Đề Thi Hsg Toán 6

ĐỀ THI HSG TOÁN 6 ĐỀ THI HSG TOÁN 6 Thời gian 120 phút Câu 1( 4 điểm) a) Tính giá trị các biểu thức sau A = 3 + 32 + 33 + 34 + 3100 b) Tính giá trị biểu thức B = x2 + 2xy2 – 3xy 2 tại x = 2 và = 3 Câu[.]

ĐỀ THI HSG TOÁN 6 Thời gian 120 phút Câu 1( 4 điểm)

a) Tính giá trị các biểu thức sau:

A = 3 + 32 + 33 + 34 +………3100

b) Tính giá trị biểu thức B = x2 + 2xy2 – 3xy -2 tại x = 2 và = 3

Câu 2 (4 điểm)

a) Cho a; b và ( 11a + 2b) 12 Chứng minh ( a + 34b) 12

b) Tìm các số tự nhiên x; y biết: (x - 3)( y + 1) = 7

c) Khi chia số tự nhiên a cho các số: 5; 7; 11 thì được số dư lần lượt là 3; 4; 6

Tìm số a biết 100 < a < 200

Câu 3 ( 4 điểm)

1 Tìm tất cả các cặp số tự nhiên (x,y) sao cho chia hết cho 36

2 Cho

a) Chứng minh x 0

b) Tìm x Z thỏa mãn đẳng thức trên

Câu 4 ( 2 điểm)

a) Tìm n nguyên để (n2 – n – 1) n – 1

b) Tìm ƯCLN(2n + 1; 3n +1)

Câu 5 (6,0 điểm): Trên tia Ox, vẽ hai điểm A và B sao cho OA = 2cm, OB = 4cm

a) Trong ba điểm O, A, B điểm nào nằm giữa hai điểm còn lại? Vì sao?

b) Tính độ dài đoạn thẳng AB

c) Điểm A có phải là trung điểm của đoạn thẳng OB không? Vì sao?

d) Trên tia đối của tia BA lấy điểm D sao cho BD = 2BA Chứng tỏ rằng B là trung điểm của đoạn thẳng OD

………….Hết…………

CÂU NỘI DUNG ĐIỂM Câu 1

(4,0

đ)

a) (1,5 đ)

A = 3 + 32 + 33 + 34 +………3100

=> 3A = 32 + 33 + 34 +………3100 + 3101

=> 3A – A = 3101 – 3

=> A =

2

b) B = x2 + 2xy2 – 3xy -2 tại x = 2 và = 3

vì = 3 => y = 3

B = 20 tại x = 2; y = 3; B = 56 tại x = 2; y = -3 2

Câu 2

(3,5đ) a) Cho a; b Từ 12a + 36b 12 => ( 11a + 2b) + ( a + 34b) 12 và ( 11a + 2b) 12 Chứng minh ( a + 34b) 12

Mà ( 11a + 2b) 12 => ( a + 34b) 12

0,5 0,5

b) Tìm các số tự nhiên x; y biết: (x - 3)( y + 1) = 7

Vì (x - 3)( y + 1) = 7 mà 7 = 1.7 = 7.1 = (-1).(-7)=(-7)(-1)ta có

* *

* *

Vì x; y là số tự nhiên nên các cặp (x;y) = ( 4;6); (10;0)

c) Khi chia số tự nhiên a cho các số: 5; 7; 11 thì được số dư lần lượt là 3;

4; 6 Tìm số a biết 100 < a < 200

Vì khi chia a cho 5,7,11 có số dư lần lượt là 3,4,6

=> a = 5k + 3 ; a=7q + 4 ; a=11p + 6

=> 2a - 1 BC (5; 7; 11)

Tìm được a = 193

1,0

0,5

0,5 0,5 0,5

Câu 3

(3,0

đ)

Ta có 36 = 9.4 Mà ƯC(4,9) =1

Vậy để chia hết cho 36 thì chia hết cho 4 và 9

chia hết cho 9 khi 3 + 4 + x + 5 + y 9 => 12 + x + y 9 (1) chia hết cho 4 khi 4 => y = 2 hoặc y = 6

Với y = 2 thay vào (1) => 14 + x 9 => x = 4

Với y = 6 thay vào (1) => 18 + x 9 => x = 0 hoặc x = 9

Vậy các cặp (x,y) cần tìm là: (4,2); (0,6) và (9,6)

0,5 0,5

0,5 0,5

2 Cho a) Chứng minh x 0

CÂU NỘI DUNG ĐIỂM

=> 6x => x 0

b) Tìm x Z thỏa mãn đẳng thức trên

Vì x 0 =>  x + x+1+x+2 = 6x

 3x - 6x = -3  x = 1 (t/m)

0,5 0,5

0,5 0,5

Câu 4

(2,0

đ)

a) Tìm n nguyên để (n2 – n – 1) n – 1

Ta có: n2 – n – 1 n – 1  n(n-1) – 1 n – 1

=> -1 n – 1 => n – 1 => n

0,5 0,5 b) Tìm ƯCLN(2n + 1; 3n +1)

Gọi d là ƯCLN của 2n + 1 và 3n +1

=> 3(2n+1) – 2(3n+1) d => 1 d => d = 1 => ƯCLN(2n + 1; 3n +1) =

1

0,5 0,5

5 O A B D

x

Ta có OA = 2cm ; OB = 4cm Vì 2cm < 4cm => OA < OB nên A nằm

giữa O và B

0,5 0,5

Vì A nằm giữa O và B nên OA + AB = OB

 2 + AB = 4 => AB = 4 – 2 = 2 => AB = 2 cm

0,5 0,5

Vì OA + AB = OB và OA = AB = 2cm

Nên A là trung điểm của OB

0,5 0,5

Ta có BD = 2 BA = 2.2 = 4 cm => BD = BO = 4 cm (1)

Vì O và D nằm trên hai tia đối nhau gốc B nên B nằm giữa O và D =>

OB + BD = OD (2)

Từ (1) và (2) suy ra B là trung điểm của OD

0,5 0,5

Thời gian 120 phút Câu 1( 3 điểm)

a) Tính giá trị các biểu thức sau:

A = B =

b) Tìm số tự nhiên n biết: .3n = 7.32 92 – 2.3n

Câu 2 (3 điểm)

a) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức A =

b) Tìm các số x; y biết: x + y = x.y = (y

c) Cho số nguyên tố p lớn hơn 3, chứng minh p2 – 1 chia hết cho 24

Câu 3 ( 4 điểm)

1 Tìm các số a,b,c biết: và 3a – 2b + c = 105

2 Tìm x,y,z biết:

Câu 4 ( 2 điểm)

a) Tìm n nguyên để (2n2 + 3n +2) n + 1

Câu 5( 6 điểm) Cho tam giác ABC có Gọi AD, AE theo thứ tự là đường phân giác trong, phân giác ngoài của góc A ( D,E thuộc đường thẳng BC)

a Chứng minh rằng: ADC – ADB = B – C

b Kẻ đường cao AH Chứng minh rằng: AEB = HAD = ( )

c Tính số đo của các góc: ADB, ADC và HAD, biết = 400

Câu 6 ( 2 điểm): Cho m,n là hai số chính phương lẻ liên tiếp.

Chứng minh rằng: mn – m – n + 1 192

………….Hết…………

ĐÁP ÁN - BIỂU CHẤM

CÂU NỘI DUNG ĐIỂM Câu 1

(3,0đ) a) Tính giá trị các biểu thức sau: A = = B = = 36

1,5 b) Tìm số tự nhiên n biết: .3n = 7.32 92 – 2.3n

 3-1.3n + 2.3n = 7.36  3n-1 = 36  n = 7 1,5

Câu 2

(3,0đ) a) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức A =

Vì (x + )2 + 5 với mọi x R

=> dấu “=” xảy ra khi x = -

Giá trị lớn nhất là tại x = -

0,5

0,5

b) Tìm các số x; y biết: x + y = x.y = (y

Vì x + y = x.y => x = y(x-1) =>

Mặt khác x + y = => x + y = x + y => y = -1

Khi đó x – 1 = x(-1) => x =

0,5

0,5

c) Cho số nguyên tố p lớn hơn 3, chứng minh p2 – 1 chia hết cho 24

Ta có: p là số nguyên tố lẻ nên p không chia hết cho 3

p2 – 1 = (p - 1)( p + 1)

Vì p lẻ nên p-1 và p+1 là số chẵn liên tiếp nên (p - 1)( p + 1) 8

Mặt khác p-1; p; p+1 là ba số nguyên liên tiếp mà p không chia hết cho 3

nên (p - 1) hoặc ( p + 1) 3 Vì (3;8)=1 nên p2 – 1 24

0,5

0,5

Câu 3

(3,0

đ)

1 Tìm các số a,b,c biết: và 3a – 2b + c = 105

 b = -2 và c = 2(a+1) -2

 b = và c = 2a thay vào3a – 2b + c = 105 tính được

a = 52; b = c = 104

0,5 0,5 1,0

2 Tìm x,y,z biết:

0,5

Vì

* x - = 0  x = ; y + = 0 => y = - Tính được z = -

0,5 1,0

Câu 4

(2,0

đ)

a) Tìm n nguyên để (2n2 + 3n +2) n + 1

Ta có: 2n2 + 3n +2 n + 1  2n2 + 2n + n +1 + 1 n + 1

=> 1 n + 1 => n + 1

=> n

0,5 0,5

=> A >

0,5 0,5

5

A

E

B H D C

0,5

a Vì AD là tia phân giác góc A nên: BAD = CAD

Vì các góc ADC và ADB theo thứ tự là các góc ngoài của tam giac ABD

và ACD nên:

ADC = B + BAD; ADB = C + CAD

Suy ra: ADC – ADB = B + BAD – C – CAD = B - C

0,5 0,5

0,5

b Ta có : AEB = HAD ( hai góc có cạnh tương ứng vuông góc)

ACD + ADB = 1800  ADC = 1800 – ADB

Kết hợp với câu a Ta được

(1800 - ADB) = B – C => 2ADB 1800 – (B – C)

=> ADB = 900 – ( B – C)

Trong tam giác HAD, ta có: HAD = 900 – ADH = 900 – ADB

= 900 – [900 - ( B – C)] = ( B – C)

0,5 0,5

0,5 0,5

c Theo giả thiết ta có

ADC – ADB = 400

ADC + ADB = 1800

=> ADB = 700 ; ADC = 1100

0,5 0,5 0,5

CÂU NỘI DUNG ĐIỂM

Câu 6 Cho m,n là hai số chính phương lẻ liên tiếp.

Chứng minh rằng: mn – m – n + 1 192

m,n là hai số chính phương lẻ liên tiếp nên chúng có dạng

m = ( 2k – 1)2 và n = ( 2k + 1)2

Do đó: mn-m-n+1= 16k2(k-1)(k+1)

Ta có (k-1)k(k+1) 3 và (k-1)k.k(k+1) 4 nên (k-1)k2 (k+1) 12

16k2(k-1)(k+1) 16.12=192

0,5 0,5 0,5 0,5