Tóm tắt công thức toán

Tóm tắt công thức toán

CÔNG THỨC TOÁN HỌC

Trần Anh Tuấn - 0974 396 391

(Giảng viên Toán trường Đại học Thương Mại - TT luyện thi ĐHSPHN)

LƯỢNG GIÁC

1 Các hệ thức lượng giác cơ bản

1 sin2𝛼 + cos2𝛼 = 1; 2 tan 𝛼 = sin 𝛼cos 𝛼; 3 cot 𝛼 = cos 𝛼sin 𝛼;

4 tan 𝛼 cot 𝛼 = 1; 5 1 + tan2𝛼 = 1

cos 2 𝛼; 6 1 + cot2𝛼 = 1

sin 2 𝛼;

7 sin(𝛼 + 𝑘2𝜋) = sin 𝛼; cos(𝛼 + 𝑘2𝜋) = cos 𝛼; tan(𝛼 + 𝑘𝜋) = tan 𝛼; cot(𝛼 + 𝑘𝜋) = cot 𝛼.

2 Giá trị lượng giác của các góc có liên quan đặc biệt

P

P

P

P

P

PP

Góc

Hàm

2 − 𝛼 𝜋 + 𝛼

“cos đối,

phụ chéo, khác 𝜋 tan

và cot”

3 Công thức cộng, công thức nhân đôi, nhân ba, hạ bậc

1 cos(𝑎±𝑏) = cos 𝑎 cos 𝑏∓sin 𝑎 sin 𝑏; sin(𝑎±𝑏) = sin 𝑎 cos 𝑏±cos 𝑎 sin 𝑏;

2 cos 2𝑎 = cos2𝑎 − sin2𝑎 = 2 cos2𝑎 − 1 = 1 − 2 sin2𝑎 =1−tan2𝑎

1+tan 2 𝑎;

3 sin 2𝑎 = 2 sin 𝑎 cos 𝑎 = 2 tan 𝑎

1+tan 2 𝑎; tan 2𝑎 = 2 tan 𝑎

1−tan 2 𝑎; sin2𝑎 = 1−cos 2𝑎

2

4 sin 3𝑎 = 3 sin 𝑎 − 4 sin 3 𝑎;cos 3𝑎 = 4 cos 3 𝑎 − 3 cos 𝑎;cos 2 𝑎 = 1+cos 2𝑎

4 Công thức biến đổi tích thành tổng, tổng thành tích

1 cos 𝑢+cos 𝑣 = 2 cos𝑢+𝑣

2 cos𝑢−𝑣

2 ; cos 𝑢−cos 𝑣 = −2 sin𝑢+𝑣

2 sin𝑢−𝑣

2 ;

2 sin 𝑢 + sin 𝑣 = 2 sin𝑢+𝑣2 cos𝑢−𝑣2 ; sin 𝑢 − sin 𝑣 = 2 cos𝑢+𝑣2 sin𝑢−𝑣2 ;

3 cos 𝑎 cos 𝑏 = 1

2[cos(𝑎 + 𝑏) + cos(𝑎 − 𝑏)]; sin 𝑎 sin 𝑏 =

−1

2[cos(𝑎 + 𝑏) − cos(𝑎 − 𝑏)]; sin 𝑎 cos 𝑏 = 1

2[sin(𝑎 + 𝑏) + sin(𝑎 − 𝑏)];

4 sin 𝑥 ± cos 𝑥 = √2 sin (︀𝑥 ± 𝜋

4

)︀

= √2 cos (︀𝑥 ∓ 𝜋

4 )︀; 1 ± sin 2𝑥 = (sin 𝑥 ± cos 𝑥) 2 ; sin 4 𝑥 + cos 4 𝑥 = 1 −12sin 2 2𝑥; sin 6 𝑥 + cos 6 𝑥 = 1 −34sin 2 2𝑥;

5 Phương trình lượng giác cơ bản

1 sin 𝑥 = sin 𝛼 ⇔

[︂

𝑥 = 𝛼 + 𝑘2𝜋

𝑥 = 𝜋 − 𝛼 + 𝑘2𝜋; 2 sin 𝑥 = 0 ⇔ 𝑥 = 𝑘𝜋;

3 sin 𝑥 = 1 ⇔ 𝑥 =𝜋2 + 𝑘2𝜋; 4 sin 𝑥 = −1 ⇔ 𝑥 = −𝜋2 + 𝑘2𝜋;

5 sin 𝑥 = 𝑚 ⇔

[︂

𝑥 = arcsin(𝑚) + 𝑘2𝜋

𝑥 = 𝜋 − arcsin(𝑚) + 𝑘2𝜋, có nghiệm ⇔ |𝑚| ≤ 1;

6 cos 𝑥 = cos 𝛼 ⇔ 𝑥 = ±𝛼 + 𝑘2𝜋; 7 cos 𝑥 = 0 ⇔ 𝑥 = 𝜋

2 + 𝑘𝜋;

8 cos 𝑥 = 1 ⇔ 𝑥 = 𝑘2𝜋; 9 cos 𝑥 = −1 ⇔ 𝑥 = 𝜋 + 𝑘2𝜋;

10 cos 𝑥 = 𝑚 ⇔ 𝑥 = ± arccos(𝑚) + 𝑘2𝜋, có nghiệm ⇔ |𝑚| ≤ 1;

11 tan 𝑥 = tan 𝛼 ⇔ 𝑥 = 𝛼 + 𝑘𝜋; tan 𝑥 = 𝑚 ⇔ 𝑥 = arctan(𝑚) + 𝑘𝜋;

12 cot 𝑥 = cot 𝛼 ⇔ 𝑥 = 𝛼 + 𝑘𝜋; 13 cot 𝑥 = 𝑚 ⇔ 𝑥 = arccot(𝑚) + 𝑘𝜋.

6 Phương trình lượng giác đơn giản

1 𝑎 sin 𝑥 + 𝑏 cos 𝑥 = 𝑐 ⇔ √ 𝑎

𝑎 2 +𝑏 2sin 𝑥 +√ 𝑏

𝑎 2 +𝑏 2cos 𝑥 =√ 𝑐

𝑎 2 +𝑏 2, với cos 𝛼 = √ 𝑎

𝑎 2 +𝑏 2, sin 𝛼 = √ 𝑏

𝑎 2 +𝑏 2 ⇒ sin(𝑥+𝛼) =√ 𝑐

𝑎 2 +𝑏 2, 𝑐2≤ 𝑎2+ 𝑏2;

PT tương tự 𝑎 sin 𝑢 + 𝑏 cos 𝑢 =√

𝑎2+ 𝑏2sin 𝑣 (hoặc√

𝑎2+ 𝑏2cos 𝑣);

và 𝑎 sin 𝑢 + 𝑏 cos 𝑢 = 𝑎′sin 𝑣 + 𝑏′cos 𝑣, với√

𝑎2+ 𝑏2=√

𝑎′2+ 𝑏′2;

2 Phương trình thuần nhất bậc hai, bậc ba đối với sin 𝑥 và cos 𝑥

𝑎 sin2𝑥 + 𝑏 sin 𝑥 cos 𝑥 + 𝑐 cos2𝑥 + 𝑑 = 0, và

𝑎 sin3𝑥 + 𝑏 sin2𝑥 cos 𝑥 + 𝑐 sin 𝑥 cos2𝑥 + 𝑑 cos3𝑥 + 𝑒 sin 𝑥 + 𝑓 cos 𝑥 = 0

Chia hai vế phương trình cho sin2𝑥 (hoặc cos3𝑥), rồi đặt 𝑡 = tan 𝑥

3 PT đối xứng sin 𝑥 và cos 𝑥 : 𝑎(sin 𝑥 ± cos 𝑥) + 𝑏 sin 𝑥 cos 𝑥 + 𝑐 = 0,

đặt 𝑡 = sin 𝑥 ± cos 𝑥 (|𝑡| ≤√

2), khi đó sin 𝑥 cos 𝑥 = ±𝑡2−1

2

7 Hệ thức lượng trong tam giác vuông : cho Δ𝐴𝐵𝐶, ̂︀𝐴 = 90∘,

đường cao 𝐴𝐻, có : 1 𝐵𝐶2= 𝐴𝐵2+ 𝐴𝐶2; 2 1

𝐴𝐻 2 = 1

𝐴𝐵 2+ 1

𝐴𝐶 2

8 Hệ thức lượng trong tam giác thường : cho Δ𝐴𝐵𝐶, có các

cạnh 𝑎, 𝑏, 𝑐; độ dài các đường cao ℎ𝑎, ℎ𝑏, ℎ𝑐; trung tuyến 𝑚𝑎, 𝑚𝑏, 𝑚𝑐:

1 ĐL h/s cos: 𝑎2= 𝑏2+𝑐2−2𝑏𝑐 cos 𝐴; cos 𝐴 = 𝑏2+𝑐2−𝑎 2

2𝑏𝑐 ; 2 CT trung tuyến 𝑚2

𝑎= 2(𝑏2+𝑐42)−𝑎2; 3 ĐL h/s sin: 𝑎 = 2𝑅 sin 𝐴; 4 CT diện

tích: 𝑆 = 12𝑎ℎ𝑎 = 12𝑏𝑐 sin 𝐴 = 𝑝𝑟 = 𝑎𝑏𝑐4𝑅 =√︀𝑝(𝑝 − 𝑎)(𝑝 − 𝑏)(𝑝 − 𝑐),

𝑝 =𝑎+𝑏+𝑐2 - nửa chu vi; 𝑅, 𝑟 - bán kính đường tròn ngoại, nội tiếp

ĐẠI SỐ & GIẢI TÍCH

1 Bất đẳng thức Cauchy :

1 Cho 𝑎, 𝑏, 𝑐 ≥ 0, có : 𝑎+𝑏

2 ≥√𝑎𝑏; 𝑎+𝑏+𝑐

3 ≥√3

𝑎𝑏𝑐; 2 Cho 𝑎, 𝑏, 𝑐 > 0,

có : 1𝑎+1𝑏 ≥ 4

𝑎+𝑏; 1𝑎+1𝑏+1𝑐 ≥ 9

𝑎+𝑏+𝑐, dấu bằng ⇔ 𝑎 = 𝑏 = 𝑐

2 Bất đẳng thức hình học : cho −→𝑢 = (𝑎; 𝑏), −→𝑣 = (𝑐; 𝑑),

có : 1 |−→𝑢 | + |−→𝑣 | ≥ |−→𝑢 + −→𝑣 | ⇔ √𝑎2+ 𝑏2 + √

𝑐2+ 𝑑2 ≥

√︀(𝑎 + 𝑐)2+ (𝑏 + 𝑑)2, dấu bằng ⇔ 𝑎

𝑐 = 𝑏

𝑑 > 0 (−→𝑢 , −→𝑣 cùng chiều);

2 |−→𝑢 |.|−→𝑣 | ≥ |−→𝑢 −→𝑣 | ⇔ √𝑎2+ 𝑏2.√

𝑐2+ 𝑑2 ≥ |𝑎𝑐 + 𝑏𝑐|, dấu bằng

⇔ 𝑎

𝑐 = 𝑏𝑑 (−→𝑢 , −→𝑣 cùng phương).

3 Phương trình bậc hai : PT 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0 (𝑎 ̸= 0)

1 Δ = 𝑏2−4𝑎𝑐; 2 PT có hai nghiệm p/b khi Δ > 0, nghiệm kép khi

Δ = 0, vô nghiệm khi Δ < 0; 2 nghiệm trái dấu khi 𝑃 < 0; 2 nghiệm dương p/b khi

{︃

Δ > 0

𝑃 > 0, 𝑆 > 0 ; 3 ĐL Vi-ét

{︃

𝑆 = 𝑥1+ 𝑥2= −𝑏

𝑎

𝑃 = 𝑥1𝑥2= 𝑐

𝑎

4 Phương trình, bất phương trình chứa căn :

1 √

𝐴 =√

𝐵 ⇔

{︃

𝐴 ≥ 0 (or 𝐵 ≥ 0)

√

𝐴 = 𝐵 ⇔

{︃

𝐵 ≥ 0

𝐴 = 𝐵2;

3 √

𝐴 >√

𝐵 ⇔

{︃

𝐵 ≥ 0

√

𝐴 < 𝐵 ⇔

{︃

𝐵 ≥ 0 và 𝐴 ≥ 0

𝐴 < 𝐵2;

5 √

𝐴 > 𝐵 ⇔

{︃

𝐵 < 0

𝐴 ≥ 0 hoặc

{︃

𝐵 ≥ 0

𝐴 ≥ 𝐵2

5 Phương trình, bất PT mũ và logarit : với 𝑎 > 0, 𝑎 ̸= 1

1 𝑎𝑢 = 𝑎𝑣 ⇔ 𝑢 = 𝑣; 2 𝑎𝑢 = 𝑏 ⇔

{︃

𝑏 > 0

𝑢 = log𝑎𝑏; 3 log𝑎𝑢 =

𝑏 ⇔ 𝑢 = 𝑎𝑏; 4 log𝑎𝑢 = log𝑎𝑣 ⇔

{︃

𝑢 > 0 (or 𝑣 > 0)

𝑢

>

𝑎𝑣 ⇔

{︃

𝑎 > 1

𝑢 > 𝑣 or

{︃

0 < 𝑎 < 1

𝑢 < 𝑣; 6 𝑎

𝑢 > 𝑏 ⇔

{︃

𝑏 < 0

𝑢 − xác định or

{︃

𝑏 > 0, 𝑎 > 1

𝑢 > log𝑎𝑏 or

{︃

𝑏 > 0, 0 < 𝑎 < 1

𝑢 < log𝑎𝑏; 7 𝑎

{︃

𝑏 > 0, 𝑎 > 1

𝑢 < log𝑎𝑏 or

{︃

𝑏 > 0, 0 < 𝑎 < 1

𝑢 > log𝑎𝑏; 8 log𝑎𝑢 > log𝑎𝑣 ⇔ {︃

𝑎 > 1

𝑢 > 𝑣 > 0 or

{︃

0 < 𝑎 < 1

0 < 𝑢 < 𝑣; 9 log𝑎𝑢 > 𝑏 ⇔

{︃

𝑎 > 1

𝑢 > 𝑎𝑏 or {︃

0 < 𝑎 < 1

0 < 𝑢 < 𝑎𝑏; 10 log𝑎𝑢 < 𝑏 ⇔

{︃

𝑎 > 1

0 < 𝑢 < 𝑎𝑏 or

{︃

0 < 𝑎 < 1

𝑢 > 𝑎𝑏

6 Quy tắc tính đạo hàm : cho 𝑢 = 𝑢(𝑥), 𝑣 = 𝑣(𝑥), có

1 (𝑢 ± 𝑣)′ = 𝑢′ ± 𝑣′

; (𝑢𝑣)′ = 𝑢′𝑣 + 𝑢𝑣′; (︀𝑢

𝑣 )︀′

= 𝑢′𝑣−𝑢𝑣𝑣2 ′;

2 𝑔(𝑥) = 𝑓 [𝑢(𝑥)] ⇒ 𝑔′𝑥 = 𝑓𝑢′.𝑢′𝑥 và có bảng đạo hàm cơ bản (𝐶.𝑥)′= 𝐶 (𝐶.𝑢)′= 𝐶.𝑢′ (𝑥𝛼)′= 𝛼.𝑥𝛼−1 (𝑢𝛼)′= 𝛼.𝑢𝛼−1.𝑢′ (︀1

𝑥 )︀′

= − 1

𝑥 2 (︀1 𝑢 )︀′

= −𝑢′

𝑥)′= 1

𝑢)′= 𝑢′

2√𝑢 (𝑒𝑥)′= 𝑒𝑥 (𝑒𝑢)′= 𝑒𝑢.𝑢′ (𝑎𝑥)′= 𝑎𝑥 ln 𝑎 (𝑎𝑢)′= 𝑎𝑢 ln 𝑎.𝑢′ (ln |𝑥|)′= 1

𝑥 (ln |𝑢|)′=𝑢′

𝑢 (log𝑎|𝑥|)′

𝑥 ln 𝑎 (log𝑎|𝑢|) = 𝑢′

𝑢 ln 𝑎 (sin 𝑥)′= cos 𝑥 (sin 𝑢)′= 𝑢′ cos 𝑢 (cos 𝑥)′= − sin 𝑥 (cos 𝑢)′= −𝑢′ sin 𝑢 (tan 𝑥)′= cos12 𝑥 (tan 𝑢)′= cos𝑢2′𝑢 (cot 𝑥)′= −sin12 𝑥 (cot 𝑢)′= −sin𝑢2′𝑢

Chú ý : (︁𝑎𝑥+𝑏

𝑐𝑥+𝑑

)︁′

=

(𝑐𝑥+𝑑) 2; (︁𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐

𝑚𝑥+𝑛

)︁′

=

𝑎𝑚𝑥2+2𝑎𝑛𝑥+ 𝑏 𝑐

(︂ 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐

𝑚𝑥2+ 𝑛𝑥 + 𝑝

)︂′

=

(𝑚𝑥2+ 𝑛𝑥 + 𝑝)2

7 Phương trình tiếp tuyến của đường cong 𝑦 = 𝑓 (𝑥) tại điểm

𝑀0(𝑥0; 𝑓 (𝑥0)) thuộc đường cong là 𝑦 = 𝑓′(𝑥0)(𝑥 − 𝑥0) + 𝑓 (𝑥0)

8 Điều kiện tiếp xúc của hai đường cong 𝑦 = 𝑓 (𝑥) và 𝑦 = 𝑔(𝑥) là

hệ phương trình tiếp điểm

{︃

𝑓 (𝑥) = 𝑔(𝑥)

𝑓′(𝑥) = 𝑔′(𝑥) có nghiệm.

9 Tính đồng biến, nghịch biến : 1 Nếu 𝑓′(𝑥) > 0 với mọi

𝑥 ∈ (𝑎; 𝑏) thì 𝑦 = 𝑓 (𝑥) đồng biến trên (𝑎; 𝑏); 2 Nếu 𝑓′(𝑥) < 0 với mọi 𝑥 ∈ (𝑎; 𝑏) thì 𝑦 = 𝑓 (𝑥) nghịch biến trên (𝑎; 𝑏)

10 Cực trị : 1 Hàm số 𝑦 = 𝑓 (𝑥) có 𝑓′(𝑥0) = 0 và đổi dấu khi qua điểm 𝑥0, thì 𝑥0 gọi là cực trị của hàm số; nếu 𝑓′ đổi dấu từ + sang − thì 𝑥0 là điểm cực đại; nếu 𝑓′ đổi dấu từ − sang + thì 𝑥0 là điểm cực tiểu; 2 Nếu

{︃

𝑓′(𝑥0) = 0

𝑓′′(𝑥0) > 0 thì 𝑥0 là điểm cực tiểu; nếu {︃

𝑓′(𝑥0) = 0

𝑓′′(𝑥0) < 0 thì 𝑥0 là điểm cực đại.

11 Nguyên hàm các hàm số cơ bản :

∫︀ 𝑎 d𝑥 = 𝑎𝑥 + 𝐶 ∫︀ 𝑥𝛼

d𝑥 = 𝑥𝛼+1 𝛼+1 + 𝐶 ∫︀ d𝑥

𝑥 = ln |𝑥| + 𝐶

∫︀ 𝑒𝑥d𝑥 = 𝑒𝑥+ 𝐶 ∫︀ 𝑎𝑥 d𝑥 = 𝑎𝑥

ln 𝑎+ 𝐶 ∫︀ sin 𝑥 d𝑥 = − cos 𝑥 + 𝐶

∫︀ cos 𝑥 d𝑥 = sin 𝑥 + 𝐶 ∫︀ d𝑥

cos 2 𝑥 = tan 𝑥 + 𝐶 ∫︀ d𝑥

sin 2 𝑥 = − cot 𝑥 + 𝐶

1

12 Phương pháp tìm nguyên hàm

1 Đổi biến :∫︀ 𝑓 (𝑢)𝑢′

d𝑥 = 𝐹 (𝑢) + 𝐶 (𝐹 là một nguyên hàm của 𝑓 );

2 Nguyên hàm từng phần :∫︀ 𝑢 d𝑣 = 𝑢𝑣 − ∫︀ 𝑣 d𝑢

13 Tích phân

1 CT Niu-tơn - Laibnit :

𝑏

∫︀

𝑎

𝑓 (𝑥) d𝑥 = 𝐹 (𝑏) − 𝐹 (𝑎);

2 CT đổi biến số :

𝑏

∫︀

𝑎

𝑓 [𝑢(𝑥)] 𝑢′(𝑥) d𝑥 =

𝑢(𝑏)

∫︀

𝑢(𝑎)

𝑓 (𝑢) d𝑢;

3 CT tích phân từng phần :

𝑏

∫︀

𝑎

𝑢 d𝑣 = 𝑢𝑣

⃒

⃒ 𝑏 𝑎

−

𝑏

∫︀

𝑎

𝑣 d𝑢

14 Công thức diện tích, thể tích : cho 𝑎 < 𝑏, ta có

1 Hình 𝐻1:

⎧

⎪

⎨

⎪

⎩

𝑦 = 𝑓 (𝑥)

𝑦 = 𝑔(𝑥)

𝑥 = 𝑎

𝑥 = 𝑏

⎧

⎪

⎨

⎪

⎩

𝑥 = 𝑓 (𝑦)

𝑥 = 𝑔(𝑦)

𝑦 = 𝑎

𝑦 = 𝑏

𝑆𝐻1=

𝑏

∫︀

𝑎

𝑏

∫︀

𝑎

|𝑓 (𝑦) − 𝑔(𝑦)| d𝑦

3 Hình 𝐻3:

⎧

⎪

⎨

⎪

⎩

𝑦 = 𝑓 (𝑥)

trục 𝑂𝑥

𝑥 = 𝑎

𝑥 = 𝑏

⎧

⎪

⎨

⎪

⎩

𝑥 = 𝑓 (𝑦) trục 𝑂𝑦

𝑦 = 𝑎

𝑦 = 𝑏

𝑉𝐻

3 quanh𝑂𝑥= 𝜋

𝑏

∫︀

𝑎

𝑓2(𝑥) d𝑥 𝑉𝐻

4 quanh𝑂𝑦 = 𝜋

𝑏

∫︀

𝑎

𝑓2(𝑦) d𝑦

15 Số phức

1 Dạng đại số : 𝑧 = 𝑎 + 𝑏𝑖 ∈ C; 𝑎, 𝑏 ∈ R; 𝑖2 = −1; 𝑎: phần thực; 𝑏:

phần ảo; 𝑎 + 𝑏𝑖 = 𝑎′+ 𝑏′𝑖 ⇔ 𝑎 = 𝑎′ và 𝑏 = 𝑏′; |𝑧| =√

𝑎2+ 𝑏2: mô-đun của 𝑧; 𝑧 = 𝑎 − 𝑏𝑖: số phức liên hợp; 𝑧−1=𝑧1: số phức nghịch đảo

2 Dạng LG : 𝑧 = 𝑟(cos 𝜙 + 𝑖 sin 𝜙); 𝜙: acrgumen của 𝑧; 𝑟 = |𝑧| > 0

3 Phép toán : (𝑎+𝑏𝑖)±(𝑎′+𝑏′𝑖) = (𝑎±𝑎′)+(𝑏±𝑏′)𝑖; (𝑎+𝑏𝑖)(𝑎′+𝑏′𝑖) =

(𝑎𝑎′− 𝑏𝑏′

) + (𝑎𝑏′+ 𝑎′𝑏)𝑖; 𝑎+𝑏𝑖

𝑎 ′ +𝑏 ′ 𝑖 =(𝑎(𝑎+𝑏𝑖)(𝑎′ +𝑏 ′ 𝑖)(𝑎′−𝑏′ −𝑏′𝑖)′ 𝑖) = 𝑎𝑎′+𝑏𝑏′

𝑎 ′2 +𝑏 ′2 +𝑎′𝑏−𝑎𝑏′

𝑎 ′2 +𝑏 ′2𝑖;

Nếu 𝑧 = 𝑟(cos 𝜙 + 𝑖 sin 𝜙) và 𝑧′ = 𝑟′(cos 𝜙′+ 𝑖 sin 𝜙′) thì 𝑧𝑧′ = 𝑟𝑟′

[cos(𝜙 + 𝜙′) + 𝑖 sin(𝜙 + 𝜙′)] và 𝑧𝑧′ = 𝑟𝑟′ [cos(𝜙 − 𝜙′) + 𝑖 sin(𝜙 − 𝜙′)];

CT Moa-vrơ [𝑟(cos 𝜙 + 𝑖 sin 𝜙)]𝑛= 𝑟𝑛(cos 𝑛𝜙 + 𝑖 sin 𝑛𝜙)

4 Căn bậc hai của 𝑧 = 𝑎 + 𝑏𝑖 là số 𝑤 = 𝑥 + 𝑦𝑖 sao cho

𝑧 = 𝑤2⇔ 𝑥2−𝑦2

= 𝑎 và 2𝑥𝑦 = 𝑏; nếu 𝑧 = 𝑟(cos 𝜙+𝑖 sin 𝜙) thì 𝑧 có hai căn bậc hai là√

𝑟(︀cos𝜙

2 + 𝑖 sin𝜙2)︀ và√𝑟(︀cos [︀𝜋 +𝜙

2]︀ + 𝑖 sin [︀𝜋 +𝜙

2]︀)︀

16 Tổ hợp : 1 𝑃𝑛 = 𝑛! = 𝑛.(𝑛 − 1) 1; 0! = 1; 𝐴𝑘𝑛 = (𝑛−𝑘)!𝑛! ;

𝐶𝑛𝑘 = 𝑛!

𝑘!(𝑛−𝑘)!; 𝐶𝑛−1𝑘−1 + 𝐶𝑛−1𝑘 = 𝐶𝑛𝑘; 2 Nhị thức Niu-tơn :

(𝑎 + 𝑏)𝑛=

𝑛

∑︀

𝑘=0

𝐶𝑘

𝑛𝑎𝑘𝑏𝑛−𝑘 =

𝑛

∑︀

𝑘=0

𝐶𝑘

𝑛𝑎𝑛−𝑘𝑏𝑘

17 Xác suất : 1 𝑃 (𝐴) =|𝐴||Ω|; 𝑃 (∅) = 0; 𝑃 (Ω) = 1; 0 ≤ 𝑃 (𝐴) ≤ 1

2 𝑃 (𝐴 + 𝐵) = 𝑃 (𝐴) + 𝑃 (𝐵), với 𝐴, 𝐵 xung khắc; 𝑃 (𝐴) = 1 − 𝑃 (𝐴);

3 𝑃 (𝐴𝐵) = 𝑃 (𝐴)𝑃 (𝐵), với 𝐴, 𝐵 độc lập;

4 Bảng phân bố biến ngẫu nhiên rời rạc 𝑋 𝑥1 𝑥2 · · · 𝑥𝑛

𝑃 𝑝1 𝑝2 · · · 𝑝𝑛

có 𝑝𝑖= 𝑃 (𝑋 = 𝑥𝑖),

𝑛

∑︀

𝑖=1

𝑝𝑖= 1; kì vọng 𝜇 = 𝐸(𝑋) =

𝑛

∑︀

𝑖=1

𝑥𝑖𝑝𝑖; phương sai 𝑉 (𝑋) =

𝑛

∑︀

𝑖=1

(𝑥𝑖− 𝜇)2

𝑝𝑖; độ lệch chuẩn 𝜎(𝑋) =√︀𝑉 (𝑋)

18 Các hằng đẳng thức đáng nhớ

1 (𝑎 ± 𝑏)2= 𝑎2± 2𝑎𝑏 + 𝑏2

; 2 (𝑎 ± 𝑏)3 = 𝑎2± 3𝑎2

𝑏 + 3𝑎𝑏2± 𝑏3

;

3 𝑎2− 𝑏2= (𝑎 − 𝑏)(𝑎 + 𝑏); 4 𝑎3± 𝑏3= (𝑎 ± 𝑏)(𝑎2∓ 𝑎𝑏 + 𝑏2)

5 (𝑎 + 𝑏 + 𝑐)2= 𝑎2+ 𝑏2+ 𝑐2+ 2𝑏𝑐 + 2𝑏𝑐 + 2𝑐𝑎

HÌNH HỌC

A HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG MẶT PHẲNG

1 Tọa độ điểm, tọa độ véctơ

1 Cho 𝐴(𝑥1; 𝑦1), 𝐵(𝑥2; 𝑦2), 𝐶(𝑥3; 𝑦3), 𝑀 : trung điểm 𝐴𝐵, 𝐺: trọng

tâm Δ𝐴𝐵𝐶 :−→

𝐴𝐵 = (𝑥2−𝑥1; 𝑦2−𝑦1); 𝐴𝐵 =√︀(𝑥2− 𝑥1)2+ (𝑦2− 𝑦1)2;

𝑀(︀𝑥1+𝑥2

2 ;𝑦1 +𝑦2

2 )︀; 𝐺 (︀𝑥1+𝑥2+𝑥3

3 ;𝑦1 +𝑦2+𝑦3

2 Cho −→𝑢 = (𝑥

1; 𝑦1), −→𝑣 = (𝑥

2; 𝑦2), thì −→𝑢 = −→𝑣 ⇔

{︃

𝑥1= 𝑥2

𝑦1= 𝑦2;

−

→𝑢 ± −→𝑣 = (𝑥

1± 𝑥2; 𝑦1± 𝑦2); 𝑘.−→𝑢 = (𝑘𝑥

1; 𝑘𝑦1) ; −→

𝑢  −→𝑣 ⇔ ∃𝑘 ∈

R :−→𝑢 = 𝑘−→𝑣 ⇔ 𝑥1

𝑥 2 = 𝑦1

𝑦 2; 3 điểm 𝐴, 𝐵, 𝐶 thẳng hàng ⇔−→

𝐴𝐵 −→𝐴𝐶;

−

→𝑢 −→𝑣 = |−→𝑢 |.|−→𝑣 | cos(−→𝑢 , −→𝑣 ) = 𝑥

1𝑥2+ 𝑦1𝑦2; cos(−→𝑢 , −→𝑣 ) = − →𝑢 −→𝑣

|−→𝑢 |.|−→𝑣 | =

𝑥1𝑥2+𝑦1𝑦2

√

𝑥 2 +𝑦 2√

𝑥 2 +𝑦 2; −→𝑢 ⊥−→𝑣 ⇔ −→𝑢 −→𝑣 = 0 ⇔ 𝑥

1𝑥2+ 𝑦1𝑦2= 0

2 Đường thẳng

1 Δ qua 𝑀 (𝑥 0 ; 𝑦 0 ), vtcp −→𝑢 = (𝑎; 𝑏) ̸=−→0 ⇒ Δ :

{︁ 𝑥 = 𝑥 0 + 𝑎𝑡

𝑦 = 𝑦 0 + 𝑏𝑡 : PT tham

số, hoặc Δ : 𝑥−𝑥0

𝑎 =𝑦−𝑦0

𝑏 (𝑎𝑏 ̸= 0): PT chính tắc; 2 Mọi đường thẳng có

PT tổng quát 𝑎𝑥+𝑏𝑦+𝑐 = 0 (𝑎 2 +𝑏 2 ̸= 0), vtpt −→𝑛 = (𝑎; 𝑏), vtcp −→𝑢 = (−𝑏; 𝑎);

3 Δ qua 𝑀 (𝑥 0 ; 𝑦 0 ), vtpt −→𝑛 = (𝑎; 𝑏), thì Δ : 𝑎(𝑥 − 𝑥 0 ) + 𝑏(𝑦 − 𝑦 0 ) = 0;

4 Δ qua 𝑀 (𝑥 0 ; 𝑦 0 ), có hệ số góc 𝑘, thì Δ : 𝑦 = 𝑘(𝑥 − 𝑥 0 ) + 𝑦 0 ;

5 Cho 𝑀 (𝑥 0 ; 𝑦 0 ) và Δ : 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 + 𝑐 = 0, thì 𝑑(𝑀, Δ) = |𝑎𝑥√ 0 +𝑏𝑦 0 +𝑐|

𝑎 2 +𝑏 2 ;

6 cos(Δ 1 , Δ 2 ) = | cos(−→𝑛 Δ1, −→𝑛 Δ2)| = |−

→

𝑛 Δ1.−→𝑛Δ2|

|−→𝑛 Δ1|.|−→𝑛Δ2|.

3 Đường tròn : 1 PT chính tắc của đường tròn : (𝑥 − 𝑥0)2+ (𝑦 − 𝑦0)2 = 𝑅2, tâm 𝐼(𝑥0; 𝑦0), bán kính 𝑅 > 0; 2 PT tổng quát của đường tròn : 𝑥2+ 𝑦2+ 2𝑎𝑥 + 2𝑏𝑦 + 𝑐 = 0, tâm 𝐼(−𝑎; −𝑏), bán kính

𝑅 =√

𝑎2+ 𝑏2− 𝑐 > 0

4 Elip : 1 PT chính tắc (𝐸) :𝑥𝑎22+𝑦𝑏22 = 1 (𝑎 > 𝑏 > 0); 2 Tiêu điểm

𝐹1(−𝑐; 0), 𝐹2(𝑐; 0), tiêu cự 𝐹1𝐹2 = 2𝑐 > 0 và 𝑎2 = 𝑏2+ 𝑐2; 3 Tâm sai 𝑒 = 𝑐

𝑎< 1; 4 PT đường chuẩn 𝑥 = ±𝑎

𝑒; 5 Bốn đỉnh 𝐴1(−𝑎; 0),

𝐴2(𝑎; 0), 𝐵1(0; −𝑏), 𝐵2(0; 𝑏); 6 Độ dài trục lớn (trục thực) : 2𝑎; trục

bé (trục ảo): 2𝑏; 7 PT hình chữ nhật cơ sở 𝑥 = ±𝑎, 𝑦 = ±𝑏; 8 Bán kính qua tiêu : 𝑀 (𝑥; 𝑦) ∈ (𝐸), thì 𝑀 𝐹1= 𝑎 +𝑐𝑥

𝑎, 𝑀 𝐹2= 𝑎 −𝑐𝑥

𝑎

5 Hypebol : 1 PT chính tắc (𝐻) : 𝑥𝑎22 − 𝑦2

𝑏 2 = 1 (𝑎, 𝑏 > 0);

2 Tiêu điểm 𝐹1(−𝑐; 0), 𝐹2(𝑐; 0), tiêu cự 𝐹1𝐹2= 2𝑐 > 0 và 𝑐2= 𝑎2+𝑏2;

3 Tâm sai 𝑒 = 𝑐

𝑎 > 1; 4 PT đường chuẩn 𝑥 = ±𝑎

𝑒; 5 Bốn đỉnh

𝐴1(−𝑎; 0), 𝐴2(𝑎; 0), 𝐵1(0; −𝑏), 𝐵2(0; 𝑏); 6 Độ dài trục lớn (trục thực) : 2𝑎; trục bé (trục ảo): 2𝑏; 7 PT hình chữ nhật cơ sở 𝑥 = ±𝑎,

𝑦 = ±𝑏; 8 Bán kính qua tiêu : 𝑀 (𝑥; 𝑦) ∈ (𝐻), thì 𝑀 𝐹1=⃒𝑎 +𝑐𝑥

𝑎

⃒ ,

𝑀 𝐹2=⃒𝑎 −𝑐𝑥

𝑎

⃒

; 9 PT tiệm cận : 𝑦 = ±𝑏

𝑎𝑥

6 Parabol : 1 PT chính tắc (𝑃 ) : 𝑦2 = 2𝑝𝑥 (𝑝 > 0); 2 Tiêu điểm 𝐹(︀𝑝

2; 0)︀; 3 PT đường chuẩn 𝑥 = −𝑝

2

B HÌNH HỌC KHÔNG GIAN

1 𝑉 chóp= 1

3𝑆.ℎ; 2 𝑉

lăng trụ= 𝑆.ℎ; 3 𝑉cầu=

4

3𝜋𝑅3;

4 𝑉 nón= 1

3𝑆.ℎ; 5 𝑉trụ = 𝑆.ℎ; 6 𝑆xq-cầu = 4𝜋𝑅2;

7 𝑆xq-trụ = 2𝜋𝑅.ℎ; 8 𝑆xq-nón = 𝜋𝑅𝑙, 𝑙: đường sinh hình nón

C PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN

1 Tích có hướng của hai véctơ : 1 Cho −→𝑢 = (𝑥

1; 𝑦1; 𝑧1),

−

→𝑣 = (𝑥

2; 𝑦2; 𝑧2), tích có hướng của hai véctơ −→𝑢 và −→𝑣 là một véctơ,

xác định bởi : [−→𝑢 , −→𝑣 ] =

⎛

⎜

𝑦1 𝑧1

𝑦2 𝑧2

; 𝑧1 𝑥1

𝑧2 𝑥2

; 𝑥1 𝑦1

𝑥2 𝑦2

⎞

⎟

2 Ứng dụng của tích vô hướng và tích có hướng

1 𝑆Δ𝐴𝐵𝐶 = 12

⃒

⃒[−→

𝐴𝐵,−→

𝐴𝐶]

⃒

⃒; 2 𝑉

h.hộp =

⃒

⃒[−→

𝐴𝐵,−→ 𝐴𝐷].−−→

𝐴𝐴′

⃒

⃒;

3 𝑉𝐴𝐵𝐶𝐷 = 1

6

⃒

⃒[−→

𝐴𝐵,−→

𝐴𝐶].−→

𝐴𝐷⃒

⃒; 4 𝑑(𝐴𝐵, 𝐶𝐷) = |[−𝐴𝐵,→−𝐶𝐷].→ −𝐴𝐶→|

|[−𝐴𝐵,→−𝐶𝐷]→| ;

5 𝑑(𝑀, 𝐴𝐵) = |[

−→

𝑀 𝐴,−−→𝑀 𝐵]|

|−𝐴𝐵|→ = |[

−→

𝑀 𝐴,−𝐴𝐵]|→

|−𝐴𝐵|→ ; 6 cos(−→𝑢 , −→𝑣 ) = − →𝑢 −→𝑣

|−→𝑢 |.|−→𝑣 |;

7 sin(−→𝑢 , −→𝑣 ) = |[−→𝑢 ,−→|

|−→𝑢 |.|−→𝑣 |; 8 cos(𝐴𝐵, 𝐶𝐷) =

⃒

⃒cos(−→

𝐴𝐵,−→ 𝐶𝐷)

⃒

⃒

3 Mặt phẳng 1 Mọi mặt phẳng có PT tổng quát 𝑎𝑥+𝑏𝑦+𝑐𝑧+𝑑 = 0 (𝑎2+ 𝑏2+ 𝑐2 ̸= 0), vtpt −→𝑛 = (𝑎; 𝑏; 𝑐); 2 (𝛼) qua 𝑀 (𝑥0; 𝑦0; 𝑧0), vtpt −→𝑛 = (𝑎; 𝑏; 𝑐), thì (𝛼) : 𝑎(𝑥 − 𝑥

0) + 𝑏(𝑦 − 𝑦0) + 𝑐(𝑧 − 𝑧0) = 0;

3 Cho 𝑀 (𝑥0; 𝑦0; 𝑧0) và (𝛼) : 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 + 𝑐𝑧 + 𝑑 = 0, thì 𝑑(𝑀, 𝛼) =

|𝑎𝑥√0+𝑏𝑦0+𝑐𝑧0+𝑑|

𝑎 2 +𝑏 2 +𝑐 2 ; 4 cos(𝛼1, 𝛼2) = | cos(−→𝑛

𝛼1, −→𝑛

𝛼2)| = |−

→𝑛

𝛼1 −→𝑛 𝛼2|

|−→𝑛 𝛼1|.|−→𝑛 𝛼2|

4 Đường thẳng 1 Δ qua 𝑀 (𝑥0; 𝑦0; 𝑧0), vtcp −→𝑢 = (𝑎; 𝑏; 𝑐) ̸=−→0 ⇒

Δ :

⎧

⎪

⎪

𝑥 = 𝑥0+ 𝑎𝑡

𝑦 = 𝑦0+ 𝑏𝑡

𝑧 = 𝑧0+ 𝑐𝑡

: PT tham số, hoặc Δ : 𝑥−𝑥0

𝑏 = 𝑧−𝑧0

𝑐

(𝑎𝑏𝑐 ̸= 0): PT chính tắc; 2 Cho 𝑀0∈ Δ, thì 𝑑(𝑀, Δ) =|[

−−−→

𝑀 𝑀0,−→𝑢Δ]|

|−→𝑢Δ| ;

3 𝑑(Δ, Δ′) =

⃒

⃒ [︂

−

→

𝑢 ,

−

→

𝑢′ ]︂

.

−−−−→

𝑀 0 𝑀0′

⃒

⃒

⃒

⃒ [︂

−

→𝑢 ,−→𝑢′]︂⃒⃒

⃒ , 𝑀0 ∈ Δ, 𝑀0′ ∈ Δ′; 4 cos(Δ1, Δ2) =

| cos(−→𝑢Δ1, −→𝑢

Δ2)| = |−

→𝑢

Δ1.−→𝑢Δ2|

|−→𝑢 Δ1|.|−→𝑢Δ2|; 5 sin(Δ, 𝛼) = | cos(−→𝑢

Δ, −→𝑛

𝛼)|

5 Mặt cầu : 1 PT chính tắc của mặt cầu : (𝑥 − 𝑥0)2+ (𝑦 − 𝑦0)2+ (𝑧 − 𝑧0)2 = 𝑅2, tâm 𝐼(𝑥0; 𝑦0; 𝑧0), bán kính 𝑅 > 0; 2 PT tổng quát của mặt cầu : 𝑥2+𝑦2+𝑧2+2𝑎𝑥+2𝑏𝑦 +2𝑐𝑧 +𝑑 = 0, tâm 𝐼(−𝑎; −𝑏; −𝑐), bán kính 𝑅 =√

𝑎2+ 𝑏2+ 𝑐2− 𝑑 > 0

2