Phiếu học tập tuần toán 7

Phiếu học tập tuần toán 7 Website tailieumontoan com SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP 9 QUẢNG NGÃI NĂM HỌC 2020 2021 Ngày thi 11/3/2021ĐỀ CHÍNH THỨC Môn Toán Thời gian làm[.]

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP 9

QUẢNG NGÃI NĂM HỌC 2020 - 2021

Ngày thi: 11/3/2021

Môn: Toán Thời gian làm bài: 150 phút

Bài 1: (4,0 điểm)

số chính phương

b) (1,5 điểm) Tìm các số nguyên x, y thỏa mãn đẳng thức:

c) (1,0 điểm) Số nhà bạn An là số có hai chữ số biết

Tìm số nhà bạn An

Bài 2: (4,0 điểm)

Bài 3: (4,0 điểm)

a) (2,0 điểm) Cho các số dương a, b thỏa mãn:

Chứng minh rằng: a2 + b2 = 2021

b) (2,0 điểm) Tìm giá trị nhỏ nhất của ; trong đó x, y là các

Bài 4: (7,0 điểm)

a) (1,5 điểm) Cho tam giác ABC và điểm M nằm trong tam giác Từ M

kẻ tia MD song song với AB (với D thuộc BC), tia ME song song với BC (với

E thuộc AC) và tia MF song song với AC (với F thuộc AB) Chứng minh rằng: ( : diện tích tam giác ABC, : diện tích tam giác DEF)

b) (5,5 điểm) Từ điểm P kẻ hai tiếp tuyến PA, PB với đường tròn (O;R);

A, B là tiếp điểm Gọi H là chân đường vuông góc hạ từ A đến đường kính

BC của đường tròn

i) Chứng minh rằng PC cắt AH tại trung điểm của AH

ii) Cho OP = a Tính độ dài AH theo R và a

ĐỀ CHÍNH THỨC

EF

iii) Đường thẳng d đi qua P sao cho khoảng cách từ O đến đường thẳng d bằng R , đường thẳng vuông góc với PO tại O cắt tia PB tại M Xác định vị trí của điểm P trên đường thẳng d để diện tích tam giác POM nhỏ nhất

Bài 5: (1,0 điểm) Trên công trường có những thanh sắt dài 7,4 m Người

ta muốn cắt các thanh sắt đó thành các đoạn dài 0,7 m và 0,5 m để sử dụng

a)(0,5 điểm) Em hãy nêu phương án cắt mà không phải hàn nối các

đoạn sắt cần dùng

b)(0,5 điểm) Muốn có 1000 đoạn sắt 0,7 m và 2000 đoạn sắt 0,5 m.

Ta phải dùng ít nhất bao nhiêu thanh sắt 7,4 m nêu trên?

HẾT

Ghi chú: Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP 9

QUẢNG NGÃI NĂM HỌC 2020 - 2021

Ngày thi: 11/3/2021

Môn: Toán Thời gian làm bài: 150 phút

HƯỚNG DẪN CHẤM

Bài 1: (4,0 điểm)

số chính phương

b) (1,5 điểm) Tìm các số nguyên x, y thỏa mãn đẳng thức:

c) (1,0 điểm) Số nhà bạn An là số có hai chữ số biết

Tìm số nhà bạn An

1a) (1,5 điểm)

A=

Vì A và là số chính phương nên là số chính

phương

0,25 điểm 0,25 điểm

ĐỀ CHÍNH THỨC

2

4 4  4n (2 ) (1 4 4n )

27 2

(2 ) 1 4 19944n27

Ta có > =

phương

Vậy với n=4014 là số nguyên dương lớn nhất để

là số chính phương

0,25 điểm

0,5 điểm

0,25 điểm

1b) (1,5 điểm)

Ta có

Kết luận: Các số nguyên x, y thỏa mãn đẳng thức

0,25 điểm

0,25 điểm 0,25 điểm

0,25 điểm

0,25 điểm

0,25 điểm

1c) (1,0 điểm)

Ta có

0,25 điểm

0,25

1994 27

1 4 4n 4n27 (2n27 2)

1994 27

1 4 4n

1994 27

1 4 4n (2n271)2  2n27 23987  n 4014

27 2021 4014 27 4014 2

4 4 4 (2 2 )

Kết luận: Số nhà bạn An là 26

điểm

0,25 điểm

0,25 điểm

Bài 2: (4,0 điểm)

2a) (2,0 điểm)

Điều kiện:

Đặt

Vậy ta được:

cho đại lượng liên hợp, sau đó đưa về phương trình tích để

tìm nghiệm

Đối chiếu với điều kiện ta được tập nghiệm là

0,5 điểm

0,5 điểm

0,5 điểm

0,5 điểm

2b) (2,0 điểm)

Kết hợp với

nghiệm)

ta được:

Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm (1;0) và (2;-1)

0,5 điểm

0,5 điểm

0,25 điểm

0,25 điểm

0,25 điểm

0,25 điểm

Bài 3: (4,0 điểm)

a) (2,0 điểm) Cho các số dương a, b thỏa mãn:

Chứng minh rằng: a2 + b2 = 2021

b) (2,0 điểm) Tìm giá trị nhỏ nhất của ; trong đó x, y là các

3a) (2,0 điểm)

Từ

Nhân, chia cả tử và mẫu cho biểu thức liên hợp, ta được:

0,5 điểm

0,5 điểm

0,5 điểm

0,5 điểm

3b) (2,0 điểm)

Từ

* Nếu x = 0 ; Nếu y = 0

* Nếu

Để phương trình có nghiệm thì

Nên giá trị nhỏ nhất của P = 1 – xy = 0 khi xy = 1

0,5 điểm

0,5 điểm

0,5 điểm

0,5 điểm

0; y 0

x



 *  xt y  1 2

t  xt2 2t y 0

R

P

F

E

D

A

M

Bài 4: (7,0 điểm)

a) (1,5 điểm) Cho tam giác ABC và điểm M nằm trong tam giác Từ M

kẻ tia MD song song với AB (với D thuộc BC), tia ME song song với

BC (với E thuộc AC) và tia MF song song với AC (với F thuộc AB) Chứng minh rằng: ( : diện tích tam giác ABC, : diện tích tam giác DEF)

b) (5,5 điểm) Từ điểm P kẻ hai tiếp tuyến PA, PB với đường tròn (O;R);

A, B là tiếp điểm Gọi H là chân đường vuông góc hạ từ A đến đường kính

BC của đường tròn

i) Chứng minh rằng PC cắt AH tại trung điểm của AH

ii) Cho OP = a Tính độ dài AH theo R và a

iii) Đường thẳng d đi qua P sao cho khoảng cách từ O đến đường thẳng d bằng R , đường thẳng vuông góc với PO tại O cắt tia PB tại M Xác định vị trí của điểm P trên đường thẳng d để diện tích tam giác POM nhỏ nhất

0,5 điểm

a) (1,5 điểm)

Từ D, E và F lần lượt vẽ các đường thẳng song song với MF,

MD và ME cắt AB, BC và AC lần lượt tại P, Q và R

Ta có: FR // BC nên ∽

Tương tự:

EF

2

AFR

 ABC

Suy ra:

Dấu “ = ” xảy ra khi AF = PB = FP = khi đó M là

trọng tâm của Nên ta có:

Suy ra:

Mặt khác: MERF; MDQE; MDPF là các hình bình hành

Nên

nên

0,25 điểm

0,25 điểm

0,25 điểm

0,25 điểm

1

3AB

ABC



EF REF; E QDE; F PDF

M MD MD DQERFP ABC

DEF

3 S  SABC

0,5 điểm

i)

Gọi N là giao điểm của CP và AH;

Ta có OA = OB = R; PA = PB (tính chất hai tiếp tuyến cắt

nhau)

Suy ra OP là đường trung trực của AB hay OP  AB

Xét ACH và POB có:

(cùng phụ với )

Từ (1) và (2) suy ra: AH = 2NH hay AN = NH

0,5 điểm

0,5 điểm

0,5 điểm

ii)

Xét ABC vuông ở A với đường cao AH có:

AH2 = BH.CH = (2R - CH).CH (3)

Từ (2) ta có thay vào (3), kết hợp với AH = 2NH

Ta được:

AH2 =

AH.CB AH.CB 2R -

2PB 2.PB

 4PB2.AH2 = (4R.PB - AH.CB).AH.2R = 8R2.PB.AH -

4R2.AH2

 PB2.AH = 2R2.PB - R2.AH

 AH(PB2 + R2) = 2R2.PB

0,5 điểm

0,5 điểm

a

d

N

M

H C

B

A

AHC PBO 90 

AH CH

PB OB

NH CH 2NH CH

PB CB  PB OB

2NH.OB CH

PB



Thay PB2 = a2 - R2 vào hằng đẳng thức trên ta được: 0,5 điểm

0,5 điểm

iii)

Ta có: SMOP =

1

2MP.OB =

1

2(PB + BM).OB =

1

2(PB + MB).R (4)

Ta có:

1

2(PB + MB)  PB.BM (5)

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi PB = BM

MOP vuông tại O, vì OB  PB, nên: PB.MB = OB2 = R2

(6)

Từ (4), (5), (6) suy ra SMOP  R2

Do đó minSMOP = R2  PB = BM = R

PBO vuông cân tại B OP = R

2.

Vậy MOP có diện tích nhỏ nhất khi OP = R 2 Khi đó P là

chân đường vuông góc hạ từ O đến đường

0,5 điểm

0,5 điểm

0,5 điểm

Bài 5: (1,0 điểm)

Trên công trường có những thanh sắt dài 7,4 m Người ta muốn cắt các thanh sắt đó thành các đoạn dài 0,7 m và 0,5 m để sử dụng

a)(0,5 điểm) Em hãy nêu phương án cắt mà không phải hàn nối các

đoạn sắt cần dùng

b)(0,5 điểm) Muốn có 1000 đoạn sắt 0,7 m và 2000 đoạn sắt 0,5 m.

Ta phải dùng ít nhất bao nhiêu thanh sắt 7,4 m nêu trên?

5.a) (0,5 điểm)

Gọi x, y lần lượt là các đoạn sắt 0,7 m và 0,5 m cắt ra từ

một thanh sắt 7,4 m Điều kiện x,y , x < 10

Ta có

nên và x < 10

0,25 điểm

Vậy

Cách 1: cắt thanh sắt 7,4 m làm 2 đoạn 0,7 m và 12 đoạn

0,5 m

Cách 2: cắt thanh sắt 7,4 m làm 7 đoạn 0,7 m và 5 đoạn

0,5 m

0,25 điểm

5.b) (0,5 điểm)

Gọi a,b lần lượt là số thanh sắt 7,4m được cắt theo cách1;

cách2 như câu a

Ta có số đoạn sắt 0,7m là 2a + 7b Số đoạn sắt 0,5m là 12a

+ 5b Vậy:

Do a,b Vậy a = 122, b =108 Nghĩa là dùng 122 thanh sắt 7,4m

cắt theo cách 1 và 108 thanh sắt 7,4m cắt theo cách 2

Nên dùng ít nhất là 230 thanh sắt 7,4m

Thật vậy : Chiều dài các đoạn sắt đã cắt là

Chiều dài các thanh sắt đã dùng là

Nên đây là cách cắt dùng số thanh sắt 7,4m là ít nhất để

đạt yêu cầu

0,25 điểm

0,25 điểm

Ghi chú : + Mỗi bài toán có thể có nhiều cách giải, học sinh giải cách

khác mà đúng thì vẫn cho điểm tối đa Tổ chấm thảo luận thống nhất biểu điểm chi tiết cho các tình huống làm bài của học sinh

+ Điểm từng câu và toàn bài không làm tròn số