PHẦN 2: HỆ PHƯƠNG TRÌNH - PHƯƠNG PHÁP 1: PHƯƠNG PHÁP THẾ pdf

Hệ ñã cho tương ñương... Với phương pháp sử dụng tính ñơn ñiệu của hàm sô chúng ta thấy thường xuất hiện hệ phương trình hệ hoán vị vòng quanh HỆ HOÁN VỊ VÒNG QUANH: ðịnh nghĩa:Là hệ có

x

x y

2 2 1 2 9 27 0

2

9 3 33

4

Giải : ðiều kiện x > 0, y > 0

Hệ ñã cho tương ñương

+y=0 không thoản mãn hệ

7 12

xy y x y x

x y



 + =

x y y

 + + =







y y

 + =

4 10; 3 10 7

2 7

u v

v v

Thay ñổi phương trình thứ hai ta có ñề thi HSGQG năm 2001

5 77 2

u v

11 77 2

PHƯƠNG PHÁP 3: SỬ DỤNG TÍNH ðƠN ðIỆU CỦA HÀM SỐ

f t = t + > ∀ ∈t ℝ nên f t( )ñồng biến trên ℝ

( )1 ⇔ f y( ) = f x( + ⇔ = + 1) y x 1 thay vào (2) ta ñược phương trình

ðặt ẩn phụ giải ñược nghiệm của phương trình này là x= 0

Vậy hệ ñã cho có nghiệm ( )x y; = (0;1)

Tương tự ta có ñề thi HSG Quảng Ninh Bảng B năm 2011-2012:

f t = t + > ∀ ∈t +∞ nên f t( )ñồng biến trên (0; +∞)

( )1 ⇔ f(2x+ = 1) f( y− 2) ⇔ 2x+ = 1 y− 2 thay vào (2) ta ñược phương trình

+

(2 1) (2 1)

Với phương pháp sử dụng tính ñơn ñiệu của hàm sô chúng ta thấy thường xuất hiện hệ phương trình hệ hoán vị vòng quanh

HỆ HOÁN VỊ VÒNG QUANH:

ðịnh nghĩa:Là hệ có dạng:

( 1) ( 2) ( 2) ( 3)

1 1 1

Vậy trong trường hợp này hệ có nghiệm x = y = z = 1

2

x< − lý luận tương tự như trường hợp trên ta ñược x= y = z = -1

Kết luận: Hệ ñã cho có hai nghiệm phân biệt là x = y = z = 1 và x= y = z = -1

2 3 2

Vậy hệ ñã cho có nghiệm ( )x y; = (2;1)

−

−++

=+

044381698

2 2

2 4

y x xy y x

y x

−

−++

=+

044381697

2 2

2 4

y x xy y x

y x

Từ phương trình (2) ta có:

044)

3(0

44

4)3

y x

Vậy hệ pt ñã cho có nghiệm duy nhất

y x

Ví dụ 24 : Giải hệ phương trình:

2 2 2

Vậy hệ phương trình có 2 nghiệm

Ví dụ 25: Giải hệ phương trình sau ẩn x; y:

Từ ñó suy ra y = -1 thay vào ñược x = 1

Thử lại: x=1; y=-1 thỏa mãn

1

x y

1 1

(2) 2

3 3

3 1 3

Vậy hệ ñã cho có nghiệm ( ) (x y; = − 1; 4 ;) (− − 1; 4)

Cách 2: Nhân 2 vế của phương trình (2) với 3 rồi cộng với (1) ta ñược:

- Nếu y= 2x thay vào (2) ta có 2 2 1 1 2

Vậy hệ có nghiệm (x;y)=(1;2)

Vậy hệ có nghiệm (x;y)=(2;-3)

15 (2)

x y

x y

x y x y xy

Giải : ðK :

2 2 2

Hệ ñã cho tương ñương với : 2 2 ( )

2 4

x y xy

Cộng vế với vế của 2 PT trong hệ ta có :( 2x+ 2x+ + 5) ( 2y+ 2y+ 5)= 10

-Trừ về với vế của 2 PT trong hệ ta có :

2 4 1 (3)

2 4 1 (4) 0; 1

a b x

a b y

-Nếu a=c⇒b= 1 ta có :

( ) ( )

Hệ ñã cho tương ñương với

2 2

f t = t + > ∀ ∈t ℝ nên f t( )ñồng biến trên ℝ

( )1 ⇔ f y( ) = f a( ) ⇔ =y a⇒y= 1 −x thay vào phương trình (2) ta có:

1 cos 2 cos 1 2 cos 1 os

2 sin os2 sin 2

y x x e

Nên phương trình vô nghiệm

y

Bài 19: Hệ phương trình sau có bao nhiêu nghiệm?

−

= +

− +

−

= +

3 2 )

3 11 ( 1

3 2 )

3 11 ( 1

2 2

y y y

x x x

x y

−

=

⇒

− +

+

) 3 2 (

4 )

( ' 3 2

1 )

(

2 3 2

t t

t g t

= +

11 ) ( ) (

11 ) ( ) (

y g x f

x g y f

) ( ) (

) ( ) (

x g y f y g x f x g y g

y f x f

+ +

y x

x x

x x

11 3 2

1 3

2

3 2

1 3

)

(

− +

+ +

=

x x

x x

) 3 2 (

4 3

ln 3 ) ( '

− +

−

=

x x

x

) 3 2 (

) 1 ( 12 )

3 (ln 3 ) (

"

2 5 2

− +

+ +

x x

x x

= +∞

Giải:Ta giả sử (x,y,z) là no của hệ Xét hàm số f t( ) =t3+ − + 3t 3 ln(t2− +t 1)

Vậy ta có x=y=z Vì pt x3+ 2x− + 3 ln(x2− + =x 1) 0 có nghiệm duy nhất x=1 nên hệ

ñã cho có nghiệm là x=y=z=1

Bài 22 : Giải hệ:

2

2 6 log (63 ) 2

2 6 log (63 ) 2

f y g x y

z x

− =

Vậy nghiệm của hệ ñã cho là x=y=z=3

Bài 23 : Cho a, b, c là các số thực dương Giải hệ phương trình:

Giải: Phương trình ñã cho tương ñương với:

Mặt khác ,áp dụng BðT Cô-si với 3 số dơng ta có

x y

2

2

2

( 1) ( 1) ( 2) ( 2)