Phương trình vi phân - Chương 7 potx

Nghiệm hằng số của một phương trình vi phân còn được gọi là nghiệm cân bằng.. b Sự rẽ nhánh và tính độc lập các tham số • Một hệ sinh học hoặc một hệ vật lý, được đặc trưng bởi một phươ

Ví dụ 1. Gọi x(t) là nhiệt độ của một vật thể với nhiệt độ ban đầu x(0) = x0 Ở thời điểm t = 0 vật thể được nhúng trong một dung dịch có nhiệt độ không đổi bằng A Theo định lý làm nguội của Newton thì

Ví dụ 2. Xét phương trình về tăng trưởng dân số dx f x( )

dt =

ở đó ( )f x là tỷ lệ sinh và tỷ lệ tử vong của các cá thể trong một đơn vị thời gian

• Đây là phương trình Otonom cấp 1

• Nếu f c( )=0 thì có x(t) = c là nghiệm Nghiệm hằng số của một phương trình

vi phân còn được gọi là nghiệm cân bằng

• Như vậy đặc trưng nghiệm của phương trình otonom cấp 1 có thể được mô tả qua các điểm kỳ dị của phương trình

Ví dụ 4

Hình 7.1.4 Các đường cong nghiệm, phễu và vòi của phương trình

24

x = M = 4 là điểm ổn định, còn điểm kỳ dị x = 0 là điểm không ổn định

tắt bởi sơ đồ pha ở Hình 7.1.7 Điểm kỳ dị x = 0 là điểm ổn định, còn điểm kỳ dị

Nghiệm hằng x(t) = N là nghiệm tới hạn cân bằng, còn nghiệm hằng x(t) = H là nghiệm ngưỡng cân bằng nghiệm này chia các nghiệm thành 2 nhánh: nếu x0 >

H thì dân số đạt đến giá trị N, nếu x0 < H thì dân số giảm dần

• Điểm kỳ dị ổn định x = N và điểm kỳ dị không ổn định x = H, được mô tả ở sơ

đồ pha trong Hình 7.1.9

Hình 7.1.9 Sơ đồ pha của phương trình dx f x( ) k N( x x)( H)

dt = = − −

Ví dụ 7. Chúng ta xét một ứng dụng cụ thể về các kết luận ổn định ở ví dụ 6, với giả thiết rằng k = 1 và M = 4 với lượng cá trong hồ là x(t) gồm hàng trăm lần kiểm tra sau t năm Dù cá không bị câu thì cuối cùng trong hồ vẫn còn khoảng

400 con, cho dù số cá ban dầu với số lượng như thế nào Bây giờ, giả sử h = 3

để cho hàng năm thu hoạch được 300 con (ở mức hằng số qua các năm), khi

sẽ hết sau một khoảng thời gian hữu hạn

b) Sự rẽ nhánh và tính độc lập các tham số

• Một hệ sinh học hoặc một hệ vật lý, được đặc trưng bởi một phương trình vi phân, sẽ phụ thuộc rất nhiều vào giá trị của các hệ số hay các tham số có mặt trong phương trình Chẳng hạn, số lượng các điểm kỳ dị của một phương trình

vi phân có thể bị thay đổi đột ngột khi thay đổi giá trị của một tham số

Ví dụ 8. Phương trình vi phân dx x(4 x) h

dt = − −

(x có giá trị hàng trăm) đặc trưng cho sự bùng nổ dân số (2.1) khi k = 1 và cho

số dân tới hạn khi M = 4 Trong Ví dụ 7, chúng ta đã xét trường hợp h = 3 và thấy rằng ngưỡng tới hạn cân bằng là N = 300 và số dân ngưỡng cân bằng là

H = 100 Các đường cong nghiệm điển hình, bao gồm cả các nghiệm cân bằng x(t) = 3 và x(t) = 1, được mô tả ở Hình 7.1.8

• Khi k = 1 và M = 4, dân số tới hạn N và số dân đạt ngưỡng H là

1

2

Hình 7.1.8 Các đường cong nghiệm điển hình của phương trình dx k N x x H( )( )

dt = − −

• Nếu h < 4: khi đó chúng ta có các nghiệm cân bằng x(t) ≡ N và x(t) ≡ H, với

N > H, như ở Hình 7.1.8

• Nếu h = 4: Khi đó phương trình (2.2) cho kết quả H = N = 2, nên phương trình

vi phân chỉ có nghiệm cân bằng x(t) ≡ 2 Trong trường hợp này các đường cong nghiệm của phương trình được mô tả như ở hình 7.1.10

Hình 7.1.10 Các đường cong nghiệm của phương trình dx x(4 x) h

dt = − − với h = 4 Nếu số cá ban dầu x0 (đơn vị là 100) vượt quá 2, thì lượng cá đạt đến số lượng tới hạn 200 con Tuy nhiên, với mọi lượng cá ban đầu x0 < 200 sẽ dẫn đến tình trạng suy giảm do cá chết – một hậu quả của sự bội tăng 400 con/năm

• Nếu h > 4: khi đó H, N không là số thực, nên bài toán không có nghiệm ổn định Lúc này, các đường cong nghiệm giống như các đường cong ở Hình 7.1.11 và cá chết dần (dù với bất kỳ số lượng nào ban đầu), do hậu quả của bội tăng 400 con/năm

Hình 7.1.11 Các đường cong nghiệm của phương trình dx x(4 x) h

dt = − − với h = 5

• Nếu chúng ta tăng dần giá trị của tham số h thì hình dáng các đường cong nghiệm thay đổi từ Hình 7.1.8 với h < 4 đến Hình 7.1.10 với h = 4 và hình 7.1.11 với h > 4 Vậy phương trình vi phân đã cho:

- Có 2 điểm kỳ dị khi h < 4

- Có 1 điểm kỳ dị khi h = 4

- Không có điểm kỳ dị nào khi h > 4

• Giá trị h = 4 mà ứng với nó, bản chất nghiệm của phương trình vi phân sẽ thay đổi khi h tăng, được gọi là điểm rẽ nhánh của phương trình vi phân có chứa tham số h Một phương pháp chung để thấy được sự "rẽ nhánh" của các nghiệm, là vẽ sơ đồ rẽ nhánh gồm các điểm (h, c), trong đó c là điểm kỳ dị của phương trình x' =x(4 - x) +h Chẳng hạn, nếu chúng ta viết (2.2) dưới dạng

F x y dt

dy

G x y dt

• Điểm tới hạn của hệ (1.1) là điểm (x∗, y∗) sao cho F (x∗, y∗) = G(x∗, y∗) = 0, khi

đó các hàm hằng x(t) = x∗, y(t) = y∗ là nghiệm cân bằng của hệ (có quỹ đạo chỉ

gồm một điểm)

b) Trong những bài toán thực tế, những điểm đơn giản này cùng với các quỹ

đạo là các đối tượng được quan tâm nhiều nhất

ăn hoặc mồi

Điểm (x∗, y∗) của hệ cho thấy số lượng x∗ loại này và số lượng y∗ của loài kia cùng tồn tại song song Còn nếu (x1, y1) không phải là điểm tới hạn thì không

thể có các số lượng hằng số x1, y1 của từng loài cùng chung sống mà phải xảy

ra số lượng của một hoặc cả hai sẽ phải thay đổi theo thời gian

14 2

16 2

dx

x x xy dt

dy

y y xy dt

• Xét hệ phương trình sau

2 2

' 14 2' 16 2

Hình 7.2.3. Ảnh pha của hệ

3 Tính chất của điểm tới hạn

• Người ta đặc biệt quan tâm tới tính chất của các quỹ đạo ở gần một điểm tới

hạn riêng rẽ của hệ otonom

Ví dụ 3. Hệ tuyến tính otonom ( )

( )

0 0

ky k const k y y dt

− = bxk, với 0

0k

y b x

=

• Bản chất của điểm tới hạn (0,0) tuỳ thuộc vào tham số k là dương hay âm +) Khi k >0: thì có điểm (x(t), y(t)) dẫn tới gốc toạ độ theo các đường y = bxkkhi t → +∞ Hình dạng của đường cong phụ thuộc vào độ lớn của k:

∗) Nếu k = 1, khi đó y = bx (với 0

0

y b x

= ) là đường thẳng đi qua điểm (x0, y0) Các đường quỹ đạo là các đường thẳng, được mô tả ở Hình 7.2.4

Hình 7.2.4. Một nút thích hợp; các hướng dần đến gốc toạđộ nên nó là một nút chìm

∗) Nếu k > 1 và x0, y0 cùng khác 0: khi đó đường cong y = bxk có tiếp tuyến tại

gốc toạ độ chính là trục x Ảnh pha được mô tả ở Hình 7.2.5 ứng với k = 2,

quỹđạo là các đường parabol Nói chính xác hơn: quỹđạo là các bán trục toạ

độ x cùng với các nửa bên trái và các nửa bên phải của các parabol này

Hình 7.2.5. Một nút không thích hợp vì tất cả các hướng tiếp xúc với một đường

cong đơn; chúng dần đến gốc nên nó là một nút chìm

∗) Nếu 0 < k < 1 và x0, y0 cùng khác 0, khi đó ảnh pha tương tự như Hình 7.2.5, với điểm khác biệt là các đường y = bxk tiếp xúc với trục y (chứ không

• Các điểm tới hạn, như được mô tảở các Hình 7.2.4 và 7.2.5 được gọi là điểm nút

• Một điểm nút được gọi là chính thường ("điểm sao"), nếu cứ mỗi cặp hai quỹ

đạo đối diện khác nhau thì không có cặp nào tiếp xúc với đường thẳng đi qua

∗) Khi k < 0

Hình 7.2.6. Điểm yên ngựa: các quỹđạo tương tự các đường viền của một

điểm yên ngựa trên mặt phẳng pha

• Khi k < 0 thì các quỹ đạo giống với quỹ đạo khi k = -1, được mô tả ở Hình 7.2.6 Nếu x0 và y0 cùng khác 0 thì quỹ đạo tương ứng ở Hình 7.2.6 là một nhánh của hypebol cân xy = b và |y(t)| → +∞ khi t → +∞ Nếu x0 = 0 hoặc y0 =

0 thì quỹ đạo là bán trục của hypebol Điểm (x(t), y(t)) dần đến gốc toạ độ theo

trục x rồi lại xa gốc toạ độ theo trục y, khi t → +∞ Vậy có 2 quỹ đạo dần đến

điểm tới hạn (0, 0) nhưng chúng đều không bị chặn khi t → +∞ Điểm tới hạn

dạng này, khi được mô tảở Hình 7.2.6 được gọi là điểm yên ngựa

ky k const k dt

• Nếu điểm tới hạn là (x∗, y∗), khi đó nghiệm cân bằng x(t) = x∗, y(t) = y∗

được gọi

là nghiệm ổn định hoặc không ổn định tuỳ thuộc vào bản chất của điểm tới hạn

• Nếu x(t) và y(t) lần lượt là số lượng thỏ và số lượng sóc thì ý nghĩa của điểm

ổn định là: các thay đổi nhỏ (có thể do tỷ lệ sinh và tử) trong môi trường cư dân cân bằng sẽ không làm đổ vỡ tính cân bằng Các quỹ đạo vẫn ở gần điểm cân

bằng nhưng không dần tới điểm cân bằng

Ví dụ 5. Giả sử một vật khối lượng m dao động không bị hãm, với hằng số Hooke

là k sao cho hàm vị trí x(t) thoả mãn phương trình vi phân x" + ω2x = 0 (trong đó

thì có quỹ đạo là đường elíp có phương trình 22 2 2 1

• Hình 7.2.7 mô tả ảnh pha (với ω = 1

2)

• Mỗi nghiệm không tầm thường của hệ đã cho là tuần hoàn, mỗi quỹ đạo của

hệ là đường cong kín, đơn bao lấy điểm tới hạn (0,0)

Hình 7.2.8 Nếu (x0, y0) thuộc đường tròn tâm 0 bán kính δ thì điểm (x(t), y(t))

thuộc đường tròn tâm 0 bán kính ε

• Điểm (0, 0) là điểm tới hạn ổn định của hệ đã cho Một điểm tới hạn ổn định được bao bởi các quỹ đạo kín tuần hoàn, được gọi là một tâm

b) Sự ổn định tiệm cận

• Điểm tới hạn (x∗, y∗) được gọi là ổn định tiệm cận nếu nó là điểm ổn định và mọi quỹ đạo đủ gần (x∗, y∗) đều tiến đến (x∗, y∗) khi t →+∞

Hình 7.2.4 Một nút thích hợp; các hướng dần đến gốc toạ độ nên nó là một nút chìm

Hình 7.2.5 Một nút không thích hợp vì tất cả các hướng tiếp xúc với một đường

cong đơn; chúng dần đến gốc nên nó là một nút chìm

• Điểm tới hạn (0, 0) trong các Hình 7.2.4 và 7.2.5 là ổn định tiệm cận

Hình 7.2.7 Trường véc tơ và các quỹ đạo elíp của hệ x' = y, ' 1

4

y = − x

• Điểm (0, 0) được thể hiện ở Hình 7.2.7 là ổn định nhưng không là ổn định tiệm cận

Ví dụ 6. Xét ví dụ 5 ở đó m = 1 và k = 2 và giả sử vật được gắn liền với một bình với hệ số cản c = 2 Hàm dịch chuyển x(t) của vật thoả mãn phương trình

vi phân cấp hai: x"(t) + 2x'(t) + 2x(t) = 0 (3.1)

• Đặt y = x' chúng ta có hệ cấp một tương đương

dx y dt dy

x y dt

Hình 7.2.9 Một điểm ổn định kiểu xoắn ốc và 1 quỹ đạo gần nó

• (0, 0) là điểm ổn định tiệm cận của hệ trên

• Một điểm ổn định tiệm cận mà các quỹ đạo chuyển động xoắn ốc quanh nó và tiến đến nó, được gọi là điểm ổn định xoắn (hay điểm ổn định xoắn lõm)

• Một điểm không ổn định mà các quỹ đạo xoắn quanh điểm đó và chuyển động

xa dần nó, được gọi là điểm không ổn định xoắn (hay điểm nguồn xoắn)

• Trong mục 5.2 đã đưa ra các khái niệm của điểm ổn định, ổn định tiệm cận, …

• Nghiên cứu tính ổn định của các hệ tuyến tính và á tuyến tính

dx

f x y dt

dy

g x y dt

có điểm tới hạn cô lập (x0, y0) với f(x0, y0) = g(x0, y0) = 0

• Không giảm tính tổng quát, ta có thể giả thiết rằng hệ otonom nói trên có điểm (0, 0) là điểm tới hạn cô lập (luôn có được với phép đổi biến u = x - x0; v = y - y0)

dy

y x y dt

du

u u v u v u uv dt

Hình 7.3.1 Hình yên ngựa quanh

Hình 7.3.2 Hình yên ngựa quanh

điểm (0,0) của hệ tương đương

a) Tuyến tính hoá tại điểm tới hạn

• Hệ phi tuyến tổng quát ( )

u f x u y v

v g x u y v

với các hàm f x y , ( , ) g x y khả vi liên tục quanh điểm cố định ( , ) (x y0, 0)

• Hệ trên được xấp xỉ với hệ tuyến tính: 0 0 0 0

dv

g x y u g x y v dt

dv

y x y dt

c d y y

 

a b A

c d , bao gồm:

+ thực và khác nhau nhưng cùng dấu

+ thực và khác nhau nhưng trái dấu

Nút phi chính Điểm yên ngựa Nút chính hoặc phi chính

Điểm xoắn ốc Tâm

Hình 7.3.9 Lớp các điểm tới hạn (0,0) của hệ hai chiều x/ = Ax

∗) Nếu λ1, λ2 >0 thì (0, 0 là nút phi chính (nguồn đỉnh) )

∗) Nếu λ1, λ2 <0 thì (0, 0 là nút phi chính (nguồn đỉnh chìm) )

• Có giá trị riêng λ1= −1 và λ2 = −2, có (0,0) là nút lõm phi chính (nguồn đỉnh chìm)

∗) Khi λ

λ <

1 2

p nên (0,0) là lõm xoắn ốc

Hình 7.3.7. Nút lõm xoắn ốc ở Ví dụ 3 − Giá tr
riêng thun o

Nếu ma trận A có giá trị riêng ảo liên hợp λ =qi,λ = −qi , khi đó có (0,0) là tâm

3 Sự ổn định của hệ tuyến tính và á tuyến tính

Định lý 1. Choλ λ1 2, là các giá trị riêng của ma trận hệ số A của hệ tuyến tính hai chiều

dx

ax by dt

dy

cx dy dt

∗ Hệ á tuyến tính

• Cho hệ á tuyến tính

( , )( , )

dx

ax by r x y dt

dy

cx dy s x y dt

Choλ1 vàλ2là giá trị riêng của ma trận hệ số của hệ tuyến tính (3.1) tương ứng

với hệ á tuyến tính (3.2) Khi đó:

1) Nếu λ1= λ2là các giá trị riêng thực bằng nhau thì điểm tới hạn (0,0) của (3.2) là một nút hoặc một điểm xoắn ốc, là ổn định tiệm cận nếu λ1= λ2<0, không ổn định nếu λ1 = λ2>0

2) Nếu λ λ1 2, thuần ảo thì (0,0) là tâm hoặc điểm xoắn và có thể là ổn định tiệm

cận, ổn định hoặc không ổn định

3) Nếu λ λ1 2, là thực bằng nhau hoặc thuần ảo, điểm tới hạn (0,0) của hệ á tuyến tính (3.2) có sự ổn định và phân loại giống điểm tới hạn (0,0) của hệ tuyến tính tương ứng (3.1)

• Chi tiết hơn ta dẫn ra dưới đây bảng phân loại điểm tới hạn của hệ á tuyến tính

Các véc tơ riêng λ λ1 2, của hệ

dy

x y xy dt

Hình 7.3.13. Quỹđạo của hệ

tuyến tính hoá ở Ví dụ 1

Hình 7.3.14.Quỹđạo của hệ á tuyến tính ban đầu ở Ví dụ 1

• Quỹ đạo của hệ tuyến tính quanh (0,0) cho bởi Hình 7.3.13, còn quỹ đạo quanh (0, 0) của hệ á tuyến tính cho bởi Hình 7.3.14

dy

x y xy dt

dv

u v dt

• Có (0,0) là một điểm tới hạn ổn định tiệm cận của hệ tuyến tính (ĐL 1) và từ

đó điểm (4, 3) là điểm tới hạn ổn định tiệm cận của hệ á tuyến tính (do định lí 2)

Hình 7.3.16.Quỹ đạo xoắn ốc của

hệ tuyến tính Hình 7.3.17 Ảnh pha của hệ

• Hình 7.3.16 chỉ ra một quỹ đạo điển hình của hệ tuyến tính

• Hình 7.3.17 chỉ ra điểm xoắn ốc đặt trong ảnh pha như thế nào của hệ á tuyến tính ban đầu

Ghi nhớ

• Buổi sau giờ lí thuyết học mục: 7.4

• Tuần sau giờ bài tập làm bài tập lẻ các mục: 5.2, 5.3 và 5.4