Phiếu học tập tuần toán 7 Website tailieumontoan com SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HÓAĐỀ CHÍNH THỨC ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 2020 2021 Môn Toán – Lớp 9 Thời gian làm bài 150 phút (Đề thi gồm 0[.]
Trang 1THANH HÓA NĂM HỌC 2020 - 2021
Môn: Toán – Lớp: 9
Thời gian làm bài: 150 phút
(Đề thi gồm: 01 trang)
Câu 1. (4,0 điểm)
b) Cho a, b, c là các số thực đôi một khác nhau thỏa mãn
Tính giá trị của biều thức
Câu 2. (4,0 điểm)
a) Giải phương trình:
b) Giải hệ phương trình:
Câu 3. (4,0 điểm)
a) Tìm tất cả các cặp số nguyên thỏa mãn phương trình b) Cho x, y là hai số nguyên dương thỏa mãn chia hết cho xy Chứng minh
rằng chia hết cho 12
Câu 4. (6,0 điểm)
Cho đường tròn có bán kính vuông góc với nhau Kè hai tiếp tuyến với đường tròn tại và F, cắt nhau tại A Trên tia đối của tia lấy điểm sao cho
qua kẻ tiếp tuyến thứ hai cùa đường tròn là tiếp điểm, BD cắt AF tại Gọi là giao điểm của AI và FD.
a) Chứng minh rằng hai tam giác và đồng dạng.
b) Qua kẻ đường thẳng vuông góc với BC, cắt FD tại P Gọi là trung điểm AB, M
I cắt AC tại Chứng minh rằng tam giác APQ là tam giác cân.
c) Xác định vị trí của điểm đề chu vi tam giác AMQ đạt giá trị nhỏ nhất Tính giá trị nhỏ nhất đó theo
Câu 5. (2,0 điểm)
ĐỀ CHÍNH THỨC
Trang 2Cho các số thực dương x, y, z thỏa mãn Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HÓA NĂM HỌC 2020-2021 MÔN: TOÁN 9 Câu 1. (4,0 điểm)
b) Cho a, b, c là các số thực đôi một khác nhau thỏa mãn
Tính giá trị của biều thức
Lời giải
a) Với
:
Vậy
b)
Cách 1:
(vì a, b, c đôi một khác nhau) Lấy (1) trừ (2) vế theo vế suy ra:
(vì a, b, c đôi một khác nhau)
Trang 3Cộng (1) vé với vế ta được
s
Vậy
Cách 2:
Nhận xét a, b, c là ba nghiệm của phương trình
Theo định lý Viet, ta có:
Do đó ta có:
Vậy
Câu 2. (4,0 điểm)
a) Giải phương trình:
b) Giải hệ phương trình:
Lời giải
a) Điều kiện: Phương trình tương đương:
Suy ra Chia cá hai ve cùa phurong trinh cho ta được:
Đặt: vi suy ra:
Phương trình:
Trang 4Th1: với ( thỏa mãn đk ) Khi đó
thỏa mãn
Th2:
Do do pt(1) vô nghiệm
b) Nhận xét không thỏa mãn Xét , hệ phương trình tương đương:
Vậy hệ cho có hai nghiệm
Câu 3. (4,0 điểm)
a) Tìm tất cả các cặp số nguyên thỏa mãn phương trình b) Cho x, y là hai số nguyên dương thỏa mãn chia hết cho xy Chứng minh
rằng chia hết cho 12
Lời giải
a) Phương trình tương đương:
Nếu chia hết cho 3 thì và 15 chia hết cho chia 3 dư 1 nên phương trình vô nghiệm.Do đó không chia hết cho 3
Trang 5mà nên phải là số chẵn Do đó đặt và
Phương trình đã cho trở thành:
Thử lại thấy thỏa mãn Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất b) Theo đề bài ta có: với
Thay vào phương trình ta được: Suy ra 58 chia hết
Vì nên cùng lẻ hoặc trong hai số có một số chãn, một số lẻ.
Nếu có một số chẵn không mất tính tổng quát giả sử chãn thì từ phương trình suy ra chãn, vô lí.
Vậy cả và cùng lẻ Suy ra lẻ.
chia hết cho 4
Do đó chia hết cho 4
Một số chính phương chia 3 dư 0 hoặc 1 Nếu chia hết cho 3 thì không chia hết cho
3 do
Khi đó chia 3 dư 1 mà chia hết cho 3, vô lí Do đó cả và đều không chia hết cho 3
Vì chia hết cho 12 mà không chia hết cho 12 nên chia hết cho 12
Câu 4. (6,0 điểm)
Cho đường tròn có bán kính vuông góc với nhau Kè hai tiếp tuyến với đường tròn tại và F, cắt nhau tại A Trên tia đối của tia lấy điểm sao cho
qua kẻ tiếp tuyến thứ hai cùa đường tròn là tiếp điểm, BD cắt AF tại Gọi là giao điểm của AI và FD.
a) Chứng minh rằng hai tam giác và đồng dạng.
b) Qua kẻ đường thẳng vuông góc với BC, cắt FD tại P Gọi là trung điểm AB, M
I cắt AC tại Chứng minh rằng tam giác APQ là tam giác cân.
c) Xác định vị trí của điểm đề chu vi tam giác AMQ đạt giá trị nhỏ nhất Tính giá trị nhỏ nhất đó theo
Lời giải
Trang 6I
K
C Q
F A
E M
B
B
a)Theo tính chất hai tiếp tuyết cắt nhau , ta có cân tại
(1)
Tứ giác có ba góc vuông nên là hình chữ nhật Hình chữ nhật có
nên là hình vuông Suy ra
(2)
hợp với điều kiện chung , suy ra (c.g.c)
vuông cân tại nên vuông cận tại Suy ra đươèng trung tuyến cũng là đường cao nên
Ta có
Áp dụng định lí Talet và hệ qur định lí Talet, kết hợp
cân tại A
(1) Chu vi của là
Trang 7Ap dung bát ding thite cosi cho hai só thue duong $x, y$ ta có:
Từ (1) và (2) suy ra:
Dấu “=” xảy ra
Vậy khi thì chu vi tam giác nhỏ nhất Giá trị nhỏ nhất đó bằng
Câu 5 ( 2,0 điểm)
Cho các số thực dương x, y, z thỏa mãn Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
Lời giải
Ta có:
ta được:
Áp dụng bất đẳng thức AM - GM, ta được:
Suy ra Đẳng thức xảy ra khi và chì khi hay
Vậy giá trị lớn nhất của là đạt được khi