Bài 1 (5 điểm) SỞ GIÁO DỤC ĐÀO TẠO HÀ NỘI TRƯỜNG THPT HAI BÀ TRƯNG *** ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 11 Năm học 2008 2009 Môn Toán Thời gian làm bài 120 phút (không kể thời gian giao đề) Bài 1 (6 điểm[.]
Trang 1SỞ GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO HÀ NỘI
TRƯỜNG THPT HAI BÀ TRƯNG
*** ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 11
Năm học 2008 - 2009
Môn: Toán Thời gian làm bài: 120 phút
(không kể thời gian giao đề)
-Bài 1:(6 điểm)
1) Giải phương trình: 2sinx.(1 + cos2x) + sin2x = 1+ 2cosx
2) Tính các góc của tam giác ABC, biết rằng:
4
17 ) cos sin
(cos 3 sin
cos sin
2 A B C+ A+ B+ C =
Bài 2:(4 điểm)
Một ngân hàng câu hỏi Toán có 30 câu hỏi khác nhau gồm: 5 câu hỏi khó, 10 câu hỏi trung bình và 15 câu hỏi dễ Từ ngân hàng này lập một đề thi gồm 5 câu hỏi khác nhau Tính xác suất để sao cho trong mỗi đề được chọn nhất thiết phải có đủ cả 3 loại câu hỏi (khó, trung bình, dễ) và số câu hỏi dễ không ít hơn 2?
Bài 3: (6 điểm)
Cho hình thang vuông ABCD có A = D = 900, AB = 2a, CD = a, AD = 3a và M là điểm bất kỳ thuộc đoạn thẳng AD
1) Xác định vị trí của điểm M để hai đường thẳng BM và CM vuông góc với nhau 2) Lấy điểm S thuộc đường thẳng vuông góc với mp(BCD) tại M sao cho SM = AM, xét mặt phẳng (P) qua điểm M và vuông góc với SA
Mặt phẳng (P) cắt hình chóp SABCD theo thiết diện là hình gì? Tính diện tích của thiết diện theo a, x biết x = AM và 0 < x ≤ 3a?
Bài 4: (4 điểm)
Cho dãy số (an) được xác định bởi: a1 = 1 và an + 1 = an + 2n – 1 với mọi n ≥ 1
Xét dãy số (bn) mà: bn = an + 1 – an với mọi n ≥ 1
1) Chứng minh rằng dãy số (bn) là một cấp số cộng Hãy xác định số hạng đầu và công sai của cấp số cộng đó
2) Cho số nguyên dương N Hãy tính tổng N số hạng đầu tiên của dãy số (bn) theo N
Từ đó, hãy suy ra số hạng tổng quát của dãy số (an)
-
Hết -Thí sinh không được sử dụng tài liệu Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.
Họ và tên thí sinh: ……… Số báo danh: ……… ………… Chữ kí của giám thị 1: ……… Chữ kí của giám thị 2: ……….………
Trang 2SỞ GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO HÀ NỘI
TRƯỜNG THPT HAI BÀ TRƯNG
*** ĐÁP ÁN
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 11
Năm học 2008 - 2009
Môn: Toán Thời gian làm bài: 120 phút
-Bài 1: (6 điểm)
1) Ta có PT ⇔ (2cosx + 1).(sin2x – 1) = 0
4 , 2 3
2
Z k k
x k
2
3 cos 2
3 sin 2
3 cos
2 2
2
=
− +
− +
A
Đáp số: A = C = 300 ; B = 1200
Bài 2: (4 điểm)
- Số đề thi thỏa mãn yêu cầu bài toán là: 56875
- Tổng số đề thi có thể có là: 142506
- Xác suất cần tìm là: P=1566625
Bài 3: (6 điểm )
1) x = a và x = 2a ⇒ có 2 vị trí của M thỏa ycbt
2) – Thiết diện cần tìm là hình thang vuông MNEF(hình vẽ)
- Diện tích cần tìm:
12
) 9 (
2 a x x
S = − (0 < x ≤ 3a)
Bài 4: (4 điểm )
1) Từ giả thiết ⇒ bn = 2n – 1 ⇒ (bn) là một cấp số cộng với số hạng đầu b1 = 1 và công sai d = 2
2) + Tổng N số hạng đầu của dãy (bn) là: SN = N2
+ Số hạng tổng quát của dãy (an) là: an = n2 – 2n + 2
N M
D
C A
S
B