Bài giảng toán rời rạc bài tập chia đồng dư

Trường đại học Cần Thơ Khoa Công nghệ thông tin và truyền thông Bộ môn Khoa học máy tính BÀI TẬP CHIA & ĐỒNG DƯ 1 Bài tập 0  CM rằng với mọi số nguyên n, dư của phép chia n2 cho 4 chỉ có thể là 0 hoặ[.]

Trường đại học Cần Thơ Khoa Công nghệ thông tin và truyền thông

Bộ môn Khoa học máy tính

BÀI TẬP CHIA & ĐỒNG DƯ

1

Bài tập 0

 CM rằng với mọi số nguyên n, dư của phép chia n2 cho 4 chỉ

có thể là 0 hoặc 1.

n là chẵn => n = 2k => n2 = 4k2 chia hết cho 4 (dư 0)

n là lẻ => n = 2k + 1 => n2 = 4k2 + 4k +1 chia cho 4 dư 1

2

n là lẻ => n = 2k + 1 => n2 = 4k2 + 4k +1 chia cho 4 dư 1

Bài tập 1

 Tìm tất cả các nghiệm nguyên của PT: x2 – y2 = 2014

x2, y2 chia cho 4 dư 0 hoặc 1 => x2 - y2 chia cho 4 dư 0, 1, -1 (hay 3) tuy nhiên 2014 chia cho 4 dư 2

=> PT vô nghiệm

3

=> PT vô nghiệm

Bài tập 2

 CM rằng với mọi số nguyên dương n, dư của phép chia n3 cho 7 chỉ có thể là 0, 1 hoặc 6

n = 7k => n3 = 73k3  0(mod 7)

n = 7k + 1 => n3 = (7k +1)3  1(mod 7)

4

n = 7k + 1 => n3 = (7k +1)3  1(mod 7)

n = 7k + 2 => n3 = (7k +2)3  1(mod 7)

n = 7k + 3 => n3 = (7k +3)3  6(mod 7)

n = 7k + 4 => n3 = (7k +4)3  1(mod 7)

n = 7k + 5 => n3 = (7k +5)3  6(mod 7)

n = 7k + 6 => n3 = (7k +6)3  6(mod 7)

Bài tập 3

 Tìm tất cả các nghiệm nguyên của PT: x3 + y3 = 2013

x3, y3 chia cho 7 dư 0, 1 hoặc 6

=> x3 + y3 chia cho 7 dư 0, 1, 2, 5, 6

tuy nhiên 2013 chia cho 7 dư 4

5

tuy nhiên 2013 chia cho 7 dư 4

=> PT vô nghiệm

Bài tập 4

 Trong các nghiệm nguyên không âm của PT: 3x + 5y = 2012, tìm nghiệm sao cho x + y nhỏ nhất

Từ PT => x = 670 - y – 2(y - 1)/3 là nguyên

=> 2(y-1)/3 = k phải là số nguyên

6

=> 2(y-1)/3 = k phải là số nguyên

=> 2(y-1) = 3k => k = 2t, y = 3t + 1 => x = 669 - 5t

Do x  0 => 669 – 5t  0 => t  133.8

Hơn nữa, x + y = 670 – 2t nhỏ nhất khi t là nguyên lớn nhất nhưng

nhỏ hơn 133.8 => t = 133

=> x = 4, y = 400

Bài tập 5

 Tìm các nghiệm nguyên của PT: x + y + xy = 9

Từ PT => x + y + xy + 1 = 10 => (x+1)(y+1) = 10

(x+1) là ước của 10 => (x+1) = 1, 2, 5, 10

(x+1) = 1 => x = 0, y = 9 hoặc x = -2, y = -11

7

(x+1) = 1 => x = 0, y = 9 hoặc x = -2, y = -11

(x+1) = 2 => x = 1, y = 4 hoặc x = -3, y = -6

(x+1) = 5 => x = 4, y = 1 hoặc x = -6, y = -3

(x+1) = 10 => x = 9, y = 0 hoặc x = -11, y = -2

Bài tập 6

 Tìm các nghiệm nguyên của PT: 2x2 + 4x = 19 – 3y2

Từ PT => 2x2 + 4x + 2 = 19 – 3y2 + 2 => 2(x+1)2 = 3(7 – y2)

7 – y2  0 và chia hết cho 2 => y lẻ và y2  7 => y = 1

=> (x+1)2 = 9 => x = 2 hoặc x = -4

8

=> (x+1)2 = 9 => x = 2 hoặc x = -4

PT có 4 cặp nghiệm

Bài tập 7

 Tìm các nghiệm nguyên của PT: 5x + 1 = 2y

5  1 (mod 4) => 5x  1 (mod 4) => 5x + 1 2 (mod 4)

=> 2y  2 (mod 4) => y = 1

=> 5x = 1 => x = 0

9

=> 5x = 1 => x = 0

Bài tập 8

 Biết p, p + k, p + 2k là các số nguyên tố lớn hơn 3, CM rằng k chia hết cho 6

p, p + k, p + 2k là các số nguyên tố lớn hơn 3 => p, p + k, p + 2k phải

là số lẻ không chia hết cho 3

10

là số lẻ không chia hết cho 3

Do p, p+k cùng lẻ => (p+k) – p = k chia hết cho 2

3 số dư của phép chia p, p + k, p + 2k cho 3 là các số 1 hoặc 2 => có 2 số

dư bằng nhau => có 3 trường hợp xãy ra:

p + k ≡ p(mod 3) => k = (p + k) – p ≡0(mod 3) => k chia hết cho 3

p + 2k ≡ p(mod 3) => 2k = (p + 2k) – p ≡0(mod 3) => k chia hết 3

p + 2k ≡ (p + k)(mod 3) => k = (p + 2k) – (p + k) ≡ 0(mod 3) => k chia hết cho 3

=> k chia hết cho 2 vừa chia hết cho 3 => k chia hết cho 6