FILE 20220621 075806 bài toán thực tế hình học

Microsoft Word Tom tat sang kien 2017 va cac phu luc 1,3,5 Pham Van Quy THPT Hung Vuong new 24 3 2017 2 CỘNG HOÀ XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM Độc lập Tự do Hạnh phúc ĐƠN YÊU CẦU CÔNG NHẬN SÁNG KIẾN Kính.

CỘNG HOÀ XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM

Độc lập - Tự do - Hạnh phúc

ĐƠN YÊU CẦU CÔNG NHẬN SÁNG KIẾN Kính gửi: Hội đồng xét sáng kiến sở giáo dục và đào tạo Bình Phước Tôi ghi tên dưới đây:

Họ và tên Ngày

tháng năm sinh

Nơi công tác Chức

danh

Trình độ chuyên môn

Tỷ lệ (%) đóng góp vào việc tạo

ra sáng kiến

Phạm Văn Quý 05-10-1979 THPT Hùng Vương tổ Toán Tổ phó

Đại học sư phạm TP.HCM Thạc sĩ toán giải tích

100%

- Là tác giả đề nghị xét công nhận sáng kiến: Xây dựng bài toán thực tế ôn thi TN

THPT 2021 môn toán

- Lĩnh vực áp dụng sáng kiến: Giáo dục và Đào tạo

- Sáng kiến đã được áp dụng từ ngày 1/9/2020 cho đối tượng học sinh lớp 12 trường

THPT Hùng Vương, thành phố Đồng Xoài, tỉnh Bình Phước

NỘI DUNG CỦA SÁNG KIẾN

Xu hướng mới trong đề TN THPT môn Toán là có các câu hỏi có yếu tố thực tế Đây

là các câu hỏi khó mục đích để phân hóa học sinh, để làm được các câu hỏi này học sinh không chỉ nắm được các kiến thức về môn Toán mà còn phải hiểu các kiến thức về các môn học khác như Vật lý, Hóa học, Sinh học,…, các kiến thức về lãi suất ngân hàng, các kiến thức về năng lượng, các kiến thức về dân số, …

Do đó để làm được các câu hỏi vận dụng cao có yếu tố thực tế học sinh phải được trang bị kiến thức và luyện tập kỹ lưỡng

Trên thị trường hiện nay đã có các tài liệu viết về chủ đề này nhưng vẫn trình bày theo cách tổng hợp các bài toán và trình bày lời giải Nhiều học sinh gặp khó khăn trong việc tìm

ra bài toán gốc để nghiên cứu và phát triển hoặc lời giải chưa làm các em cảm thấy hiểu rõ bản chất bài toán

Nhu cầu thực tiễn này đã thôi thúc tôi nghiên cứu về dạng toán này Qua một thời gian vừa nghiên cứa vừa giảng dạy tôi đã tích lũy được một số kinh nghiệm và thấy có thể hữu ích cho các đồng nghiệp và các em học sinh nên viết thành một sáng kiến mang tên “Xây dựng bài toán thực tế ôn thi TN THPT 2021 môn toán”

Sáng kiến của tôi được trình bày theo cách phát biểu bài toán lý thuyết trong sách giáo khoa rồi từ đó xây dựng thành một hệ thống câu hỏi dạng tự luận gốc, rồi từ đó xây dựng ra nhiều câu hỏi trắc nghiệm

Do thời gian đầu tư chưa nhiều nên tôi chỉ đề cập đến một số chủ đề như sau:

- Cắt xếp hình vuông thành hình chóp đều

- Cắt xếp hình tròn thành hình nón

- Cắt xếp hình chữ nhật thành hình hộp, hình trụ, hình lăng trụ

Sáng kiến của tôi được trình bày theo bố cục như sau:

A PHẦN MỞ ĐẦU

I Lý do chọn đề tài

II Đối tượng và phạm vi nghiên cứu:

III Phương pháp nghiên cứu:

B PHẦN NỘI DUNG

I TỪ MỘT HÌNH VUÔNG CẮT VÀ XẾP THÀNH HÌNH CHÓP ĐỀU

Bài toán gốc

Từ một hình vuông cắt một số mảnh như hình vẽ rồi gấp thành một hình chóp tứ giác đều

a

y x

x y

Hình 2 Hình 1

O P P

N M

O

C D

Q

S (A,B,C,D)

Q

Ở hình 1, các tam giác cân ABM, BCN, CDP, DAQ sẽ được cắt bỏ đi, sau đó gấp các tam giác cân AMQ, BMN, CNP, DPQ lại, cùng với hình vuông MNPQ ta sẽ được hình chóp tứ giác đều như hình 2

Để có được các tính chất như trên các điểm M, N, P, Q phải thỏa các yêu cầu sau:

- Cặp điểm Q, M và cặp điểm N, P đối xứng nhau qua đường chéo AC

- Cặp điểm M, N và cặp điểm P, Q đối xứng nhau qua đường chéo BD

- Cặp điểm M, P và cặp điểm N, Q đối xứng nhau qua tâm O của hình vuông

- Các điểm M, P nằm trên đường trung bình IJ, các điểm N, Q nằm trên đường trung bình EF

a

y y

x

Hình 3

P

N M

O

J

I

C D

Q

Đặt AB BC CA DA a,AQ AM BM BN CN CP DP DQ y,QM MN NP PQ x.                Xét tam giác vuông cân OMQ ta có

OM OQ MQ 2OM MQ OM

2 2



     

Áp dụng định lí Pi-ta-go cho tam giác vuông AIM ta có:

         

   

2

2 2 a a x 2 a ax 2 x a ax 2 x

Khi đó chiều cao của khối chóp là:

 

     

 

2

2 2 a ax 2 x x 2 a ax 2

SO SM OM

Thể tích của khối chóp là:   2

2 MNPQ

V SO.S x

Dựa vào các kết quả trên ta có nhiều hướng xây dựng bài toán như sau:

- Cho cạnh hình vuông ban đầu, tìm cạnh đáy x của hình chóp để thể tích bằng một số cho trước

- Cho cạnh hình vuông ban đầu, tìm cạnh bên y của hình chóp để thể tích bằng một số cho trước

- Cho cạnh hình vuông ban đầu, tìm độ dài đường cao của hình chóp để thể tích bằng một số cho trước

- Cho cạnh hình vuông ban đầu, tìm x để thể tích khối chóp lớn nhất

Bài toán 1

Từ một tấm bìa cứng hình vuông cạnh bằng 50cm (hình vẽ) bạn Tâm cắt bỏ các tam giác cân ABM, BCN, CDP, DAQ, sau đó gấp các tam giác cân AMQ, BMN, CNP, DPQ lại sao cho các đỉnh A, B, C, D trùng nhau, cùng với hình vuông MNPQ để được hình chóp tứ giác đều Muốn thể tích của khối chóp đều thu được bằng 980 cm3 thì cạnh đáy của tam giác vuông MNPQ bằng bao nhiêu?

Giải Theo công thức bài toán gốc ta có: 1 2 2 2

.

a ax

Từ giả thiết ta có a  50, V  980  1 2 502 50 2

x

Bài toán 2

Từ một tấm tôn hình vuông cạnh bằng 10cm (hình vẽ) người ta cắt bỏ các tam giác cân ABM, BCN, CDP, DAQ, sau đó gò các tam giác cân AMQ, BMN, CNP, DPQ lại sao cho các đỉnh A, B, C, D trùng nhau, cùng với hình vuông MNPQ để được hình chóp tứ giác đều Muốn thể tích của khối chóp đều thu được bằng 12 5 cm3 thì cạnh bên của hình chóp đều bằng bao nhiêu?

Giải Theo công thức bài toán gốc ta có: 1 .2 2 2

a ax

Từ giả thiết ta có a  10, V  12 5  12 5 1 .2 102 10 2 3 2.

x

Khi đó cạnh bên của hình chóp là 29.

Bài toán 3 Trong một cuộc thi làm đồ dùng học tập do trường phát động, bạn Hạnh thiết kế một hình chóp tứ giác đều bằng cách lấy một mảnh tôn hình vuông ABCD có cạnh bằng 1, cắt mảnh tôn theo các tam giác tam giác cân ABM, BCN, CDP, DQA; sau đó gò các tam giác cân AMQ, BMN, CNP, DPQ sao cho các đỉnh A, B, C, D trùng nhau ta được một khối chóp đều Cạnh của khối chóp đều bằng bao nhiêu thì thể tích của khối chóp đều là lớn nhất

Giải Theo công thức bài toán gốc ta có: 1 2 2 2

.

a ax

Từ giả thiết ta có x a   1 2 1 2 1 4 5 2

.

2

 

  Xét hàm số y  x 4  x 5 2, với 0; 2

2

 

  ta có:

0 ( )

( ) 5









Từ đó ta có hàm số đạt giá trị lớn nhất trên 0; 2

2

  khi

2 2 5

x 

Vậy khi cạnh đáy của hình chóp đều bằng 2 2

5 thì thể tích của nó đạt giá trị lớn nhất

Bài toán 4 Trong một cuộc thi làm đồ dùng học tập do trường phát động, bạn Hạnh thiết kế một hình chóp tứ giác đều bằng cách lấy một mảnh tôn hình vuông ABCD có cạnh bằng 1, cắt mảnh tôn theo các tam giác tam giác cân ABM, BCN, CDP, DQA; sau đó gò các tam

giác cân AMQ, BMN, CNP, DPQ sao cho các đỉnh A, B, C, D trùng nhau Khối chóp đều thu được có thể tích lớn nhất là bao nhiêu

Giải Theo công thức bài toán gốc ta có: 1 .2 2 2 1 2 4 5 2

2

a

 

  Xét hàm số y a x  2 4  ax 5 2, với 0; 2

2

a

 

  ta có:

0 ( )

( ) 5









Từ đó ta có hàm số đạt giá trị lớn nhất trên 0; 2

2 a

  là khi

2 2 5

a

x 

Khi đó thể tích của khối chóp là 3.

48

a

V 

II TỪ MỘT HÌNH TRÒN CẮT VÀ XẾP THÀNH HÌNH NÓN

Bài toán gốc

Từ hình tròn tâm O bán kính R, ta cắt bỏ hình quạt gạch chéo OAB (hình 1), sau đó rồi gấp phần còn lại để thu được hình nón (hình 2)

Hình 2 Hình 1

Phân tích bài toán gốc:

- Phần hình tròn còn lại sau khi cắt bỏ ta xếp lại sao cho đoạn OA và OB trùng nhau

- Hình nón có đường sinh l bằng bán kính R của hình tròn ban đầu

- Độ dài cung AB bị cắt bỏ bằng .

180

R n

AOB n   Độ dài cung tròn AB còn lại là

.

2

R n

   

- Hình nón có chu vi đường tròn đáy bằng độ dài cung AB còn lại Gọi r là bán kính đường tròn đáy của hình nón ta có: 360  360 

2

     

- Gọi I là tâm đường tròn đáy của hình nón Áp dụng định lý Pi-Ta-Go cho tam giác vuông OIA ta có chiều cao của hình nón là

720

360 360

2

Như vậy các yếu tố của hình nón đều được tính theo R, góc n Từ đó ta có nhiều hướng xây dựng các bài toán mới như sau:

Bài toán 1 Bạn Nguyệt có một tấm bìa hình tròn như hình vẽ, Nguyệt muốn biến hình tròn

đó thành một hình cái phễu hình nón Khi đó Nguyệt phải cắt bỏ hình quạt tròn AOB rồi dán hai bán kính OA và OB lại với nhau Gọi x là góc ở tâm hình quạt tròn dùng làm phễu Tìm

x để thể tích phễu lớn nhất?

Giải

Độ dài cung tròn AB dùng làm phễu là: 2 ;

2

Rx

Rx r r



2 2

 

Thể tích cái phễu là:

2

R



Ta có   3 2 2 2

R

f x

x









3

f x     x    x  Từ đó ta có thể tích của cái phễu lớn nhất khi

2 6

3

x  

Bài toán 2 Cho hình tròn có bán kính là 6 Cắt bỏ 1

4 hình tròn giữa 2 bán kính OA, OB rồi ghép 2 bán kính đó lại sao cho thành một hình nón (như hình vẽ)

Tính thể tích khối nón tương ứng

Giải

Độ dài đường sinh l của hình nón bằng bán kính của hình tròn  l 6

Chu vi đáy của hình nón là sau khi bỏ phần tam giác OAB là độ dài cung lớn AB:

AB

3

4

Bán kính đáy của hình nón sau khi ghép là: RN 9π 9

2π 2

 

Độ dài đường cao của hình nón là:

2

 

Thể tích khối nón đó là:

2 2

 

Bài toán 3 Cho một tấm tôn hình tròn có diện tích 4π dm2 Người ta cắt thành một hình quạt

có góc ở tâm là α (0   2 ) để làm thành một cái gầu múc nước hình nón Thể tích lớn nhất của cái gầu bằng bao nhiêu

Giải

Ta có đường sinh l của hình nón là bán kính 4 2

2



  của hình tròn Bán kính đáy của hình nón: 2

2

 

2

1

 

3

1

 





2

0 0;2

2 6 0;2 3







 











Từ đó ta có thể tích của cái gầu lớn nhất bằng 16 3

27 khi

2 6 3

   Bài toán 4 Cho miếng tôn tròn tâm O bán kính R Cắt miếng tôn hình quạt OAB và gò phần còn lại thành một hình nón đỉnh O không đáy (AO trùng với OB) Gọi S, S’ lần lượt là diện tích của miếng tôn hình tròn ban đầu và diện tích của miếng tôn còn lại Tìm tỉ số S

S' để thể tích khối nón lớn nhất

Tương tự các bài toán trên ta có S 6.

S'  3

III CẮT, GẤP HÌNH CHỮ NHẬT THÀNH HÌNH HỘP, HÌNH TRỤ, HÌNH LĂNG TRỤ

1 Cắt gấp hình chữ nhật thành hình hộp

Bài toán gốc: Cắt đi bốn góc của một hình chữ nhật bốn hình vuông có kích thước bằng

nhau Sau đó gấp lại để được một hình hộp chữ nhật (như hình vẽ)

Phân tích:

- Gọi hình chữ nhật ban đầu là ABCD có AB = a, AD = b và a > b Gọi bốn hình vuông bị cắt

đi ở bốn góc là AMIU, BNJP, CQKR, DTLS Đặt AM = x 0 , 0

- Hình hộp chữ nhật thu được là MNQT.IJKL, trong đó M U N  ,  P S T Q ,  ,  R Độ dài các kích thước là: MN   a 2 , x MS b   2 , x MI  x

x b - 2x

a - 2x

N ≡ P

M ≡ U

b

x

J

K H

I

R K

J

N

P

L

S

A

U

I

Thể tích của khối hộp chữ nhật là: V  x a (  2 )( x b  2 ) x

Hệ thức trên là mối liên hệ giữa 4 đại lượng V, a, b, x Nếu cho biết ba đại lượng ta sẽ tìm được đại lượng còn lại Do đó ta có nhiều cách sáng tạo như sau:

Bài toán 1 Từ một tấm tôn hình chữ nhật dài 120cm, rộng 80cm Người ta cắt bốn góc ra 4 hình vuông bằng nhau rồi gò lại thành một hình hộp chữ nhật để làm bể nuôi cá cảnh, với

điều kiện cạnh hình vuông cắt đi phải lớn hơn 10cm Muốn thể tích của khối hộp chữ nhật là

64 cm3 thì độ dài của cạnh hình vuông cắt đi phải bằng bao nhiêu

Giải

Hình 2 Hình 1

x 0,8 - 2x 1,2 - 2x

N ≡ P

M ≡ U

0,8 - 2x

x

J

K H

I

R K J

N

P

L

S

A

U

I

- Giả sử tấm tôn hình chữ nhật là ABCD có AB = 1,2m, AD = 0,8m Gọi bốn hình vuông

bằng nhau bị cắt đi ở bốn góc là AMIU, BNJP, CQKR, DSLT Đặt AM = x, điều kiện

0;0, 4

x

- Hình hộp chữ nhật thu được là MNQT.IJKL, trong đó M U N  ,  P S T Q ,  ,  R Độ dài các kích thước là: MN  1, 2 2 ,  x MS  0,8 2 ,  x MI  x

Do đó hình hộp chữ nhật thu được có thể tích là: V x 1, 2 2  x0,8 2 x

Cuộn ngang

Vì thể tích của bể cá là 1,2 m3 nên ta có phương

0, 2 ( ) 0,064 1, 2 2 0,8 2 4 4 0,96 0,064 0 0,68 ( )

0,11( )







 

 Vậy cạnh hình vuông cắt đi có độ dài x20cm thì hình hộp chữ nhật thu được có thể tích 64

cm3

Bài toán 2 Từ một tấm tôn hình chữ nhật dài 2m, rộng 80cm Một người cắt 4 góc ra 4 hình vuông bằng nhau rồi gò lại thành một hình hộp chữ nhật để chứa thức ăn chăn nuôi Tìm độ dài của cạnh hình vuông cắt đi để thể tích của hình hộp chữ nhật đạt giá trị lớn nhất

Giải

Hình 2 Hình 1

x 0,8 - 2x

2 - 2x

N ≡ P

M ≡ U

0,8 - 2x

x

J

K H

I

R K J

N

P

L

S

A

U

I

- Giả sử hình chữ nhật ban đầu là ABCD có AB = 2m, AD = 0,8m Gọi bốn hình vuông bằng nhau bị cắt đi ở bốn góc là AMIU, BNJP, CQKR, DSLT Đặt AM = x, điều kiện x0;0, 4

- Hình hộp chữ nhật thu được là MNQT.IJKL, trong đó M U N  ,  P S T Q ,  ,  R Độ dài các kích thước là: MN   2 2 , x MS  0,8 2 ,  x MI  x

Do đó hình hộp chữ nhật thu được có thể tích là: V x 2 2  x0,8 2 x

Xét hàm số V x 2 2  x0,8 2 x4x35,6x21,6x, điều kiện x0;0, 4

Ta có f x '( ) 12  x 2  11, 2 x  1, 6

2

7 19

( ) 5 '( ) 0 12 11, 2 1,6 0

7 19

( ) 5













Từ đó ta thu được giá trị lớn nhất của hàm số f(x) đạt được khi

7 19.

5

x 

Vậy hình vuông cắt đi ở các góc có độ dài 7 19

5

thì hình hộp chữ nhật thu được có thể tích lớn nhất

2 Cắt gấp hình chữ nhật thành hình trụ

Từ hình chữ nhật ABCD có hai kích thước AB = a, AD = b

Nếu cuộn ngang lại thành một hình trụ ta có kích thước hình trụ là: Chiều cao h = b, bán kính đáy

2

a

R



 Khi đó ta có:

2 2

.

4

xq ABCD

a b

V h B b R



Cuộn dọc

Nếu cuộn dọc lại thành một hình trụ ta có kích thước hình trụ là:

Chiều cao h = a, bán kính đáy

2

b R



 Khi đó ta có:

2 2

.

4

xq ABCD

ab

V h B a R



Bài toán 1 Từ một tấm tôn hình chữ nhật kích thước 3m ngang và 4m dài, người ta muốn cuộn lại rồi gò thành một ống hình trụ không có nắp để úp trên sàn nhà đựng nông sản Cách cuộn theo chiều nào chứa được nhiều nông sản hơn

Giải Giả sử tâm tôn hình chữ nhật là ABCD với AB = 4m, CD = 3m như hình vẽ sau đây:

3m

4m

C

D

Nếu cuộn theo chiều ngang hoặc cuộn theo chiều dọc ta được các hình trụ tương ứng sau đây:

4m

R' R

3m

+) Nếu cuộn ngang lại thành một hình trụ ta có kích thước hình trụ là: Chiều cao h = 3m Gọi

R là bán kính đáy của hình trụ, ta có chu vi đáy bằng cạnh dài hình chữ nhật nên

2

4 2 R R



Khi đó ta có thể tích hình trụ là: 2

2

4 12

 

+) Nếu cuộn dọc lại thành một hình trụ ta có kích thước hình trụ là: Chiều cao h = 4m Gọi R’ là bán kính đáy của hình trụ, ta có chu vi đáy bằng cạnh ngắn hình chữ nhật nên

3

2





Khi đó ta có thể tích hình trụ là: 2

2

' 4 ' 4.

4

 

Vì 12 9 V V '

     Cuộn thành hình trụ theo chiều ngang sẽ được thể tích lớn hơn nên chứa được nông sản nhiều hơn

Bài toán sau đây là sự so sánh giũa hai cách gấp hình chữ nhật thành hình trụ và thành hình hộp chữ nhật Cụ thể như sau:

Bài toán 2 Bạn Bảo Khang có một tấm bìa có chiều dài 20cm, chiều rộng 1cm Khang muốn gấp một cái hộp nhỏ xinh để bỏ kẹp tóc vào hộp đó tặng quà cho mẹ ngày 8 thán 3 Thầy Quý đã chỉ cho Khang hai cách gấp hộp Cách thứ nhất là bé cuốn tấm bìa thành một cái hộp hình trụ không có 2 đáy có thể tích V1

Cách thứ hai là bé gập tấm bìa một hình hộp chữ nhật không có 2 đáy có thể tích V2 có các kích thước như hình vẽ Hãy tìm tỉ số thể tích của 2 hộp để biết được gấp theo cách nào sẽ có thể tích lớn hơn

Giải Chiều dài của tấm bìa là 20cm tức là chu vi đáy hộp hình trụ và đáp hộp hình hộp là 20cm

Do 2 khối có cùng chiều cao nên tỉ số thể tích sẽ tính theo tỉ số diện tích đáy của hai hình

Để tính được diện tích hình tròn đáy của khối hộp hình trụ, ta phải đi tìm bán kính đáy Theo giả thiết chu vi cho là 20 2 R R 10



100 100

S R 

 

Diện tích đáy của hình hộp S2  5.5 25 

Khi đó 1

2

100: 25 4 1.

V

V    

Vậy cách xếp theo hình trụ sẽ có thể tích lớn hơn

Bài toán 3 Từ một tấm tôn hình chữ nhật kích thước 50cm 240cm, người ta làm các thùng đựng nước hình trụ có chiều cao bằng 50cm, theo hai cách sau (xem hình minh họa dưới đây)

 Cách 1 : Gò tấm tôn ban đầu thành mặt xung quanh của thùng

 Cách 2 : Cắt tấm tôn ban đầu thành hai tấm bằng nhau, rồi gò mỗi tấm đó thành mặt xung quanh của một thùng

Kí hiệu V1 là thể tích của thùng gò được theo cách 1 và V2 là tổng thể tích của hai thùng gò được theo cách 2 Tính tỉ số 1

2

V

V