1 Ma trận nghịch đảoĐịnh nghĩa Tìm ma trận nghịch đảo bằng ma trận phần bù đại số Tìm ma trận nghịch đảo bằng các phép biến đổi sơ cấp Tính chất Giải phương trình ma trận... Ma trận nghị
Trang 11 Ma trận nghịch đảo
Định nghĩa
Tìm ma trận nghịch đảo bằng ma trận phần bù đại số Tìm ma trận nghịch đảo bằng các phép biến đổi sơ cấp Tính chất
Giải phương trình ma trận
Trang 2Ma trận nghịch đảo
Định nghĩa
đó A được gọi là ma trận khả nghịch.
Để chứng minh B là ma trận nghịch đảo của A ta cần chứng tỏ AB = In.
Định nghĩa
Định lý
Trang 3Ma trận nghịch đảo
Ví dụ
Cho biết các ma trận sau có khả nghịch hay không?
A =
1 3
−2 6
B =
Ta có |A| = 12 6= 0 nên A khả nghịch.
Ta có |B| = 10 + 0 − 6 + 5 − 9 − 0 = 0 nên B không khả nghịch.
Trang 4Tìm ma trận nghịch đảo bằng ma trận phần bù đại số
Định lý
số của a ij và A p =
A11 · · · A1n
A n1 · · · A nn
số của A Khi đó
|A| A
T p
Ví dụ
a Cho A =
với |A| = ad − bc 6= 0
Ta có: A p =
+ d − c
− b + a
⇒ A −1 = 1
ad − bc
Trang 5
Tìm ma trận nghịch đảo bằng ma trận phần bù đại số
b Xác định ma trận nghịch đảo của A =
3 −2
Ta có |A| = 5 6= 0 nên A khả nghịch.
Vậy A −1 = 1
5
1 2
− 1 3
=
1 5
2 5
− 1 5
3 5
Trang 6Tìm ma trận nghịch đảo bằng ma trận phần bù đại số
c Tìm ma trận nghịch đảo của A =
1 −2 0
1 −1 2
2 −3 3
Ta có |A| = 1 6= 0 nên A khả nghịch.
Ta có Ap =
+
−1 2
−3 3
1 2
2 3
1 −1
2 −3
−
−2 0
−3 3
1 0
2 3
1 −2
2 −3
+
−2 0
−1 2
1 0
1 2
1 −2
1 −1
=
Trang 7Tìm ma trận nghịch đảo bằng ma trận phần bù đại số
Từ đó, ta được
|A| A
T
p = 1
1
=
Trang 8Tìm ma trận nghịch đảo bằng các phép biến đổi sơ cấp
Định lý
( A|I n ) biến đổi sơ cấp −→
trên dòng ( I n |A −1 )
Ví dụ
Tìm ma trận nghịch đảo của A =
1 −2 0
1 −1 2
2 −3 3
Ta có (A|I 3 ) =
d2= d2−d1
−→
d3= d3+(−2) d1
Trang 9Tìm ma trận nghịch đảo bằng các phép biến đổi sơ cấp
d1= d1+2 d2
−→
d3= d3−d2
d1= d1−4d3
−→
d2= d2−2d3
Trang 10Tính chất của ma trận nghịch đảo
Tính chất (1)
( A −1 ) −1 = A
Tính chất (2)
|A −1 | = 1
|A|
Ví dụ:
Cho A =
1 −2 0
1 −1 2
2 −3 3
Tính |A −1 |.
Ta có: AA −1 = I 3 ⇒ |AA −1 | = |I 3 | ⇒ |A||A −1 | = 1 ⇒ |A −1 | = 1
|A| = 1, vì
|A| = 1.
Trang 11Tính chất của ma trận nghịch đảo
Tính chất (3)
Tính chất (4)
Chứng minh
Tính chất (5)
Trang 12Giải phương trình ma trận
Cho A = (a ij ) n×n và B = (b ij ) m×m
Ví dụ
a Tìm ma trận X thỏa phương trình
X.
1 1
2 3
=
1 2
3 5
Ta có X =
1 2
3 5
1 1
2 3
−1
=
1 2
3 5
1 1
3 −1
=
1 2
3 5
.
3 −1
=
−1 1
−1 2
Trang 13
Giải phương trình ma trận
Ví dụ
b Cho A =
và B =
Tìm ma trận X thỏa phương trình AX = B.
Ta có |A| = 1, A −1 =
⇒ X = A −1 B =
... class="text_page_counter">Trang 7Tìm ma trận nghịch đảo ma trận phần bù đại số
Từ đó, ta được
|A| A... class="text_page_counter">Trang 8
Tìm ma trận nghịch đảo phép biến đổi sơ cấp
Định lý
( A|I n... ( I n |A −1 )
Ví dụ
Tìm ma trận nghịch đảo A =
1 −2 0
1