Bài 1 (1,5 điểm)

Bài 1 (1,5 điểm) TT BỒI DƯỠNG VÀ LUYỆN THI KHOA NGUYÊN ĐỀ THI THỬ VÀO LỚP 10 THPT NĂM HỌC 2021 – 2022 MÔN TOÁN Thời gian 120 phút (không kể phát đề) Câu 1 (1,5 điểm) Rút gọn biểu thức (mỗi ý 0,5 đ[.]

TT BỒI DƯỠNG VÀ LUYỆN THI

KHOA NGUYÊN

ĐỀ THI THỬ VÀO LỚP 10 THPT NĂM HỌC 2021 – 2022 MÔN TOÁN Thời gian 120 phút (không kể phát đề)

Câu 1: (1,5 điểm) Rút gọn biểu thức: (mỗi ý 0,5 điểm)

B

c) C ( 21 7 10 5) : 1

-Câu 2 (1,5 điểm)

a) Cho tam giác ABC vuông tại A, AB3cm, BC6cm Tính số đo góc C và đường cao AH

(H thuộc BC) (0,5 điểm)

b) Một tàu hoả đi từ A đến B với quãng đường 40 km Khi đi đến B, tàu dừng lại 20 phút rồi

đi tiếp 30 km nữa để đến C với vận tốc lớn hơn vận tốc khi đi từ A đến B là 5 km/h Tính vận tốc của tàu hoả khi đi trên quãng đường AB, biết thời gian kể từ khi tàu hoả xuất phát từ A đến khi tới C hết tất cả 2 giờ (1 điểm)

Câu 3 (2,0 điểm)

Cho hàm số 2

yx có đồ thị hàm số là (P) và đường thẳng      2

y 2 m 1 x m 3 có đồ thị là (d) a) Khi m = - 2 Hãy vẽ đồ thị của (d) và (P) trong cùng một mặt phẳng tọa độ Oxy (1 điểm) b) Tìm các giá trị của m để (d) và (P) tiếp xúc Xác định tọa độ điểm tiếp xúc đó (1 điểm)

Câu 4: (1,5 điểm)

a) Cho phương trình x2 + x + m - 2 = 0 (1) Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình (1)

có hai nghiệm phân biệt x1; x2 thỏa mãn x12 + 2x1x2 - x2 = 1 (0,75 điểm)

b) Giải phương trình 2

2

1

2x 2x 1 0

x x   

Câu 5 (3,5 điểm) (vẽ đúng hình, vẽ sai hình sẽ mất điểm câu hình)

Cho nửa đường tròn tâm O có đường kính AB Lấy điểm C trên đoạn thẳng AO (C khác A,

C khác O) Đường thẳng đi qua C và vuông góc với AB cắt nửa đường tròn tại K Gọi M là điểm bất kì trên cung KB (M khác K, M khác B) Đường thẳng CK cắt các đường thẳng AM, BM lần lượt tại H và D Đường thẳng BH cắt nửa đường tròn tại điểm thứ hai N

a) Chứng minh tứ giác ACMD là tứ giác nội tiếp và chứng minh CA.CB = CH.CD

b) Chứng minh ba điểm A, N, D thẳng hàng và tiếp tuyến tại N của nửa đường tròn đi qua trung điểm của DH

c) Khi M di động trên cung KB, chứng minh đường thẳng MN luôn đi qua một điểm cố định

-HẾT -

CHÚC CÁC EM LÀM BÀI THẬT TỐT, CỐ GẮNG LÊN NHÉ CÁC EM!

Chúc các em buổi tối cuối tuần vui vẻ và hạnh phúc!

ĐỀ THI THỬ LẦN 3

Câu 1: (1,5 điểm) Rút gọn biểu thức:

a) A  27 2 12  75  27 2 12  75=3 3 4 3 5 3  = - 6 3

B

3 7 3 7= 2 2

3

9 7



 c) C ( 21 7 10 5) : 1

-7( 3 1) 5( 2 1)

( 7 5).( 7 5) 7 5 7 5 2

Câu 2 (1,5 điểm)

a) Cho tam giác ABC vuông tại A, AB3cm, BC6cm Tính góc C và đường cao AH (H

thuộc BC)

Giải:

Tam giác ABC vuông tại A nên ta có:

Ta có sin 3 0,5

6

AB C

BC

Suy ra C300

+ Áp dụng định lý Pytago: AC2AB2BC2AC BC2AB2 3 3cm

+ Áp dụng hệ thức lượng cạnh và đường cao: AH.BCAB.ACAH 3 32 cm

b) Một tàu hoả đi từ A đến B với quãng đường 40 km Khi đi đến B, tàu dừng lại 20 phút rồi

đi tiếp 30 km nữa để đến C với vận tốc lớn hơn vận tốc khi đi từ A đến B là 5 km/h Tính vận tốc của tàu hoả khi đi trên quãng đường AB, biết thời gian kể từ khi tàu hoả xuất phát từ A đến khi tới C hết tất cả 2 giờ

Giải

Gọi vận tốc tàu hoả khi đi trên quãng đường AB là x (km/h; x>0)

Thời gian tàu hoả đi hết quãng đường AB là 40

x (giờ)

Thời gian tàu hoả đi hết quãng đường BC là 30

5

x (giờ)

Theo bài ta có phương trình: 40 30 1 2

5 3

x  x  

 Biến đổi pt ta được: x237x120 0

40 ( )

3 ( )





   

Vận tốc của tàu hoả khi đi trên quãng đường AB là 40 km/h

A

H

Câu 3 (2,0 điểm)

Cho hàm số 2

yx có đồ thị hàm số là (P) và đường thẳng      2

y 2 m 1 x m 3 có đồ thị là (d) a) Khi m = - 2 Hãy vẽ đồ thị của (d) và (P) trong cùng một mặt phẳng tọa độ Oxy

b) Tìm các giá trị của m để (d) và (P) tiếp xúc Xác định tọa độ điểm tiếp xúc đó

Giải

a) Khi m = - 2 Phương trình đường thẳng có dạng: y = - 2x - 1

Lập bảng giá trị cho hai hàm số

y = x2 và y = - 2.x- 1

(Bước này các em tự lập nhé)

b) Xét phương trình hoành độ của (d) và (P)

2( 1) 3 0 (*)

Để (d) và (P) tiếp xúc nhau thì pt (*) có nghiệm

kép

' b' a c (m 1) (m 3)

2 4

m

 

' 0 2m 4 0 m 2

       

Vậy với m = -2 thì (d) và (P) tiếp xúc nhau

x  x   x    x Với x = - 1, ta suy ra y = 1

Vậy tọa độ tiếp điểm là M(- 1 ; 1) (« điểm chấm màu vàng trên hình vẽ »)

Câu 4: (1,5 điểm)

a) Cho phương trình x2 + x + m - 2 = 0 (1) Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt x1; x2 thỏa mãn x12 + 2x1x2 - x2 = 1

b) Giải phương trình 2

2

1

2x 2x 1 0

x x   



Giải

a) Cho phương trình x2 + x + m - 2 = 0 (1) Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt x1; x2 thỏa mãn x12 + 2x1x2 - x2 = 1

+ Để pt có 2 nghiệm phân biệt thì = 9 - 4m > 0  m < 9

4

+ Khi m < 9

4thì pt có 2 nghiệm phân biệt nên theo Viet: x 1 + x 2 = -1  x 2 = - 1 - x 1

+ Ta có x12 + 2x1x2 - x2 = 1  x12 + 2x1(-1- x1)- (-1- x1) =1  x12 + 2x1 = 0  1

1

0 1

x x





  

 + Với x1 = 0; ta có x2 = - 1 Theo hệ thức: x1 x2 = c/a = m - 2  m – 2 = 0  m = 2 (tmđk) + Với x1 = -1; ta có x2 = -1 -(-1) = 0  (-1).0 = m - 2  m = 2 (tmđk);

Vậy, với m = 2 thì pt (1) có

Nhận xét: Đối với câu V-et mà chúng ta thấy tích hai nghiệm hoặc tổng hai nghiệm là hằng số (không chứa m) thì nên tìm cách giải ra x 1 ; x 2 Đó là lợi thế khi làm kiểu câu này

y

x

b) Giải phương trình 2

2

1

2x 2x 1 0

x x   

ĐK: 0

1

x

x





 



2

2

1

2x 2x 1 0

x x   



2

1

2(x x) 1 0

x x   

 Đặt t =

2

x x; ĐK: t 0

(1)  1 2t 1 0

t    2t2 - t - 1 = 0

Giải pt này ta được 1 2

1 1;

2

t  t 

+ Khi t = 1, ta được :

1

2

1 5 2

1 5 2

x

x x x x

x







      







(bước này các em phải giải ra nhé)

+ Khi t = -1/2, ta được : 2 1 2 1

0

x   x x   x (phương trình này vô nghiệm vì có     ) 1 0

Kết luận : Phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt 1 1 5

2

x  

; 2 1 5

2

x  

Câu 5 (3,5 điểm)

Cho nửa đường tròn tâm O có đường kính AB Lấy điểm C trên đoạn thẳng AO (C khác A,

C khác O) Đường thẳng đi qua C và vuông góc với AB cắt nửa đường tròn tại K Gọi M là điểm bất kì trên cung KB (M khác K, M khác B) Đường thẳng CK cắt các đường thẳng AM, BM lần lượt tại H và D Đường thẳng BH cắt nửa đường tròn tại điểm thứ hai N

a) Chứng minh tứ giác ACMD là tứ giác nội tiếp và chứng minh CA.CB = CH.CD

b) Chứng minh ba điểm A, N, D thẳng hàng và tiếp tuyến tại N của nửa đường tròn đi qua trung điểm của DH

c) Khi M di động trên cung KB, chứng minh đường thẳng MN luôn đi qua một điểm cố định

A ● C B

D

M

N

I

K

☻

O

▪

H

Hình vẽ có đẹp không quý zị??

E

Giải

a) Xét tứ giác ACMD có 0

90

ACD AMD , mà hai góc này cùng nhìn cạnh AD nên tứ giác ACMD nội tiếp trong một đường tròn

+ Xét 2 tam giác ACH và DCB có:

90

ACH DCB

- CDBMACMAB (hai góc cùng chắn cung MC)

Suy ra ACH DCB (g-g) Từ đó suy ra được CA CD CA CB CH CD

CH  CB  

b) Trong tam giác ADB Vì có 2 chiều cao DC và AM giao nhau tại H, nên H là trực tâm của

ABD

 , từ đó suy ra AD  BN

Ta lại có 0

90

ANB  vì chắn nửa đường tròn đường kính AB

180

DNBBNA Nên A, N, D thẳng hàng

+ Chứng minh tiếp tuyến tại N đi qua trung điểm của HD

Gọi E là trung điểm của HD Ta suy ra NE là trung tuyến ứng với cạnh huyền của tam giác

NDH vuông tại N, suy ra END cân tại E NDEEND

90

ENDANOEDNOAN  (vì tổng hai góc nhọn trong tam giác vuông ADC)

Từ đó suy ra đc: 0

90

ENO  Có nghĩa EN là tiếp tuyến với (O) Vậy tiếp tuyến tại N đi qua trung điểm của HD

c) Gọi I là giao điểm của MN với AB (Ta dự đoán và CM điểm I này chính là điểm cố định)

Vì EN là tiếp tuyến với (O) nên ta cũng dễ CM đc EM là tiếp tuyến với (O)

Gọi F là giao điểm của MN và EO => OFMN

Xét OFI vs OCE , hai tam giác này là hai tam giác vuông, có IOF COE Do đó OFI OCE

Từ đó suy ra:OF OI OI OC OF OE

OC OE  

Vì ONE có OF là đường cao, nên theo hệ thức lượng trong tam giác vuông, ta đc:

2 2

OF OEOM R

OI OC R

Vì (O; R) không đổi, C không đổi, nên I không đổi

Vậy MN đi qua điểm cố định I (với IK là tiếp tuyến của đường tròn tâm O)

Nhận xét: Câu a cơ bản; câu b khá, câu c giỏi

-

Bài 4: (4 điểm)

Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB = 2R, D là một điểm tùy ý trên nửa đường tròn (D khác A và D khác B) Các tiếp tuyến với nửa đường tròn (O) tại A và D cắt nhau tại C, BC cắt nửa đường tròn (O) tại điểm thứ hai là E Kẻ DF vuông góc với AB tại F

a) Chứng minh: Tứ giác OACD nội tiếp

b) Chứng minh: CD2 = CE.CB c) Chứng minh: Đường thẳng BC đi qua trung điểm của DF

d) Giả sử OC = 2R, tính diện tích phần tam giác ACD nằm ngoài nửa đường tròn (O) theo R

I E

C

D

B O

F

A

A'

Xét tứ giác OACD có:

CAO  900 (CA là tiếp tuyến )

CDO  900(CD là tiếp tuyến )

0 180

CAO CDO

 Tứ giác OACD nội tiếp

+ Xét  CDE và  CBD có:

DCEchung và 1

2

   CD2  CE CB

Tia BD cắt Ax tại A’ Gọi I là giao điểm của BC và DF

Ta có 0

ADB90 (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) ' 0

ADA 90

  , suy ra ∆ADA’ vuông tại D

Lại có CD = CA ( t/c 2 tiếp tuyến cắt nhau)

nên suy ra được CD = C A’, do đó CA = A’C (1) Mặt khác ta có DF // AA’ (cùng vuông góc với AB) nên theo định lí Ta-lét thì ID IF BI

CA' CA BC

 (2)

Từ (1) và (2) suy ra ID = IF

Vậy BC đi qua trung điểm của DF

Tính cosCOD= 1

OD

C  => COD = 600

x

=> AOD = 1200

.120

quat

(đvdt) Tính CD = R 3

OCD

S  CD DO R R= 3 2

2 R (đvdt)

2

S  S = 2

3R (đvdt) Diện tích phần tam giác ACD nằm ngoài nửa đường tròn (O)

S S = 2

3R -

2 3

R



3

3 R



  

  (đvdt)

Câu IV ( Bắc Giang – 2013-2014)

Cho đường tròn (O;R) đường kính AB cố định Trên tia đối của tia AB lấy điểm C sao cho AC=R

Kẻ đường thẳng d vuông góc với BC tại C Gọi D là trung điểm của OA; qua D vẽ dây cung EF bất kỳ của đường tròn (O;R), ( EF không là đường kính) Tia BE cắt d tại M, tia BF cắt d tại N

1 Chứng minh tứ giác MCAE nội tiếp

2 Chứng minh BE.BM = BF.BN

3 Khi EF vuông góc với AB, tính độ dài đoạn thẳng MN theo R

4 Chứng minh rằng tâm I của đường tròn ngoại tiếp tam giác BMN luôn nằm trên một đường thẳng cố định khi dây cung EF thay đổi