Microsoft Word 2 GT11 C2 B2 HOAN VI CHINH HOP TO HOP HS 2022 Bùi Văn Đức HOÁN VỊ CHỈNH HỢP TỔ HỢP Định nghĩa hoán vị Cho tập hợp A gồm n phần tử (n 1) Mỗi kết quả của sự sắp xếp thứ tự n phần tử.
Trang 1HOÁN VỊ - CHỈNH HỢP- TỔ HỢP
Định nghĩa hoán vị:
Cho tập hợp A gồm n phần tử (n 1) Mỗi kết quả của sự sắp xếp thứ tự n phần tử của tập A được gọi là một hoán vị của n phần tử đó
① Nhận xét: Hai hoán vị của n phần tử chỉ khác nhau ở thứ tự sắp xếp n phần tử
② Số các hoán vị:
Định lí: Pn = n(n – 1) …2.1 = n!
Qui ước: 0! = 1
◈-Ghi nhớ ①
Định nghĩa chỉnh hợp:
Cho tập A gồm n phần tử (n 1) Kết quả của việc lấy k phần tử khác nhau từ n phần tử của tập A và sắp xếp chúng theo một thứ tự nào đó được gọi là một chỉnh hợp chập k của n phần tử đã cho
① Nhận xét: Hai chỉnh hợp chập k của n phần tử đã cho khác nhau ở chỗ:
Hoặc có phần tử ở chỉnh hợp này không ở chỉnh hợp kia;
Hoặc thứ tự sắp xếp của các phần tử trong chúng khác nhau
② Số các chỉnh hợp: = n(n–1)…(n–k+1)
◈-Ghi nhớ ②
Định nghĩa tổ hợp:
Giả sử tập A có n phần tử (n 1) Mỗi tập con gồm k phần tử của A đgl một tổ hợp chập k của n phần tử đã cho
Qui ước: Gọi tổ hợp chập 0 của n phần tử là tập rỗng
① Nhxét: Trong một tổ hợp không có thứ tự sắp xếp Hai tổ hợp trùng nhau nếu hai tập con đó trùng nhau
② Số các tổ hợp:
Tính chất 1: Cho số nguyên dương và số nguyên với Khi đó
Tính chất 2: Cho các số nguyên và với Khi đó
◈-Ghi nhớ ③
Trang 2Phân dạng toán cơ bản
_Bài tập minh họa:
Câu 1: Cho tập hợp M có 30 phần tử Số tập con gồm 5 phần tử của M là
30
C
Câu 2: Cho tập hợp M có 10 phần tử Số chỉnh hợp chập 2 của 10 phần tử của M là
Ⓐ 2
10
2
10
2
A
có 3 học sinh nam và 2 học sinh nữ?
10 8
10 8
10 8
10 8
C C
_Bài tập rèn luyện:
Câu 1:Số cách chọn ra 3 học sinh trong 10 học sinh bất kì là
giải
Câu 2:Từ một nhóm học sinh gồm 12 nam và 8nữ, có bao nhiêu cách
chọn ra 3học sinh trong đó có 2 nam và 1nữ?
giải
Câu 3:Có bao nhiêu cách sắp xếp 4 học sinh đứng thành một hàng
dọc?
giải
Câu 4:Cho tập hợp A0;1;2;3;4;5 Số tập hợp gồm hai phần tử của
tập hợp Alà:
6
6
A
giải
Câu 5:Số tập con có ba phần tử của một tập hợp gồm 10phần tử là
giải
Câu 6:Có bao nhiêu số tự nhiên có bốn chữ số khác nhau được lập từ giải
- Phương pháp: Dùng các định nghĩa:
① Hoán vị: Các dấu hiệu đặc trưng để giúp ta nhận dạng một hoán vị của n phần tử là:
Tất cả n phần tử đều phải có mặt
Mỗi phần tử xuất hiện một lần
Có thứ tự giữa các phần tử
② Chỉnh hợp: Ta sẽ sử dụng khái niệm chỉnh hợp khi
Cần chọn k phần tử từ n phần tử, mỗi phần tử xuất hiện một lần
Đi sắp xếp thứ tự k phần tử đã được chọn ra
③ Tổ hợp: Ta sử dụng khái niệm tổ hợp khi
Cần chọn phần tử từ n phần tử, mỗi phần tử xuất hiện một lần
Không sắp xếp thứ tự k phần tử đã chọn
Sử dụng P, A hoặc C
Trang 3các số 1;2;3;5;7
Ⓐ 15 Ⓑ 120 Ⓒ 10 Ⓓ 24
Câu 7:Có bao nhiêu cách sắp xếp 5 học sinh vào một ghế dài từ một
nhóm gồm 10 học sinh?
10
C Ⓓ 5
10
A
giải
Câu 8:Có bao nhiêu cách xếp 6 bạn thành một hàng dọc?
giải
Câu 9:Giả sử ta dùng 5 màu để tô cho 3 nước khác nhau trên bản đồ
và không có màu nào được dùng hai lần Số các cách chọn những màu
cần dùng là:
2! Ⓒ. 8 Ⓓ.
5!
3!2!
giải
Câu 10:Có bao nhiêu cách xếp 5 học sinh thành một hàng dọc?
giải
Câu 11:Từ một nhóm gồm 5 học sinh nam và 7 học sinh nữ, có bao
nhiêu cách lập ra một nhóm gồm 2 học sinh có cả nam và nữ?
giải
Câu 12:Cho tập hợp A1,2,3, 4,5,6 Từ A lập được bao nhiêu số
có ba chữ số dôi một khác nhau và tổng của ba chữ số này bằng 9?
giải
Câu 13:Cóbao nhiêu số tự nhiên gồm hai chữ số khác nhau mà hai số
này đều lẻ?
5
A Ⓑ 2
5
C Ⓒ 5! Ⓓ
giải
Câu 14:Vậy số các số thỏa mãn yêu cầu bài toán là: 2
5
Câu 15:Cho tập A1,2,3,4,5,6,7,8 Từ tập Acó thể lập được bao
nhiêu số tự nhiên có 8chữ số phân biệt sao cho các số này lẻ và không
chia hết cho 5?
giải
Câu 16:Câu 17:Một lớp học có 10 học sinh nam và 15 học sinh nữ Có
bao nhiêu cách chọn ra 3 học sinh của lớp học sao cho trong 3 bạn
được chọn có cả nam và nữ?
giải
Câu 18:Từ các chữ số 0; 1; 2; 3; 4 có thể tạo ra được bao nhiêu số tự
nhiên gồm ba chữ số khác nhau?
giải
Câu 19:Một tổ gồm 7 nam và 6 nữ Hỏi có bao nhiêu cách chọn 4 em
đi trực sao cho có đúng 3 nam và 1 nữ
giải
Trang 4Ⓐ 2 0 4 Ⓑ 1260 Ⓒ 315 Ⓓ 210
Câu 20:Một lớp 11có 30 học sinh, gồm 15 học sinh nam và 15 nữ Có
bao nhiêu cách xếp các học sinh thành hai hàng, một hàng nam và một
hàng nữ trong lúc tập thể dục giữa giờ?
30
A Ⓒ 2
2 15! Ⓓ 15
30
C
giải
Câu 21:Cho tứ giác ABCD, số vectơ khác vectơ-không có điểm đầu
và điểm cuối là các đỉnh của tứ giác là
giải
Câu 22:Cho tập A1;2;3;4;5;6 Từ tập A có thể lập được bao
nhiêu số tự nhiên có bốn chữ số khác nhau?
giải
Câu 23:Cho đa giác đều 12đỉnh Hỏi có bao nhiêu hình chữ nhật có
các đỉnh từ 12đỉnh của đa giác?
Lời giải
Câu 24:Cho đa giác đều 12 đỉnh Hỏi có bao nhiêu đoạn thẳng nối từ
12 đỉnh của đa giác?
Lời giải
Câu 25:Có bao nhiêu số tự nhiên chẵn và có 3 chữ số?
9 5A Ⓒ 450 Ⓓ 2
8 5A
Lời giải
Câu 26:Có bao nhiêu số tự nhiên có 3chữ số đôi một khác nhau được
lập từ các số 1, 2,3, 4,5, 6
Ⓐ 720số Ⓑ 90số Ⓒ 20số Ⓓ 120số
Lời giải
Câu 27:Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 4 chữ số đôi một khác nhau?
10
C Ⓑ 3
9
10
9 9.C
Lời giải
Câu 28:Số cách chia 15 học sinh thành 3 nhóm A, B, C lần lượt gồm
4, 5, 6 học sinh là
15 15 15
C C C Ⓑ C C C154 .115 66.Ⓒ 4 5 6
15 .11 6
15 11 6
Lời giải
Câu 29:Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 4 chữ số đôi một khác nhau,
chia hết cho 15 và mỗi chữ số đều không vượt quá 5
Lời giải
Câu 30:Cho S 1, 2, 35, tìm số cách chọn một tập con của S gồm
26 phần tử sao cho tổng các phần tử của nóchia hết cho 5
Lời giải
Trang 5_Bài tập minh họa:
cả nam và nữ
Câu 2: Từ một tập gồm 10 câu hỏi, trong đó có 4 câu lí thuyết và 6 câu bài tập, người ta tạo thành các đề
thi Biết rằng một đề thi phải gồm 3 câu hỏi trong đó có ít nhất một câu lí thuyết và 1 câu bài tập Hỏi có thể tạo được bao nhiêu đề khác nhau
Câu 3: Cho tập hợp A có 26 phần tử Hỏi A có bao nhiêu tập con gồm 6 phần tử?
Ⓐ 6
26
26
A
_Bài tập rèn luyện:
Câu 1:Câu lạc bộ CDC gồm 42 thành viên Hỏi có bao nhiêu cách
thành lập đội nhảy gồm 8người để biểu diễn trong đêm CNN Idol?
42
A Ⓑ 8! Ⓒ 8
42
C Ⓓ 42!
Lời giải
Câu 2:Cho tập Mcó 10 phần tử Số tập con gồm 2 phần tử của Mlà
10
A Ⓑ 2
10
A Ⓒ 2
10
C Ⓓ 102
Lời giải
Câu 3:Cần chọn 3người đi công tác từ một tổ có 30người, khi đó số
cách chọn là
30
A Ⓑ 330 Ⓒ 10 Ⓓ 3
30
C
Lời giải
Câu 4:Có bao nhiêu khả năng có thể xảy ra đối với thứ tự giữa các đội
trong một giải bóng có 4 đội bóng tham gia (giả sử rằng không có hai
đội nào có điểm trùng nhau)
Lời giải
- Phương pháp: Dùng các định nghĩa
① Hoán vị: ,
② Chỉnh hợp:
③ Tổ hợp:
Qui ước: = 1
Tính chất:
Bài toán kết hợp P, C và A
▣
Trang 6hàng ngang có 10 chỗ ngồi là
Ⓐ 6!.4! Ⓑ 10! Ⓒ 6! 4! Ⓓ 6! 4!
Câu 6:Trong một nhóm 7 người sáng lập công ty, cần chọn 3 người
để bầu vào hội đồng quản trị với chức vụ: CEO, chủ tịch, phó chủ tịch
Hỏi có bao nhiêu cách chọn?
Ⓐ 70 Ⓑ 35 Ⓒ 21 Ⓓ 210
Lời giải
Câu 7:Trong một hộp có 3bi xanh, 4 bi đỏ,5 bi vàng Cần chọn ra
một viên bi từ hộp này Số cách chọn là?
Lời giải
Câu 8:Có bao nhiêu số tự nhiên có 5 chữ số, các chữ số khác 0 và đôi
một khác nhau?
9
C Ⓓ 5
9
A
Lời giải
Câu 9:Cho tập Acó 26phần tử Hỏi Acó bao nhiêu tập con gồm 6
phần tử?
26
A Ⓑ 26 Ⓒ P 6 Ⓓ 6
26
C
Lời giải
Câu 10:Có bao nhiêu số tự nhiên có 5chữ số dạng abcdevà thỏa mãn
9
A Ⓑ 5
15
A Ⓒ 5
9
C Ⓓ 5
12
C
Lời giải
Câu 11:Có bao nhiêu số có ba chữ số đôi một khác nhau mà các chữ
số đó thuộc tập hợp 1;2;3; ;9?
9
A Ⓓ 39
Lời giải
Câu 12:Số giao điểm tối đa của 10 đường thẳng phân biệt là
Ⓐ 50 Ⓑ 100 Ⓒ 120 Ⓓ 45
Lời giải
Câu 13:Có bao nhiêu cách xếp 5 quyển sách Văn khác nhau và 7
quyển sách Toán khác nhau trên một kệ sách dài nếu các quyển sách
Văn phải xếp kề nhau?
Ⓐ 12! Ⓑ 2.5!.7! Ⓒ 8!.5! Ⓓ 5!.7!
Lời giải
Câu 14:Cho tập hợp A0,1, 2,3,4,5 Có bao nhiêu tập con của tập
Amà nó chứa 0 , 1và không chứa 2?
Lời giải
Câu 15:Một trường cấp 3 của tỉnh Đồng Tháp có 8 giáo viên Toán gồm có
3 nữ và 5 nam, giáo viên Vật lý thì có 4 giáo viên nam Hỏi có bao nhiêu
cách chọn ra một đoàn thanh tra công tác ôn thi THPTQG gồm 3 người có
đủ 2 môn Toán và Vật lý và phải có giáo viên nam và giáo viên nữ trong
đoàn?
Ⓐ 60 (cách) Ⓑ 120 (cách)
Lời giải
Trang 7Câu 16:Có 14 người gồm 8nam và 6nữ Có bao nhiêu cách chọn một
tổ 6người trong đó có nhiều nhất 2 nữ?
Lời giải
Câu 17:Tính số cách chọn ra một nhóm 5 người từ 20 người sao cho trong
nhóm đó có 1 tổ trưởng, 1 tổ phó và 3 thành viên còn lại có vai trò như
nhau
Ⓐ 310080 Ⓑ 930240 Ⓒ 1860480 Ⓓ 15505
Lời giải
Câu 18:Cho 10 điểm phân biệt cùng nằm trên một đường tròn, số tam
giác tạo thành là
Lời giải
Câu 19:Một đội văn nghệ của nhà trường gồm 4 học sinh lớp 12A, 3 học
sinh lớp 12B và 2 học sinh lớp 12C Chọn ngẫu nhiên 5 học sinh từ đội
văn nghệ để biểu diễn trong lễ bế giảng năm họⒸ Hỏi có bao nhiêu cách
chọn sao cho lớp nào cũng có học sinh được chọn?
Lời giải
Câu 20:Có bao nhiêu số tự nhiên có bốn chữ số abcd thỏa mãn
a ?b c d
Lời giải
Câu 21:Cho tập hợp A0;1;2;3;4;5;6 Hỏi có bao nhiêu số tự nhiên
gồm 9 chữ số trong đó chữ số 1 có mặt 3 lần, các chữ số khác có mặt
đúng môt lần?
Ⓐ 53760 Ⓑ 56730 Ⓒ 120960 Ⓓ 107520
Lời giải
Câu 22:Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6 có thể lập được bao nhiêu số tự
nhiên chẵn có sáu chữ số và thỏa mãn điều kiện: sáu chữ số của mỗi số
là khác nhau và chữ số hàng nghìn lớn hơn 2
Ⓐ 240 số Ⓑ 288 số Ⓒ 360 số Ⓓ 720 số
Lời giải
Câu 23:Một tổ có 6 học sinh nam và 6 học sinh nữ xếp thành một hàng
dọc sao cho không có hai học sinh cùng giới tính đứng cạnh kề nhau
Khi đó số cách xếp hàng khác nhau là
Ⓐ 2
6! Ⓑ 2
2 6! Ⓒ 12! Ⓓ 2.6!
Lời giải
Câu 24:Từ 2chữ số 1và 8lập được bao nhiêu số tự nhiên có 8chữ số sao
cho không có 2chữ số 1đứng cạnh nhau?
Lời giải
Trang 8_Bài tập minh họa:
có bao nhiêu cách tạo mặt phẳng từ 3 điểm trong 20 điểm trên?
Ⓐ 190 Ⓑ 6840 Ⓒ 380 Ⓓ 1140
giác có thể lập từ 5 điểm trên là
Câu 3: Cho hình vuông ABCD Trên cạnh AB lấy n điểm khác nhau, không trùng với , A B Biết có 16
tam giác được tạo thành từ n4 điểm Giá trị của n bằng
_Bài tập rèn luyện:
Câu 1:Cho tứ diện ABCD Hỏi có bao nhiêu vectơ khác vectơ 0
mà mỗi vectơ có điểm đầu, điểm cuối là hai đỉnh của tứ diện ABCD?
Lời giải
Câu 2:Số đường chéo của một lục giác lồi là
Lời giải
Câu 3:Số giao điểm tối đa của 5 đường tròn phân biệt là
Lời giải
Câu 4:Số giao điểm tối đa của 10đường thẳng phân biệt là
Lời giải
Câu 5:Số tam giác xác định bởi các đỉnh của một đa giác đều 10 cạnh
là
Lời giải
Câu 6:Trong mặt phẳng cho tập hợp P gồm 10 điểm phân biệt trong đó
không có 3 điểm nào thẳng hàng Số tam giác có 3 điểm đều thuộc P là
10
A Ⓒ 3
10
C Ⓓ 7
10
A
Lời giải
Câu 7:Cho Alà tập hợp gồm 20điểm phân biệt Số đoạn thẳng có hai đầu
mút phân biệt thuộc tập Alà
Lời giải
- Phương pháp:
Sử dụng các định nghĩa: hoán vi, chỉnh hợp, tổ hợp
Kết hợp với các định lý, tính chất hình học của các hình
Toán liên quan yếu tố hình học
Trang 9bao nhiêu tam giác mà ba đỉnh của nó được chọn từ 8điểm trên?
Câu 9:Cho một hình chóp có đáy là một hình bát giác đều Hỏi hình
chóp có tất cả bao nhiêu mặt?
Lời giải
Câu 10:Trong mặt phẳng cho tập hợp gồm 25 điểm phân biệt Có bao
nhiêu vectơ khác vectơ 0
có điểm đầu và điểm cuối thuộc tập hợp điểm này
Lời giải
Câu 11:Cho hai đường thẳng d và 1 d song song với nhau Trên 2 d có 1
10điểm phân biệt, trên d có 2 nđiểm phân biệt (n2) Biết rằng có
1725tam giác có các đỉnh là ba trong số các điểm thuộc d và 1 d nói 2
trên Tìm tổng các chữ số của n
Lời giải
không nằm trên mặt phẳng chứa lục giác đã cho Từ 7điểm đã cho xác
định bao nhiêu mặt phẳng?
Lời giải
Câu 13:Mười hai đường thẳng phân biệt có nhiều nhất bao nhiêu giao
điểm?
Lời giải
Câu 14:Cho tập A gồm n điểm phân biệt trên mặt phẳng sao cho
không có 3 điểm nào thẳng hàng Tìm n sao cho số tam giác có 3
đỉnh lấy từ 3 điểm thuộc A gấp đôi số đoạn thẳng được nối từ 2 điểm
thuộc A
Lời giải
Câu 15:Một đa giác đều có đường chéo gấp đôi số cạnh Hỏi đa giác
đó có bao nhiêu cạnh?
Lời giải
Câu 16:Cho n điểm phân biệt Xét tất cả các vectơ khác vectơ-không,
có điểm đầu và điểm cuối là các điểm đã cho Số vectơ thoả mãn là
2
Ⓓ n n( 1)
Lời giải
Câu 17:ABC có một góc bằng 120 khi và chỉ khi
HAB HAC HB AH.tanHAB m m2 3
3
1
3
m
Cho hai đường thẳng d và 1 d song song với nhau 2
Trên d lấy 1 5 điểm phân biệt, trên d lấy 2 7 điểm phân biệt Hỏi có
bao nhiêu tam giác mà các đỉnh của nó được lấy từ các điểm trên hai
Lời giải
Trang 10đường thẳng d và 1 d 2
Câu 18:Cho 2 đường thẳng a và b song song với nhau Trên đường
thẳng a ta chọn 10 điểm phân biệt và trên đường thẳng b ta chọn 11
điểm phân biệt Có bao nhiêu hình thang được tạo thành từ các điểm đã
chọn ở trên?
Lời giải
Câu 19:Cho hai đường thẳng chéo nhau trong không gian Trên mỗi
đường thẳng có 7 điểm phân biệt Hỏi có thể lập được bao nhiêu tứ
diện có các đỉnh được lấy từ các điểm đã cho?
Ⓐ 490 Ⓑ 840 Ⓒ 1001 Ⓓ 441
Lời giải
Câu 20:Tìm số đỉnh một đa giác lồi biết rằng số đường chéo của đa
giác đó nằm trong khoảng từ 80 đến 100
Lời giải
Câu 21:Cho đa giác đều A A A1 2 3.A30nội tiếp trong đường tròn O
Tính số hình chữ nhật có các đỉnh là 4 trong 30đỉnh của đa giác đó
Lời giải
Câu 22:Trong không gian cho 2n điểm phân biệt (n4, n),
trong đó không có ba điểm nào thẳng hàng và trong 2n điểm đó có
đúng n điểm cùng nằm trên một mặt phẳng và không có 4 điểm nào
ngoài 4 điểm trong n điểm này đồng phẳng Tìm n sao cho từ 2n
điểm đã cho tạo ra đúng 201 mặt phẳng phân biệt
Lời giải
Câu 23:Cho ABCvà 4đường thẳng song song với BC, 5đường
thẳng song song với AC, 6đường thẳng song song với AB Hỏi từ
15đường thẳng đó tạo thành bao nhiêu hình thang (không kể hình bình
hành), biết rằng trong 15đường thẳng đó không có 3đường thẳng nào
đồng quy
Lời giải
Câu 24:Nếu một đa giác đều có 44 đường chéo, thì số cạnh của đa giác
là
Lời giải
Câu 25:Cho một đa giác đều 2n đỉnh n2,n Tìm n biết số hình
chữ nhật được tạo ra từ bốn đỉnh trong số 2n đỉnh của đa giác đó là 45
Ⓐ n12 Ⓑ n10 Ⓒ n9 Ⓓ n45
Lời giải
Câu 26:Cho ABCcó 4 đường thẳng song song với BC , 5 đường
thẳng song song với AC , 6 đường thẳng song song với AB Hỏi 15
đường thẳng đó tạo thành được nhiều nhất bao nhiêu hình thang
(không kể hình bình hành)?
Lời giải
Trang 11Ⓐ 360 Ⓑ 2700 Ⓒ 720 Ⓓ Kết quả khá
Câu 27:Cho đa giác đều 100 nội tiếp một đường tròn Số tam giác tù được
tạo thành từ 3 trong 100 đỉnh của đa giác là:
Lời giải
_Bài tập minh họa:
Câu 1: Nghiệm của phương trình Ax2A1x là3
Câu 2: Biết An2Cn3 50n , khi đó giá trị của * nlà
Câu 3: Số nguyên dương n thoả mãn 2 1
n
_Bài tập rèn luyện:
Câu 1:Tập nghiệm của phương trình Ax2 là 0
Lời giải
Câu 2:Cn3 10 thì n có giá trị là
Lời giải
1 3
A A Giá trị của
n là
Lời giải
6
Khi đó 2 2
1 2
n n bằng
Lời giải
Câu 5:Tìm số tự nhiên nthỏa mãn A Cn2 nn1100
Lời giải
Câu 6:Cho n* thỏa mãn Cn5 2002 Tính 5
n
A
Lời giải
Câu 7:Cho nlà số nguyên dương và Cn5 792 Tính 5
n
- Phương pháp:
Sử dụng các định nghĩa, định lý, tính chất của hoán vi, chỉnh hợp, tổ hợp
Khai thác các điều kiện và công thức đưa về phương trình giải được
Giải PT có chứa A, C, P
▣