Đinh Ngọc Thanh Bùi Lê Trọng Thanh Huỳnh Quang Vũ GIẢI TÍCH HÀM || f ||p Bài giảng Bài giảng Giải tích hàm Đinh Ngọc Thanh, Bùi Lê Trọng Thanh, Huỳnh Quang Vũ Bản ngày 31 tháng 12 năm 2022 ii Đây là t[.]
Mêtríc
Mêtríc là khái niệm đo khoảng cách giữa các phần tử trong một không gian Một không gian mêtríc được xác định là tập hợp các phần tử cùng với một hàm khoảng cách thỏa mãn các tính chất như đã được giới thiệu trong không gian Euclid trong \( \mathbb{R}^n \) Các đặc điểm của khoảng cách trong không gian mêtríc được tổng quát hóa dựa trên những tính chất quan trọng của khoảng cách Euclid, đảm bảo tính hợp lý và nhất quán trong các phép đo khoảng cách.
1.1.1 Định nghĩa Cho𝑋 là một tập hợp không rỗng Một ánh xạ
𝑑 : 𝑋×𝑋 → R (𝑥, 𝑦) ↦→ 𝑑(𝑥, 𝑦) được gọi là một mêtríc trên 𝑋nếu các tính chất sau thỏa với mọi𝑥, 𝑦, 𝑧 ∈ 𝑋: (a) 𝑑(𝑥, 𝑦) ≥0, và𝑑(𝑥, 𝑦) =0 ⇐⇒ 𝑥 =𝑦 (xác định dương),
(c) 𝑑(𝑥, 𝑦) ≤𝑑(𝑥, 𝑧) +𝑑(𝑧, 𝑦) (bất đẳng thức tam giác).
1 Trong tiếng Anh từ metric có nghĩa là “cách đo”, có họ hàng với từ metre (mét).
Hình 1.1.2: Bất đẳng thức tam giác.
Cặp(𝑋, 𝑑)được gọi là một không gian mêtríc hay một không gian có khoảng cách Mỗi phần tử của tập 𝑋khi đó còn được gọi là một điểm
Không gian mêtríc (𝑋, 𝑑) hay được viết vắn tắt là 𝑋 khi mêtríc 𝑑 được ngầm hiểu hoặc không cần được xác định cụ thể.
1.1.3 Ví dụ(không gian EuclidR 𝑛 ) Với𝑛∈Z + , tập hợpR 𝑛 ={(𝑥 1 , 𝑥 2 , , 𝑥 𝑛 ) |𝑥 1 ∈
Không gian Euclid thực n chiều được định nghĩa bằng tổng bình phương các hiệu số giữa các tọa độ của hai điểm, cụ thể là \((x_1 - y_1)^2 + (x_2 - y_2)^2 + \ldots + (x_n - y_n)^2\) Trong đó, khi \(n = 1\), không gian Euclid trở thành không gian mêtric một chiều, với phép đo khoảng cách thông thường được thể hiện bằng giá trị tuyệt đối của hiệu hai số thực, \(d(x, y) = |x - y|\), chính là khoảng cách giữa hai số thực đó.
Đóng, mở, hội tụ, liên tục
1.2.1 Định nghĩa Cho không gian mêtríc(𝑋, 𝑑),𝑎 ∈ 𝑋và số thực𝑟 >0 Các tập
𝑆(𝑎, 𝑟) ={𝑥 ∈ 𝑋 | 𝑑(𝑥, 𝑎) =𝑟} lần lượt được gọi là quả cầu mở , quả cầu đóng , mặt cầu tâm𝑎bán kính𝑟.
Trong không gian métríc (X, d), tập mở A là tập mà mỗi điểm thuộc A đều có một quả cầu của không gian X, tâm tại điểm đó, hoàn toàn nằm trong A Điều này có nghĩa là để xác định một tập mở, ta cần đảm bảo rằng mỗi điểm trong tập đều có một quả cầu xung quanh nó nằm trọn vẹn trong tập A, giúp phân biệt rõ các tập mở trong không gian métríc Piên theo ký hiệu, A ⊂ X là tập mở nếu và chỉ nếu với mọi điểm trong A, tồn tại một quả cầu xung quanh điểm đó nằm hoàn toàn trong A, đảm bảo tính chất mở của tập trong không gian métríc.
Nếu𝑋 \𝐴là một tập mở, ta nói 𝐴là một tập đóng trong𝑋.
1.2 ĐÓNG, MỞ, HỘI TỤ, LIÊN TỤC 5
Trong không gian metric𝑋, mọi quả cầu mở đều là các tập mở, trong khi mọi quả cầu đóng và mặt cầu đều là các tập đóng Thêm vào đó, tập ∅ và chính không gian𝑋 đều vừa là tập mở vừa là tập đóng trong𝑋, phản ánh tính chất đặc biệt của các tập trong lý thuyết tập hợp số học và không gian metric.
Khi đề cập đến “mở” và “đóng” trong toán học, cần xác định rõ không gian mêtríc đang được nói đến vì cùng một tập hợp có thể là tập con của các không gian mêtríc khác nhau với các tính chất mở, đóng khác nhau Hiểu rõ điều này giúp tránh nhầm lẫn và có thể diễn đạt một cách ngắn gọn mà không cần phải nhắc lại không gian mêtríc chứa trong các câu tiếp theo.
1.2.5 Mệnh đề Cho một không gian mêtríc (𝑋, 𝑑) và (𝐴 𝑖 ) 𝑖∈𝐼 là một họ các tập con của𝑋 Ta có
(a) Nếu∀𝑖 ∈ 𝐼,𝐴 𝑖 là tập mở thìÐ
𝑖∈𝐼 𝐴 𝑖 là một tập mở, và nếu 𝐼 là tập hữu hạn thỡẹ
(b) Nếu∀𝑖 ∈ 𝐼, 𝐴 𝑖 là tập đúng thỡẹ
𝑖∈𝐼 𝐴 𝑖 là một tập đóng, và nếu𝐼 là tập hữu hạn thìÐ
Trong không gian metric (𝑋, 𝑑), tập con 𝐴 được gọi là có điểm dính tại điểm 𝑥 nếu mọi quả cầu tâm 𝑥 đều chứa ít nhất một phần tử của 𝐴 Điều này có nghĩa là điểm 𝑥 luôn gần hoặc nằm trong phạm vi tiếp cận của các phần tử của tập 𝐴 trong không gian metrík Các điểm dính đóng vai trò quan trọng trong phân tích toán học, giúp xác định sự liên kết và tính kín của tập con trong không gian metric Định nghĩa này giúp hiểu rõ hơn về cấu trúc của các tập trong không gian metric và các tính chất liên quan đến sự hội tụ của các điểm.
Bao đóng của tập hợp 𝐴, ký hiệu là 𝐴¯ hoặc cl(𝐴), là tập hợp tất cả các điểm dính của 𝐴 Một điểm 𝑥 ∈ 𝑋 được gọi là điểm trong của 𝐴 nếu tồn tại một quả cầu trong 𝑋 có tâm tại 𝑥, nằm hoàn toàn trong 𝐴 Điều này nghĩa là mọi điểm trong quả cầu đều thuộc 𝐴, đảm bảo tính liên tục và tính bao phủ của tập hợp Bao đóng giúp xác định rõ ràng hơn về vùng giới hạn và điểm kế cận của tập hợp trong không gian metric.
Trong lĩnh vực topology, phần trong của tập A, ký hiệu là A◦ hoặc int(A), là tập hợp tất cả các điểm trong của A, nơi mỗi điểm có một môi trường xung quanh hoàn toàn nằm trong A Điểm biên của tập A trong không gian topological là điểm x trong X nếu mọi quả cầu tâm x đều chứa các điểm thuộc A và các điểm không thuộc A, thể hiện tính chất điểm nằm tiếp xúc giữa A và phần ngoài của nó Các khái niệm này đóng vai trò quan trọng trong việc phân tích cấu trúc và tính chất của các tập trong không gian topo, giúp xác định rõ ràng hơn các giới hạn và giới hạn trong các không gian lệch.
𝑥 có chứa ít nhất một phần tử của 𝐴, và có chứa ít nhất một phần tử không thuộc 𝐴, nghĩa là
Tập tất cả các điểm biên của𝐴được gọi là phần biên của 𝐴, ký hiệu là𝜕𝐴.
1.2.6 Mệnh đề Cho là 𝐴một tập con của một không gian mêtríc thì
(a) 𝐴¯là một tập đóng và là tập đóng nhỏ nhất chứa𝐴,
(b) 𝐴là một tập đóng nếu và chỉ nếu𝐴 =𝐴¯,
(c) 𝐴 ◦ là một tập mở và là tập mở lớn nhất chứa trong 𝐴,
(d) 𝐴là một tập mở nếu và chỉ nếu 𝐴= 𝐴 ◦
1.2.7 Định nghĩa Cho (𝑥 𝑛 ) 𝑛≥ 1 là một dãy các phần tử của một không gian mêtríc(𝑋, 𝑑) Ta nói (𝑥 𝑛 ) 𝑛≥ 1là dãy hội tụ trong 𝑋 nếu tồn tại𝑥 ∈ 𝑋 sao cho
Trong phân tích toán học, định nghĩa về giới hạn của một dãy số thể hiện rằng với mọi ε > 0, tồn tại một số tự nhiên N sao cho với mọi n ≥ N, thì khoảng cách giữa phần tử của dãy và giới hạn nhỏ hơn ε Điều này có nghĩa là các phần tử của dãy ngày càng tiến gần tới một giá trị cố định khi n trở nên lớn hơn hoặc bằng N Nếu dãy có giới hạn, thì phần tử của nó, nếu tồn tại, là duy nhất và được gọi là giới hạn của dãy, ký hiệu là lim n→∞ xₙ = x Ta còn viết xₙ → x khi n→ ∞ để thể hiện rằng các phần tử của dãy hội tụ về giới hạn x.
Ta có thể đặc trưng các khái niệm mở, đóng, điểm dính bằng dãy như sau:
1.2.8 Mệnh đề Cho là một tập con 𝐴 trong không gian mêtríc 𝑋 và𝑥 ∈ 𝑋.
(a) 𝑥 là một điểm dính của 𝐴 nếu và chỉ nếu tồn tại dãy (𝑥 𝑛 ) 𝑛∈Z + trong 𝐴 hội tụ về𝑥.
(b) 𝐴 là một tập đóng trong 𝑋 nếu và chỉ nếu mọi dãy trong 𝐴mà hội tụ trong 𝑋thì giới hạn của nó nằm trong 𝐴.
1.2.9 Định nghĩa Cho ánh xạ 𝑓 từ không gian mêtríc(𝑋, 𝑑 𝑋 )vào không gian mêtríc(𝑌, 𝑑 𝑌 ) và𝑥 0 ∈ 𝑋 Ta nói 𝑓 là liên tục tại𝑥 0nếu
∀𝜖 >0,∃𝛿 >0,∀𝑥 ∈ 𝑋, 𝑑 𝑋 (𝑥, 𝑥 0) < 𝛿 =⇒ 𝑑 𝑌 (𝑓(𝑥), 𝑓(𝑥 0)) < 𝜖. Điều này có nghĩa là 𝑓(𝑥)gần 𝑓(𝑥 0) tùy ý miễn𝑥đủ gần𝑥 0.
Ta nói 𝑓 liên tục trên𝑋 nếu nó liên tục tại mọi điểm thuộc𝑋.
Ta có đặc trưng của sự liên tục thông qua dãy:
Định lý về liên tục của ánh xạ trong không gian mêtríc cho biết rằng một hàm số \(f\) từ không gian mêtríc \((X, d_X)\) vào không gian mêtríc \((Y, d_Y)\) là liên tục tại điểm \(x\) nếu và chỉ nếu, đối với mọi dãy \(x_n\) trong \(X\) sao cho \(x_n \to x\), thì \(f(x_n) \to f(x)\) Điều này xác định rõ điều kiện cần và đủ để hàm \(f\) duy trì tính liên tục trong môi trường mêtríc, giúp đảm bảo sự thay đổi nhỏ trong tập hợp \(X\) dẫn đến sự thay đổi nhỏ tương ứng trong ảnh của hàm số trên tập \(Y\).
Không gian mêtríc con
Dưới đây là một đặc trưng thường dùng của ánh xạ liên tục trên cả không gian.
1.2.11 Định lý Ánh xạ 𝑓 từ không gian mêtríc(𝑋, 𝑑 𝑋 )vào không gian mêtríc
(𝑌, 𝑑 𝑌 )là liên tục trên𝑋 nếu và chỉ nếu ảnh ngược qua 𝑓 của tập mở trong𝑌 là tập mở trong 𝑋.
Mệnh đề vẫn đúng nếu thay tập mở bằng tập đóng.
Trong không gian mêtríc (X, d) và tập con Y của X, ta có ánh xạ d_Y định nghĩa bởi d_Y(x, y) = d(x, y) cho mọi x, y ∈ Y Đây chính là phép hạn chế hoặc thu hẹp của mêtríc trên X xuống tập con Y, tạo ra một không gian mêtríc con (Y, d_Y) nằm trong X Không gian mêtríc con này phản ánh tính chất khoảng cách giữa các điểm trong Y dựa trên mêtríc ban đầu của X, giúp mở rộng các nghiên cứu và phân tích về cấu trúc không gian trong toán học.
Trong phần ghi chú 1.3.1, cần nhấn mạnh rằng khi 𝑌 là một không gian con của 𝑋 và 𝐴 là tập con của 𝑌, việc phân biệt giữa 𝐴 đóng hay mở trong 𝑋 với 𝐴 đóng hay mở trong 𝑌 là rất quan trọng Tương tự, đối với một dãy trong 𝑌, ta cũng cần phân biệt rõ giữa hội tụ trong 𝑋 và hội tụ trong 𝑌 để đảm bảo hiểu đúng các khái niệm liên quan đến tính chất của tập hợp và dãy trong các không gian topological.
Trong ví dụ về không gian metric Euclid, tập [0,2) là một tập con mở trong không gian này Tuy nhiên, tập [0,1) lại là mở trong không gian [0,2) nhưng không mở trong không gian R, điều này thể hiện sự khác biệt trong tính mở của các tập Dãy \(x_n = 2 - \frac{1}{n}\) nằm trong [0,2), nhưng không hội tụ trong tập này, mặc dù lại hội tụ trong không gian R, minh chứng cho các tính chất về hội tụ và mở trong các không gian metric.
Một quả cầu của𝑌 là thu hẹp của một quả cầu của𝑋:
Từ đó ta có sự liên hệ giữa tính đóng và mở trong một không gian với tính đóng và mở trong một không gian con của nó:
1.3.3 Mệnh đề Cho𝑌 là một không gian con của một không gian mêtríc 𝑋 và𝐴là một tập con của𝑌 Ta có:
(a) 𝐴là mở trong𝑌 nếu và chỉ nếu tồn tại tập𝑉 mở trong 𝑋 sao cho 𝐴 𝑉 ∩𝑌.
(b) 𝐴 là đóng trong𝑌 nếu và chỉ nếu tồn tại tập 𝐹 đóng trong 𝑋 sao cho
Dưới đây là một kết quả thường dùng:
1.3.4 Mệnh đề Thu hẹp của một ánh xạ liên tục xuống một không gian mêtríc con là một ánh xạ liên tục.
Không gian compắc và không gian đầy đủ
Không gian mêtríc (X, d) được gọi là compact khi mọi dãy trong X đều có một dãy con hội tụ trong X Điều này có nghĩa là, với bất kỳ dãy (xₙ) trong X, tồn tại một dãy con (xₙᵢ) có giới hạn nằm trong X, đảm bảo tính chất hội tụ nội tại của không gian này.
Định lý Bolzano–Weierstrass khẳng định rằng mọi khoảng đóng [a, b] trong đường thẳng Euclid đều là tập compact, tức là mọi tập hợp con trong đó có tính chất giới hạn và đóng Điều này có nghĩa rằng bất kỳ dãy số thực bị chặn nào cũng luôn có một dãy con hội tụ, góp phần quan trọng trong phân tích thực Định lý này giúp hiểu rõ hơn về tính chất của các tập compact và các dãy số bị chặn trong không gian Euclid, là nền tảng cho nhiều kết quả khác trong giải tích.
Lý luận chứng minh Định lý Bolzano–Weierstrass thường dựa trên hai phương pháp chính: chia đoạn chứa dãy thành hai phần bằng nhau hoặc xây dựng dãy con đơn điệu Các phương pháp này khai thác tính tồn tại của chặn trên nhỏ nhất (supremum) của tập hợp số thực, đảm bảo rằng mọi tập con không rỗng bị chặn trên của tập R đều có chặn trên nhỏ nhất Mặc dù các lý luận này khá khéo léo, nhưng trong môn học này, chúng tôi không trình bày chi tiết để tập trung vào các nội dung chính khác.
1.4.3 Định nghĩa Dãy(𝑥 𝑛 ) 𝑛≥ 1trong𝑋 là dãy Cauchy nếu
Vậy dãy Cauchy là dãy mà phần tử gần nhau tùy ý miễn chỉ số đủ lớn.
1.4.4 Mệnh đề Mọi dãy hội tụ đều là dãy Cauchy.
Chứng minh Giả sử dãy(𝑥 𝑛 ) 𝑛 hội tụ về𝑥 Bất đẳng thức tam giác cho
Như thế khi cả𝑚và𝑛đủ lớn thì𝑑(𝑥 𝑚 , 𝑥 𝑛 )nhỏ tùy ý □
2 Trong tiếng Anh từ compact có nghĩa là chặt, gọn…
1.4 KHÔNG GIAN COMPẮC VÀ KHÔNG GIAN ĐẦY ĐỦ 9
Ngược lại không phải dãy Cauchy nào cũng hội tụ.
1.4.5 Ví dụ TrongRthì dãy 1 𝑛 hội tụ về0nên là dãy Cauchy Nhưng nếu xét trongR\ {0}thì dãy này không hội tụ.
Dãy các số hữu tỉ(1+ 1 𝑛 ) 𝑛 hội tụ về số vô tỉ𝑒trongR Như vậy dãy này là dãy Cauchy trongQnhưng không hội tụ trongQ.
Ta có khái niệm không gian đầy đủ:
1.4.6 Định nghĩa Ta nói không gian mêtríc (𝑋, 𝑑) là đầy đủ khi mọi dãy
Cauchy trong 𝑋 đều hội tụ trong𝑋.
Một tính chất căn bản và rất quan trọng của tập hợp số thực là tính đầy đủ, cơ sở cho nhiều kết quả chính của môn này:
1.4.7 Định lý(Rlà đầy đủ) Tập hợpRtất cả các số thực với mêtríc Euclid là một không gian mêtríc đầy đủ.
Chứng minh Một dãy Cauchy thì phải bị chặn (1.5.4) Một dãy bị chặn các số thực thì có một dãy con hội tụ, theo Định lý Bolzano–Weierstrass (1.4.2).
Một dãy Cauchy mà có một dãy con hội tụ thì phải hội tụ (1.5.5) □
Từ tính đầy đủ củaRta suy ra được:
1.4.8 Mệnh đề Không gian EuclidR 𝑛 là đầy đủ.
Chứng minh Giả sử(𝑥 𝑘 ) 𝑘∈Z + là một dãy Cauchy trongR 𝑛 Viết𝑥 𝑘 =(𝑥 𝑘, 1 , 𝑥 𝑘, 2 , , 𝑥 𝑘,𝑛 ). Cho𝜖 > 0, tồn tại𝑁 ∈ Z + sao cho khi 𝑘 > 𝑁, 𝑙 > 𝑁 thì 𝑑(𝑥 𝑘 , 𝑥 𝑙 ) < 𝜖 Với mỗi1 ≤𝑖 ≤ 𝑛thì với khoảng cách Euclid ta có
Như vậy dãy(𝑥 𝑘,𝑖 ) 𝑘∈Z + là một dãy Cauchy các số thực, do đó hội tụ vì tập hợp các số thực là đầy đủ Đặt𝑎 𝑖 =lim 𝑘→∞ 𝑥 𝑘,𝑖 và đặt𝑎 = (𝑎 1 , 𝑎 2 , , 𝑎 𝑛 ) ∈ R 𝑛
Với mỗi 𝑖 có 𝑁 𝑖 ∈ Z + sao cho khi 𝑘 > 𝑁 𝑖 thì |𝑥 𝑘,𝑖 − 𝑎 𝑖 | < 𝜖, do đó khi
𝑛. Điều này dẫn tới kết luậnlim 𝑘→∞ 𝑥 𝑘 =𝑎 Vậy dãy (𝑥 𝑘 ) 𝑘∈Z + hội tụ □
Các đặc điểm của khoảng cách Euclid đóng vai trò quan trọng trong chứng minh này, cho thấy rằng các dãy tọa độ của một dãy Cauchy cũng là các dãy Cauchy và do đó hội tụ trong không gian đầy đủ Tính chất của khoảng cách Euclid đảm bảo rằng hội tụ theo tọa độ kéo theo hội tụ của dãy ban đầu Đây là một nguyên lý quan trọng được áp dụng trong các chương sau của nội dung.
1.4.9 Ví dụ (không gian EuclidC 𝑛 ) Về mặt tập hợp thì C = {(𝑎, 𝑏) | 𝑎 ∈
Các phần tử của tập hợp C, gồm tất cả các số phức dạng 𝑎 + 𝑏𝑖 với 𝑎, 𝑏 thuộc ℝ, được gọi là số phức và ký hiệu là 𝑎+𝑏𝑖, trong đó 𝑖 là đơn vị ảo Phép cộng số phức được định nghĩa theo công thức (𝑎+𝑏𝑖) + (𝑐+𝑑𝑖) = (𝑎+𝑐) + (𝑏+𝑑)𝑖, tương đương với phép cộng của các vector trong không gian Euclid ℝ² Ngoài ra, các số phức còn có một độ lớn hay môđun, được tính bởi |𝑎+𝑏𝑖| = √(𝑎² + 𝑏²), thể hiện độ dài của số phức trong mặt phẳng phức.
𝑎 2 +𝑏 2 Khoảng cách giữa hai số phức
(𝑎 1−𝑎 2) 2 + (𝑏 1−𝑏 2) 2 , chính bằng khoảng cách giữa (𝑎 1 , 𝑏 1) và (𝑎 2 , 𝑏 2) trong không gian Euclid thựcR 2 Vì vậy nếu chỉ quan tâm tới khía cạnh không gian mêtríc thìCtrùng vớiR 2
Với𝑛 ∈ Z + thì tập hợpC 𝑛 = {(𝑥 1 , 𝑥 2 , , 𝑥 𝑛 ) | 𝑥 1 ∈ C, 𝑥 2 ∈ C, , 𝑥 𝑛 ∈ C} với mêtric
Không gian Euclid phức 𝑛-chiều được định nghĩa dựa trên tổng bình phương các khoảng cách giữa các phần tử, như |𝑥₁−𝑦₁|² + |𝑥₂−𝑦₂|² + + |𝑥ₙ−𝑦ₙ|² Khi đồng nhất tập hợp Cₙ với tập hợp ℝ²ⁿ, thì mêtríc Euclid của Cₙ chính là mêtríc Euclid của ℝ²ⁿ Do đó, nếu chỉ tập trung vào khía cạnh không gian mêtríc, ta có thể coi Cₙ trùng với ℝ²ⁿ, mang lại những hiểu biết về hình học và tính chất của không gian Euclid phức 𝑛-chiều một cách rõ nét.
Vì về mặt mêtríc thìC 𝑛 trùng vớiR 2 𝑛 nên ta có ngay:
1.4.10 Mệnh đề Không gian EuclidC 𝑛 là đầy đủ.
1.4.11 Định nghĩa Tập 𝐴 ⊂ 𝑋 được gọi là bị chặn nếu 𝐴được chứa trong một quả cầu nào đó của𝑋, tức là
1.4.12 Mệnh đề(compắc thì đóng và bị chặn) Cho𝑌 là một tập con của không gian mêtríc 𝑋 Nếu𝑌 là compắc thì𝑌 đóng trong𝑋 và bị chặn.
Chứng minh Giả sử𝑌 là compắc Giả sử dãy(𝑥 𝑛 ) 𝑛∈Z + trong𝑌 hội tụ về𝑥 ∈ 𝑋.
Vì𝑌 compắc nên dãy(𝑥 𝑛 ) 𝑛∈Z + có một dãy con(𝑥 𝑛 𝑘 ) 𝑘 ∈Z + hội tụ về một giới hạn
Không gian con của một tập được gọi là không gian đầy đủ nếu mọi dãy hội tụ trong không gian đó đều có giới hạn nằm trong chính không gian đó, đảm bảo tính chất đóng của tập Nếu tập Y không bị chặn, thì tồn tại điểm a bất kỳ trong X và các phần tử trong Y cách xa điểm a hơn một số thực r nào đó, chứng tỏ Y không bị giới hạn Điều này nhấn mạnh tầm quan trọng của tính chất đóng để đảm bảo mọi giới hạn hội tụ đều nằm trong tập, góp phần vào khả năng xử lý các bài toán về hội tụ và tính đầy đủ trong không gian metric.
𝑥 2 ∈𝑌 sao cho𝑑(𝑎, 𝑥 2) > 𝑑(𝑎, 𝑥 1) +1, …, có𝑥 𝑛+ 1 ∈𝑌 sao cho𝑑(𝑎, 𝑥 𝑛+ 1) > 𝑑(𝑎, 𝑥 𝑛 ) +1với mọi𝑛 ≥ 1 Như vậy ta được một dãy(𝑥 𝑛 ) 𝑛∈Z + có tính chất với mọi𝑛≥ 1, 𝑘 ≥ 1, thì
Một dãy con của dãy (𝑥𝑛)𝑛∈Z+ không thể là dãy Cauchy vì các phần tử của dãy con đó không thể tiến gần nhau tùy ý, dẫn đến việc dãy con này không thể hội tụ Điều này phản ánh rằng, nếu một dãy con không hội tụ hoặc không có tính chất Cauchy, thì dãy ban đầu không thể đạt tính chất hội tụ hoặc compact như giả thiết đề ra Do đó, giả thiết rằng Y là compact bị mâu thuẫn, kết luận rằng dãy con không thể là dãy Cauchy, đảm bảo tính liên kết trong lý thuyết phân tích.maths
Từ Định lý Bolzano–Weierstrass ta suy ra đặc trưng quan trọng sau của tập compắc trong không gian Euclid:
Trong không gian Euclid ℝⁿ hay ℂⁿ, một tập hợp được gọi là compact khi và chỉ khi nó vừa đóng vừa bị chặn Định lý này xác nhận rằng tính chất compact của tập con trong không gian Euclid tương ứng chính xác với đặc điểm đóng và bị chặn của nó Đây là đặc điểm quan trọng trong phân tích và hình học, giúp xác định những tập rút gọn và có tính ổn định cao trong không gian Euclid.
Chứng minh Trước hết ta chứng minh một hình hộp𝐼 = [𝑎 1 , 𝑏 1] × [𝑎 2 , 𝑏 2] × ã ã ã ì [𝑎 𝑛 , 𝑏 𝑛 ] là compắc Giả sử (𝑥 𝑘 ) 𝑛∈Z + là một dóy Cauchy trong 𝐼 Viết
Dãy (𝑥 𝑘) có dạng (𝑥 𝑘,1, 𝑥 𝑘,2, , 𝑥 𝑘,𝑛) với mỗi tọa độ nằm trong các đoạn [𝑎 𝑖, 𝑏 𝑖], và theo Định lý Bolzano–Weierstrass, tồn tại các dãy con (𝑘 𝑗 1) của (𝑘) sao cho (𝑥 𝑘 𝑗 1, 1) hội tụ về 𝑦 1 trong [𝑎 1, 𝑏 1] Tiếp theo, trong tọa độ thứ hai, từ dãy con (𝑘 𝑗 1), ta chọn dãy con (𝑘 𝑗 2) sao cho (𝑥 𝑘 𝑗 2, 2) hội tụ về 𝑦 2 trong [𝑎 2, 𝑏 2] Lưu ý rằng, (𝑥 𝑘 𝑗 2, 1) là một dãy con của (𝑥 𝑘 𝑗 1, 1), nên nó cũng hội tụ về 𝑦 1 Quá trình này lặp lại cho tất cả các tọa độ, tạo thành các dãy con (𝑘 𝑗 𝑛) của (𝑘), đảm bảo rằng các phần tử (𝑥 𝑘 𝑗 𝑛, 𝑖) hội tụ về các điểm 𝑦 𝑖 trong [𝑎 𝑖, 𝑏 𝑖], giúp xác định sự hội tụ của tất cả các thành phần trong dãy.
Như lý luận trong chứng minh của 1.4.8, do đặc điểm của khoảng cách
Euclid, dãy (𝑥 𝑘 𝑗𝑛 ) 𝑗 𝑛 ∈Z + hội tụ về 𝑦 = (𝑦 1 , 𝑦 2 , , 𝑦 𝑛 ) ∈ 𝐼 Ta đã chứng minh xong𝐼là compắc.
Xin lưu ý rằng nếu ∅ ≠ 𝐴 ⊂ ℝⁿ là tập đóng và bị chặn, thì tập 𝐴 có thể nằm hoàn toàn trong một hình hộp 𝐼 Do 𝐼 là tập compact và 𝐴 là tập con đóng của ℝⁿ, điều này giúp xác định tính chất chặt chẽ của 𝐴 trong không gian Euclid, từ đó hỗ trợ các chứng minh liên quan đến tính đóng, bị chặn và tính compact của tập trong phân tích toán học.
Các mệnh đề liên quan đến mối quan hệ giữa tính chất compắc, đóng, và đầy đủ là những phần quan trọng trong lý luận của môn Toán, đặc biệt trong Giải tích Những mệnh đề này thường xuyên được sử dụng mà ít khi cần nhấn mạnh nguồn hoặc giải thích lại, đòi hỏi người học không chỉ thuộc lòng mà còn phải tự làm các lý luận đơn giản để giải thích chúng một cách rõ ràng Hiểu rõ các mệnh đề này giúp nắm vững kiến thức về tính chất của các tập hợp trong Giải tích và nâng cao khả năng tư duy logic trong môn học.
1.4.14 Mệnh đề(compắc thì đầy đủ) Cho𝑌 là một tập con của không gian mêtríc𝑋 Nếu𝑌 là compắc thì𝑌 là đầy đủ.
1.4.15 Mệnh đề(đóng trong compắc thì compắc) Cho𝑌 là một tập con của không gian mêtríc𝑋 Nếu𝑌 là đóng trong 𝑋 và𝑋là compắc thì𝑌 là compắc.
1.4.16 Mệnh đề (đầy đủ thì đóng) Cho𝑌 là một tập con của không gian mêtríc𝑋 Nếu𝑌 là đầy đủ thì𝑌 là đóng trong𝑋.
Trong không gian metrik 𝑋, mệnh đề "Nếu tập con 𝑌 của 𝑋 là đóng trong 𝑋 và 𝑋 là đầy đủ, thì 𝑌 cũng là đầy đủ" đóng vai trò quan trọng trong việc hiểu về tính chất của các tập con trong không gian đầy đủ Điều này giúp xác định các tập con đóng trong không gian đầy đủ vẫn duy trì tính đầy đủ, góp phần vào việc phân tích cấu trúc của không gian metrik Những nguyên lý này là nền tảng quan trọng trong lý thuyết không gian đầy đủ và có ứng dụng rộng rãi trong các lĩnh vực liên quan đến phân tích và topology.
Ba kết quả lớn cho hàm liên tục trên không gian compắc:
1.4.18 Định lý(ảnh liên tục của không gian compắc là compắc) Cho 𝑓 là một ánh xạ liên tục giữa hai không gian mêtríc𝑋 và𝑌 Nếu 𝑋 là compắc thì
1.4.19 Hệ quả(hàm thực trên không gian compắc thì có cực trị) Nếu 𝑓 là một ánh xạ liên tục từ một không gian mêtríc compắc𝑋vào không gian Euclid
Rthì 𝑓 đạt giá trị lớn nhất và nhỏ nhất trên𝑋, nghĩa là tồn tại𝑎, 𝑏 ∈ 𝑋 sao cho 𝑓(𝑎) =max𝑓(𝑋) và 𝑓(𝑏) =min 𝑓(𝑋).
Trong không gian metric, định lý liên tục trên không gian compắc cho biết rằng nếu một hàm số liên tục từ không gian mêtríc X sang không gian Y và X là không gian compắc, thì hàm số đó cũng liên tục đều trên X Điều này có nghĩa là, đối với mọi điểm trong X, sự biến thiên của hàm không phụ thuộc vào điểm đó mà phụ thuộc vào khoảng cách, giúp đảm bảo tính liên tục mạnh mẽ và ổn định của hàm số trên không gian compắc.
Bài tập
Trong không gian mêtríc (X, d), một dãy (xₙ) n∈Z⁺ hội tụ về điểm x nếu và chỉ nếu dãy các khoảng cách d(xₙ, x) cũng hội tụ về 0 Nói cách khác, xₙ hội tụ về x khi và chỉ khi khoảng cách từ xₙ đến x tiến dần về 0, thể hiện rõ qua ký hiệu mathematical.
1.5.2 Chứng minh giới hạn của một dãy nếu có thì là duy nhất.
1.5.3 Chứng tỏ một dãy hội tụ thì mọi dãy con của dãy đó cũng hội tụ về cùng một giới hạn.
1.5.4 ✓ Chứng minh một dãy Cauchy thì phải bị chặn (nghĩa là tập giá trị của dãy là một tập bị chặn).
1.5.5 ✓ Chứng minh một dãy Cauchy có dãy con hội tụ thì phải hội tụ.
1.5.6 ✓ Chứng minh các mệnh đề từ 1.4.14 tới 1.4.17.
1.5.7 Giải thích vì sao trong không gian Euclid R 𝑛 thì quả cầu đóng 𝐵 ′ ( 𝑎, 𝑟) và mặt cầu 𝑆 (𝑎, 𝑟) là compắc.
1.5.8 Cho 𝐸 là một không gian mêtríc compắc và 𝑓 là một song ánh liên tục từ 𝐸 vào một không gian mêtríc 𝐹 Chứng minh 𝑓 − 1 : 𝐹 → 𝐸 là một ánh xạ liên tục.
1.5.9 Cho 𝐸 là một không gian mêtríc, 𝑥 ∈ 𝐸, và 𝑀 ⊂ 𝐸 Khoảng cách từ điểm 𝑥 tới tập 𝑀 được định nghĩa là
Chứng tỏ 𝑑 (𝑥, 𝑀) = 0 khi và chỉ khi 𝑥 là một điểm dính của 𝑀
1.5.10 Cho ( 𝑥 𝑛 ) 𝑛≥ 1 là một dãy trong một không gian mêtríc 𝑋 và 𝑥 trong 𝑋 Chứng minh hai điều sau đây tương đương:
𝑘≥ 1 của (𝑥 𝑛 ) hội tụ về 𝑥 trong 𝑋 (b) Tập {𝑛 ≥ 1 | 𝑥 𝑛 ∈ 𝐵(𝑥, 𝑟 )} là một tập vô hạn với mọi số thực 𝑟 > 0.
1.5.11 (Định lý ánh xạ co) Cho (𝐸, 𝑑) là một không gian mêtríc đầy đủ và 𝑓 là một ánh xạ từ 𝐸 vào 𝐸 Giả sử ∃𝛼 ∈ ( 0 , 1 ) sao cho ∀𝑥, 𝑦 ∈ 𝐸,
Ta nói 𝑓 là một ánh xạ co với hằng số co 𝛼 trên 𝐸 Khi đó:
(b) Với 𝑎 ∈ 𝐸 bất kì, dãy (𝑥 𝑛 ) 𝑛≥ 1 xác định bởi
𝑥 𝑛+ 1 = 𝑓 (𝑥 𝑛 ), 𝑛 ≥ 1 , là một dãy Cauchy trong 𝐸
(c) Dãy (𝑥 𝑛 ) 𝑛≥ 1 trên hội tụ về 𝑥 ∈ 𝐸 thỏa 𝑓 ( 𝑥) = 𝑥 Điểm 𝑥 sao cho 𝑓 (𝑥) = 𝑥 là duy nhất và được gọi là điểm bất động của 𝑓
Trong không gian đầy đủ, ánh xạ co luôn có điểm bất động, điều này được gọi là Định lý điểm bất động Banach Định lý này khẳng định rằng mọi ánh xạ co trong không gian toàn phần đều đảm bảo sự tồn tại của ít nhất một điểm mà tại đó, điểm đó chính là điểm bất động của ánh xạ Đây là một kết quả quan trọng trong lĩnh vực phân tích toán học, có nhiều ứng dụng trong các lĩnh vực khác nhau như tối ưu hóa và lý thuyết trò chơi.
Trong không gian métríc, mọi không gian đều có cấu hình đầy đủ hóa, đảm bảo rằng mọi tập hợp con có thể mở rộng thành không gian đầy đủ Đặc biệt, kết quả quan trọng là mỗi không gian metric đều có một đầy đủ hóa, từ đó giúp mở rộng các phân tích và ứng dụng trong lý thuyết không gian Hình mẫu cho tính đầy đủ hóa này là quá trình đầy đủ hóa của không gian Q (tập hợp số ration), nhằm đạt được không gian R (tập hợp số thực), qua đó đảm bảo tính chất đầy đủ của không gian metric.
Cho 𝑋 là một không gian mêtríc Nhắc lại một tập con 𝐴 của 𝑋 được gọi là dày đặc hay trù mật trong 𝑋 nếu 𝐴 = 𝑋.
Trong bài viết, chúng tôi xem xét tập hợp 𝑌 gồm tất cả các dãy Cauchy trong không gian 𝑋 Một quan hệ tương đồng được định nghĩa trên 𝑌, cụ thể là hai dãy 𝑥ₙ và 𝑦ₙ được liên kết với nhau nếu giới hạn của khoảng cách d(𝑥ₙ, 𝑦ₙ) khi n tiến tới vô cùng bằng 0 Quan hệ này là một quan hệ tương đương trên 𝑌, và tập hợp 𝑋 được định nghĩa là tập hợp tất cả các lớp tương đương của 𝑌 theo quan hệ này, giúp phân chia các dãy Cauchy thành các nhóm tương đương trong không gian.
(b) Trên 𝑋 đặt 𝑑 ([(𝑥 𝑛 )], [( 𝑦 𝑛 )]) = lim 𝑛→∞ 𝑑( 𝑥 𝑛 , 𝑦 𝑛 ) Đây là một định nghĩa tốt
3 và là một mêtríc trên 𝑋.
(c) Với mêtríc trên thì 𝑋 là một không gian mêtríc đầy đủ.
(d) Ánh xạ 𝑥 ↦→ (𝑥, 𝑥, , 𝑥, ) từ 𝑋 vào 𝑋 là một đơn ánh và ảnh của nó dày đặc trong 𝑋
Không gian mêtríc 𝑋 trên được gọi là không gian đầy đủ hóa của 𝑋
Thuật ngữ “định nghĩa tốt” (tiếng Anh là well-defined) đề cập đến việc trong một định nghĩa, việc chọn phần tử đại diện của lớp tương đương không ảnh hưởng đến kết quả cuối cùng Điều này có nghĩa là định nghĩa ấy áp dụng cho toàn bộ lớp tương đương chứ không chỉ cho phần tử cụ thể Một đối tượng toán học được gọi là “định nghĩa tốt” khi nó đã được xác định rõ ràng và không gây nhầm lẫn Đây là một cách diễn đạt truyền thống trong toán học nhằm nhấn mạnh tính rõ ràng và đảm bảo của các định nghĩa.
Chương 2 Không gian định chuẩn
Không gian định chuẩn là phát triển tương tự của không gian Euclid, là không gian vectơ có chiều dài vectơ.
Không gian vectơ
Trong hình học và vật lý hai và ba chiều, vectơ là các đối tượng hình học thể hiện hướng và độ lớn, thường được hiểu là các đoạn thẳng có hướng Tuy nhiên, trong toán học, khái niệm vectơ tổng quát không yêu cầu phải xác định điểm đầu, mang ý nghĩa mở rộng hơn về mặt định nghĩa Một không gian vectơ là tập hợp các phần tử gọi là vectơ, cùng với phép cộng hai vectơ và phép nhân một vectơ với phần tử của trường, đều thỏa mãn các tính chất về tính chất kết hợp, phân phối và tồn tại phần tử đơn vị Các khái niệm này giúp mô tả các phép toán trên vectơ một cách logic và linh hoạt trong nhiều lĩnh vực khoa học.
Dưới đây ta nhắc lại nhanh một một khái niệm thường dùng, chi tiết có trong môn Đại số tuyến tính.
Một không gian vectơ , còn gọi là một không gian tuyến tính , trên trường đại sốFlà một tập hợp không rỗng 1 𝑋 với ánh xạ
(phép toán+này nói chung không liên quan tới phép toán cộng trên trường số thực, cũng được chỉ bằng cùng kí hiệu), và ánh xạ ã:Fì𝑋 → 𝑋
1 Một số tài liệu không loại trừ tập rỗng Ta dùng yêu cầu này để tránh những phiền toái do tập rỗng gây ra, như trong khái niệm chiều.
(phộp toỏnãnày núi chung khụng liờn quan tới phộp toỏn nhõn trờn trường số thực), thỏa các tính chất:
Trong nhóm đại số giao hoán (𝑋, +), tồn tại phần tử thường gọi là 0 (tương tự như số thực 0) và thỏa mãn điều kiện ∀𝑥 ∈ 𝑋, 0 + 𝑥 = 𝑥 Mỗi phần tử 𝑥 trong nhóm còn có phần tử đối nghịch −𝑥 sao cho 𝑥 + (−𝑥) = 0, đảm bảo tính đồng nhất của phép cộng Phép cộng trong nhóm này còn thỏa mãn tính kết hợp, góp phần tạo nên cấu trúc đại số giao hoán rõ ràng và linh hoạt.
(c) Phộp toỏn + và ã cú tớnh phõn phối với nhau:∀𝛼 ∈ F,∀𝛽 ∈ F,∀𝑥 ∈
Một phần tử của một khụng gian vectơ cũn được gọi là một vectơ Kớ hiệuã thường được lược bỏ, ta thường viết𝛼𝑥 thay vỡ𝛼ã𝑥.
Tập con Y của X được gọi là một không gian vectơ con của X khi Y, với các phép toán vectơ được thu hẹp từ X, cũng là một không gian vectơ Điều này có nghĩa là Y là một không gian vectơ con của X nếu và chỉ khi, với mọi α và β thuộc trường F, và mọi x, y thuộc Y, các phép cộng và nhân vô hướng trong Y tuân thủ các đặc tính của không gian vectơ.
𝑌, 𝛼𝑥+𝛽𝑦 ∈𝑌, tức là𝑌 kín với các phép toán của không gian vectơ𝑋. Cho 𝑆 ⊂ 𝑋 Tập hợp tất cả các tổ hợp tuyến tính của hữu hạn phần tử thuộc𝑆, tức{Í 𝑛
𝑖 =1 𝛼 𝑖 𝑥 𝑖 |𝛼 𝑖 ∈F, 𝑥 𝑖 ∈𝑆, 𝑛 ∈Z + }, là một không gian vectơ con của𝑋, được gọi là không gian vectơ con sinh bởi𝑆.
Các phần tử của tập hợp \(S\) được gọi là độc lập tuyến tính khi không tồn tại phần tử nào khác trong tập hợp này có thể biểu diễn dưới dạng tổ hợp tuyến tính hữu hạn của các phần tử còn lại Điều này có nghĩa là, trong tập hợp \(S\), không có phần tử nào có thể được viết bằng nguồn gốc của các phần tử khác trong cùng tập hợp, đảm bảo tính độc lập tuyến tính của các phần tử đó Hiểu rõ đặc điểm này giúp xác định các bộ phần tử độc lập tuyến tính trong các lĩnh vực toán học và xác suất, đóng vai trò quan trọng trong việc phân tích không gian vector và tối ưu hoá.
Trong không gian vector, nếu tổng hợp các phần tử với hệ số Alpha mà bằng không chỉ khi tất cả các hệ số đó bằng không, tức là các phần tử của tập S độc lập tuyến tính, thì S cùng với một thứ tự toàn phần trên S được gọi là cơ sở vector hoặc cơ sở tuyến tính của không gian X.
Một không gian vectơ được gọi là hữu hạn chiều khi nó có một cơ sở vectơ gồm một tập hợp hữu hạn các vectơ, đảm bảo mọi vectơ trong không gian có thể biểu diễn dưới dạng tổ hợp tuyến tính của các vectơ cơ sở này Ngược lại, nếu không gian vectơ không có cơ sở hữu hạn, thì đó là một không gian vectơ vô hạn chiều Khái niệm này giúp phân biệt rõ ràng các loại không gian vectơ và đóng vai trò quan trọng trong lý thuyết véc tơ tuyến tính cũng như các ứng dụng trong toán học và khoa học dữ liệu.
Không gian vectơ có thể bao gồm một tập hợp chứa một phần tử duy nhất là {0}, đồng thời có cấu trúc hiển nhiên của một không gian vectơ Chính vì vậy, chúng tôi định nghĩa đây là một không gian vectơ có số chiều bằng 0, phản ánh tính chất đặc biệt của không gian này trong lý thuyết đại số tuyến tính.
2.1.1 Ví dụ Tập hợpR 𝑛 ={(𝑥 1 , 𝑥 2 , , 𝑥 𝑛 ) | 𝑥 𝑖 ∈ R,1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛} có một cấu
Không gian định chuẩn
Không gian vectơ này có một cơ sở vectơ gồm tập hợp các vectơ chuẩn làm các đơn vị cơ sở (e₁, e₂, , eₙ), trong đó mỗi eᵢ có thành phần 1 tại vị trí thứ i và 0 ở các vị trí khác Đây chính là cấu trúc không gian vectơ chuẩn tắc của Rⁿ, và khi đề cập đến Rⁿ mà không có thêm thông tin khác, ta thường mặc định sử dụng cấu trúc chuẩn tắc này nhằm đảm bảo tính nhất quán và tối ưu trong các phép tính.
2.1.2 Ví dụ TrênCcó một phép nhân được định nghĩa bởi
Một hệ quả quan trọng của phép phộp nhân trong số phức là \( i^2 = -1 \), cho thấy rằng số phức có dạng \( z = a + bi \), và số phức liên hợp của \( z \) là \( \bar{z} = a - bi \) Các phép toán trên số phức, như cộng, trừ, nhân, chia, đều tuân theo các quy tắc của đại số, và tập hợp các số phức cùng với các phép toán này hình thành một trường số phức, tạo thành một hệ thống đại số phong phú Trên không gian \( \mathbb{C}^n \), số phức còn cấu thành một không gian vectơ trên trường \( \mathbb{C} \), giúp mở rộng các khả năng phân tích và xử lý dữ liệu trong nhiều lĩnh vực toán học và kỹ thuật.
Trong không gian vectơ 𝑪ⁿ, một cơ sở vectơ bao gồm tập hợp có thứ tự (𝑒₁, 𝑒₂, , 𝑒ₙ), trong đó mỗi vectơ 𝑒ᵢ có thành phần 1 tại vị trí thứ 𝑖 và 0 ở các vị trí còn lại Đây chính là cấu trúc không gian vectơ chuẩn tắc của 𝑪ⁿ; khi đề cập đến 𝑪ⁿ mà không nói rõ thêm, ta thường hiểu là đang sử dụng cấu trúc chuẩn tắc này để đảm bảo tính đồng nhất trong các phân tích.
Viết chung lại, nếu F = R hoặc F = C thì F 𝑛 là một không gian vectơ
Không gian định chuẩn (normed space) là một không gian vectơ trên trường số thực hoặc số phức, trong đó mỗi vectơ có chiều dài hoặc độ lớn xác định rõ ràng Hàm chuẩn (norm) trong không gian này giúp đo lường độ lớn của vectơ, góp phần xây dựng các khái niệm quan trọng trong giải tích và giải tích hàm Không gian định chuẩn đảm bảo tính hợp lệ của các phép đo lường và cho phép phân tích các hàm số, phép biến đổi trong toán học ứng dụng.
𝑥 ↦→ ∥𝑥∥, được gọi là một chuẩn (norm) trên 𝑋, thỏa∀𝑥 ∈𝑋,∀𝑦 ∈ 𝑋,∀𝛼 ∈F:
(c) ∥𝛼𝑥∥ = |𝛼| ∥𝑥∥,ở đây kí hiệu |𝛼|chỉ giá trị tuyệt đối của số thực nếu
F=Rvà độ lớn của số phức nếuF=C(tỉ lệ),
(d) ∥𝑥+𝑦∥ ≤ ∥𝑥∥ + ∥𝑦∥(bất đẳng thức tam giác).
Chúng ta có thể lược bỏ các ký hiệu khi chúng đã rõ ràng hoặc được hiểu ngầm trong ngữ cảnh Ngoài ra, việc viết tắt "cho một không gian định chuẩn 𝑋" sẽ thuận tiện hơn khi các cấu trúc liên quan đã được xác định hoặc không cần thiết phải nhấn mạnh lại.
|𝑥 𝑖 | 2 Đây được gọi là chuẩn Euclid
2.2.2 Ví dụ(các chuẩn khác nhau trênF 𝑛 ) Với𝑥 = (𝑥 1 , 𝑥 2 , , 𝑥 𝑛 ) ∈ F 𝑛 ,
! 1/𝑝 là một chuẩn trênF 𝑛 do Bất đẳng thức Minkowski: Õ 𝑛
Với 𝑝 =2đây là chuẩn Euclid Ngoài ra dưới đây cũng là các chuẩn thường gặp
Trong toán học, cho 𝑋 là một không gian định chuẩn với hàm chuẩn ∥ã∥, và 𝑌 là một không gian vectơ con của 𝑋, thì ánh xạ chuẩn thu hẹp trên 𝑌 trở thành một hàm chuẩn trên 𝑌 Không gian định chuẩn 𝑌, được trang bị hàm chuẩn này, được gọi là một không gian định chuẩn con của 𝑋, phản ánh mối liên hệ chặt chẽ giữa các không gian vectơ con và không gian định chuẩn ban đầu.
Trong không gian Euclid thấp chiều, khoảng cách giữa hai điểm bằng độ dài của vectơ nối hai điểm đó Điều này được mở rộng trong các không gian Euclid tổng quát, giúp xác định chính xác khoảng cách giữa các điểm trong không gian đa chiều Hiểu rõ khái niệm khoảng cách Euclid là nền tảng quan trọng trong hình học, phân tích dữ liệu và các lĩnh vực liên quan Khoảng cách này đóng vai trò cốt lõi trong việc đo lường sự khác biệt và xác định vị trí chính xác của các điểm trong không gian.
2.2.4 Mệnh đề( chuẩn sinh ra mờtrớc ) Trong khụng gian định chuẩn(𝑋,∥ã∥) thì𝑑(𝑥, 𝑦) = ∥𝑥−𝑦∥ là một mêtríc trên𝑋.
Một không gian định chuẩn mặc nhiên được xem là một không gian mêtríc, vì nó thừa hưởng tất cả các khái niệm và tính chất của không gian mêtríc Điều này giúp xác định rõ các đặc điểm như khoảng cách, góc và các phép biến đổi trong không gian đó, góp phần nâng cao khả năng nghiên cứu và áp dụng các khái niệm hình học trong thực tiễn.
2.2.5 Ví dụ Trong không gian vectơF 𝑛 , rõ ràng chuẩn Euclid sinh ra mêtríc Euclid, với𝑥 =(𝑥 1 , 𝑥 2 , , 𝑥 𝑛 ) và𝑦= (𝑦 1 , 𝑦 2 , , 𝑦 𝑛 )thì
Không gian mêtríc được gọi là không gian Banach khi nó có một chuẩn sinh ra mêtríc đó là đầy đủ về mặt tính chất Điều này có nghĩa là mọi dãy Cauchy trong không gian đều hội tụ trong không gian đó, phản ánh tính chất đầy đủ của không gian Banach Nói ngắn gọn, không gian Banach là một không gian định chuẩn đầy đủ, có thể áp dụng các lý thuyết và phương pháp phân tích chức năng một cách chính xác và hiệu quả.
Trong chương trước, ta đã biết không gian Euclid Fⁿ với mêtríc Euclid là không gian đầy đủ Mêtríc Euclid được sinh ra bởi chuẩn Euclid, giúp xác định định nghĩa về chiều dài và khoảng cách trong không gian Không gian Euclid với chuẩn Euclid là một không gian định chuẩn đầy đủ, hay còn gọi là không gian Banach, đảm bảo tính chất đầy đủ của các dãy hội tụ theo chuẩn Điều này khẳng định rằng không gian này có thể xử lý các giới hạn của các dãy hội tụ một cách chính xác và ổn định trong phân tích toán học.
2.2.7 Định nghĩa Hai chuẩn∥ã∥1và ∥ã∥2trờn cựng một khụng gian vectơ𝑋 được gọi là tương đương nếu có hai số thực𝛼, 𝛽 >0sao cho
𝛼∥𝑥∥2 nên tính tương đương của chuẩn là đối xứng.
Hai chuẩn tương đương thì các đặc trưng như sự hội tụ của dãy, tính mở, đóng, tính compac của tập con, tính liên tục của ánh xạ và độ đầy đủ của không gian đều giống nhau, đảm bảo tính nhất quán trong lý thuyết.
Stefan Banach là nhà toán học tiêu biểu đầu thế kỷ 20, đã đặt nền móng cho lĩnh vực Giải tích hàm Ông được biết đến với những đóng góp quan trọng trong việc xây dựng các kết quả then chốt giúp phát triển môn Toán này Các công trình của Banach đã tạo ra nền tảng vững chắc cho lý thuyết không gian Banach và các ứng dụng trong toán học hiện đại.
Chứng minh Giả sử dóy(𝑥 𝑛 ) 𝑛∈Z + hội tụ về𝑥theo chuẩn∥ã∥1 Điều này đồng nghĩa với dãy số thực(∥𝑥 𝑛 −𝑥∥1) 𝑛 hội tụ về số thực0 Từ tính chất∥𝑥 𝑛 −𝑥∥2 ≤
Dãy (∥𝑥 𝑛 − 𝑥∥1) giảm theo quy tắc β∥𝑥 𝑛 −𝑥∥1, dẫn đến dãy (∥𝑥 𝑛 −𝑥∥2) cũng hội tụ về 0 Do đó, dãy (𝑥 𝑛) thuộc tập xác định Z+ hội tụ về 𝑥 theo chuẩn ∥ã∥2 Khi hai chuẩn là tương đương, một dãy hội tụ theo chuẩn thứ nhất sẽ đồng thời hội tụ theo chuẩn thứ hai cùng giới hạn, đảm bảo tính nhất quán trong quá trình hội tụ của các dãy nêu trên.
Các khái niệm đóng, mở, compắc, liên tục đều có thể được định nghĩa dựa trên sự hội tụ của dãy, giúp người đọc dễ dàng kiểm tra tính chất của tập hoặc ánh xạ Theo chuẩn thứ nhất, một tập là đóng hoặc mở nếu và chỉ nếu nó phù hợp với tiêu chuẩn hội tụ của dãy, đồng thời, định nghĩa về compắc cũng liên quan chặt chẽ đến khả năng chứa các dãy hội tụ Ngoài ra, nếu một ánh xạ liên tục theo chuẩn thứ nhất, thì nó cũng sẽ liên tục theo chuẩn thứ hai, đảm bảo tính nhất quán trong các định nghĩa về tính liên tục trong phân tích toán học.
Tính chất ∥𝑥 𝑚 − 𝑥 𝑛∥2 ≤ 𝛽∥𝑥 𝑚 − 𝑥 𝑛∥1 cho thấy một dãy là dãy Cauchy theo chuẩn thứ nhất thì cũng là dãy Cauchy theo chuẩn thứ hai Do đó, nếu không gian vector là đầy đủ theo chuẩn thứ nhất thì chắc chắn cũng đầy đủ theo chuẩn thứ hai Điều này chứng tỏ mối liên hệ chặt chẽ giữa các chuẩn trong không gian vectơ và khả năng đầy đủ của không gian đó.
Về chiều ngược lại, xem ở 2.8.8.
Không gian định chuẩn hữu hạn chiều
2.3.1 Định lý Các chuẩn trên không gian vectơF 𝑛 đều tương đương.
Chứng minh Cho ∥ã∥ là một chuẩn bất kỡ trờn F 𝑛 và ∥ã∥2 là chuẩn Euclid. Dùng Bất đẳng thức Buniakowski:
Vậy cú𝛽 >0sao cho∀𝑥,∥𝑥∥ ≤ 𝛽∥𝑥∥2 Điều này cũng dẫn tới hàm∥ã∥là liờn tục trên không gian Euclid Thu hẹp của hàm này lên mặt cầu đơn vị Euclid
𝑆 𝑛 , một tập compắc, có giá trị nhỏ nhất𝛼 > 0 Với mọi𝑥 ≠ 0thì ∥𝑥∥ 𝑥
2 ∈ 𝑆 𝑛 , nên ∥𝑥∥ 𝑥 2 ≥ 𝛼,tức là∥𝑥∥ ≥ 𝛼∥𝑥∥2 Vậy một chuẩn bất kì trênF 𝑛 là tương đương với chuẩn Euclid □
2.3.2 Mệnh đề Các chuẩn trên cùng một không gian vectơ hữu hạn chiều đều tương đương.
2.3 KHÔNG GIAN ĐỊNH CHUẨN HỮU HẠN CHIỀU 21
Chứng minh Cho(𝑋,∥ã∥)là một khụng gian định chuẩn𝑛-chiều trờn trường
F Lấy một cơ sở tuyến tính(𝑣 1 , 𝑣 2 , , 𝑣 𝑛 )cho𝑋 Đặt ánh xạ
Trong đoạn này, chúng ta xem xét một ánh xạ tuyến tính từ cơ sở (𝑣₁, 𝑣₂, , 𝑣ₙ) sang cơ sở (𝑒₁, 𝑒₂, , 𝑒ₙ), là một song ánh tuyến tính hay đẳng cấu tuyến tính, đảm bảo tính duy nhất và khả năng nghịch đảo của ánh xạ Khi vector 𝑥 = (𝑥₁, 𝑥₂, , 𝑥ₙ) thuộc cơ sở (𝑣₁, 𝑣₂, , 𝑣ₙ), thì ảnh của nó qua ánh xạ f sẽ là 𝑦 = (𝑥₁, 𝑥₂, , 𝑥ₙ) trong cơ sở (𝑒₁, 𝑒₂, , 𝑒ₙ) Ngoài ra, định nghĩa ∥𝑦∥ = 𝑓⁻¹(𝑦) = 𝑥 cho thấy rằng độ dài của 𝑦 có thể được xác định qua phép nghịch đảo của ánh xạ tuyến tính.
𝑋 thỡ cú thể kiểm tra được rằng ∥ã∥ là một chuẩn trênF 𝑛
Khi ta có hai chuẩn ∥ã∥ 𝑎 và ∥ã∥ 𝑏 trên không gian X, theo phương pháp xây dựng này, sẽ có hai chuẩn tương ứng ∥ã∥ 𝑎 và ∥ã∥ 𝑏 trên không gian F𝑛 Dựa trên kết quả từ mục 2.3.1, các chuẩn này trên F𝑛 là tương đương, nghĩa là tồn tại hai số thực dương 𝛼 và 𝛽 sao cho, với mọi 𝑦 thuộc F𝑛, chuẩn ∥ỹ∥ có thể được so sánh và điều chỉnh bằng các hệ số 𝛼, 𝛽 để đảm bảo tính nhất quán của các chuẩn trên F𝑛.
2.3.4 Mệnh đề Một không gian định chuẩn hữu hạn chiều bất kì là một không gian Banach.
Chứng minh rằng ánh xạ \(f\) tại mục 2.3.3 và ánh xạ ngược \(f^{-1}\) đều chuyển đổi dãy Cauchy thành dãy Cauchy, đồng thời biến dãy hội tụ thành dãy hội tụ trong không gian Banach Điều này khẳng định tính liên tục của cả \(f\) và \(f^{-1}\) trong không gian Banach, đảm bảo tính tổng quát và ứng dụng rộng rãi trong phân tích chức năng.
2.3.5 Hệ quả Không gian định chuẩn con hữu hạn chiều là tập con đóng.
Chứng minh Vì không gian định chuẩn con hữu hạn chiều là đầy đủ nên nó phải là một tập đóng, xem 1.4.16 □
* Không gian định chuẩn compắc địa phương
Một không gian định chuẩn được xem là compắc địa phương khi quả cầu đóng đơn vị trong không gian đó là compắc Thuật ngữ này phản ánh tính chất của không gian, trong đó mọi quả cầu đóng đều có đặc điểm compắc, giúp mở rộng hiểu biết về cấu trúc và tính chất của các không gian topo học Phần quan trọng của định nghĩa này là mối liên hệ giữa tính compắc của quả cầu đóng đơn vị và tính chất của không gian, điều này có ý nghĩa lớn trong nghiên cứu lý thuyết topo.
2.3.6 Mệnh đề Trong một không gian định chuẩn những điều sau là tương đương:
(a) quả cầu đóng đơn vị là compắc,
(b) mọi quả cầu đóng là compắc,
(c) mọi tập con đóng và bị chặn là compắc,
(d) mọi dãy bị chặn có một dãy con hội tụ,
(e) mọi lân cận của một điểm bất kì chứa một lân cận compắc.
Không gian compắc địa phương là không gian chuẩn hóa, nơi tính compắc tương đương với tính đóng và bị chặn, phản ánh đặc điểm quan trọng trong lý thuyết không gian Để chứng minh điều này, giới thiệu khái niệm mới về song ánh giữa hai không gian metric 𝑇 : 𝑋 → 𝑌, được gọi là phép đẳng cấu tôpô hoặc đồng phôi, khi cả 𝑇 và 𝑇⁻¹ đều là các ánh xạ liên tục, giúp xác định mối liên hệ chặt chẽ giữa các không gian Trong không gian định chuẩn, các quả cầu đều đồng phôi với nhau, ví dụ: quả cầu𝐵(0,1) đồng phôi với quả cầu𝐵(𝑎, 𝑟) thông qua hợp của phép co dãn và phép tịnh tiến, thể hiện tính chất quan trọng trong phân tích hình thái và mô hình mở rộng của các không gian metric.
Chứng minh rằng chuỗi (𝑎) ⇒ (𝑏) ⇒ (𝑐) ⇒ (𝑑) ⇒ (𝑎) thể hiện chu trình logic Giả sử quả cầu đóng đơn vị 𝐵′ (0,1) là tập compắc, vì quả cầu đóng bất kỳ 𝐵′ (𝑎, 𝑟) là ảnh của một phép đồng phôi từ 𝐵′ (0,1), và ảnh liên tục của một tập compắc là compắc, nên 𝐵′ (𝑎, 𝑟) cũng là tập compắc Một tập con bị chặn luôn có thể chứa trong một quả cầu đóng compắc, do đó nếu tập con đó cũng đóng, thì nó cũng phải là tập compắc Ngoài ra, một dãy bị chặn sẽ được chứa trong một quả cầu đóng bị chặn, dẫn đến tập chứa trong một tập compắc, từ đó kết luận rằng dãy đó có dãy con hội tụ, đảm bảo tính chất về hội tụ của các dãy trong không gian này.
Trong bài viết này, chúng ta xem xét mối liên hệ giữa kiểm (𝑎) và (𝑒), giả sử điểm𝑥 nằm trong một lân cận𝑈 Khi đó, tồn tại một quả cầu𝐵(𝑥, 𝑟) chứa𝑥 và nằm hoàn toàn trong𝑈 Điều này có nghĩa là𝑥 thuộc quả cầu nhỏ hơn 𝐵(𝑥, 𝑟 2 ), và quả cầu này lại là phần của một quả cầu lớn hơn 𝐵(𝑥, 𝑟 2 ) = 𝐵′(𝑥, 𝑟 2 ), nằm gọn trong𝑈 Nếu quả cầu đóng đơn vị là compact, thì 𝐵′(𝑥, 𝑟 2 ) cũng sẽ là compact, từ đó chứng minh rằng kiểm (𝑎) ⇒ (𝑒), góp phần làm rõ tính chất của các biến cố trong không gian topological.
Ngược lại nếu tồn tại𝑥 ∈ 𝑉 ⊂ 𝐴 ⊂ 𝑈 trong đó𝑉 mở và 𝐴 compắc thì phải có một quả cầu𝐵(𝑥, 𝑟) ⊂𝑉 và khi đó𝐵 ′ (𝑥, 𝑟) ⊂ 𝐴là compắc, và do đó
2.3.7 Mệnh đề Không gian định chuẩn hữu hạn chiều là compắc địa phương.
Không gian ℓ 𝑝
Chứng minh rằng không gian Euclid \( \mathbb{F}_n \) là không gian compact địa phương Vì vậy, không gian vectơ \( \mathbb{F}_n \) cũng là không gian compact địa phương với bất kỳ chuẩn nào Ánh xạ \( f \) trong (2.3.3) biến quả cầu \( B'(0,1) \) trong không gian \( X \) thành quả cầu \( B'(0,1) \) trong \( (\mathbb{F}_n, \| \cdot \|_{\mathbb{F}_n}) \), do đó tập này là compact Bởi vì \( f \) là phép đồng phôi, nó bảo toàn tính compact, chứng minh tính chất này trong không gian vectơ \( \mathbb{F}_n \).
2.3.8 Mệnh đề Không gian định chuẩn compắc địa phương thì phải là hữu hạn chiều.
Chứng minh Giả sử quả cầu đơn vị đóng𝐵 ′ (0,1)là compắc trong không gian mêtríc𝑋 Tồn tại họ hữu hạn(𝑎 𝑖 ∈ 𝐵 ′ (0,1))1 ≤𝑖≤𝑚 sao choÐ 𝑚
𝐵 ′ (0,1), vì nếu không sẽ tồn tại dãy (𝑎 𝑖 ) 𝑖∈Z + mà khoảng cách giữa các phần tử lớn hơn1/2do đó không có dãy con hội tụ. Đặt 𝑀 = ⟨{𝑎 1 , 𝑎 2 , , 𝑎 𝑚 }⟩, ta chứng minh 𝐵 ′ (0,1) ⊂ 𝑀 Với 𝑥 ∈
𝐵 ′ (0,1) bất kì, tồn tại 𝑎 𝑖 sao cho ∥𝑎 𝑖 −𝑥∥ < 1/2, tức 𝑥 ∈ 𝑀 + 1 2 𝐵 ′ (0,1). Suy ra𝐵 ′ (0,1) ⊂ 𝑀 + 1 2 𝐵 ′ (0,1) ⊂ 𝑀+ 1 2 𝑀 + 1 2 𝐵 ′ (0,1)
⊂ 𝑀+ 1 4 𝐵 ′ (0,1). Bằng qui nạp ta được𝐵 ′ (0,1) ⊂ 𝑀+ 2 1 𝑛 𝐵 ′ (0,1),∀𝑛≥ 1 Lấy𝑥 ∈ 𝐵 ′ (0,1)thì có dãy𝑥 𝑛 ∈ 𝑀 và 𝑦 𝑛 ∈ 𝐵 ′ (0, 2 1 𝑛 ) sao cho𝑥 = 𝑥 𝑛 +𝑦 𝑛 Lấy giới hạn thì được
Vì 𝑥𝑛 hội tụ về 𝑥 và 𝑀 có chiều hữu hạn nên lớp đóng của 𝑥 nằm trong 𝑀, dẫn đến 𝑥 thuộc 𝑀 Do đó, tập hợp 𝐵′(0,1) là con chứa trong 𝑀, và vì mỗi phần tử của 𝑋 là bội của phần tử trong 𝐵′(0,1), cùng với việc 𝑀 là không gian vectơ, ta suy ra 𝑋 cũng thuộc 𝑀, nghĩa là 𝑋 = 𝑀, chứng tỏ rằng 𝑋 là không gian vectơ hữu hạn chiều Một hệ quả quan trọng của kết quả này là: [Bạn có thể thêm kết luận hoặc hệ quả cụ thể nếu muốn].
2.3.9 Hệ quả Trên không gian định chuẩn thì compắc = đóng + bị chặn khi và chỉ khi không gian là hữu hạn chiều.
Phát triển từF 𝑛 , gọi F ∞ là tập hợp tất cả các dãy phần tử thuộcF(làRhoặc
C) Với mọi𝑥 = (𝑥 𝑛 ) 𝑛∈Z + và𝑦 =(𝑦 𝑛 ) 𝑛∈Z + trongF ∞ và𝛼trongF, ta đặt
Với các phép toán này thìF ∞ là một không gian vectơ trênF, và là một không gian vectơ vô hạn chiều.
Gọiℓ ∞ là tập con củaF ∞ gồm tất cả các dãy bị chặn, tức là tập hợp tất cả các phần tử𝑥 =(𝑥 𝑛 ) 𝑛≥ 1sao chosup{|𝑥 𝑛 | |𝑛 ∈Z + } < ∞ Đặt
2.4.1 Mệnh đề ℓ ∞ với các cấu trúc trên là một không gian định chuẩn.
Cho 𝑝 ∈ [1,∞) Gọi ℓ 𝑝 là tập con củaF ∞ gồm tất cả các phần tử 𝑥 (𝑥 𝑛 ) 𝑛≥ 1sao choÍ ∞
2.4.2 Mệnh đề ℓ 𝑝 , 𝑝 ∈ [1,∞), với các cấu trúc trên là một không gian định chuẩn.
Chứng minh Ở đây bất đẳng thức tam giác cho chuẩn có từ bất đẳng thức Minkowski ở dạng tổng của chuỗi, Õ∞
(2.4.3) thu được bằng cách qua giới hạn bất đẳng thức Minkowski ở dạng tổng hữu hạn ở Phương trình (2.2.3) □
2.4.4 Ví dụ Cho 𝑥 = (1, 1 2 , 1 3 , , 1 𝑛 , ) Đây là một dãy số bị chặn, nên
Ta biết với0 < 𝑝 1 Vậy𝑥 ∈ℓ 𝑝 , với mọi1< 𝑝 ≤ ∞.
2.4.5 Định lý Không gianℓ 𝑝 , 𝑝 ∈ [1,∞], là không gian Banach.
Chứng minh Chứng minh này tương tự với chứng minh không gian Euclid
Không gian các hàm bị chặn và không gian các hàm liên tục 25
Trường hợp 𝑝 = ∞: Giả sử (𝑥 𝑛 ) 𝑛∈Z + là một dãy Cauchy trong ℓ ∞ với
𝑘∈Z + Cho𝜖 > 0có 𝑁 sao cho𝑚 > 𝑁, 𝑛 > 𝑁 thì ∥𝑥 𝑚 −𝑥 𝑛 ∥ ∞ sup 𝑘∈Z +|𝑥 𝑚,𝑘 −𝑥 𝑛,𝑘 | < 𝜖.Điều này dẫn tới với mỗi𝑘 ≥1thì
𝑛≥ 1là một dãy Cauchy trongF, do đó hội tụ về một𝑦 𝑘 ∈F. Ở(∗), cho𝑛tiến ra vô cùng ta được|𝑥 𝑚,𝑘 −𝑦 𝑘 | ≤ 𝜖 Suy ra∥𝑥 𝑚 −𝑦∥ ∞ ≤ 𝜖 với𝑦 = (𝑦 1 , 𝑦 2 , , 𝑦 𝑘 , ) Điều này dẫn tới hai điều: (𝑥 𝑚 −𝑦) ∈ ℓ ∞ do đó
𝑦 ∈ℓ ∞ , và(𝑥 𝑚 ) 𝑚 ∈Z + hội tụ về𝑦trongℓ ∞
Trường hợp 𝑝 < ∞là tương tự, thaysupbởiÍ
: Giả sử(𝑥 𝑛 ) 𝑛∈Z + là một dãy Cauchy trongℓ 𝑝 với𝑥 𝑛 = 𝑥 𝑛,𝑘
𝑘∈Z + Cho𝜖 >0có𝑁 sao cho𝑚 > 𝑁, 𝑛 > 𝑁 thì
|𝑥 𝑚,𝑘 −𝑥 𝑛,𝑘 | 𝑝 < 𝜖 𝑝 (∗∗) Điều này dẫn tới với mỗi 𝑘 ≥ 1thì |𝑥 𝑚,𝑘 −𝑥 𝑛,𝑘 | < 𝜖, do đó dãy 𝑥 𝑛,𝑘
𝑛≥ 1 là một dãy Cauchy trongF, do đó hội tụ về một 𝑦 𝑘 ∈F.
Cho𝑛tiến ra vô cùng ta đượcÍ 𝑇
𝑘 =1|𝑥 𝑚,𝑘 −𝑦 𝑘 | 𝑝 ≤ 𝜖 𝑝 , tức là∥𝑥 𝑚 −𝑦∥ 𝑝 ≤ 𝜖với𝑦= (𝑦 1 , 𝑦 2 , , 𝑦 𝑘 , ). Điều này dẫn tới hai điều:(𝑥 𝑚 −𝑦) ∈ ℓ 𝑝 do đó𝑦 ∈ℓ 𝑝 , và(𝑥 𝑚 ) 𝑚∈Z + hội tụ về
2.5 Không gian các hàm bị chặn và không gian các hàm liên tục
Trong bài viết này, chúng ta xem xét tập hợp các ánh xạ từ một tập hợp Cho𝑆 đến không gian định chuẩn 𝑋 trên trường F Tập hợp M(𝑆, 𝑋) gồm tất cả các ánh xạ này được định nghĩa cụ thể, và trên tập hợp này, ta có thể thực hiện các phép toán cộng ánh xạ và nhân vô hướng theo cách thông thường Cụ thể, nếu 𝑓 và 𝑔 thuộc M(𝑆, 𝑋) và 𝛼 ∈ F, thì phép cộng 𝑓 + 𝑔 cũng như phép nhân vô hướng 𝛼 𝑓 được định nghĩa theo công thức, với mọi 𝑥 trong 𝑆.
Khi đó𝑀(𝑆, 𝑋)với các cấu trúc trên là một không gian vectơ Ở đây phần tử
0của không gian vectơ chính là ánh xạ mà giá trị luôn bằng phần tử0của 𝑋.
2.5.1 Ví dụ Không gian vectơF 𝑛 chính là𝑀(𝑆, 𝑋) với𝑆 = {1,2, , 𝑛} và
𝑋 =F Không gian vectơF ∞ chính là𝑀(𝑆, 𝑋) với𝑆 =Z + và𝑋 =F. Để có chuẩn ta xét không gian con của𝑀(𝑆, 𝑋), tương tự các không gian
ℓ 𝑝 Ở đây ta xét tương tự củaℓ ∞ , các tương tự củaℓ 𝑝 với 𝑝 < ∞ được xét ở phần không gian𝐿 𝑝
Gọi 𝐵(𝑆, 𝑋) là tập hợp tất cả các ánh xạ bị chặn từ 𝑆 vào 𝑋 Với 𝑓 ∈
𝐵(𝑆, 𝑋)thì tập ảnh 𝑓(𝑆)là một tập bị chặn trong𝑋, nói cách khác tập{∥𝑓(𝑠)∥ |𝑠∈
𝑆} là một tập con bị chặn củaR Vậy ta có thể đặt
Trong toán học, định nghĩa 𝑠∈𝑆 và ||𝑓(𝑠)|| = sup{||𝑓(𝑠)|| | 𝑠 ∈ 𝑆} mô tả một số đo kích thước của tập giá trị của ánh xạ, thường gọi là chuẩn supremum Chuẩn supremum là chặn trên nhỏ nhất của độ lớn của ảnh của ánh xạ, giúp đo lường mức độ lớn nhất của hàm số trong tập xác định Đây là khái niệm quan trọng trong phân tích chức năng, hỗ trợ đánh giá và so sánh các hàm số dựa trên giá trị lớn nhất của chúng.
2.5.3 Mệnh đề 𝐵(𝑆, 𝑋) là một không gian định chuẩn.
Chứng minh Ta kiểm các yêu cầu của chuẩn Cho 𝑓 ∈𝐵(𝑆, 𝑋) Giả sử∥𝑓∥ 0 Ta có∀𝑠∈ 𝑆, 𝑓(𝑠) =0 Vậy 𝑓 là hàm0, là phần tử0của𝐵(𝑆, 𝑋).
2.5 KHÔNG GIAN CÁC HÀM BỊ CHẶN VÀ KHÔNG GIAN CÁC HÀM LIÊN TỤC27
2.5.4 Mệnh đề(hội tụ theo chuẩn thì hội tụ từng điểm) Trên không gian
𝐵(𝑆, 𝑋), nếu dãy(𝑓 𝑛 ) 𝑛∈Z + hội tụ về 𝑓 thì với mỗi𝑥 ∈𝑆dãy(𝑓 𝑛 (𝑥)) 𝑛∈Z + hội tụ về 𝑓(𝑥) Ngắn gọn hơn:
Khi n→∞, điểm số của hàm số fₙ(x) hội tụ về f(x), thể hiện sự hội tụ của dãy hàm trong không gian chức năng Điều này tương tự như đã được chứng minh trong không gian Rⁿ và cũng đúng trong các không gian ℓₚ, khi một dãy trong không gian hội tụ, thì các dãy các tọa độ thành phần cũng phải hội tụ, đảm bảo tính liên tục và nhất quán của quá trình hội tụ trong các không gian chức năng.
Chứng minh Giả sửlim 𝑛→∞ 𝑓 𝑛 = 𝑓 Điều này đồng nghĩa vớilim 𝑛→∞ ∥𝑓 𝑛 − 𝑓∥ 0 Với mọi𝑥 ∈ 𝑆ta có
Qua giới hạn khi𝑛→ ∞, dùng tính chất kẹp, ta được kết quả □
2.5.5 Mệnh đề Nếu 𝑋 là không gian Banach thì 𝐵(𝑆, 𝑋) là không gian
Chứng minh này tương tự như chứng minh cho các không gian ℝⁿ và ℓ∞, khẳng định rằng dãy (fₙ)ₙ∈Z₊ là một dãy Cauchy trong không gian B(S, X) Khi chọn ε > 0, tồn tại N ∈ ℝ sao cho với mọi m, n ≥ N, ta có ∥fₘ(x) − fₙ(x)∥ ≤ ε cho mọi x ∈ S Điều này chứng tỏ rằng, với mỗi x trong S, dãy (fₙ(x))ₙ∈Z₊ là một dãy Cauchy trong X, vì vậy nó hội tụ về một giới hạn duy nhất, được đặt tên là f(x), đảm bảo tính hội tụ đều của dãy hàm.
Cố định𝑛 và cho𝑚 → ∞ ở đánh giá∥𝑓 𝑚 (𝑥) − 𝑓 𝑛 (𝑥)∥ ≤ 𝜖 ta được với mọi
𝜖 > 0, có 𝑁 ∈Nsao cho𝑛 ≥ 𝑁 thì với mọi𝑥 ∈ 𝑆ta có ∥𝑓 𝑛 (𝑥) − 𝑓(𝑥)∥ ≤ 𝜖.
Cố định𝑛ta suy ra(𝑓 𝑛 − 𝑓) ∈ 𝐵(𝑆, 𝑋) do đó 𝑓 ∈ 𝐵(𝑆, 𝑋), và (𝑓 𝑛 ) 𝑛∈Z + hội tụ trong𝐵(𝑆, 𝑋)về 𝑓 □
Nếu𝑋 là một không gian mêtríc và𝑌 là một không gian định chuẩn thì ta gọi𝐶(𝑋,𝑌)là tập hợp tất cả các ánh xạ liên tục từ 𝑋 vào𝑌.
Nếu𝑋 là compắc thì một hàm liên tục trên𝑋sẽ bị chặn, do đó𝐶(𝑋,𝑌) ⊂
Trong toán học, hàm liên tục trên một không gian compact luôn đạt giá trị lớn nhất Do đó, ta có thể xác định giá trị lớn nhất của độ lớn các ảnh của ánh xạ bằng cách tìm điều kiện thực sự của 𝑥 trong tập 𝑋 sao cho 𝑋 ∥𝑓(𝑥)∥ = max 𝑋 ∥𝑓(𝑥)∥ Đây là đặc điểm quan trọng của các hàm liên tục trong không gian compact, giúp xác định rõ điểm tối đa của hàm và đảm bảo tính liên tục của quá trình tối ưu hóa trong các bài toán phân tích.
2.5.6 Định lý Nếu𝑋là compắc thì𝐶(𝑋,𝑌)với chuẩnsuplà một không gian định chuẩn con đóng của𝐵(𝑋,𝑌) Do đó nếu𝑋là compắc và𝑌 là không gian
Banach thì𝐶(𝑋,𝑌)là không gian Banach.
(a) Giả sử dãy (𝑓 𝑛 ) 𝑛 trong 𝐶(𝑋,𝑌) hội tụ về 𝑓 trong 𝐵(𝑋,𝑌), ta chứng minh 𝑓 ∈ 𝐶(𝑋,𝑌) Ta chỉ cần chứng minh 𝑓 là liên tục Cho𝑥 0 ∈ 𝑋. Viết
Cho𝜖 > 0, chọn𝑛đủ lớn ta sẽ được∥𝑓 − 𝑓 𝑛 ∥ < 𝜖 Với𝑛đó thì 𝑓 𝑛 liên tục tại𝑥 0, do đó lấy 𝑥 đủ gần𝑥 0 ta sẽ có ∥𝑓 𝑛 (𝑥) − 𝑓 𝑛 (𝑥 0)∥ < 𝜖, do đó
∥𝑓(𝑥) − 𝑓(𝑥 0)∥ < 3𝜖, do đó 𝑓 liên tục tại𝑥 0.
2.5.7 Ví dụ( 𝐶([𝑎, 𝑏])) Không gian vectơ𝐶([𝑎, 𝑏],R), còn được viết tắt là
Không Gian Hàm Số Liên Tục [a, b], gồm tất cả các hàm số thực liên tục từ đoạn [a, b] vào ℝ, được trang bị chuẩn sup, là một không gian Banach đầy đủ Hội tụ theo chuẩn sup trong 𝐶([a, b], ℝ) còn gọi là hội tụ đều, đã được nghiên cứu kỹ lưỡng trong môn Giải tích 2.
Mệnh đề 2.5.4 được phát biểu trong Giải tích 2 dưới dạng: hội tụ đều thì hội tụ từng điểm.
Một phần của Mệnh đề 2.5.6 được phát biểu trong Giải tích 2 dưới dạng: dãy hàm liên tục hội tụ đều thì giới hạn cũng liên tục.
Người đọc có thể viết lại chứng minh của 2.5.5 và 2.5.6 trực tiếp cho
𝐶([𝑎, 𝑏],R) để dễ theo dõi hơn.
Trong ví dụ này, ta xét dãy hàm \(f_n(x) = x^n\) trong không gian \(C([0,1])\) Giả sử dãy này hội tụ đều tới hàm \(f\), điều này đồng nghĩa với việc hội tụ từng điểm, tức là với mọi \(x \in [0,1]\), ta có \(\lim_{n \to \infty} f_n(x) = f(x)\) Để xác định hàm giới hạn \(f\), ta tính giới hạn của \(f_n(x)\) khi \(n \to \infty\).
Nhưng hàm 𝑓 rõ ràng không liên tục, tức là 𝑓 ∉ 𝐶([0,1]) Như thế dãy (𝑓 𝑛 ) 𝑛∈Z + không hội tụ về 𝑓 trong𝐶([0,1]), mâu thuẫn Ta kết luận dãy(𝑓 𝑛 ) 𝑛∈Z + không hội tụ.
2.5 KHÔNG GIAN CÁC HÀM BỊ CHẶN VÀ KHÔNG GIAN CÁC HÀM LIÊN TỤC29
Vậy dãy hàm(𝑓 𝑛 ) 𝑛∈Z + hội tụ điểm về hàm0.
Hơn nữa|sin(2𝑛𝜋𝑥)|đạt giá trị1khi𝑥 = 4 1 𝑛 chẳng hạn, do đó
Ta tìmlim 𝑛→∞ 𝑓 𝑛 , tức là tìm giới hạn của dãy (𝑓 𝑛 ) 𝑛∈Z + dưới chuẩnsup.
Trong không gian \( C([0,1], R) \), hội tụ theo chuẩn sup đòi hỏi hàm giới hạn phải tồn tại và phù hợp với giới hạn của từng điểm, nghĩa là \( f(x) = \lim_{n \to \infty} f_n(x) \) Áp dụng điều này vào bài toán, ta nhận thấy để hội tụ theo chuẩn sup, hàm giới hạn từng điểm phải trùng với hàm \(f\) và trong trường hợp này, giới hạn đó chính là hàm \(f(x) = 0\).
Sau đây là một lý luận khác để tìm hàm 𝑓 Vì hàm chuẩn là hàm liên tục
(2.8.4) nên ∥𝑓 𝑛 ∥ 𝑛→∞ → ∥𝑓∥ Điều này dẫn tới∥𝑓∥ =0, do đó 𝑓 =0.
Như vậy giới hạn của dãy(𝑓 𝑛 ) 𝑛∈Z + nếu có phải là hàm0.
Ta kiểm tra xem có thực0là giới hạn của dãy(𝑓 𝑛 ) 𝑛∈Z + hay không Ta có
Dưới đây là một ví dụ về không gian định chuẩn không đầy đủ.
2.5.10 Mệnh đề Tập hợp tất cả các hàm liên tục từ [0,1] vàoRvới chuẩn
0 |𝑓|là một không gian định chuẩn không đầy đủ.
Chứng minh Dễ kiểm tra đây là một chuẩn, đặc biệt tích phân∫ 1
0 |𝑓| =0nếu và chỉ nếu 𝑓 =0vì 𝑓 là hàm liên tục.
Với n ≥ 3, hàm số \( f_n \) là hàm tuyến tính từng khúc liên tục, bằng 0 trên đoạn \([0, \frac{1}{2} - \frac{1}{n}]\) và bằng 1 trên \([ \frac{1}{2}, 1]\), như hình 2.5.11 minh họa Dãy \((f_n)_{n \ge 1}\) được chứng minh là một dãy Cauchy nhưng không hội tụ, điều này có thể thấy rõ qua hình vẽ minh họa.
0 |𝑓 𝑚 (𝑥) − 𝑓 𝑛 (𝑥)| 𝑑𝑥chính là diện tích giữa đồ thị của 𝑓 𝑚 và 𝑓 𝑛 , bằng 1 2 𝑚 1 − 1 𝑛 , nhỏ tùy ý khi𝑚và𝑛đủ lớn Vậy dãy (𝑓 𝑛 ) 𝑛≥1là một dãy Cauchy.
→ 𝑓 và 𝑓 là liên tục Khi đó
2 |1− 𝑓| =0 Vì 𝑓 là liên tục điều này dẫn tới1− 𝑓 =0, hay 𝑓 =1 trên [ 1 2 ,1] Với mọi𝜖 > 0, với𝑛đủ lớn, ta có 2 1 𝑛 < 𝜖,vì thế
0 |𝑓|=0, do đó 𝑓 =0trên[0, 1 2 −𝜖) Suy ra
Nhưng hàm này lại không liên tục, mâu thuẫn Vậy dãy (𝑓 𝑛 ) 𝑛≥ 1 không hội tụ □
Không gian 𝐿 𝑝
Phần này tóm tắt lại các nội dung cơ bản về lý thuyết độ đo và tích phân, giúp người học dễ dàng tra cứu và hiểu rõ hơn thông qua các giáo trình chuyên sâu như [6, 13].
Tóm tắt về độ đo và tích phân
Một không gian đo được là tập hợp Ω đi cùng với một 𝜎-đại số 𝑀 gồm các tập con của Ω, đảm bảo tính kín dưới phép hợp đếm và phép lấy phần bù Đây là cấu trúc cơ bản trong lý thuyết đo lường, giúp xác định các tập hợp đo lường được một cách rõ ràng và chính xác Với không gian đo được, chúng ta có thể xây dựng các phép đo, từ đó phân tích các hàm số và xác định xác suất trong các lĩnh vực khác nhau như xác suất thống kê, lý thuyết thông tin hay phân tích toán học.
Trong không gian đo (Ω, 𝑀), các tập đo được được gọi là các M, đại diện cho các tập hợp có thể đo lường Một độ đo trên không gian đo được là hàm 𝜇 : 𝑀 → [0, ∞], tuân thủ các tính chất như tính cộng đếm được, đảm bảo đo lường chính xác các tập hợp trong không gian Bộ (Ω, 𝑀, 𝜇) được gọi là một không gian đo, nơi các yếu tố này kết hợp với nhau để xây dựng các khái niệm đo lường trong lý thuyết xác suất và tích phân.
2.6.1 Ví dụ Với 𝑀 tập hợp tất cả các tập con củaΩthì độ đo đếm 𝜇trênΩ, được cho bởi𝜇(𝐴) =|𝐴|, số phần tử của 𝐴khi 𝐴hữu hạn và𝜇(𝐴) =∞khi
2.6.2 Ví dụ (không gian đo Lebesgue) Trên không gian EuclidR 𝑛 có một
𝜎-đại số 𝑀 đặc biệt chứa tất cả các tập mở và tập đóng Các phần tử của của
Tập đo được Lebesgue, hay còn gọi là tập đo Lebesgue, là tập đo được đặc biệt trong lý thuyet độ đo Có một độ đo 𝜇 duy nhất trên tập M, theo một quy tắc nhất định, được gọi là độ đo Lebesgue Độ đo này có tính chất của một độ đo hình hộp trong không gian ℝⁿ, phản ánh khả năng đo lường chính xác các tập trong không gian này.
Trong không gian Euclid \(\mathbb{R}^n\), tổng của các hiệu \(b_i - a_i\) theo chỉ số \(i=1\) đến \(n\) là một đại lượng cộng tính, có khả năng đếm được và bất biến dưới các phép dời hình Những tập có thể tích theo định nghĩa Riemann đều đo được theo hệ đo Lebesgue, và thể tích Riemann của tập đó trùng khớp với độ đo Lebesgue của nó, thể hiện mối liên hệ rõ ràng giữa hai khái niệm đo lường này.
Trong không gian đo (Ω, 𝑀, 𝜇), hàm đo được được định nghĩa là một hàm 𝑓 : Ω → R sao cho ảnh ngược của mỗi tập mở trong ℝ là một tập đo được Điều này có nghĩa là, với mỗi c ∈ ℝ, tập mức 𝑓⁻¹(c) cũng là một tập đo được Tích phân tổng quát dựa trên khái niệm này, mở ra phương pháp đo lường và tích phân cho các hàm đo được trên không gian đo.
Chức năng 𝑓 là hàm đo được không âm, và trong tích phân Riemann, ta thường xấp xỉ hàm bằng các hàm hằng trên từng hình hộp con Tuy nhiên, để mở rộng khái niệm, ta có thể thay thế hình hộp bằng tập đo được, và định nghĩa tích phân của 𝑓 dựa trên các tập đo được này.
Tích phân được xây dựng bằng cách xấp xỉ dưới bởi các hình hộp có đáy là các tập đo được, và giá trị của tích phân có thể bằng vô cực Hàm số 𝑓 được gọi là khả tích nếu tích phân của nó trên tập Ω, tức là ∫ Ω 𝑓 𝑑𝜇, là hữu hạn Định nghĩa này còn có thể được diễn giải theo cách khác: gọi 𝑆 là tập hợp các hàm không âm đo được có giá trị hữu hạn, gọi là hàm bậc thang, có dạng cụ thể giúp dễ dàng xác định khả tích và tính toán tích phân.
Có thể diễn đạt là xây dựng tích phân bằng cách xấp xỉ dưới thông qua hàm bậc thang.
Hình 2.6.3: Xấp xỉ hàm bằng các hàm hằng trên tập đo được.
Hàm đo \( f \) là hàm tùy ý có thể mang giá trị âm, được gọi là khả tích khi tổng tích phân \(\int_{\Omega} |f| \, d\mu\) là hữu hạn Chúng ta định nghĩa các hàm đo tách biệt là \(f^+(x) = \max\{f(x), 0\}\) và \(f^-(x) = \max\{-f(x), 0\}\), trong đó cả hai đều là các hàm đo có khả tích Như vậy, hàm \(f\) có thể được phân tách thành \(f = f^+ - f^-\), giúp xây dựng các khái niệm cơ bản trong lý thuyết đo và tích phân.
Các khái niệm trên có thể được mở rộng cho hàm có giá trị phức Nếu
Trong lý thuyết tích phân phức, hàm khám phá có thể biểu diễn dưới dạng \(f : \Omega \to \mathbb{C}\) với \(f = g + i h\), trong đó \(g\) và \(h\) là các hàm số thực Tích phân của \(f\) trên tập \(\Omega\) được định nghĩa là tổng hợp của tích phân từng phần: \(\int_{\Omega} f = \int_{\Omega} g + i \int_{\Omega} h\) Tích phân tổng quát chia sẻ nhiều đặc điểm của tích phân Riemann, bao gồm tính tuyến tính, đảm bảo tính nhất quán trong phép tính tích phân phức.
Ví dụ về tích phân Lebesgue xảy ra khi không gian đo là không gian đo Lebesgue Trong trường hợp này, tích phân Lebesgue được sử dụng để tính tích phân của các hàm khả tích Nếu một hàm khả tích theo phương pháp Riemann thì cũng khả tích theo phương pháp Lebesgue, và giá trị của tích phân Riemann sẽ bằng với giá trị của tích phân Lebesgue Phương pháp tích phân Lebesgue mang lại lợi ích trong việc xử lý các hàm phức tạp hơn, mở rộng khả năng tính toán tích phân trong phân tích toán học.
2.6.5 Ví dụ Với 𝜇là độ đo đếm trênΩ, nếu𝜑:Ω →Rlà hàm không âm thì từ định nghĩa của tích phân có thể thấy
Đặc biệt, nếu Ω = {1,2, , 𝑛} là tập hữu hạn có𝑛 phần tử thì ∫ Ω 𝜑 𝑑𝜇 Í 𝑛
𝑖 =1 𝜑(𝑖), chính là tổng của hữu hạn số thực Nếu Ω = Z + thì có thể thấy
𝑖=1 𝜑(𝑖), chính là tổng của chuỗi số thực Tích phân thực sự là tổng quát hóa của tổng
Tích phân tổng quát có những tính chất quan trọng liên quan tới việc qua giới hạn mà tích phân Riemann không có.
Định lý hội tụ bị chặn khẳng định rằng nếu một dãy hàm số \(f_m\) hội tụ từng điểm về hàm \(f\), và dãy hàm này bị chặn từng điểm bởi một hàm khả tích \(g\) (tức là \(\forall x, \forall m, |f_m(x)| \leq g(x)\)), thì dãy \(f_m\) hội tụ đều trên các miền xác định Điều này có ý nghĩa quan trọng trong phân tích hàm số và lý thuyết hội tụ của dãy hàm, đặc biệt trong việc xác định tính liên tục và khả năng hội tụ đều của các dãy hàm.
𝑓 khả tích và dãy các tích phân của 𝑓 𝑚 hội tụ về tích phân của 𝑓.
Lý thuyết độ đo và tích phân tổng quát có phạm vi phức tạp và đồ sộ, đặc biệt so với trình độ của sinh viên năm đầu đại học Tuy nhiên, trong quá trình học, chúng ta chủ yếu tập trung vào các tính chất căn bản của tích phân để hiểu rõ hơn về các không gian 𝐿 𝑝 Việc nắm vững định nghĩa và đặc điểm của các không gian này là nền tảng quan trọng giúp tiếp cận các khái niệm phức tạp hơn trong lý thuyết tích phân tổng quát.
Cho (Ω, 𝜇) là một không gian đo VớiF =RhoặcF =C, và 𝑝 ∈ [1,∞), xét tập
Một tính chất được xem là đúng hầu khắp nơi nếu nó đúng trên một tập con có phần bù có đo bằng không, nghĩa là các phần tử sai của tính chất nằm trong một tập hợp có độ đo không Điều này phản ánh rằng tính chất đó phạm vi phần lớn nơi, ngoại trừ những phần tử trong một tập hợp nhỏ về đo lường Trong lý thuyết đo lường, việc xác định một tính chất đúng hầu khắp giúp phân biệt các thuộc tính có thể bỏ qua các phần tử nhỏ về đo lường để tập trung vào những phần rộng lớn hơn của tập hợp.
𝐿 ∞ (Ω, 𝜇) 𝑓 :Ω→Fđo được| ∃𝐶 >0,|𝑓 (𝑥) | ≤𝐶 hầu khắp trênΩ
2.6.7 Ví dụ NếuΩ = [0,1],𝜇là độ đo Lebesgue, và 𝑓 là liên tục, thì∥𝑓∥ ∞ sup{|𝑓(𝑥)| | 𝑥 ∈ [0,1]}, chính là chuẩn supcủa hàm liên tục mà ta đã khảo sát Xem 2.8.30.
Ta có hai bất đẳng thức cơ bản sau ([11, tr 63], [14, tr 86]):
2.6.8 Mệnh đề(Bất đẳng thức Hửlder) Cho 𝑓 ∈ 𝐿 𝑝 (Ω, 𝜇), 𝑔∈ 𝐿 𝑞 (Ω, 𝜇), với1≤ 𝑝 ≤ ∞, 1 𝑝 + 1 𝑞 =1 Ta có 𝑓 𝑔 ∈ 𝐿 1 (Ω, 𝜇)và
2.6.9 Ví dụ Bất đẳng thức Buniakowski quen thuộc cho các số thực là một trường trường hợp riờng của Bất đẳng thức Hửlder, khiΩ = {1,2, , 𝑛}, 𝜇 là độ đo đếm,𝑝 =2,𝑞=2.
2.6.10 Mệnh đề (Bất đẳng thức Minkowski) Cho 𝑓 , 𝑔 ∈ 𝐿 𝑝 (Ω, 𝜇), với
2.6.11 Ví dụ Các Bất đẳng Minkowski cho các bộ số ở (2.2.3) và (2.4.3) là các trường hợp riêng, khiΩ ={1,2, , 𝑛}, hoặcΩ =Z + , và𝜇là độ đo đếm.
Bất đẳng thức Minkowski chính là dạng mở rộng của bất đẳng thức tam giác đối với các chuẩn Tuy nhiên, để xác định một chuẩn đúng nghĩa, cần xem xét điều kiện ∥𝑓∥ 𝑝 = 0 ⇔ 𝑓 = 0 hầu hết các trường hợp, do đó chưa đủ để coi đó là một chuẩn hoàn chỉnh Để đảm bảo đặc tính của chuẩn, cần xét các lớp tương đương dưới quan hệ phù hợp, giúp định nghĩa rõ ràng và chính xác hơn về chuẩn trong không gian đề cập.
Có thể kiểm được dưới quan hệ tương đương này thì các cấu trúc trên khiến
Các đề tài khác
2.6.12 Ví dụ( ℓ 𝑝 (𝐸)) Với 𝜇là độ đo đếm trên𝐸 thì 𝐿 𝑝 (𝐸, 𝜇) thường được kí hiệu làℓ 𝑝 (𝐸) Nếu𝜑 :𝐸 →Fthì𝜑 ∈ℓ 𝑝 (𝐸)khi và chỉ khi
Nếu𝐸 là một tập vô hạn đếm được, tức có song ánh vớiZ + , thìℓ 𝑝 (𝐸)đơn giản làℓ 𝑝 Thực vậy cho1 ≤ 𝑝 < ∞, nếu𝑥 ∈ℓ 𝑝 (Z + )thì có thể thấy
Tương tựℓ ∞ (Z + )là không gian các dãy số bị chặn.
Nếu𝐸 là tập hữu hạn với𝑛phần tử thỡℓ 𝑝 (𝐸)chớnh làF 𝑛 với chuẩn∥ã∥ 𝑝
2.6.13 Định lý 𝐿 𝑝 (Ω), với1≤ 𝑝 ≤ ∞, là các không gian Banach.
Chứng minh định lý này có ở [11, tr 67], [14, tr 89].
2.7.1 Mệnh đề Cho𝐴là một tập con compắc trong không gian EuclidR 𝑛 và
𝑔 là một ánh xạ liên tục từ 𝐴×RvàoR Đặt𝐸 =𝐶(𝐴,R) – không gian các ánh xạ liên tục từ 𝐴vàoRvới chuẩn ∥𝑥∥ =sup 𝑡∈𝐴 |𝑥(𝑡)| Cho𝑎là một phần tử trong 𝐸 Với (𝑡, 𝑥) ∈ 𝐴×𝐸, đặt
Trong bài viết, ta đề cập đến tích phân Lebesgue của hàm \(g(t, x(s))\), đặc biệt khi tích phân được hiểu theo phương pháp Lebesgue thay vì Riemann, nhất là khi tập \(A\) không phải là hình hộp Hàm \(f\) trong ngữ cảnh này là một ánh xạ liên tục từ tập \(E\) vào chính nó, đảm bảo tính liên tục và ổn định của quá trình tích phân Điều này giúp nâng cao độ chính xác và phù hợp trong việc áp dụng các phương pháp tích phân trong phân tích hàm số.
Chứng minh Trước hết ta cần kiểm 𝑓 được định nghĩa tốt, cụ thể là kiểm
𝑓(𝑥)(𝑡) là một số thực, và 𝑓(𝑥) liên tục theo𝑡tức 𝑓(𝑥) ∈ 𝐸.
Hàm liên tục trên tập compact trong \( \mathbb{R}^n \) thì khả tích Lebesgue (nhưng không nhất thiết khả tích Riemann), do đó \( f(x)(t) \) là một số thực Để kiểm tra tính liên tục của \( f(x) \), ta có thể sử dụng định nghĩa liên tục đều Vì \( x \) liên tục trên \( A \) nên tập \( x(A) \) là compact trong \( \mathbb{R} \), và từ đó tập hợp \( B = A \times x(A) \) cũng là compact trong \( \mathbb{R}^{n+1} \) Vì hàm \( g \) liên tục đều trên \( B \), nên để đạt mức ε > 0, tồn tại δ > 0 sao cho mọi \( u \in \) (đối tượng liên quan), các quan hệ và điều kiện về tính liên tục đều được thỏa mãn.
𝐵,∀𝑢 ′ ∈ 𝐵,∥𝑢−𝑢 ′ ∥ < 𝛿 thì |𝑔(𝑢) −𝑔(𝑢 ′ )| < 𝜖 Như vậy nếu ∥𝑡−𝑡 ′ ∥ < 𝛿 thì ∥(𝑡, 𝑥(𝑠)) − (𝑡 ′ , 𝑥(𝑠))∥ = ∥𝑡−𝑡 ′ ∥ < 𝛿, do đó|𝑔(𝑡, 𝑥(𝑠)) −𝑔(𝑡 ′ , 𝑥(𝑠))| < 𝜖.
(Vì 𝐴 bị chặn nên độ đo Lebesgue của 𝐴 là một số thực, không phải là∞).
Vậy 𝑓(𝑥) liên tục theo𝑡. Để kiểm tra tính liên tục của 𝑓(𝑥) cũng có thể dùng định lý hội tụ bị chặn
Lebesgue như sau Giả sử𝑡 𝑛 hội tụ về𝑡 Hàm𝑔liên tục trên tập compắc 𝐴×
𝑥(𝐴)nên bị chặn, do đó có số thực𝑀sao cho∀𝑡 ∈ 𝐴,∀𝑠 ∈ 𝐴,|𝑔(𝑡, 𝑥(𝑠)| ≤ 𝑀. Đặt𝑔 𝑛 (𝑠) =𝑔(𝑡 𝑛 , 𝑥(𝑠))thìlim 𝑛→∞ 𝑔 𝑛 (𝑠) =𝑔(𝑡, 𝑥(𝑠))và∀𝑠∈ 𝐴,|𝑔 𝑛 (𝑠)| ≤ 𝑀. Áp dụng định lý hội tụ bị chặn Lebesgue cho dãy(𝑔 𝑛 ) 𝑛 , ta được
Do đó 𝑓(𝑥)liên tục theo𝑡.
Chúng ta bắt đầu bằng việc chứng minh rằng hàm số \(f\) liên tục tại mọi điểm \(x \in E\) Phương pháp này dựa trên tính liên tục đều của hàm \(f\), tương tự như các chứng minh trước, nhưng đòi hỏi sự điều chỉnh phù hợp Đặc biệt, do \(g\) liên tục đều trên khoảng xác định, chúng ta có thể sử dụng tính chất này để mở rộng chứng minh một cách chính xác và rõ ràng hơn.
𝐵 = 𝐴× [− ∥𝑥∥ −1,∥𝑥∥ +1] nên cho 𝜖 > 0, có 1 > 𝛿 > 0sao cho ∀𝑢 ∈
𝐵,∀𝑢 ′ ∈ 𝐵,∥𝑢−𝑢 ′ ∥ < 𝛿 thì |𝑔(𝑢) −𝑔(𝑢 ′ )| < 𝜖 Như vậy nếu ∥𝑥−𝑥 ′ ∥ < 𝛿 thì ∀𝑠 ∈ 𝐴,∥(𝑥(𝑠) −𝑥 ′ (𝑠)∥ < 𝛿, do đó ∥(𝑡, 𝑥(𝑠)) − (𝑡, 𝑥 ′ (𝑠))∥ < 𝛿, và do
(𝑡, 𝑥 ′ (𝑠)) ∈ 𝐵nên dẫn tới|𝑔(𝑡, 𝑥(𝑠)) −𝑔(𝑡, 𝑥 ′ (𝑠))| < 𝜖 Suy ra
𝐴 |𝑔(𝑡, 𝑥(𝑠)) −𝑔(𝑡, 𝑥 ′ (𝑠))| 𝑑𝑠 ≤ 𝜖|𝐴|. Điều này dẫn tới ∥𝑓(𝑥) − 𝑓(𝑥 ′ )∥ ≤ 𝜖|𝐴|.Lý luận này chứng tỏ 𝑓 liên tục tại
Định lý Ascoli, còn gọi là định lý Ascoli–Arzela, cung cấp tiêu chuẩn quan trọng để xác định sự compắc trong không gian các hàm liên tục Đây là một công cụ hữu ích trong phân tích hàm, giúp đánh giá xem tập hợp các hàm có thể tích hợp, đóng gói và bị giới hạn hay không Việc áp dụng định lý này hỗ trợ các nhà toán học và nhà nghiên cứu trong việc xác minh tính compắc của các tập hợp hàm trong các bài toán phức tạp hơn.
Định lý Ascoli đảm bảo rằng, trong không gian \( C(X, R) \) với \( X \) là không gian metric compact, tập con \( \overline{A} \) là compact nếu và chỉ nếu nó thỏa mãn hai điều kiện chính Điều kiện đầu tiên là tập \( A \) bị chặn từng điểm, nghĩa là với mọi \( x \in X \), tập giá trị \( \{f(x) | f \in A\} \) bị chặn Điều này đảm bảo tính btục của các hàm trong tập \( A \) và là yếu tố quan trọng để xác định tính compact của tập trong không gian hàm liên tục với chế độ topology phù hợp.
Chứng minh * Chứng minh này dùng tính tiền compắc và tính compắc qua phủ mở, có chẳng hạn ở [7, 14] Chứng minh với cách viết hơi khác có trong
Trong không gian métric 𝑋, tính tiền compắc (hay còn gọi là hoàn toàn bị chặn) được định nghĩa như sau: với mọi 𝜖 > 0, không gian 𝑋 được phủ bởi hữu hạn quả cầu bán kính 𝜖, nghĩa là tồn tại tập hợp các điểm 𝑥_𝑖 ∈ 𝑋, từ 1 đến n, sao cho toàn bộ không gian nằm trong liên hợp của các quả cầu này.
Một không gian metric là compact khi và chỉ khi nó là tiền compact và đầy đủ Điều này có nghĩa là, trong không gian đó, mọi phủ mở đều có thể có một phủ con hữu hạn Kết quả này cho thấy rằng tính compact của không gian metric liên quan chặt chẽ đến khả năng bao phủ bằng các tập hợp hữu hạn, giúp nâng cao hiểu biết về các tính chất của không gian trong lý thuyết topology.
(⇒)Vì 𝐴bị chặn nên bị chặn từng điểm.
Ta xét tính đồng liên tục Vì 𝐴¯compắc nên là tiền compắc, dẫn tới∀𝜖 > 0 có 𝑓 𝑖 ∈𝐶 𝑖 (𝑋,R),1≤ 𝑖 ≤ 𝑛sao choÐ 𝑛
𝑖=1 𝐵(𝑓 𝑖 , 𝜖) ⊃ 𝐴 Suy ra với mọi 𝑓 ∈ 𝐴 có𝑖sao cho∥𝑓 − 𝑓 𝑖 ∥ < 𝜖 Vì𝑋compắc nên với mỗi𝑖hàm 𝑓 𝑖 là liên tục đều, do đó∃𝛿 𝑖 > 0,∥𝑥−𝑦∥ < 𝛿 𝑖 ⇒ |𝑓 𝑖 (𝑥) − 𝑓 𝑖 (𝑦)| < 𝜖 Lấy𝛿 =min{𝛿 𝑖 |1≤ 𝑖 ≤ 𝑛}. Khi đó nếu∥𝑥−𝑦∥ < 𝛿thì
Vậy 𝐴là đồng liên tục.
(⇐)Vì𝐴¯đóng trong𝐶(𝑋,R,∥∥ ∞ )nên𝐴¯là đầy đủ Do đó chỉ cần chứng minh 𝐴¯là tiền compắc.
Cho𝜖 > 0 Vì 𝐴là đồng liên tục nên ∃𝛿 > 0,∀𝑓 ∈ 𝐴,∥𝑥−𝑦∥ < 𝛿 ⇒
|𝑓(𝑥) − 𝑓(𝑦)| < 𝜖 Họ các quả cầu𝐵(𝑥, 𝛿) phủ𝑋, do đó có phủ con hữu hạn {𝐵(𝑥 𝑖 , 𝛿) | 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑚} Tập𝑌 = Ð 𝑚
𝑖=1{𝑓(𝑥 𝑖 ) | 𝑓 ∈ 𝐴} bị chặn do tính bị chặn từng điểm của 𝐴, nên tồn tại một họ hữu hạn các khoảng mở 𝐵(𝑎 𝑗 , 𝜖),
Trong bài viết, chúng ta xem xét các ánh xạ từ tập {1, 2, , m} vào tập {1, 2, , n}, trong đó mỗi ánh xạ thuộc tập hữu hạn Φ𝜎 Nếu tôi gọi 𝑎𝑗 ∈ R (với 1 ≤ 𝑗 ≤ 𝑛), thì để đảm bảo tính đúng, phải có tồn tại một chỉ số 𝑗 sao cho hình ảnh của mỗi 𝑥𝑖 (𝑓(𝑥𝑖)) nằm trong quả cầu 𝐵(𝑎𝑗, 𝜖) Điều này giúp xác định rõ các tập hợp ánh xạ phù hợp với điều kiện đề ra trong bài viết.
Nếu 𝑓 , 𝑔 ∈Φ 𝜎 thì với mỗi𝑥 ∈ 𝑋có𝑖 sao cho𝑥 ∈ 𝐵(𝑥 𝑖 , 𝛿), nên
VậyΦ 𝜎 chứa trong một quả cầu tâm thuộc 𝐴với bán kính4𝜖 Họ các quả cầu này phủ 𝐴 Vậy 𝐴là tiền compắc Điều này dẫn tới 𝐴¯là tiền compắc □
Tập𝐴⊂ 𝐶(𝐾,R)được gọi là một đại số con (của𝐶(𝐾,R)) khi 𝑓+𝑔, 𝑓 𝑔, 𝛼 𝑓 ∈
𝐴, với mọi 𝑓 , 𝑔 ∈ 𝐴,𝛼 ∈ R, và được gọi là tách các điểm của𝐾 khi với mọi
𝑥, 𝑦 ∈ 𝐾, nếu𝑥 ≠ 𝑦thì tồn tại 𝑓 ∈ 𝐴sao cho 𝑓 (𝑥) ≠ 𝑓 (𝑦).
Định lý Stone–Weierstrass chính xác rằng nếu \(K\) là không gian mêtríc compact và \(A \subset C(K, R)\) là một đại số con, thì khi \(A\) tách các điểm của \(K\) và chứa các hàm hằng, nó sẽ là dầy đặc trong không gian \(C(K, R)\) Điều này có ý nghĩa quan trọng trong việc xấp xỉ các hàm liên tục bằng các hàm trong đại số con \(A\), mở ra nhiều ứng dụng trong phân tích và toán học tổng quát.
Do tập 𝐴các đa thức theo𝑛biến là một đại số con, chứa các hàm hằng và tách mọi điểm củaR 𝑛 , ta được
2.7.4 Hệ quả Mọi hàm số liên tục xác định trên tập con𝐾 compắc trongR 𝑛 đều có thể xấp xỉ đều bằng các đa thức𝑛biến.
Bài tập
2.8.1 Trong một không gian định chuẩn chứng minh rằng | ∥𝑥 ∥ − ∥ 𝑦 ∥ | ≤ ∥𝑥 − 𝑦 ∥
2.8.2 ✓ Cho (𝑥 𝑛 ) và ( 𝑦 𝑛 ) là hai dãy lần lượt hội tụ về 𝑥 và 𝑦 trong một không gian định chuẩn ( 𝐸, ∥ã∥), và cho 𝛼 thuộc F Chứng minh:
(a) Dãy (𝑥 𝑛 ) chỉ có một giới hạn.
Chứng minh rằng bao đóng của một không gian véc tơ con trong một không gian chuẩn vẫn là một không gian véc tơ con là một phần quan trọng trong lý thuyết không gian véc tơ Cụ thể, nếu M là một không gian véc tơ con của không gian chuẩn E, thì bao đóng của M cũng là một không gian véc tơ con của E, đảm bảo tính chất đóng của không gian véc tơ con trong quá trình mở rộng.
2.8.4 ✓ Cho (𝐸, ∥ã∥) là một khụng gian định chuẩn Chứng minh rằng ỏnh xạ ℎ (𝑥) =
Trong phần này, ta xét toán tử tịnh tiến \( x \mapsto x + a \) với \( a \in X \) và toán tử co dãn \( x \mapsto \alpha x \) với \( \alpha \in F \setminus \{0\} \) Chứng minh rằng cả phép tịnh tiến và phép co dãn đều là các phép đồng phôi (bằng) từ một không gian chuẩn đoán lên chính nó, thể hiện tính chất biến đổi giữ nguyên cấu trúc không gian Các phép biến đổi này là các phép đồng phôi vì chúng bảo toàn các đặc tính của không gian định chuẩn, giúp làm sáng rõ vai trò của chúng trong lý thuyết không gian véc tơ vệ và các phép biến đổi tuyến tính.
2 𝑥 2 + 3 𝑦 2 Đây có là một chuẩn trên R 2 không?
2.8.7 Cho ∥ ã ∥ 1 là một chuẩn trờn khụng gian vectơ 𝑋 Chứng tỏ với mọi số thực dương 𝛼 thì ∥𝑥 ∥ 2 = 𝛼∥𝑥 ∥ 1 cũng là một chuẩn trên 𝑋 Chứng tỏ hai chuẩn này tương đương nhau.
2.8.8 * Chứng minh rằng hai chuẩn trên một không gian vectơ là tương đương khi và chỉ khi một tập là mở trong chuẩn này thì mở trong chuẩn kia.
2.8.9 (mêtric sinh ra chuẩn) Cho không gian vectơ 𝑋 trên trường F = R, C
Trong bài viết này, chúng ta giả sử X có một chuẩn chuẩn hiệu là ∥·∥ Chúng ta chứng minh rằng nếu đặt d(x, y) = ∥x - y∥ thì d chính là một mêtríc trên tập X Chuẩn sinh ra mêtríc này thỏa mãn các tính chất của một mêtríc, đảm bảo tính hợp lệ trong không gian đo lường Ngoài ra, chứng minh còn cho thấy rằng mêtríc d này thỏa mãn mọi tính chất liên quan đến các điểm x, y, z trong X và mọi 𝛼 thuộc F, giúp xác định rõ hơn cấu trúc không gian và ứng dụng trong phân tích toán học.
(b) Ngược lại giả sử 𝑋 có mêtríc 𝑑 thỏa (2.8.10) Chứng tỏ nếu ta đặt ∥𝑥 ∥ = 𝑑 (𝑥, 0 ) thì đây là một chuẩn trên 𝑋 Vậy mêtríc thỏa (2.8.10) sinh ra chuẩn Chứng tỏ ta lại có 𝑑 (𝑥, 𝑦) = ∥𝑥 − 𝑦 ∥
2.8.11 (a) Kiểm ỏnh xạ 𝑓 ở 2.3.3 là một phộp đồng phụi từ ( 𝑋, ∥ã∥) sang (F 𝑛 , ∥ã∥ F 𝑛 )
(b) Chứng tỏ hai không gian định chuẩn ứng với hai chuẩn trên cùng không gian vectơ F 𝑛 là đồng phôi với nhau qua ánh xạ đồng nhất.
(c) Kết luận các không gian định chuẩn hữu hạn chiều trên cùng một trường mà có cùng số chiều thì đẳng cấu tôpô với nhau.
Trong không gian Banach, chuỗi hội tụ tuyệt đối đều hội tụ, điều này được chứng minh rõ ràng khi xét các dãy trong không gian đó Cụ thể, nếu (xₙ)ₙ∈ℤ⁺ là một dãy trong không gian Banach và chuỗi ∑‖xₙ‖ₙ hội tụ tuyệt đối, thì dãy này cũng hội tụ trong không gian Banach đó Tính hội tụ tuyệt đối đảm bảo rằng các dãy trong không gian này có tính ổn định và đáng tin cậy khi xét đến các phép cộng và nhân lại, góp phần làm rõ hơn về tính chất của không gian Banach trong lý thuyết phân tích.
(d) Hãy chứng tỏ dãy (𝑥 𝑛 ) 𝑛∈Z + hội tụ về 𝑥 trong ℓ 2
𝑝 Chứng tỏ | 𝑦 𝑛 | ≤ 1 với mọi 𝑛 ∈ Z + (b) Suy ra ∥𝑦 ∥ 𝑞 ≤ ∥ 𝑦∥ 𝑝
(c) Chứng tỏ với mọi 𝑥 ∈ ℓ 𝑝 thì 𝑥 ∈ ℓ 𝑞 và ∥𝑥 ∥ 𝑞 ≤ ∥𝑥 ∥ 𝑝
2.8.17 ✓ Đặt 𝑐 𝑐 là tập hợp tất cả các dãy 𝑥 = (𝑥 𝑛 ) trong F sao cho có một số nguyên
(a) Chứng minh (𝑐 𝑐 , ∥ã∥ 𝑖 ) là cỏc khụng gian con vụ hạn chiều của ℓ 𝑝 với 1 ≤ 𝑝 ≤
(b) Từ đó suy ra ℓ 𝑝 với 1 ≤ 𝑝 ≤ ∞ là không gian vectơ vô hạn chiều.
(c) Chứng minh tập 𝑐 𝑐 là dày đặc (trù mật) trong ℓ 𝑝 với 1 ≤ 𝑝 < ∞
(d) Tập 𝑐 𝑐 có dày đặc trong ℓ ∞ hay không?
2.8.18 Trong ℓ ∞ xét 𝑒 𝑛 = ( 0 , , 0 , 1 , 0 , ) , trong đó số 1 nằm ở vị trí thứ 𝑛 Chứng tỏ dãy ( 𝑒 𝑛 ) 𝑛≥ 1 không có dãy con hội tụ Suy ra quả cầu 𝐵 ′ (0, 1) không compắc.
Không gian các hàm liên tục
2.8.19 Tập sau đây có đóng hay mở không trong 𝐶 ([0, 1] , R) với chuẩn ∥𝑥 ∥ ∞ = sup 𝑡∈[ 0 , 1 ] |𝑥 (𝑡)| ?
2.8.20 Xét 𝑋 = 𝐶([ 0 , 1 ], R) , không gian định chuẩn các hàm liên tục từ [ 0 , 1 ] vào
R với chuẩn ∥ 𝑓 ∥ = sup {| 𝑓 ( 𝑥)| | 𝑥 ∈ [ 0 , 1 ]} Đặt 𝑓 𝑛 (𝑥) = 𝑥 𝑛 𝑛 Dãy ( 𝑓 𝑛 ) 𝑛∈Z + có hội tụ từng điểm hay không? Dãy ( 𝑓 𝑛 ) 𝑛∈Z + có hội tụ trong 𝑋 hay không?
2.8.21 Xét không gian định chuẩn 𝐶 ([− 1 , 1 ], R) với chuẩn sup Với 𝑛 ∈ Z + và
Trong hình dưới đây có đồ thị của 𝑓 𝑛 với 1 ≤ 𝑛 ≤ 5.
(c) Tìm giới hạn từng điểm của dãy ( 𝑓 𝑛 ) 𝑛∈Z + , tức là tìm hàm 𝑓 sao cho với 𝑥 ∈ [− 1 , 1 ] , thì 𝑓 (𝑥) = lim 𝑛→∞ 𝑓 𝑛 (𝑥)
(d) ( 𝑓 𝑛 ) 𝑛∈Z + có hội tụ trong 𝐶 ([− 1 , 1 ] , R) hay không?
0 0 ff1 1 ff2 2 ff 3 3 ff4 4 ff 5 5
2.8.22 ✓ Xét 𝑋 = 𝐶([0, 1], R), không gian các hàm liên tục từ [0, 1] vào R với chuẩn ∥ 𝑓 ∥ ∞ = sup {| 𝑓 (𝑥 )| | 𝑥 ∈ [ 0 , 1 ]} Đặt 𝑀 = { 𝑓 ∈ 𝑋 | 𝑓 ( 0 ) = 0 }
(a) Chứng tỏ 𝑀 là một không gian vectơ con của 𝑋
(b) Cho ví dụ hai phần tử độc lập tuyến tính của 𝑀.
(c) Chứng tỏ 𝑀 là một tập con đóng của 𝑋
(d) Chứng tỏ với chuẩn thừa hưởng từ 𝑋 thì 𝑀 là một không gian Banach.
0 | 𝑓 (𝑥)| 𝑑𝑥 thì 𝑀 có là một không gian Banach không? (f) 𝑀 là không gian vectơ hữu hạn chiều hay vô hạn chiều?
2.8.23 ✓ Xét 𝑋 là không gian vectơ các hàm liên tục từ [ 0 , 1 ] vào R Xét chuẩn
0 | 𝑓 (𝑥)| 𝑑𝑥 (a) Chứng minh rằng với mọi 𝑓 ∈ 𝑋 thì ∥ 𝑓 ∥ 1 ≤ ∥ 𝑓 ∥ ∞
(b) Suy ra mọi dóy hội tụ theo chuẩn ∥ ã ∥ ∞ thỡ cũng hội tụ theo chuẩn ∥ ã ∥ 1 , mọi dóy Cauchy theo chuẩn ∥ ã ∥ ∞ cũng là dóy Cauchy theo chuẩn ∥ ã ∥ 1
(c) Giải thớch tại sao hai chuẩn ∥ ã ∥ 1 và ∥ ã ∥ ∞ khụng tương đương với nhau.
2.8.24 Xét 𝑋 là không gian vectơ các hàm liên tục từ [ 0 , 1 ] vào R Xét chuẩn ∥ 𝑓 ∥ ∞ = sup 𝑥 ∈[ 0 , 1 ] | 𝑓 (𝑥)| , ∥ 𝑓 ∥ 1 = ∫ 1
(a) Vẽ đồ thị của 𝑓 𝑛 Đồ thị thay đổi như thế nào khi 𝑛 thay đổi?
(b) Dóy ( 𝑓 𝑛 ) 𝑛∈Z + cú hội tụ theo chuẩn ∥ã∥ ∞ hay khụng?
(c) Dóy ( 𝑓 𝑛 ) 𝑛∈Z + cú hội tụ theo chuẩn ∥ã∥ 1 hay khụng?
(d) Dóy ( 𝑓 𝑛 ) 𝑛∈Z + cú hội tụ theo chuẩn ∥ã∥ 2 hay khụng?
(e) Sự hội tụ theo chuẩn ∥ã∥ 1 hay chuẩn ∥ã∥ 2 cú dẫn tới sự hội tụ từng điểm hay không?
2.8.25 Cho 𝑋 là không gian vectơ các hàm số liên tục trên [ 0 , 1 ] Trên 𝑋 xét chuẩn
(a) Chứng tỏ 𝑓 𝑛 ∈ 𝑋 Vẽ phác họa đồ thị của 𝑓 𝑛 với 𝑛 = 0 , 1 , 2.
(c) Tìm giới hạn từng điểm của dãy ( 𝑓 𝑛 ) 𝑛∈N , tức là với 𝑥 ∈ [ 0 , 1 ] , hãy tìm 𝑓 (𝑥) =
𝑛→∞ lim 𝑓 𝑛 ( 𝑥) Hàm 𝑓 có thuộc 𝑋 hay không?
(d) Chứng tỏ nếu dóy ( 𝑓 𝑛 ) 𝑛∈N hội tụ trong ( 𝑋, ∥ ã ∥ ∞ ) về 𝑔 ∈ 𝑋 (hội tụ đều) thỡ phải hội tụ từng điểm về 𝑔 , tức là ∀𝑥 ∈ [ 0 , 1 ] thì lim
𝑛→∞ 𝑓 𝑛 (𝑥) = 𝑔 (𝑥) (e) Dóy ( 𝑓 𝑛 ) 𝑛∈N cú hội tụ trong ( 𝑋, ∥ ã ∥ ∞ ) hay khụng?
(h) Chứng tỏ dóy ( 𝑓 𝑛 ) 𝑛∈N hội tụ trong ( 𝑋, ∥ ã ∥ 2 ) về 0.
(i) Chứng minh rằng một dóy bất kỳ ( ℎ 𝑛 ) 𝑛∈N hội tụ về ℎ trong ( 𝑋, ∥ ã ∥ ∞ ) thỡ cũng hội tụ về ℎ trong ( 𝑋, ∥ ã ∥ 2 )
(j) Giải thớch vỡ sao hai chuẩn ∥ ã ∥ ∞ và ∥ ã ∥ 2 khụng tương đương trờn 𝑋
2.8.26 Cho 𝑋 là không gian vectơ các hàm số liên tục trên [ 0 , 1 ] Trên 𝑋 xét chuẩn
(a) Vẽ phác họa đồ thị của 𝑓 𝑛 với 𝑛 = 0 , 1 , 2.
(b) Dóy ( 𝑓 𝑛 ) 𝑛∈N cú hội tụ trong ( 𝑋, ∥ ã ∥ ∞ ) hay khụng?
(c) Dóy ( 𝑓 𝑛 ) 𝑛∈N cú hội tụ trong ( 𝑋, ∥ ã ∥ 2 ) hay khụng?
Không gian \( C([0, 1], R) \) là không gian các hàm liên tục từ khoảng \([0,1]\) vào \( R \), được trang bị chuẩn \(\|f\|_\infty = \sup_{x \in [0,1]} |f(x)|\), giúp đo lường độ lớn của các hàm một cách chính xác Trong khi đó, không gian \( C^1([0, 1], R) \) gồm các hàm khả vi liên tục trên \([0,1]\), trong đó đạo hàm tại 0 và 1 được hiểu là đạo hàm một phía Đặc biệt, \( C^1([0,1], R) \) là một tập con của \( C([0,1], R) \), và câu hỏi đặt ra là kiểm tra xem liệu nó có phải là một không gian định chuẩn con của không gian lớn hơn hay không.
(b) Chứng tỏ nếu một dãy ( 𝑓 𝑛 ) 𝑛∈Z + trong 𝐶 1 ([ 0 , 1 ] , R) hội tụ về 𝑓 ∈ 𝐶 ([ 0 , 1 ] , R) thì với mỗi 𝑥 ∈ [ 0 , 1 ] dãy ( 𝑓 𝑛 (𝑥)) 𝑛∈Z + hội tụ về 𝑓 (𝑥)
(d) Dãy ( 𝑓 𝑛 ) 𝑛∈Z + trên có hội tụ trong 𝐶([ 0 , 1 ], R) hay không?
(e) Dãy ( 𝑓 𝑛 ) 𝑛∈Z + trên có hội tụ trong 𝐶 1 ([ 0 , 1 ], R) hay không?
(f) 𝐶 1 ([ 0 , 1 ], R) có phải là một tập con đóng của 𝐶 ([ 0 , 1 ] , R) hay không? (g) 𝐶 1 ([ 0 , 1 ], R) có phải là một không gian Banach không?
(h) 𝐶 1 ([0, 1], R) là không gian vectơ hữu hạn chiều hay vô hạn chiều?
0 | 𝑓 (𝑥)| 𝑑𝑥 thì 𝐶 1 ([ 0 , 1 ], R) có là một không gian Banach không?
2.8.28 Xét 𝐶 1 ([ 0 , 1 ], R) là tập hợp các hàm từ [ 0 , 1 ] vào R khả vi liên tục Ở đây đạo hàm tại 0 và 1 được hiểu là đạo hàm một phía Với 𝑓 ∈ 𝐶 1 ([ 0 , 1 ], R) đặt
(a) Hãy kiểm đây là một chuẩn trên 𝐶 1 ([ 0 , 1 ] , R) Trong phần còn lại của bài toán ta xét 𝐶 1 ([ 0 , 1 ], R) với chuẩn này.
(b) Giả sử (𝑥 𝑛 ) 𝑛 là một dãy Cauchy trong không gian định chuẩn 𝐶 1 ([ 0 , 1 ], R) Chứng tỏ tồn tại 𝑥 ∈ 𝐶 ([0, 1] , R) và 𝑦 ∈ 𝐶 ([0, 1], R) sao cho 𝑥 𝑛 → 𝑥 và
(c) Dùng Định lý cơ bản của Vi Tích phân,
(d) Hãy chứng tỏ là dãy (𝑥 𝑛 ) 𝑛 hội tụ trong 𝐶 1 ([ 0 , 1 ], R) Vậy 𝐶 1 ([ 0 , 1 ], R) là một không gian Banach.
(a) Đặt 𝐷 = {𝐶 > 0 | | 𝑓 (𝑥)| ≤ 𝐶 hầu khắp trên Ω } Lấy dãy 𝐶 𝑛 ∈ 𝐷 , 𝑛 ∈ Z + , hội tụ về inf 𝐷 Đặt 𝐸 𝑛 = {𝑥 ∈ Ω | | 𝑓 (𝑥)| > 𝐶 𝑛 } và 𝐸 = {𝑥 ∈ Ω | | 𝑓 (𝑥)| > inf 𝐷}.
𝑛 =1 𝐸 𝑛 (b) Suy ra 𝜇( 𝐸) = 0, và suy ra đánh giá trên.
(c) Chứng tỏ inf 𝐷 ∈ 𝐷 , tức là
Vậy ∥ 𝑓 ∥ ∞ chính là chặn trên hầu khắp nhỏ nhất của | 𝑓 |
2.8.30 Ta kiểm 2.6.7 Cho Ω = [ 0 , 1 ] , 𝜇 là độ đo Lebesgue, và 𝑓 là liên tục, ta chứng minh
(a) Chứng tỏ | 𝑓 (𝑥)| ≤ 𝐶 xảy ra hầu khắp khi và chỉ khi điều đó xảy ra với mọi 𝑥.
(b) Đặt 𝐴 = {| 𝑓 (𝑥 )| | 𝑥 ∈ [0, 1]} và 𝐷 là tập hợp các chặn trên của 𝐴 Chứng tỏ
(c) Có thể mở rộng kết quả này cho các không gian đo Ω nào khác?
(a) Dựng bất đẳng thức Hửlder, chứng tỏ
(b) Chứng tỏ 𝐿 𝑞 (Ω) ⊂ 𝐿 𝑝 (Ω) Định lý Ascoli
2.8.33 Cho 𝑋 là một tập compắc trong một khụng gian định chuẩn ( 𝐸, ∥ã∥) và 𝐴 = { 𝑓 1 , ã ã ã , 𝑓 𝑛 } là một tập con hữu hạn của 𝐶 ( 𝑋, R) Chứng minh 𝐴 là đồng liờn tục.
2.8.34 Cho 𝑀 là một tập con bị chặn của không gian 𝐶 ([0, 1] , R) với chuẩn sup Xét tập hợp 𝐴 các nguyên hàm của các phần tử của 𝑀 có dạng 𝑦 (𝑡) = ∫ 𝑡
0 𝑥 (𝑠) 𝑑𝑠 , 𝑥 ∈ 𝑀 Chứng tỏ 𝐴 có bao đóng compắc trong 𝐶 ([ 0 , 1 ] , R)
2.8.35 Cho 𝐴 là một tập con của tập 𝐶 1 ([ 0 , 1 ], R) trong không gian 𝐶 ([ 0 , 1 ] , R) với chuẩn sup thỏa ∀ 𝑓 ∈ 𝐴, ∥ 𝑓 ′ ∥ ∞ ≤ 𝑀 Chứng tỏ 𝐴 có bao đóng compắc trong
2.8.36 Cho 𝑀 là một tập con bị chặn của không gian 𝐶 ([ 0 , 1 ], R) với chuẩn sup. Chứng tỏ tập các hàm 𝑦(𝑡) = ∫ 1
0 𝑒 𝑡 𝑥(𝑠) 𝑑𝑠, 𝑥 ∈ 𝑀, có bao đóng compắc trong
2.8.37 Cho 𝑋 là một không gian mêtríc compắc, cho 𝐴 là một tập con bị chặn của không gian 𝐶 ( 𝑋, R) với chuẩn sup Giả sử 𝐴 là đồng Lipschitz, nghĩa là ∃𝑀 ∈ R, ∀𝑥 ∈
𝑋, ∀𝑦 ∈ 𝑋, ∀ 𝑓 ∈ 𝐴, | 𝑓 (𝑥) − 𝑓 ( 𝑦)| ≤ 𝑀 ∥𝑥 − 𝑦 ∥ Chứng tỏ mọi dãy trong 𝐴 có dãy con hội tụ (về một giới hạn không nhất thiết ở trong 𝐴 ).
2.8.38 * Xét phương trình vi phân
𝑦 ( 0 ) = 1 (2.8.39) Ở đây 𝑦 là một hàm số thực trên R
(a) Chứng tỏ phương trình vi phân trên tương đương với phương trình tích phân sau:
(b) Với mỗi hàm số thực liên tục 𝑦 trên R , đặt 𝑓 ( 𝑦) là hàm số thực cho bởi
Chứng tỏ 𝑓 là một ánh xạ được định nghĩa tốt từ tập 𝐶(R, R) vào chính nó.
(c) Chứng tỏ tồn tại 𝑇 > 0 và 0 < 𝛼 < 1 sao cho trên không gian định chuẩn
(d) Dùng định lý ánh xạ co, chứng tỏ 𝑓 có điểm bất động trên 𝑋
Phương trình (2.8.39) có nghiệm trên khoảng [0, T], xác nhận qua việc suy ra từ các phương pháp cơ bản trong chứng minh tồn tại nghiệm của phương trình vi phân Đây là bước quan trọng trong việc chứng minh rằng phương trình vi phân có giải pháp thích hợp trong khoảng thời gian đã cho Việc suy ra nghiệm trên [0, T] không chỉ khẳng định tính khả thi của phương pháp mà còn góp phần vào việc xây dựng các giải pháp cụ thể cho phương trình vi phân.
Chương 3 Ánh xạ tuyến tính liên tục
Trong môn Đại số tuyến tính, chúng ta đã nghiên cứu về ánh xạ tuyến tính trên các không gian tuyến tính hữu hạn chiều Hiện tại, chúng ta mở rộng khảo sát sang các không gian tuyến tính có thể vô hạn chiều, đặc biệt nhấn mạnh vào tính liên tục của các ánh xạ tuyến tính này Việc hiểu rõ tính liên tục trong các không gian vô hạn chiều là rất quan trọng để áp dụng trong các lĩnh vực khoa học và kỹ thuật phức tạp.