, d thoả mãn:

Chứng minh rằng:

Câu 4: (3,5 điểm)

m, n > 0) có cùng chung tiêu điểm F1 và F2: Chứng minh rằng tiếp tuyến của (E) và (H) tại giao điểm của chúng vuông góc với nhau

Câu 5: (4,5 điểm)

Cho tứ diện đều ABCD, gọi (C) là mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD Điểm

M  (C), gọi A1, B1, C1, D1 lần lợt là hình chiếu của M trên các mặt phẳng (BCD); (ACD); (ABD); (ABC)

a) Tìm vị trí điểm M  (C) sao cho tổng:

S = MA1 + MB1 + MC1 + MD1 đạt giá trị lớn nhất, nhỏ nhất

b) Chứng minh rằng tồn tại điểm M  (C) để 4 điểm A1,

B1, C1, D1 không đồng phẳng:

đáp án Đề thi học sinh giỏi lớp 12

Môn: Toán Thời gian:

Giáo viên thực hiện: Lê Văn Minh

Lê Văn Khởi

Câu 2

(4

điểm)

Câu a: (2 điểm) Chứng minh rằng

với

Đặt:

0,25

với

0,25

0,25

Câu b: (2 điểm) Tìm m để phơng trình sau

có nghiệm:

Phơng trình (1)

0,5

Phơng trình (1) có nghiệm  Phơng trình (3)

có nghiệm

 '  0  m 2 - 1 0 

0,25

C©u 3

(5

®iÓm)

C©u a: (2 ®iÓm) TÝnh:

(I)1 ( I2) (I3)

0,5

Chøng minh: I1 = I3

§Æt:

0,25

Ta tÝnh:

§Æt:

0,25

C©u c: (1,5 ®iÓm) Cho c¸c sè d¬ng a, b, c, d

tho¶ m·n:

Chøng minh r»ng:

§Æt:

0,25

(2) ta có:

0

0,25

Suy ra PT f(x) = 0 có nhiều nhất 2 nghiệm

mà

Vậy hoặc

0,25

Câu b: (1,5 điểm) Tìm thoả mãn

Ta có:

Vậy:

0,5

0,5

Câu 4

(3,5

điểm)

chung tiêu điểm F1(-c;0); F2(c;0)

Vậy c2 = a2 - b2 (a > b > 0)

c2 = m2 + n2 (m,n > 0)

0,25

Vậy: a2 - b2 = m2 + n2  a2 - m2 = b2 + n2 0,25 Toạ độ giao điểm của (E) và (H) là nghiệm của

hệ phơng trình:

0,25

Có 4 giao điểm Giả sử 1 giao điểm :

Nhận xét:

2 biểu thức căn bằng nhau do a2 - m2 = b2 + n2

đặt: ; M (amk, bnk)

0,25

Phơng trình tiếp tuyến của elíp tại M có dạng:

0,25

Phơng trình tiếp tuyến của Hypebol tại M có

dạng:

0,25

Tiếp tuyến (d1) có véc tơ pháp tuyến

Tiếp tuyến (d2) có véc tơ pháp tuyến

0,25

Vậy 2 đờng thẳng (d1) và (d2) vuông góc với

nhau

Tơng tự 3 điểm còn lại ta cũng có các tiếp

tuyến của (H) và (E) vuông góc với nhau

0,25

Câu 5

(4,5

điểm)

Câu a: (2,5 điểm) A

Không làm mất tính tổng quát

Giả sử đờng thẳng AM cắt

mf (BCD) tại 1 điểm nằm trong

 BCD Ta có: H1 H 3 H2

VMABCD = VMABC + VMACD B I

D

+ VMADB C2

D2 H

B2

D1 C C1

B1

Mặt khác: VMABCD = VABCD + VMBCD

0,25

0,25

Gọi B là diện tích một mặt của tứ diện, h là

đ-ờng cao:

0,5

Ta có tổng S = MA1 + MB1 + MC1 + MD1 = h + 2

MA1

0,25

Vì h không đổi S lớn nhất khi MA1 lớn nhất:

MA1 lớn nhất  AM là đờng kính của (C):

0,25

Max S = h + 2MA1 = h + 2MH = 2(h + MH) - h =

4R - h

0,25

Khi AM là đờng kính:

Ta có 4 vị trí của M để S lớn nhất đó là:

AM hoặc BM, CM, DM là đờng kính của

0,25

Min S = h + 2MA1 Khi MA1 nhỏ nhất MA1 = 0  M

trùng với các đỉnh B hoặc C, hoặc D

0,25

Vậy min S = h khi M trùng với các điểm A hoặc B,

C, D

0,25

Câu b: (2 điểm) Khi AM là đờng kính của mặt

cầu (C) điểm

A1  H tâm mặt phẳng BCD Gọi H1, H2, H3 lần lợt

là tâm của các mặt ABC, ACD, ABD

I là tâm mặt cầu (C)

0,5

Ta có MD1 // IH1, MB1 // IH2, MC1 // IH3 0,5

 mf (B1D1C1) // mf (H1H2H3)

Mặt khác (H1H2H3) // (BCD)

0,5

(B1D1C1) // (BCD) vì A1  H  (BCD) nên 4

điểm A1,B1,C1,D1 không đồng phẳng

0,5

Câu 1

(4

điểm)

Câu a: (2 điểm)

Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số: (C)

+ Chiều biến thiên:

0,25

Xét dấu y' + +

0 - 2

(0;1)

0,25

Hàm số đạt cực đại tại giá trị cực đại y(0) = 1

Hàm số đạt cực tiểu tại giá trị cực tiểu y(2) =

-3

0,25

y" đổi dấu khi đi qua điểm 1  Đồ thị có

điểm uốn U (1;-1)

0,25

Bảng biến thiên:

0 2

y' + 0 - 0 +

y 1

- 3

+ Đồ thị đi qua các điểm:

-1 0 1 2 3

y -3 1 -1 -3 1

-1 1

2

-1

0,5

Câu b: (2 điểm)

Biện luận theo k số nghiệm của phơng

trình:

(1)

0,25

Đặt: (C) đồ thị vừa khảo sát ở trên

quanh điểm A (-1;1) cố định

0,25

-3

1

x y

Điều kiện cần và đủ để (d) là tiếp tuyến của (C)

là hệ có nghiệm:

0,25

0,25

* Biện luận:

(d) cắt (C) tại

3 điểm  phơng

trình (1) có 3 nghiệm

+ Khi k = 0 hoặc

hoặc thì (d) và (C) có hai

điểm chung

 phơng trình (1) có

2 nghiệm

thì (d) và (C) cắt nhau tại 1

điểm

 phơng trình (1) chỉ có 1 nghiệm duy nhất

0,25

0,25

0,25

-2 1 -1 d

x y