Bài giảng Toán kỹ thuật: Phần 2

Nối tiếp phần 1, Bài giảng Toán kỹ thuật: Phần 2 tiếp tục cung cấp cho học viên những kiến thức về các hàm số và các phương trình đặc biệt; các hàm số tích phân; phương trình bessel và các hàm bessel; chuỗi markov và quá trình dừng; ma trận xác suất chuyển bậc cao, phương trình Chapman–Kolmogorov;... Mời các bạn cùng tham khảo!

HỌC VIỆN CÔNG NGHỆ BƯU CHÍNH VIỄN THÔNG

CHƯƠNG 3 CÁC HÀM SỐ VÀ PHƯƠNG TRÌNH ĐẶC BIỆT

Hàm số sơ cấp là những hàm số được tạo thành bởi một số hữu hạn các phép tính cộng, trừ, nhân, chia và các phép lấy hàm hợp của các hàm số sơ cấp cơ bản và các hằng số Hàm không phải sơ cấp được gọi là hàm siêu việt Các hàm số thường gặp là các hàm sơ cấp, tuy nhiên có một số hàm siêu việt và hàm theo nghĩa suy rộng được sử dụng nhiều trong kỹ thuật nói chung và trong ngành điện tử viễn thông nói riêng

Trong chương này ta xét các hàm siêu việt sau: Hàm delta, hàm Gamma hàm Beta, các hàm tích phân, hàm xác suất lỗi và các hàm Bessel Đối với mỗi hàm ta khảo sát các tính chất của chúng, tìm biến đổi Laplace và khai triển Mac Laurin

3.1 HÀM DELTA

3.1.1 Khái niệm hàm delta

Hàm delta còn gọi là hàm Dirac (hoặc hàm xung đơn vị), là một hàm số suy rộng Hàm xung đơn vị tại tt0 được ký hiệu là

Có thể sử dụng hàm delta để biểu diễn các tín hiệu có nhiễu

Có hai cách khác nhau để xây dựng hàm delta:

 Cách thứ nhất xem hàm delta là giới hạn của dãy hàm trơn theo nghĩa thông thường

 Cách thứ hai xem hàm delta như là một phiếm hàm tuyến tính của không gian hàm thích hợp

Cả hai đều quan trọng và đáng quan tâm Tuy nhiên cách thứ nhất sẽ dễ dàng tiếp thu hơn, vì vậy ta chỉ xét phương pháp này

Phương pháp giới hạn xem hàm delta

Hình 3.1 cho thấy các hàm g t n( ) có giá trị ngày càng tập trung tại gốc t  0

Cần chú ý rằng có nhiều cách chọn các hàm g t n( ) có giới hạn là hàm delta

số theo nghĩa thông thường

Công thức (3.10) cũng phù hợp với định nghĩa của hàm delta theo giới hạn của dãy hàm g t n( ) có dãy các nguyên hàm f t n( ) hội tụ về hàm bước nhảy

 2 2

21

t n

Với nhận xét trên ta có thể coi

Hình 3.2:Đồ thị của hàm bước nhảy như là giới hạn của dãy hàm f t n( )

( )( )

d t

t dt





Đối với các hàm số theo nghĩa thông thường tính liên tục là điều kiện cần của tính khả

vi, như vậy hàm không liên tục thì không khả vi Tuy nhiên người ta có thể mở rộng khái niệm đạo hàm của các hàm không liên tục có đạo hàm là hàm suy rộng, với các hàm delta tập trung giá trị tại những điểm gián đoạn

Giả sử x t là hàm khả vi (theo nghĩa thông thường) tại mọi ( ) t ngoại trừ tại điểm gián đoạn t0 với bước nhảy  , khi đó ta có thể biểu diễn lại hàm ( ) x t dưới dạng tiện lợi hơn

6'( ) '( ) ( 1)

Đồ thị hàm ( )x t Đồ thị hàm '( )x t

Hình 3.3: Đồ thị của x t và đạo hàm '( )( ) x t ví dụ 3.1

Tích phân của hàm bước nhảy  (t t0) (hàm gián đoạn) là hàm dốc liên tục u t( t0)

d u

dt  là hàm suy rộng  Hình 3.5: Đồ thị của hàm bước nhảy và hàm dốc

Như vậy lấy tích phân hai lần của hàm delta ta được hàm dốc Bằng cách quy nạp ta

có tích phân n  lần của hàm delta là hàm dốc bậc n 1

0

0 0

Nếu biến ngẫu nhiên X rời rạc có miền giá trị là một tập đếm được R X x x1, 2, , phân

bố xác suất chỉ tập trung tại các giá trị này Xác suất của X nhận các giá trị

Đồ thị của hàm phân bố F x X( ) là có dạng bậc thang liên tục phải tại các bước nhảy

Sử dụng công thức (3.6) và (3.10) ta có thể viết lại

3.1.3 Khai triển Fourier của hàm delta

n t n

là tổng của 2n  số hạng của cấp số nhân có số hạng đầu tiên là 1 ein t và công bội e , do it

3.1.4 Biến đổi Fourier của hàm delta

Trong chương 2 ta xét biến đổi Fourier của các hàm khả tích tuyệt đối trên tập số thực Đối với các hàm không khả tích tuyệt đối (chẳng hạn hàm sin hàm cosin) ta cũng có thể tìm biến đổi Fourier mở rộng thông qua biến đổi Fourier của hàm delta

Theo điều kiện (3.2) ta có thể tính biến đổi Fourier của hàm delta

1( )at ( )t a

Hàm  không khả tích tuyệt đối trong toàn bộ trục thực nhưng từ tính chất biến đổi ( )t

Fourier của tích phân (Tính chất 2.3 mục 9 chương 2) ta có thể mở rộng và xem

Hàm tích phân sin

0

sinSi( )

t u

gọi là hàm Gauss Đồ thị của hàm Gauss được cho trên hình 3.8:

Diện tích của hình phẳng giới hạn bởi trục Ot và đồ thị hàm số Gauss bằng 1, thật vậy:

( ) t





2 1

O

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hàm Gauss, nửa trục hoành bên trái tính từ điểm có hoành độ t sẽ là hàm phân phối chuẩn tắc

2

2

1( )

2erf( )

2erf

22

Giải: Áp dụng công thức (3.35) ta có erf 1  2  2 1

Tra bảng ta được  2 0,8729 Vậy erf 1 2.0, 8729 1 0, 7458

3.2.2 Khai triển các hàm tích phân thành chuỗi luỹ thừa (*)

Đế tìm khai triển Mac Laurin của hàm tích phân sin ta sử dụng khai triển Mac Laurin của hàm sint

Ta tiếp tục tìm khai triển Mac Laurin của hàm tích phân mũ và tích phân cosin bằng cách sử dụng biến đổi Laplace:

0

Ei( )

u st

n n n

t t

n n n

2

1 cos( 1)

(2 )!2

t n

n n

Chuỗi ở vế phải hội tụ với mọi t

Với t khá bé ( ký hiệu t  ) sẽ nhận được các công thức sấp xỉ như sau : 1

Si( )t t, Ci( )t   ln , Ei( )t t    lnt, 2

erf( )t t



 (3.45)

Các công thức gần đúng cho phép xác định các giá trị Si( )t và Ci( ) t

Đồ thị của các hàm Si( )t và Ci( ) t cho ở hình 3.9

3.3 HÀM GAMMA, HÀM BETA

3.3.1 Định nghĩa hàm Gamma (Gauss)

Hàm Gamma là hàm siêu việt mở rộng từ hàm giai thừa xác định với mọi số tự nhiên

n theo công thức ! n n n( 1) 2.1

Hàm giai thừa f n( )n! thỏa mãn hai điều kiện f n( 1)nf n( ) và f(1) Ta 1

mở rộng hàm giai thừa thành hàm Gamma với biến số phức thỏa mãn hai điều kiện trên

Định nghĩa 3.2: Hàm số Gamma, ký hiệu ( )z , là hàm số biến số phức xác định với mọi số phức khác nguyên âm z   0, 1, 2, cho bởi biểu thức:

!( ) lim

z m

m m z

Hình 3.9: Đồ thị của các hàm Si( )t và Ci( ) t

Si( ) t

Ci( ) t

n n

z n

!(1 )

!(1 )

1

z z

sin(n)sincosn sinn cos ( 1) sinn 

sin(n)sincosn sinn cos ( 1) sinn 

x

x x

n n

12

   Khi t 0, (0)x a v, (0) 0 suy ra C klna Vậy

2

22

Gọi là hàm Beta hay là tích phân Euler loại 1

Hàm Gamma (công thức 3.46) gọi là tích phân Euler loại 2

( ) ( )( , )

Để chứng minh công thức (3.60), ta đổi biến x t

Để chứng minh công thức (3.61), ta đặt x cos2 khi đó dx  2 cos sin   d

1(1 ) 1 2 cos2 1 sin2 1

Thay vào công thức (3.59) ta được công thức (3.61)

Để chứng minh công thức (3.62), ta xét công thức biểu diễn hàm Gamma dưới dạng tích phân (công thức 3.48)

Thay z lần lượt bởi p q, thay t bởi y x nhận được 2, 2

Trong đó D là góc phần tư thứ nhất của mặt phẳng Oxy

Chuyển sang toạ độ cực:

cossin

Giải:

1 3

trong đó V là 1/8 hình cầu đơn vị: x2 y2 z21;x 0,y 0,z  0

Giải: Đổi biến số ux2, vy2, w z2 Miền V trở thành hình chóp tứ diện

Ví dụ 3.11: Tìm khối lượng của vật thể hình cầu tâm O bán kính 1 và có khối lượng riêng tỷ

lệ với bình phương khoảng cách đến trung tâm của nó

Giải: Khối lượng riêng tai điểm có tọa độ ( , , )x y z là  x y z, , )x2y2z2 Do tính chất

đối xứng của vật thể suy ra khối lượng M của vật thể bằng tám lần khối lượng vật thể nằm

trong góc phần tám thứ nhất của trục tọa độ

với u, v là các hằng số dương tùy ý

Giải: Đổi biến

gọi là phương trình Bessel ứng với tham số 

Dưới đây ta xét với    và gọi là phương trình Bessel cấp  ,   0

Nghiệm riêng của phương trình (3.65) gọi là hàm Bessel cấp 

Rõ ràng nếu J  z và Y z   là hai nghiệm độc lập tuyến tính của (3.65) thì nghiệm tổng quát của phương trình có dạng

a a

( 1)

2 2 ( 1)( ) ( 1)

k k

a a

Nếu   n   thì:

2

0

( 1)( )

k k

k

z J

a a

m

m

    (cấp bán nguyên) thì hệ số lẻ a2k1 0 với mọi chỉ số

r  và hệ số lẻ k a2k1 có thể khác không khi r  Tuy nhiên nếu ta chọn các hệ k

số lẻ đều bằng không và chọn a0 thích hợp vẫn được nghiệm có dạng (3.65), (3.69)

Gọi J  z và J z là các hàm Bessel loại 1

Định lý 3.2:

1 Nếu    (không phải là số tự nhiên) thì J  z và J z độc lập tuyến tính

2 Nếu   n   thì J z và n  Jn z phụ thuộc tuyến tính, hơn nữa

   với mọi số tự nhiên k  (công thức 3.53) n

Thay k bởi k vào công thức trên ta được n

Định lý 3.2 cho thấy hai hàm Bessel loại 1 J  z và J z không phải lúc nào cũng

độc lập vì vậy ta cần tìm hàm Bessel loại 2 độc lập với hàm Bessel loại 1





 (3.75)

Cũng là nghiệm của phương trình Bessel (3.61), được gọi là hàm Bessel loại 2

Từ công thức (3.71) ta thấy khi   giới hạn n

Với mọi  , các hàm J  z và Y z   là độc lập tuyến tính

Ta cũng có thể tìm hàm Bessel độc lập với hàm Bessel loại 1 như sau

Theo lý thuyết của phương trình vi phân tuyến tính thuần nhất cấp 2:

Vì vậy với trường hợp phương trình Bessel cấp n nguyên, ta có thể tìm nghiệm độc lập

với J z theo công thức: n 

Gọi Y z N z  ,   là các hàm Bessel loại 2

Từ các hàm Bessel loại 1 và loại 2 ta có các hàm Hankel loại 1 và hàm Hankel loại 2 xác định lần lượt như sau

(1)( ) ( ) ( )

H  z J z  iY z 

(2)( ) ( ) ( )

H  z J z  iY z  , Các hàm Hankel đôi khi còn được gọi là hàm Bessel loại 3

3.4.3 Các công thức truy toán đối với hàm Bessel

Các công thức sau đúng với mọi    (kể cả trường hợp  0):

J z làm cho J z đạt cực đại hoặc cực tiểu 0 

Tính J' z từ công thức (3.65), (3.69) thay vào vế trái suy ra vế phải:

k k

z

k k

I m n, z J m n1 z (m n 1)I m1,n1 (3.87)

3.4.4 Các hàm Bessel loại 1 và loại 2 với cấp bán nguyên

Xét phương trình Bessel với cấp bán nguyên 1

Nhân phương trình thứ nhất với y

z , phương trình thứ hai với

3.4.6 Khai triển theo chuỗi các hàm Bessel

3.4.6.1 Nghiệm của hàm Bessel

Chúng ta xét nghiệm của phương trình J  x  với 0    1

Định lý 3.4: Tất cả các nghiệm của J  x  đều thực 0

nghiệm của phương trình J  x  Thật vậy, vì rằng tất cả các số hạng của chuỗi sau đây 0đều dương do đó

Suy ra J  ix 0,  , hơn nữa x 0

Giả sử tồn tại nghiệm phức z0 Vì J  x là hàm thực nên z0 cũng là nghiệm của nó

Vì z   và 0 z0 ix x,   , do đó z20 z02 Áp dụng công thức tích phân Lommel (3.86)

Vậy mọi nghiệm của phương trình J  x  đều thực 0

Định lý 3.5: Các nghiệm x 0 của J  x  và 0 J 1 x  xen kẽ nhau 0

Chứng minh: Từ các công thức (3.81 ), (3.82) chúng ta nhận được công thức tính đạo hàm

a Hai hàm Bessel loại 1 cấp 1

14

 , trong đó 1, ,  i, là nghiệm dương của phương trình J  x  0

Chứng minh: Theo công thức tích phân Lommel (3.90)

trong đó 1,, i, là nghiệm dương của phương trình J  x  ,0 thì nói rằng hàm số

đó được khai triển thành chuỗi Fourier - Bessel

Từ tính chất trực giao của hệ (3.96) suy ra rằng, nếu f x khai triển thành chuỗi Fourier ( )

- Bessel (3.97) thì các hệ số của chuỗi được tính theo công thức:

1 2 0

Gọi đó là các hệ số Fourier - Bessel

Ví dụ 3.15: Hãy khai triển hai hàm số f x sau thành chuỗi Fourier-Bessel trong khoảng ( )

0 1 2

2( )i ( )i ( )i

|1 | 2

|1 | 2

a a

 

1 2

2

22

3

23

22

a m

22

Áp dụng công thức nghiệm với ( ) tan( ) 1

Giải: Phương trình có dạng (3.98) với g x( ) cot( )x

Áp dụng công thức nghiệm với

Ta được nghiệm tổng quát 1

( )sin

3.19 Tìm khối lượng của vật thể giới hạn bởi với ellipsoid

a b c  và có khối lượng riêng tỷ lệ với bình phương khoảng cách đến trung tâm của nó

3.20 Tìm thể tích của vật thể giới hạn bởi mặt có phương trình x m y m z m a m, m 0

3.21 Xác định tọa độ trọng tâm của vật thể nằm trong góc phần tám thứ nhất và giới hạn bởi

p x



2 4

x dx x

b Sử dụng bài 22 và a chứng tỏ

2 1

CHƯƠNG 4 CHUỖI MARKOV VÀ QUÁ TRÌNH DỪNG

Các hiện tượng diễn ra trong tự nhiên, xã hội hoặc có tính chất tất định (có tính quy luật, có thể biết trước kết quả) hoặc có tính chất ngẫu nhiên (không biết trước kết quả) Mặc

dù không thể nói trước một hiện tượng ngẫu nhiên xảy ra hay không xảy ra khi thực hiện một lần quan sát, tuy nhiên nếu tiến hành quan sát nhiều lần một hiện tượng ngẫu nhiên trong các phép thử như nhau, ta có thể đáng giá được khả năng xuất hiện của các biến cố tương ứng và rút ra được những kết luận khoa học về hiện tượng này Lý thuyết xác suất nghiên cứu khả năng xuất hiện của các hiện tượng ngẫu nhiên và ứng dụng chúng vào thực tế

Trong học phần xác suất và thống kê chúng ta đã tìm hiểu khái niệm biến ngẫu nhiên, đó là các biến nhận giá trị nào đó phụ thuộc vào các yếu tố ngẫu nhiên Khi họ các biến ngẫu nhiên phụ thuộc vào thời gian ta có quá trình ngẫu nhiên

Lý thuyết quá trình ngẫu nhiên lần đầu tiên được nghiên cứu liên quan đến bài toán dao động

và nhiễu của các hệ vật lý Quá trình ngẫu nhiên là một mô hình toán học của quá trình thực nghiệm mà sự phát triển bị chi phối bởi các quy luật xác suất Quá trình ngẫu nhiên cung cấp những mô hình hữu ích để nghiên cứu nhiều lĩnh vực khác nhau như vật lý thống kê, viễn thông, điều khiển, phân tích chuỗi thời gian, sự tăng trưởng dân số và các ngành khoa học quản lý

Các tín hiệu video, tín hiệu thoại, dữ liệu máy tính, nhiễu của một hệ thống viễn thông, nhiễu điện trong các thiết bị điện, số khách hàng đến một điểm phục vụ, chỉ số chứng khoán trong thị trường chứng khoán… là các quá trình ngẫu nhiên

Quá trình ngẫu nhiên có nhiều ứng dụng trong viễn thông là quá trình Markov (quá trình không nhớ, memoryless) và quá trình dừng

Chuỗi Markov là một quá trình Markov có không gian trạng thái rời rạc, thời gian rời rạc và thuần nhất Chuỗi Markov thường gặp trong bài toán chuyển mạch của hệ thống viễn thông Tín hiệu viễn thông, nhiễu không có tính Markov Các quá trình này quá khứ của nó có ảnh hưởng lớn đến sự tiến triển của quá trình trong tương lại Tuy nhiên hàm trung bình không thay đổi và hàm tương quan thuần nhất theo thời gian, đó là quá trình dừng Khi các quá trình dừng biểu diễn các tín hiệu hoặc nhiễu thì biến đổi Fourier của hàm tương quan của quá trình

là hàm mật độ phổ công suất của tín hiệu hoặc nhiễu này

Trong chương này ta chỉ nghiên cứu một cách khái quát khái niệm quá trình ngẫu nhiên, chuỗi Markov thời gian rời rạc thuần nhất và quá trình dừng

Để học tốt chương này học viên cần nắm vững khái niệm xác suất, xác suất có điều kiện, công thức xác suất đầy đủ, biến ngẫu nhiên, các đặc trưng: kỳ vọng, phương sai, hiệp phương sai của các biến ngẫu nhiên và các kiến thức đại số tuyến tính như ma trận, hệ phương trình tuyến tính

4.1 KHÁI NIỆM VÀ PHÂN LOẠI QUÁ TRÌNH NGẪU NHIÊN

4.1.1 Khái niệm quá trình ngẫu nhiên

Các tín hiệu của các hệ thống thông tin là các tín hiệu ngẫu nhiên vì ngoài thành phần mang tin còn có sự tác động của giao thoa ngẫu nhiên và nhiễu của thiết bị

Giả sử một tín hiệu nào đó mà tại mỗi thời điểm t nhận các giá trị phụ thuộc hệ các biến cố

E i i, N của phép thử, tín hiệu này nhận giá trị mẫu là x t E( , )i tại thời điểm t và khi biến

cố E i xảy ra Như vậy x t E( , i) là một hàm mẫu của quá trình ngẫu nhiên X t Quá trình ( )ngẫu nhiên X t vừa phụ thuộc thời gian t , vừa phụ thuộc yếu tố ngẫu nhiên ( ) E i

Một cách tổng quát một quá trình ngẫu nhiên là một họ các biến ngẫu nhiên

X t( , ); t T  xác định trong cùng một phép thử Các quá trình này vừa phụ thuộc vào thời gian t Khi cố định tham số t thì X t  là biến ngẫu nhiên phụ thuộc yếu tố ngẫu nhiên  , ( , )

các giá trị quan sát nhận được theo thời gian t được gọi là hàm mẫu hoặc một thể hiện của

quá trình ngẫu nhiên Tập chỉ số T thường biểu diễn tham số thời gian

Do tác động của các yếu tố ngẫu nhiên nên một tín hiệu X t( , ); t T  được truyền đi là một quá trình ngẫu nhiên Tín hiệu cụ thể nhận được x t t( ); T là hàm mẫu (một thể hiện) của quá trình ngẫu nhiên X t( , ); tT

Để đơn giản trong cách viết người ta ký hiệu quá trình ngẫu nhiên X t t( ); T thay cho

X t( , ); t T , hàm mẫu tương ứng được ký hiệu x t t( ); T

4.1.2 Phân loại quá trình ngẫu nhiên

Có thể phân loại các quá trình ngẫu nhiên theo các đặc trưng sau:

 Không gian trạng thái,

( E t v