Giải thích 3 ck20193 nhóm 2

Đề thi Giải tích 3 – CK 20193 – nhóm ngành 2 Lời giải Nguyễn Tiến Được Câu 1

Đề thi Giải tích 3 – CK 20193 – nhóm ngành 2

Lời giải: Nguyễn Tiến Được

Câu 1:

𝑎) ∑ ( 𝑛

𝑛 + 3)

𝑛

∞

𝑛=1

𝐷ễ 𝑡ℎấ𝑦 lim

𝑛→∞( 𝑛

𝑛 + 3)

𝑛

= lim

𝑛→∞(1 + −3

𝑛 + 3)

𝑛+3

−3 .(−

3𝑛 𝑛+3)

= lim

𝑛→∞𝑒−𝑛+33𝑛 = 𝑒−3 ≠ 0

→ 𝐶ℎ𝑢ỗ𝑖 𝑝ℎâ𝑛 𝑘ỳ

𝑏)

∑

(1 − cos 1

√𝑛)

√𝑛

∞

𝑛=1

𝐷ễ 𝑡ℎấ𝑦

(1 − cos 1

√𝑛)

√𝑛 ≥ 0 ∀𝑛 ≥ 1 (1 − cos 1

√𝑛)

1

2.

1

𝑛.

1

√𝑛 =

1 2𝑛32

𝑘ℎ𝑖 𝑛 → ∞

𝑀à ∑ 1

2𝑛32

𝑙à 𝑐ℎ𝑢ỗ𝑖 𝑅𝑖𝑒𝑚𝑎𝑛𝑛 ℎộ𝑖 𝑡ụ

∞

𝑛=1

→ 𝐶ℎ𝑢ỗ𝑖 đã 𝑐ℎ𝑜 ℎộ𝑖 𝑡ụ

Câu 2

∑(−1)𝑛𝑛

𝑛2+ 2 (

4𝑥 + 1 4𝑥 − 1)

𝑛

Đặ𝑡 𝑡 =4𝑥 + 1

4𝑥 − 1 → 𝐶ℎ𝑢ỗ𝑖 𝑡𝑟ở 𝑡ℎà𝑛ℎ 𝑐ℎ𝑢ỗ𝑖 𝑙ũ𝑦 𝑡ℎừ𝑎

∞

𝑛=1

∑(−1)𝑛𝑛

𝑛2+ 2 𝑡

𝑛 𝑐ó 𝑏á𝑛 𝑘í𝑛ℎ ℎộ𝑖 𝑡ụ 𝑙à

∞

𝑛=1

lim

𝑛→∞| 𝑛

𝑛2+ 2.

(𝑛 + 1)2 + 2

𝑛 + 1 | = 1

+) 𝑇ạ𝑖 𝑡 = 1 → ∑(−1)𝑛𝑛

𝑛2+ 2

∞

𝑛=1

𝑙à 𝑐ℎ𝑢ỗ𝑖 đ𝑎𝑛 𝑑ấ𝑢 ℎộ𝑖 𝑡ụ 𝑡ℎ𝑒𝑜 𝑇𝐶 𝐿𝑒𝑖𝑏𝑛𝑖𝑡𝑧 +) 𝑇ạ𝑖 𝑡 = −1

𝑛2+ 2 𝑙à 𝑐ℎ𝑢ỗ𝑖 𝑑ươ𝑛𝑔 𝑝ℎâ𝑛 𝑘ỳ 𝑡ℎ𝑒𝑜 𝑇𝐶𝑆𝑆 𝑣ớ𝑖 𝑐ℎ𝑢ỗ𝑖 đ𝑖ề𝑢 ℎò𝑎

∞

𝑛=1

→ 𝑀𝑖ề𝑛 ℎộ𝑖 𝑡ụ − 1 < 𝑡 ≤ 1 → −1 < 4𝑥 + 1

4𝑥 − 1 ≤ 1 (𝑥 ≠

1

4)

→ {

8𝑥

4𝑥 − 1 > 0

2

4𝑥 − 1 < 0

→ {

𝑥 < 1

4 ℎ𝑜ặ𝑐 𝑥 < 0

𝑥 < 1 4 𝑉ậ𝑦 𝑚𝑖ề𝑛 ℎộ𝑖 𝑡ụ 𝑐ầ𝑛 𝑡ì𝑚 𝑙à 𝑥 ∈ (−∞;1

4) Câu 3:

𝑓(𝑥) = 𝑥

2− 1

𝑥 + 2 𝑡ℎà𝑛ℎ 𝑐ℎ𝑢ỗ𝑖 𝑙ũ𝑦 𝑡ℎừ𝑎 𝑐ủ𝑎 (𝑥 − 1)

Đặ𝑡 𝑡 = 𝑥 − 1 → 𝑓(𝑡) = 𝑡

2+ 2𝑡

𝑡 + 3 = (𝑡 + 2) (

1

1 +3𝑡 )

→ 𝑓(𝑡) = (𝑡 + 2) ∑(−1)𝑛(3

𝑡)

𝑛

𝑣ớ𝑖 |3

𝑡| < 1

∞

𝑛=0

ℎ𝑎𝑦 𝑓(𝑥) = (𝑥 + 1) ∑(−1)𝑛 3𝑛 (𝑥 − 1)−𝑛 𝑣ớ𝑖 | 1

𝑥 − 1| <

1 3

∞

𝑛=0

𝐶â𝑢 4:

𝐿{(𝑒−𝑡 − 𝑡)2} = 𝐿{𝑒−2𝑡 − 2𝑒−𝑡𝑡 + 𝑡2} = 1

𝑠 + 2−

2 (𝑠 + 1)2+ 2

𝑠3

𝐶â𝑢 5:

𝑎) 𝑦′− tan 𝑥 𝑦 = 1

cos 𝑥

𝑃𝑇 𝑐ó 𝑛𝑔ℎ𝑖ệ𝑚 𝑦 = 𝑒∫ tan 𝑥 𝑑𝑥(∫ 1

cos 𝑥𝑒

∫ − tan 𝑥𝑑𝑥𝑑𝑥 + 𝐶)

→ 𝑦 = 𝑒−ln | cos 𝑥|(∫ 1

cos 𝑥𝑒

ln | cos 𝑥|𝑑𝑥 + 𝐶) = 1

cos 𝑥(𝑥 + 𝐶) 𝑉𝑎𝑎𝑦𝑗 𝑃𝑇 đã 𝑐ℎ𝑜 𝑐ó 𝑛𝑔ℎ𝑖ệ𝑚 𝑦 = 𝑥

cos 𝑥+

𝐶 cos 𝑥 𝑏) 𝑦′′+ 4𝑦 = 3 sin 𝑥

𝑋é𝑡 𝑃𝑇 𝑡ℎ𝑢ầ𝑛 𝑛ℎấ𝑡 𝑦′′+ 4𝑦 = 0 𝑐ó 𝑃𝑇 đặ𝑐 𝑡𝑟ư𝑛𝑔 𝑘2+ 4 = 0 → 𝑘 = ±2𝑖

→ 𝑦̅ = 𝐶1cos 2𝑥 + 𝐶2sin 2𝑥

𝑓(𝑥) = 3 sin 𝑥 𝑐ó ± 𝑖 𝑘𝑜 𝑙à 𝑛𝑔ℎ𝑖ệ𝑚 𝑐ủ𝑎 𝑃𝑇 đặ𝑐 𝑡𝑟ư𝑛𝑔

→ 𝑦∗ = 𝐴 sin 𝑥 + 𝐵 cos 𝑥 → (𝑦∗)′ = 𝐴 cos 𝑥 − 𝐵 sin 𝑥

→ (𝑦∗)′′ = −𝐴 sin 𝑥 − 𝐵 cos 𝑥

𝑇ℎ𝑎𝑦 𝑣à𝑜 𝑃𝑇 𝑏𝑎𝑛 đầ𝑢 𝑡𝑎 đượ𝑐

−𝐴 sin 𝑥 − 𝐵 cos 𝑥 + 4𝐴 sin 𝑥 + 4𝐵 cos 𝑥 = 3 sin 𝑥

→ {−𝐴 + 4𝐴 = 3

−𝐵 + 4𝐵 = 0 → {

𝐴 = 1

𝐵 = 0 → 𝑦

∗ = sin 𝑥

𝑉ậ𝑦 𝑃𝑇 𝑐ó 𝑛𝑔ℎ𝑖ệ𝑚 𝑦 = 𝐶1cos 2𝑥 + 𝐶2sin 2𝑥 + sin 𝑥

𝑐) 𝑦′+1

𝑥𝑦 = 3𝑥

2𝑦3 +) 𝑦 = 0 𝑙à 𝑛𝑔ℎ𝑖ệ𝑚 𝑘ỳ 𝑑ị

+) 𝑦 ≠ 0 → 𝑦

′

𝑦3+1

𝑥.

1

𝑦2 = 3𝑥2 Đặ𝑡 1

𝑦2 = 𝑡 → 𝑡′ = −2.𝑦

′

𝑦3 → 𝑦

′

𝑦3 = 𝑡

′

−2

→ 𝑡

′

−2+

1

𝑥𝑡 = 3𝑥

2 → 𝑡′−2

𝑥𝑡 = −6𝑥

2

𝑃𝑇 𝑛à𝑦 𝑐ó 𝑛𝑔ℎ𝑖ệ𝑚 𝑡 = 𝑒∫2𝑥𝑑𝑥(∫ −6𝑥2𝑒∫ −2𝑥𝑑𝑥𝑑𝑥 + 𝐶) = 𝑥2(−6𝑥 + 𝐶)

= −6𝑥3+ 𝐶𝑥2

𝑉ậ𝑦 𝑃𝑇 𝑐ó 𝑛𝑔ℎ𝑖ệ𝑚 𝑦 = ±√ 1

−6𝑥3+ 𝐶𝑥2

𝑑) 𝑥𝑦′′− 𝑦′ + 4𝑥3𝑦 = 0 → 𝑦′′−1

𝑥𝑦

′ + 4𝑥2𝑦 = 0

𝐴𝐷 𝐶𝑇 𝐿𝑖𝑜𝑣𝑖𝑙𝑙𝑒:

𝑦2(𝑥) = 𝑦1(𝑥) ∫ 1

𝑦1(𝑥)2 𝑒

∫ −𝑝(𝑥)𝑑𝑥𝑑𝑥

→ 𝑦2(𝑥) = sin(𝑥2) ∫ 1

sin2(𝑥2) 𝑒

∫1𝑥𝑑𝑥

𝑑𝑥 = 1

2sin(𝑥

2) ∫ 1 sin2(𝑥2)𝑑(𝑥

2)

→ 𝑦2(𝑥) = 1

2sin(𝑥

2) [− cot(𝑥2) + 𝐶] = −1

2sin(𝑥

2) cot(𝑥2) +𝐶

2sin(𝑥

2) 𝑉ậ𝑦 𝑃𝑇 𝑐ó 𝑛𝑔ℎ𝑖ệ𝑚 𝑦 = 𝐶1sin(𝑥2) + 𝐶2sin(𝑥2) cot(𝑥2) +𝐶

2sin(𝑥

2) Câu 6: Lời giải Nguyễn Đức Dương

(4)− 4𝑦(3) + 6𝑦′′− 4𝑦′+ 𝑦 = 0

𝑦(0) = 0; 𝑦′(0) = 1; 𝑦′′(0) = 0; 𝑦(3)(0) = 1

𝑇á𝑐 độ𝑛𝑔 𝑡𝑜á𝑛 𝑡ử 𝐿𝑎𝑝𝑙𝑎𝑐𝑒 𝑣à𝑜 2 𝑣ế 𝑐ủ𝑎 𝑃𝑇 𝑡𝑎 đượ𝑐:

𝑠4𝑌(𝑠) − 𝑠2− 1 − 4𝑠3𝑌(𝑠) − 4 + 6𝑠2𝑌(𝑠) − 6 − 4𝑠𝑌(𝑠) + 𝑌(𝑠) = 0

2+ 4𝑠 + 7

𝑠4− 4𝑠3+ 6𝑠2− 4𝑠 + 1 =

𝑠2− 2𝑠 + 1 + 6(𝑠 − 1) + 12

(𝑠 − 1)4

→ 𝑦(𝑡) = 𝐿−1{ 1

(𝑠 − 1)2+ 6

(𝑠 − 1)3+ 12

(𝑠 − 1)4} = 𝑒𝑡𝑡 + 3𝑒𝑡𝑡2+ 2𝑒𝑡𝑡3