Bài giảng toán rời rạc các ứng dụng của bài toán luồng cực đại nguyễn đức nghĩa

BM Khoa học Máy tính • TOÁN RỜI RẠC • Fall 2005 • NGUYỄN ĐỨC NGHĨA Các ứng dụng của Bài toán luồng cực đại Toán rời rạc – Fall 2005 NGUYỄN ĐỨC NGHĨA Bộ môn KHMT 2 Max Flow Applications s t Toán rời rạ[.]

Các ứng dụng của

Bài toán luồng cực đại

Max Flow Applications

s

NỘI DUNG

 Một số bài toán luồng tổng quát

– Bài toán với nhiều điểm phát và điểm thu

– Bài toán với hạn chế thông qua ở nút

 Một số ứng dụng trong tổ hợp

– Bài toán cặp ghép cực đại trong đồ thị hai phía

– Độ tin cậy của mạng

Một số bài toán luồng tổng quát

Mạng với nhiều điểm phát và điểm thu

 Xét mạng G với p điểm phát s 1 , s 2 , , s p với lượng phát là a 1 , a 2 ,

, a p và q điểm thu t 1 , t 2 , , t q với lượng thu là b 1 , b 2 , , b q

 Giả sử rằng luồng có thể đi từ một điểm phát bất kỳ đến tất cả

các điểm thu

 Tìm luồng cực đại từ các điểm phát đến các điểm thu

s 1

s 2

s p

t 1

t 2

t q

M¹ng víi nhiÒu ®iÓm ph¸t vµ ®iÓm thu

 Đa vµo mét ®iÓm ph¸t gi¶ s vµ mét ®iÓm thu gi¶ t vµ c¸c c¹nh nèi s víi

tÊt c¶ c¸c ®iÓm ph¸t vµ c¸c c¹nh nèi c¸c ®iÓm thu víi t

 Kntq cña cung (s,s i ) sÏ b»ng a i là lîng ph¸t cña s i

 Kntq cña (t i , t) sÏ bằng b i là lîng thu cña ®iÓm thu t i

 Bài to¸n dẫn về bài to¸n với 1 điểm ph¸t và một điểm thu

s 1

s 2

s p

t 1

t 2

t q

b q

b 1

a 1

a 2

a p

Bài toỏn với hạn chế thụng qua ở nỳt

 Giả sử trong mạng G, ngoài khả năng thông qua của

các cung c(u, v), ở mỗi đỉnh v V còn có khả năng

thông qua của đỉnh là d(v), và đòi hỏi tổng luồng đi

vào đỉnh v không đợc vợt quá d(v), tức là

wV  f(w,v)  d(v).

• Tìm luồng cực đại từ s đến t trong mạng G.

s

v

t

u

d s

d u

d t

d v

1

Bài toỏn với hạn chế thụng qua ở nỳt

 Xây dựng một mạng G' sao cho: mỗi đỉnh v của G tơng ứng với

2 đỉnh v+, v- trong G', mỗi cung (u, v) trong G ứng với cung (u-,

v+) trong G', mỗi cung (v,w) trong G ứng với cung (v-, w+) trong

G' Ngoài ra, mỗi cung (v+, v-) trong G' có khả năng thông qua là

d(v), tức là bằng khả năng thông qua của đỉnh v trong G.

s

v

t

u

d s

d u

d t

d v

1

s

-v +

t +

u +

d s

d u

d t

d v

1

-u

-v

-Qui về bài toỏn tỡm luồng cực đại trong G’

Các ứng dụng của bài toán luồng cực đại

ỨNG DỤNG TRONG TỔ HỢP

Bài toán ghép cặp (Matching Problems)

Cặp ghép (Matching)

Cho G = (V, E) là đồ thị vô hướng

Cặp ghép trong đồ thị G là tập các cạnh của đồ thị đôi một không

có đỉnh chung

Bài toán cặp ghép cực đại : Tìm cặp ghép với lực lượng lớn nhất

Bài toán cặp ghép cực đại trên đồ thị hai phía

Đồ thị vô hướng G=(V,E)

là hai phía nếu V có thể

phân hoạch thành 2 tập

X và Y sao cho mỗi cạnh

e=(x, y) với xX và yY.

Cặp ghép là tập các

cạnh đôi một không có

đỉnh chung.

Bài toán cặp ghép cực đại :

Tìm cặp ghép có lực lượng

lớn nhất

1

2

3 4 5

6

7

8 9 10

Qui dẫn về bài toán luồng cực đại

1

2

3 4 5

6

7

8 9 10

Mỗi cung (j, t)

có kntq là 1.

Mỗi cạnh (x,y) thay bởi cung

1

1

∞

Mỗi cung (s, i)

có kntq là 1.

Xây dựng mạng G’

Tìm luồng cực đại

1

2

3 4 5

6

7

8 9 10

Giá trị luồng cực đại từ s đến t là 4.

Cặp ghép cực đại có lực lượng là 4.

Đinh lý Lực lượng của cặp ghép cực đại trong G = giá trị của luồng

cực đại trong G'.

CM Chỉ cần chứng minh G có cặp ghép lực lượng k khi và chỉ khi G’

có luồng với giá trị k.

 f là luồng có giá trị k ■

Bipartite Matching: Tính đúng đắn

s

1

3

5

1'

3'

5'

t 2

4

2'

4'



1

3

5

1'

3'

5'

2

4

2'

4'

G' G

) Cho f là luồng giá trị k trong G'.

hoặc 1.

– mỗi đỉnh trong X và Y là đầu mút của  một cạnh trong M

– |M| = k, do luồng có giá trị k nên có đúng k cạnh từ X sang Y với

giá trị luồng trên cung là 1 ■

Bipartite Matching: Tính đúng đắn

1

3

5

1'

3'

5'

2

4

2'

4'

G

s

1

3

5

1'

3'

5'

t 2

4

2'

4'



G'

ĐN Cặp ghép M  E được gọi là hoàn hảo (perfect) nếu mỗi

đỉnh của đồ thị là đầu mút của đúng 1 cạnh trong M.

Câu hỏi Khi nào đồ thị hai phía có cặp ghép hoàn hảo?

Cấu trúc của đồ thị hai phía có cặp ghép hoàn hảo

 Rõ ràng ta phải có |X| = |Y|.

 Điều kiện nào là cần nữa?

 Các điều kiện đủ là gì?

Cặp ghép hoàn hảo (Perfect Matching)

Ký hiệu Gỉa sử S là tập con các đỉnh, ký hiệu (S) là tập các đỉnh kề

với các đỉnh trong S.

Nhận xét Nếu đồ thị hai phía G = (X  Y, E) có cặp ghép hoàn hảo, thì

| (S)|  |S| với mọi tập con S  X.

CM Hai đỉnh bất kỳ trong S gắn với hai đỉnh khác nhau trong (S).

Cặp ghép hoàn hảo

Không có cặp ghép hoàn hảo:

S = { 2, 4, 5 }

 (S) = { 2', 5' }.

1

3

5

1'

3'

5'

2

4

2'

4'

Marriage Theorem [Frobenius 1917, Hall 1935] Giả sử G = (X  Y, E)

là đồ thị hai phía với |X| = |Y| Khi đó, G có cặp ghép hoàn hảo khi và

chỉ khi | (S)|  |S| với mọi tập con S  X.

CM ) Vừa chứng minh ở trên.

Định lý về các đám cưới (Marriage Theorem)

1

3

5

1'

3'

5'

2

4

2'

4'

Không có cặp ghép hoàn hảo:

S = { 2, 4, 5 }

 (S) = { 2', 5' }.

CM ) Giả sử G không có cặp ghép hoàn hảo.

 Xét bài toán luồng cực đại tương ứng và (A, B) là lát cắt nhỏ nhất trong G'.

 Theo định lý luồng cực đại và lát cắt nhỏ nhất, cap(A, B) < | X |.

 Gọi X A = X  A, X B = X  B , Y A = Y  A.

 Do lát cắt nhỏ nhất không sử dụng cạnh  : (X A )  Y A Suy ra:

 |(X A )|  | Y A | = (| X B | + | Y A |) - | X B | = cap(A, B) - | X B | < | X | - | X B | = | X A |.

  Chọn S = X A ta có |(S)| < |S| ?! ■

Chứng minh định lý về các đám cưới

XA = {2, 4, 5}

XB = {1, 3}

YA = {2', 5'}

 (XA) = {2', 5'}

s

1

3

5

1'

3'

5'

t

2

4

4'

2'

1

1

1

A

 G'

