CHƯƠNG I : ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐBÀI 1: TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ 1.. Các bước khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số Tìm tập xác định của hàm số
TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ
Hàm số f đồng biến trên K x x 1 2, K x , 1 x 2 f x 1 f x 2
Hàm số f nghịch biến trên K x x 1 2, K x , 1 x 2 f x 1 f x 2
Giả sử f có đạo hàm trên khoảng I a) Nếu f đồng biến trên khoảng I thì f x ' 0, x I b) Nếu f nghịch biến trên khoảng I thì f x ' 0, x I
Gọi f có đạo hàm trên khoảng I Nếu f'(x) ≥ 0 với mọi x ∈ I và f'(x) = 0 tại một số điểm hữu hạn, thì f là đồng biến trên I; ngược lại, nếu f'(x) ≤ 0 với mọi x ∈ I và f'(x) = 0 tại một số điểm hữu hạn, thì f là nghịch biến trên I; còn nếu f'(x) = 0 với mọi x ∈ I thì f không đổi trên I.
Chú ý: Nếu khoảng I được thay bởi đoạn hoặc nửa khoảng thì f phải liên tục trên đó
VẤN ĐỀ 1: Xét chiều biến thiên của hàm số Để xét chiều biến thiên của hàm số y f x , ta thực hiện các bước như sau:
– Tìm tập xác định của hàm số
– Tính y Tìm các điểm mà tại đó y = 0 hoặc y không tồn tại (gọi là các điểm tới hạn)
– Lập bảng xét dấu y (bảng biến thiên) Từ đó kết luận các khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm soá
Câu 1 Xét chiều biến thiên của các hàm số sau: a) y 2x 2 4x5 b) 2 5
Câu 2 Xét chiều biến thiên của các hàm số sau: a) y 6x 4 8x 3 3x 2 1 b) 2 2 1
VẤN ĐỀ 2: Tìm điều kiện để hàm số luôn đồng biến hoặc nghịch biến trên tập xác định (hoặc trên từng khoảng xác định)
Cho hàm số y f x m ( , ), m là tham số, có tập xác định D
Hàm số f đồng biến trên D y 0, x D
Hàm số f nghịch biến trên D y 0, x D
Từ đó suy ra điều kiện của m
1) y = 0 chỉ xảy ra tại một số hữu hạn điểm
3) Định lí về dấu của tam thức bậc hai g x( )ax 2 bx c :
Nếu < 0 thì g(x) luôn cùng dấu với a
Nếu = 0 thì g(x) luôn cùng dấu với a (trừ x =
Nếu > 0 thì g(x) có hai nghiệm x x 1 2 , và trong khoảng hai nghiệm thì g(x) khác dấu với a, ngoài khoảng hai nghiệm thì g(x) cùng dấu với a
4) So sánh các nghiệm x x 1 2 , của tam thức bậc hai g x( )ax 2 bx c với số 0:
5) Để hàm số y ax 3 bx 2 cx d có độ dài khoảng đồng biến (nghịch biến) x x 1 2; bằng d thì ta thực hiện các bước sau:
Tìm điều kiện để hàm số có khoảng đồng biến và nghịch biến:
Sử dụng định lí Viet đưa (2) thành phương trình theo m
Giải phương trình, so với điều kiện (1) để chọn nghiệm
Câu 1 Chứng minh rằng các hàm số sau luôn đồng biến trên từng khoảng xác định (hoặc tập xác định) của nó: a) y x 3 5x13 b) 3 3 2 9 1
Câu 2 Chứng minh rằng các hàm số sau luôn nghịch biến trên từng khoảng xác định (hoặc tập xác định) của nó: a) y x 3 3mx 2 (m2)x m b) 2 1
Câu 4 Tìm m để hàm số: a) y x 3 3x 2 mx m nghịch biến trên một khoảng có độ dài bằng 1 b) 1 3 1 2 2 3 1
3 2 y x mx mx m nghịch biến trên một khoảng có độ dài bằng 3 c) 1 3 ( 1) 2 ( 3) 4 y 3x m x m x đồng biến trên một khoảng có độ dài bằng 4
Câu 5 Tìm m để hàm số: a) 3 ( 1) 2 ( 1) 1
3 y x m x m x đồng biến trên khoảng (1; +) b) y x 3 3(2m1)x 2 (12m5)x2 đồng biến trên khoảng (2; +) c) y mx m x m4 ( 2)
VẤN ĐỀ 3: Ứng dụng tính đơn điệu để chứng minh bất đẳng thức Để chứng minh bất đẳng thức ta thực hiện các bước sau:
Chuyển bất đẳng thức về dạng f(x) > 0 (hoặc 0 thì f đạt cực tiểu tại x0; nếu f''(x0) < 0 thì f đạt cực đại tại x0.
VẤN ĐỀ 1: Tìm cực trị của hàm số
Qui taộc 1 : Duứng ủũnh lớ 1
Tìm các điểm x i (i = 1, 2, …) mà tại đó đạo hàm bằng 0 hoặc không có đạo hàm
Xét dấu f (x) Nếu f (x) đổi dấu khi x đi qua x i thì hàm số đạt cực trị tại x i
Qui taộc 2 : Duứng ủũnh lớ 2
Giải phương trình f (x) = 0 tìm các nghiệm x i (i = 1, 2, …)
Nếu f x i 0 thì hàm số đạt cực tiểu tại x i
Câu 1 Tìm cực trị của các hàm số sau: a) y3x 2 2x 3 b) y x 3 2x 2 2x1 c) 1 3 4 2 15 y 3x x x d) 4 2 3
Câu 2 Tìm cực trị của các hàm số sau: a) y(x2) ( 3 x1) 4 b) 4 2 2 2 1
VẤN ĐỀ 2: Tìm điều kiện để hàm số có cực trị
1 Nếu hàm số y f x đạt cực trị tại điểm x 0 thì f (x 0 ) = 0 hoặc tại x 0 không có đạo hàm
2 Để hàm số y f x ) đạt cực trị tại điểm x 0 thì f x đổi dấu khi x đi qua x 0
Đối với hàm số bậc ba y = ax^3 + bx^2 + cx + d, cực trị tồn tại khi phương trình y' = 0 có hai nghiệm phân biệt Khi đó x0 là một điểm cực trị và giá trị cực trị y(x0) có thể được tính bằng hai cách: (1) trực tiếp thay x0 vào công thức y = ax^3 + bx^2 + cx + d để có y(x0); (2) giải y' = 0 để tìm hai nghiệm phân biệt x1 và x2, sau đó sử dụng các mối liên hệ giữa x1, x2 và hệ số a, b, c, d để xác định y tại điểm cực trị x0.
+ y x( ) 0 Ax 0 B, trong đó Ax + B là phần dư trong phép chia y cho y
Q x (aa 0) có cực trị Phương trình y = 0 có hai nghiệm phân biệt khác '
a Khi đó nếu x 0 là điểm cực trị thì ta có thể tính giá trị cực trị y x 0 bằng hai cách:
Khi sử dụng điều kiện cần để xét hàm số có cực trị cần phải kiểm tra lại để loại bỏ nghiệm ngoại lai
Khi giải các bài tập loại này thường ta còn sử dụng các kiến thức khác nữa, nhất là định lí Vi–et
Câu 1 Chứng minh rằng các hàm số sau luôn có cực đại, cực tiểu: a) y x 3 3mx 2 3(m 2 1)x m 3 b) y2x 3 3(2m1)x 2 6 (m m1)x1 c) y x 2 m m( 2 1)x m 4 1 x m
Câu 2 Tìm m để hàm số: a) y(m2)x 3 3x 2 mx5 có cực đại, cực tiểu b) y x 3 3(m1)x 2 (2m 2 3m2)x m m ( 1) có cực đại, cực tiểu c) y x 3 3mx 2 (m 2 1)x2 đạt cực đại tại x = 2 d) y mx 4 2(m2)x 2 m 5 có một cực đại 1 x2 e) y x 2 2mx 2 x m
Câu 3 Tìm m để các hàm số sau không có cực trị: a) y x 3 3x 2 3mx3m4 b) y mx 3 3mx 2 (m1)x1 c) 2 5
Câu 4 Tìm a, b, c, d để hàm số: a) y ax 3 bx 2 cx d đạt cực tiểu bằng 0 tại x = 0 và đạt cực đại bằng 4
3 b) y ax 4 bx 2 c có đồ thị đi qua gốc toạ độ O và đạt cực trị bằng –9 tại x = 3 c) 2
đạt cực trị bằng –6 tại x = –1 d) y ax 2 bx ab bx a
đạt cực trị tại x = 0 và x = 4 e) 2 2 2
đạt cực đại bằng 5 tại x = 1
Câu 5 Tìm m để hàm số: a) y x 3 2(m1)x 2 (m 2 4m1)x2(m 2 1) đạt cực trị tại hai điểm x 1 , x 2 sao cho:
2 x x x x b) 1 3 2 1 y3x mx mx đạt cực trị tại hai điểm x 1 , x 2 sao cho: x 1 x 2 8 c) 1 3 ( 1) 2 3( 2) 1
3 3 y mx m x m x đạt cực trị tại hai điểm x 1 , x 2 sao cho: x 1 2x 2 1
VẤN ĐỀ 3: Đường thẳng đi qua hai điểm cực trị
1) Hàm số bậc ba y f x ( )ax 3 bx 2 cx d
Chia f(x) cho f (x) ta được: f(x) = Q(x).f (x) + Ax + B
Khi đó, giả sử (x1; y1), (x2; y2) là các điểm cực trị thì:
Các điểm (x1; y1), (x2; y2) nằm trên đường thẳng y = Ax + B
Giả sử (x0; y0) là điểm cực trị thì 0 0
Giả sử hàm số có cực đại và cực tiểu thì phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị ấy là:
Câu 1 Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số:
Bài toán yêu cầu xác định các giá trị m cho bốn hàm số bậc ba được cho sao cho chúng có các đặc điểm liên quan đến đường thẳng và các điểm cực trị: (a) có một đường thẳng đi qua hai điểm cực trị và song song với đường thẳng y = −4x + 1; (b) các điểm cực đại và cực tiểu của đồ thị nằm trên một đường thẳng có độ dốc bằng −4, tức là cùng hướng với y = −4x; (c) có một đường thẳng đi qua các điểm cực đại và cực tiểu và vuông góc với đường thẳng y = 3x − 7; (d) các điểm cực đại và cực tiểu đối xứng nhau qua một đường thẳng Δ.
GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ
Giả sử hàm số f xác định trên miền D (D R) a) 0 0
2 Tính chaát: a) Nếu hàm số f đồng biến trên [a; b] thì
[ ; ] [ ; ] max ( ) ( ), min ( ) ( ) a b f x f b a b f x f a b) Nếu hàm số f nghịch biến trên [a; b] thì
VẤN ĐỀ: Tìm GTLN, GTNN của hàm số theo 2 cách
Cách 1: Thường dùng khi tìm GTLN, GTNN của hàm số trên một khoảng
Xét dấu f (x) và lập bảng biến thiên
Dựa vào bảng biến thiên để kết luận
Cách 2: Thường dùng khi tìm GTLN, GTNN của hàm số liên tục trên một đoạn [a; b]
Giải phương trình f (x) = 0 tìm được các nghiệm x1, x2, …, xn trên [a; b] (nếu có)
So sánh các giá trị vừa tính và kết luận max ( ) max ( ), ( ), ( ), ( ), , ( )[ ; ] 1 2 n
Câu 1 Tìm GTLN, GTNN của các hàm số sau: a) y x 2 4x3 b) y4x 3 3x 4 c) y x 4 2x 2 2 d) y x 2 x 2 e) 2 1
Câu 2 Tìm GTLN, GTNN của các hàm số sau: a) y2x 3 3x 2 12x1 treân [–1; 5] b) y3x x 3 treân [–2; 3] c) y x 4 2x 2 3 treân [–3; 2] d) y x 4 2x 2 5 treân [–2; 2] e) 3 1
Câu 3 Tìm GTLN, GTNN của các hàm số sau: a) y2sin 2 xcosx1 b) ycos2x2sinx1
ĐƯỜNG TIỆM CẬN CỦA ĐỒ THỊ
Đường thẳng x x 0 đgl đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số y f x ( ) nếu ít nhất một trong các điều kiện sau được thoả mãn:
Đường thẳng y y 0 đgl đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y f x ( ) nếu ít nhất một trong các điều kiện sau được thoả mãn: lim ( ) 0 x f x y
Đường thẳng y ax b a , 0 đgl đường tiệm cận xiên của đồ thị hàm số y f x ( ) nếu ít nhất một trong các điều kiện sau được thoả mãn: lim ( ) ( ) 0 x f x ax b
Q x là hàm số phân thức hữu tỷ
Nếu Q(x) = 0 có nghiệm x0 thì đồ thị có tiệm cận đứng x x 0
Nếu bậc(P(x)) bậc(Q(x)) thì đồ thị có tiệm cận ngang
Nếu bậc(P(x)) = bậc(Q(x)) + 1 thì đồ thị của hàm P(x)/Q(x) có tiệm cận xiên y = ax + b Để xác định các hệ số a, b trong phương trình tiệm cận xiên này, ta có thể áp dụng các công thức sau: a = lim_{x→∞} f(x)/x và b = lim_{x→∞} [f(x) − a x] Trong trường hợp cụ thể, a bằng hệ số dẫn đầu của P chia cho hệ số dẫn đầu của Q, và b có thể tính bằng lim_{x→∞} [P(x) − a x Q(x)] / Q(x).
Câu 1 Tìm các tiệm cận của đồ thị các hàm số sau: a) 2 5
Câu 2 Tìm các tiệm cận của đồ thị các hàm số sau: a) 2
Câu 3 Tìm các tiệm cận của đồ thị các hàm số sau: a) y x 2 4x b)
Câu 4 Tìm m để đồ thị của các hàm số sau có đúng hai tiệm cận đứng: a)y x 2 m x m 2
KHẢO SÁT SỰ BIẾN THIÊN VÀ VẼ ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ
1 Các bước khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số
Tìm tập xác định của hàm số
Xét sự biến thiên của hàm số:
+ Tìm các điểm tại đó đạo hàm y bằng 0 hoặc không xác định
+ Tìm các giới hạn tại vô cực, giới hạn vô cực và tìm tiệm cận (nếu có)
+ Lập bảng biến thiên ghi rõ dấu của đạo hàm, chiều biến thiên, cực trị của hàm số
Vẽ đồ thị của hàm số:
+ Tìm điểm uốn của đồ thị (đối với hàm số bậc ba và hàm số trùng phương)
– Tìm các điểm tại đó y = 0 và xét dấu y
+ Vẽ các đường tiệm cận (nếu có) của đồ thị
Xác định các điểm đặc biệt của đồ thị, chẳng hạn như giao điểm với trục toạ độ Trong trường hợp đồ thị không cắt các trục toạ độ hoặc việc tìm tọa độ giao điểm phức tạp, có thể bỏ qua những giao điểm này Đồng thời, có thể xác định thêm một số điểm thuộc đồ thị để vẽ đồ thị một cách chính xác hơn và mô tả hình dạng của đồ thị một cách rõ ràng.
+ Nhận xét về đồ thị: Chỉ ra trục đối xứng, tâm đối xứng (nếu có) của đồ thị
2 Hàm số bậc ba y ax 3 bx 2 cx d a ( 0):
Đồ thị luôn có một điểm uốn và nhận điểm uốn làm tâm đối xứng
Các dạng đồ thị: a > 0 a < 0 y’ = 0 có 2 nghiệm phân bieọt
3 Hàm số trùng phương y ax 4 bx 2 c a( 0):
Đồ thị luôn nhận trục tung làm trục đối xứng
4 Hàm số nhất biến y ax b (c 0,ad bc 0) cx d
Đồ thị có một tiệm cận đứng là x d
c và một tiệm cận ngang là y a
c Giao ủieồm cuỷa hai tieọm cận là tâm đối xứng của đồ thị hàm số
Câu 1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số: a) y x 3 3x 2 9x1 b) y x 3 3x 2 3x5 c) y x 3 3x 2 2 d) y(x1) (4 2 x) e) 3 2 1
Câu 2 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số: a) y x 4 2x 2 1 b) y x 4 4x 2 1 c) 4 3 2 5
Câu 3 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số: a) 1
MỘT SỐ BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN KHẢO SÁT HÀM SỐ
1 SỰ TƯƠNG GIAO CỦA CÁC ĐỒ THỊ
1 Cho hai đồ thị (C 1 ): y = f(x) và (C 2 ): y = g(x) Để tìm hoành độ giao điểm của (C 1 ) và (C 2 ) ta giải phương trình: f(x) = g(x) (*) (gọi là phương trình hoành độ giao điểm)
Số nghiệm của phương trình (*) bằng số giao điểm của hai đồ thị
2 Đồ thị hàm số bậc ba y ax 3 bx 2 cx d a ( 0) cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt
Phương trình ax 3 bx 2 cx d 0 có 3 nghiệm phân biệt
Hàm số y ax 3 bx 2 cx d có cực đại, cực tiểu và y CĐ CT y 0
Câu 1 Tìm toạ độ giao điểm của các đồ thị của các hàm số sau: a)
Câu 2 Tìm m để đồ thị các hàm số: a) ( 2) 1; 2 1
cắt nhau tại hai điểm phân biệt b) 2 2 3 ; 2
cắt nhau tại hai điểm phân biệt c) 2 ; 2
cắt nhau tại hai điểm có hoành độ trái dấu d) 2 4 5; 2
cắt nhau tại hai điểm có hoành độ trái dấu e) ( 2) ; 2 3
cắt nhau tại hai điểm thuộc hai nhánh khác nhau f) 2
cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt có hoành độ dương
Câu 3 yêu cầu tìm m sao cho đồ thị các hàm số ở các phần a)–e) cắt nhau tại ba điểm phân biệt Cụ thể, a) hai đồ thị y = x^3 + 3x^2 + m x + 2 và y = -x^2 + … cắt nhau tại ba điểm phân biệt; b) hai đồ thị y = m x^3 + 3x^2 − (1/2) m x − 1 cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt; c) đồ thị y = (x − 1)(x^2 − m x + m + 2 − 3) cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt; d) hai đồ thị y = x^3 + 2x^2 − 2x + 2m − 1 và y = 2x^2 − x^2 cắt nhau tại ba điểm phân biệt; e) hai đồ thị y = x^3 + 2x^2 − m x^2 + 3 và y = 2x^2 + 1 cắt nhau tại ba điểm phân biệt.
Câu 4: Để đồ thị các hàm số ở từng mục cắt nhau hoặc cắt trục hoành tại bốn điểm phân biệt, ta xét như sau: a) Với y = x^4 − 2x^2 − 1 và y = m, ta có x^4 − 2x^2 − (1 + m) = 0; đặt t = x^2, ta được t^2 − 2t − (1 + m) = 0, có nghiệm t = 1 ± √(2(1 + m)) Để có hai nghiệm t dương phân biệt, ta yêu cầu -1 < m < −1/2; khi đó x = ±√(1 + √(2(1 + m))) và x = ±√(1 − √(2(1 + m))) b) Với y = x^4 − m(m + 1)x^2 + m^3 và cắt trục hoành tại bốn điểm phân biệt, ta xét phương trình t^2 − m(m + 1)t + m^3 = 0; Δ = m^2(m − 1)^2 và hai nghiệm t là t = m và t = m^2 Để cả hai t dương và khác nhau, ta cần m > 0 và m ≠ 1; khi đó các nghiệm x là x = ±√m và x = ±√(m^2) = ±m, cho 4 giao điểm c) Với y = x^4 − (2m − 3)x^2 + m^2 − 3m và cắt trục hoành tại bốn điểm phân biệt, ta có t^2 − (2m − 3)t + (m^2 − 3m) = 0 với Δ = 9, nên hai nghiệm t là t = m và t = m − 3 Để cả hai dương và khác nhau, ta yêu cầu m > 3; khi đó có x^2 = m và x^2 = m − 3 cho ta bốn nghiệm thực: x = ±√m và x = ±√(m − 3).
Câu 5 Tìm m để đồ thị của các hàm số: a) 3 1; 2
cắt nhau tại hai điểm phân biệt A, B Khi đó tìm m để đoạn AB ngắn nhất b) 4 1;
cắt nhau tại hai điểm phân biệt A, B Khi đó tìm m để đoạn AB ngắn nhaát c) 2 2 4 ; 2 2
cắt nhau tại hai điểm phân biệt A, B Khi đó tính AB theo m
2 BIỆN LUẬN SỐ NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH BẰNG ĐỒ THỊ
Cơ sở của phương pháp: Xét phương trình: f(x) = g(x) (1)
Số nghiệm của phương trình (1) = Số giao điểm của (C 1 ): y = f(x) và (C 2 ): y = g(x)
Nghiệm của phương trình (1) là hoành độ giao điểm của (C 1 ): y = f(x) và (C 2 ): y = g(x)
Để biện luận số nghiệm của phương trình (*) bằng đồ thị ta biến đổi (*) về một trong các dạng sau:
Khi đó (1) có thể xem là phương trình hoành độ giao điểm của hai đường:
d là đường thẳng cùng phương với trục hoành
Dựa vào đồ thị (C) ta biện luận số giao điểm của (C) và d Từ đó suy ra số nghiệm của (1)
Thực hiện tương tự như trên, có thể đặt g(m) = k
Biện luận theo k, sau đó biện luận theo m
VẤN ĐỀ 1: Biện luận số nghiệm của phương trình bằng đồ thị Để xác định số nghiệm của phương trình F(x, m) = 0, ta biến đổi (*) sang một dạng liên hệ với đồ thị y = f(x) đã được khảo sát và vẽ, sao cho các nghiệm của phương trình tương ứng với các giao điểm giữa đồ thị y = f(x) và một biểu thức phụ thuộc tham số m Số nghiệm được xác định dựa trên số lần hai đồ thị cắt nhau trên trục x; khi chúng trùng nhau hoặc không giao nhau, số nghiệm sẽ lần lượt giảm xuống hoặc bằng không Phương pháp này cho phép phân tích ảnh hưởng của tham số m lên vị trí và số nghiệm bằng cách quan sát sự biến thiên của đồ thị và các giao điểm của nó với y = f(x), từ đó rút ra kết luận về số nghiệm của F(x, m) = 0 và cách điều chỉnh m để có số nghiệm mong muốn.
Câu 1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số Dùng đồ thị (C) biện luận theo m số nghiệm cuỷa phửụng trỡnh: a) y x 3 3x1; x 3 3x 1 m 0 b) y x 3 3x1; x 3 3x m 1 0 c) y x 3 3x1; x 3 3x m 2 2m 2 0 d) y x 3 3x1; x 3 3x m 4 0 e) 4 2 2 2; 4 4 2 4 2 0
VẤN ĐỀ 2: Biện luận số nghiệm của phương trình bậc ba bằng đồ thị
Cơ sở của phương pháp: Xét phương trình bậc ba: ax 3 bx 2 cx d 0(a 0) (1)
Gọi (C) là đồ thị của hàm số bậc ba: y f x ( )ax 3 bx 2 cx d
Số nghiệm của (1) = Số giao điểm của (C) với trục hoành Dạng 1: Biện luận số nghiệm của phương trình bậc 3
Trường hợp 1: (1) chỉ có 1 nghiệm (C) và Ox có 1 điểm chung
Cẹ CT f không có cực trị h a f có cực trị h b y y
Trường hợp 2: (1) có đúng 2 nghiệm (C) tiếp xúc với Ox
yf có cực trị CĐ CT y 2 0 ( 2)h
Trường hợp 3: (1) có 3 nghiệm phân biệt (C) cắt Ox tại 3 điểm phân biệt
yf có cực trị CĐ CT y 2 0 ( 3)h
Dạng 2: Phương trình bậc ba có 3 nghiệm cùng dấu
Trường hợp 1: (1) có 3 nghiệm dương phân biệt
(C) cắt Ox tại 3 điểm phân biệt có hoành độ dương
Cẹ CT f có cực trị y y x x a f hay ad
Trường hợp 2: (1) có 3 nghiệm có âm phân biệt
(C) cắt Ox tại 3 điểm phân biệt có hoành độ âm
Cẹ CT f có cực trị y y x x a f hay ad
Câu 1 Tìm m để các phương trình sau chỉ có 1 nghiệm: a) 2x 3 3(m1)x 2 6mx 2 0 b) x 3 3x 2 3(1m x) 1 3m0 c) 2x 3 3mx 2 6(m1)x3m12 0 d) x 3 6x 2 3(m4)x4m 8 0 e) 2x 3 3(m1)x 2 6(m2)x 2 m 0 f) x 3 3mx2m0
Câu 2 Tìm m để các phương trình sau có 3 nghiệm phân biệt: a) x 3 3mx 2 3(m 2 1)x m( 2 1) 0 b) x 3 6x 2 3(m4)x4m 8 0 c) 2x 3 3(m1)x 2 6(m2)x 2 m 0 d) 1 3 0
Câu 3 Tìm m để các phương trình sau có 3 nghiệm dương phân biệt: a) x 3 3mx 2 3(m 2 1)x m( 2 1) 0 b) x 3 6x 2 3(m4)x4m 8 0 c) 1 3 5 2 4 7 0
Câu 4 Tìm m để các phương trình sau có 3 nghiệm âm phân biệt: a) 2x 3 3(m1)x 2 6(m2)x 2 m 0 b) x 3 3mx 2 3(m 2 1)x m( 2 1) 0 c) x 3 3x 2 9x m 0 d) x 3 x 2 18mx2m0
3 SỰ TIẾP XÚC CỦA HAI ĐƯỜNG
1 Ý nghĩa hình học của đạo hàm: Đạo hàm của hàm số y = f(x) tại điểm x 0 là hệ số góc của tiếp tuyến với đồ thị (C) của hàm số tại điểm M x f x 0 0; ( )0
Khi đó phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm M x f x 0 0 ; ( ) 0 là: y – y 0 = f (x 0 ).(x – x 0 ) (y 0 = f(x 0 ))
2 Điều kiện cần và đủ để hai đường (C 1 ): y = f(x) và (C 2 ): y = g(x) tiếp xúc nhau là hệ phương trình sau có nghiệm:
Nghiệm của hệ (*) là hoành độ của tiếp điểm của hai đường đó
3 Nếu (C 1 ): y = px + q và (C 2 ): y = ax 2 bx c thì
(C 1 ) và (C 2 ) tiếp xúc nhau phương trình ax 2 bx c px q có nghiệm kép
VẤN ĐỀ: Tìm điều kiện để hai đường tiếp xúc
1 Điều kiện cần và đủ để hai đường (C 1 ): y = f(x) và (C 2 ): y = g(x) tiếp xúc nhau là hệ phương trình sau có nghiệm:
(C 1 ) và (C 2 ) tiếp xúc nhau phương trình ax bx c px q có nghiệm kép
Câu 1 Tìm m để hai đường (C 1 ), (C 2 ) tiếp xúc nhau: a) ( ):C 1 y x 3 (3 m x) 2 mx2; ( ):C 2 trụchoành b) ( ):C 1 y x 3 2x 2 (m1)x m C ; ( ): 2 trụchoành c) ( ):C 1 y x 3 m x( 1) 1; ( ):C 2 y x 1 d) ( ):C 1 y x 3 2x 2 2x1; ( ):C 2 y x m
Câu 2 Tìm m để hai đường (C 1 ), (C 2 ) tiếp xúc nhau: a) ( ):C 1 y x 4 2x 2 1; ( ):C 2 y2mx 2 m b) ( ):C 1 y x 4 x 2 1; ( ):C 2 y x 2 m c) ( ) : 1 1 4 2 2 9; ( ) : 2 2
6 HÀM SỐ CÓ CHỨA DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI
Bài toán: Vẽ đồ thị của hàm số y = f(x) với f(x) có chứa dấu giá trị tuyệt đối
Cách 1: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị
Xét dấu biểu thức có chứa dấu giá trị tuyệt đối
Chia miền xác định thành nhiều khoảng, trong mỗi khoảng ta bỏ dấu giá trị tuyệt đối
Vẽ đồ thị hàm số tương ứng trong các khoảng của miền xác định
Cách 2: Thực hiện các phép biến đổi đồ thị
Đoạn Dạng 1: Vẽ đồ thị hàm số y=f(x) Đồ thị (C') của hàm số y=f(x) có thể được suy từ đồ thị (C) của hàm số y=f(x) bằng cách giữ nguyên phần đồ thị (C) ở phía trên trục hoành.
+ Lấy đối xứng phần đồ thị của (C) ở phía dưới trục hoành qua trục hoành
+ Đồ thị (C) là hợp của hai phần trên
Dạng 2 trình bày cách vẽ đồ thị của hàm số y = f(x) Đồ thị C' của hàm số y = f(x) có thể được suy từ đồ thị C của hàm số y = f(x) như sau: giữ nguyên phần đồ thị ở bên phải trục tung và bỏ phần đồ thị ở bên trái trục tung.
+ Lấy đối xứng phần bên phải trục tung qua trục tung
+ Đồ thị (C) là hợp của hai phần trên
Câu 1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) Từ đó suy ra đồ thị C) Dùng đồ thị (C) biện luận số nghieọm cuỷa phửụng trỡnh (1): a) (C): y x 3 3x 2 6; (C): y x 3 3x 2 6; x 3 3x 2 6 m (1) b) (C): y x 4 2x 2 3; (C): y x 4 2x 2 3 ; x 4 2x 2 3 m (1) e) (C): 2 2
Câu 2 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) Từ đó suy ra đồ thị C) Dùng đồ thị (C) biện luận số nghieọm cuỷa phửụng trỡnh (1): a) (C): y2x 3 9x 2 12x4; (C): y2x 3 9x 2 12 x 4; 2x 3 9x 2 12x m b) (C): 2
7 ĐIỂM ĐẶC BIỆT TRÊN ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ
VẤN ĐỀ 1: Tìm điểm trên đồ thị (C): y = f(x) có toạ độ nguyên
Tìm các điểm trên đồ thị hàm số hữu tỉ ( )
Q x có toạ độ là những số nguyên:
Q x , với A(x) là đa thức, a là số nguyên
yx Q(x) là ước số của a Từ đó ta tìm các giá trị x nguyên để Q(x) là ước số của a
Thử lại các giá trị tìm được và kết luận Áp dụng Tìm các điểm trên đồ thị (C) của hàm số có toạ độ nguyên: a) 2
VẤN ĐỀ 2: Tìm cặp điểm trên đồ thị (C): y = f(x) đối xứng qua đường thẳng d: y = ax + b
Cơ sở của phương pháp: A, B đối xứng nhau qua d d là trung trực của đoạn AB
Phương trình đường thẳng vuông góc với d: y = ax = b có dạng:
B phân biệt A, B Khi đó xA, xB là các nghiệm của (1)
Tìm toạ độ trung điểm I của AB
Từ điều kiện: A, B đối xứng qua d I d, ta tìm được m xA, xB yA, yB A, B
Chú ý: A, B đối xứng nhau qua trục hoành A B
A, B đối xứng nhau qua trục tung A B
A, B đối xứng nhau qua đường thẳng y = b A B 2
A, B đối xứng nhau qua đường thẳng x = a A B 2
Áp dụng Tìm trên đồ thị (C) của hàm số hai điểm đối xứng nhau qua đường thẳng d: a) ( ):C y x 3 x; d x: 2y0 b)( ) : 4; : 2 6 0
VẤN ĐỀ 3: Tìm cặp điểm trên đồ thị (C): y = f(x) đối xứng qua điểm I(a; b)
Cơ sở của phương pháp: A, B đối xứng nhau qua I I là trung điểm của AB
Phương trình đường thẳng d qua I(a; b), có hệ số góc k có dạng: y k x a b ( )
Phương trình hoành độ giao điểm của (C) và d: f(x) = k x a b( ) (1)
Tìm điều kiện để d cắt (C) tại 2 điểm phân biệt
A, B khi đó xA, xB là 2 nghiệm của (1)
Từ điều kiện: A, B đối xứng qua I I là trung điểm của AB, ta tìm được k xA, xB
Chú ý: A, B đối xứng qua gốc toạ độ O A B
Câu 1 Tìm trên đồ thị (C) của hàm số hai điểm đối xứng nhau qua điểm I: a) ( ):C y x 3 4x 2 x 2; I(2;4) b) ( ) : 2 2; 0;5
1) Khoảng cách giữa hai điểm A, B: AB = (x B x A ) 2 (y B y A ) 2
2) Khoảng cách từ điểm M(x0; y0) đến đường thẳng : ax + by + c = 0: d(M, ) = 0 0
3) Diện tích tam giác ABC:
2AB AC A2 AB AC AB AC
Câu 1 Cho đồ thị (C) và điểm A Tìm điểm M trên (C) sao cho AM nhỏ nhất Chứng minh rằng khi AM nhỏ nhất thì đường thẳng AM vuông góc với tiếp tuyến của (C) tại M a) ( ):C y x 2 1; A O (0;0) b) ( ):C y x 2 ; A(3;0) c) ( ):C y2x 2 1; A(9;1)
Câu 2 Cho đồ thị (C) và đường thẳng d Tìm điểm M trên (C) sao cho khoảng cách từ M đến d là nhỏ nhaát a) ( ):C y2x 4 3x 2 2x1; d y: 2x1 b) ( ) : 2 4 5; : 3 6
HÀM SỐ LUỸ THỪA – HÀM SỐ MŨ – HÀM SỐ LOGARIT
LUỸ THỪA
Số mũ Cơ số a Luỹ thừa a
2 Tính chất của luỹ thừa
Chú ý: + Khi xét luỹ thừa với số mũ 0 và số mũ nguyên âm thì cơ số a phải khác 0
+ Khi xét luỹ thừa với số mũ không nguyên thì cơ số a phải dương
3 Định nghĩa và tính chất của căn thức
Căn bậc n của a là số b sao cho b n a
Với a, b 0, m, n N*, p, q Z ta có: n ab n a b n ; n a n n a b( 0) b b ; n p a n a p (a0); m n a mn a
Neáu thì a a a n m ; Đặc biệt n a mn a m
Nếu n là số nguyên dương lẻ và a < b thì n a n b
Nếu n là số nguyên dương chẵn và 0 < a < b thì n a n b
+ Khi n lẻ, mỗi số thực a chỉ có một căn bậc n Kí hiệu n a
+ Khi n chẵn, mỗi số thực dương a có đúng hai căn bậc n là hai số đối nhau
Gọi A là số tiền gửi, r là lãi suất mỗi kì, N là số kì
Số tiền thu được (cả vốn lẫn lãi) là: C A (1 )r N
Câu 1 Thực hiện các phép tính sau: a) A 1 3 7 8 3 2 7 2 7 14 7
Câu 2 Viết các biểu thức sau dưới dạng luỹ thừa với số mũ hữu tỉ: a) 4 2 3 x x , x 0 b) 5 b a 3 , , a b 0 a b c) 5 3 2 2 2 d) 3 2 3 2 3
Câu 3 Đơn giản các biểu thức sau: a)
Câu 4 So sánh các cặp số sau: a) 0,01 2 và 10 2 b)
c) 5 2 3 và 5 3 2 d) 5 300 và 8 200 e) 0,001 0,3 và 100 3 f) 4 2 và 0,125 2 g) 2 3 và 2 5 h) 4 4 5 5
Câu 5 So sánh hai số m, n nếu: a) 3,2 m 3,2 n b) 2 m 2 n c) 1 1
Câu 6 Có thể kết luận gì về số a nếu: a) a1 2 3 a1 1 3 b) 2 a 1 3 2 a 1 1 c) 1 0,2 a 2 a
LOGARIT
Logarit tự nhiên (logarit Nepe): lnblog e b (với e lim 1 1 2,718281 n
3 Các qui tắc tính logarit
log ( ) log a bc a blog a c log a b log a b log a c c
Câu 1 Thực hiện các phép tính sau: a) 2 1
25 c) log a 3 a d) 4 log 3 2 9 log 2 3 e) log 2 2 8 f) 27 log 2 9 4 log 27 8 g) 3 4
1 7 log log log a a a a a a h) log 6.log 9.log 2 3 8 6 i) 92log 2 4log 5 3 81 k) 81 log 5 3 27 log 36 9 3 4log 7 9 l) 25 log 6 5 49 log 8 7 m) 5 3 2log 4 5 n) 6 8
9 4 o) 3 1 log 4 9 4 2 log 3 2 5 log 27 125 p) log 3.log 36 6 3
Câu 2 Tính giá trị của biểu thức logarit theo các biểu thức đã cho: a) Cho log 14 2 a Tính log 32 theo a 49 b) Cho log 3 15 a Tính log 15 theo a 25 c) Cho log 2 7 a Tính 1
Câu 3 Tính giá trị của biểu thức logarit theo các biểu thức đã cho: a) Cho log 7 25 a ; log 5 2 b Tính 3 5 log 49
8 theo a, b b) Cho log 3 30 a; log 5 30 b Tính log 1350 theo a, b 30 c) Cho log 7 14 a; log 5 14 b Tính log 28 theo a, b 35 d) Cho log 3 2 a; log 5 3 b; log 2 7 c Tính log 140 63 theo a, b, c
Câu 4 Chứng minh các đẳng thức sau (với giả thiết các biểu thức đã cho có nghĩa): a) b log a c c log a b b) log log log ( )
1 log log ab a a c b c d) log 1(log log )
3 2 c a b c a c b , với a 2 b 2 7ab e) log ( 2 ) 2log 2 1(log log ) a x y a 2 a x a y , với x 2 4y 2 12xy f) log b c alog c b a2log c b a.log c b a, với a 2 b 2 c 2
HÀM SỐ LUỸ THỪA HÀM SỐ MŨ – HÀM SỐ LOGARIT
1 Khái niệm a) Hàm số luỹ thừa y x ( là hằng số)
Số mũ Hàm số y x Tập xác định D
là số thực không nguyên y x D = (0; +)
1 y x n không đồng nhất với hàm số y n x n N( *) b) Hàm số mũ y a x (a > 0, a 1)
Khi a > 1 hàm số đồng biến, khi 0 < a < 1 hàm số nghịch biến
Nhận trục hoành làm tiệm cận ngang
Đồ thị: c) Hàm số logarit ylog a x (a > 0, a 1)
Khi a > 1 hàm số đồng biến, khi 0 < a < 1 hàm số nghịch biến
Nhận trục tung làm tiệm cận đứng
Chuù yù: n n n với x nếu n chẵn x n x 1 với x nếu n lẻ
Câu 1 Tính đạo hàm của các hàm số sau: a) y 3 2 x x 1 b) 4 1
Câu 2 Tính đạo hàm của các hàm số sau: a) y(x 2 2x2)e x b) y(x 2 2 )x e x c) y e 2 x sinx d) y e 2x x 2 e)
Câu 3 Tính đạo hàm của các hàm số sau: a) yln(2x 2 x 3) b) ylog (cos ) 2 x c) y e x ln(cos )x d) y(2x1)ln(3x 2 x) e) y 1 x 3 x
PHƯƠNG TRÌNH MŨ
1 Phương trình mũ cơ bản: Với a > 0, a 1: 0 x log a a b bx b
2 Một số phương pháp giải phương trình mũ a) Đưa về cùng cơ số: Với a > 0, a 1: a f x ( ) a g x ( ) f x( )g x( )
Chú ý: Trong trường hợp cơ số có chứa ẩn số thì: a M a N (a 1)(M N ) 0 b) Logarit hoá: a f x ( ) b g x ( ) f x ( ) log a b g x ( ) c) Đặt ẩn phụ:
, trong đó P(t) là đa thức theo t
Chia 2 vế cho b 2 ( ) f x , rồi đặt ẩn phụ
t d) Sử dụng tính đơn điệu của hàm số
Đoán nhận x0 là một nghiệm của (1)
Dựa vào tính đồng biến, nghịch biến của f(x) và g(x) để kết luận x0 là nghiệm duy nhất: ( ) đồng biến và ( ) nghịch biến (hoặc đồng biến nhưng nghiêm ngặt)
( ) đơn điệu và ( ) hằng số f x g x f x g x c
Nếu f(x) đồng biến (hoặc nghịch biến) thì ( )f u f v( ) u v e) Đưa về phương trình các phương trình đặc biệt
Nếu ta chứng minh được: ( ) f x( ) M g x M
Câu 1 Giải các phương trình sau (đưa về cùng cơ số hoặc logarit hoá): a)9 3 1 x 3 8 2 x b) 3 2 2 2 x 3 2 2 c) 5 2 x 7 x 5 35 7 35 0 2 x x d) 2 x 2 1 2 x 2 2 3 x 2 3 x 2 1 e) 5 x x 2 4 25 f) 5 2 1 5 2 1 1 x x x
Câu 2 Giải các phương trình sau (đưa về cùng cơ số hoặc logarit hoá): a)
Câu 3 Giải các phương trình sau (đặt ẩn phụ dạng 1): a)4 x 2 x 1 8 0 b) 4 x 1 6.2 x 1 8 0 c) 3 4 8 x 4.3 2 5 x 27 0 d) 16 x 17.4 x 16 0 e) 49 x 7 x 1 8 0 f) 2 x x 2 2 2 x x 2 3. g) 7 4 3 x 2 3 x 6 h)4 cos2 x 4 cos 2 x 3 i) 3 2 5 x 36.3 x 1 9 0
Câu 4 Giải các phương trình sau (đặt ẩn phụ dạng 2): a) 64.9 x 84.12 x 27.16 x 0 b) 3.16 x 2.81 x 5.36 x c) 6.3 2 x 13.6 x 6.2 2 x 0 d) 25 x 10 x 2 2 1 x e) 27 x 12 x 2.8 x f) 3.16 x 2.81 x 5.36 x g) 6.9 13.6 6.4 0
Câu 5 Giải các phương trình sau (đặt ẩn phụ dạng 3): a) 2 3 x 2 3 x 14 b) 2 3 x 2 3 x 4 c) (2 3) x (7 4 3)(2 3) x 4(2 3) d) 5 21 x 7 5 21 x 2 x 3 e) 5 24 x 5 24 x 10
Câu 6 Giải các phương trình sau (sử dụng tính đơn điệu): a)2 3 x 2 3 x 4 x b) 3 2 x 3 2 x 5 x c) 3 2 2 x 3 2 2 x 6 x d) 3 5 x 16 3 5 x 2 x 3 e) 3 7
Câu 7 Tìm m để các phương trình sau có nghiệm: a) 9 x 3 x m 0 b) 9 x m3 x 1 0 c) 4 x 2 x 1 m d) 3 2 x 2.3 x (m3).2 x 0 e) 2 x (m1).2 x m 0 f) 25 x 2.5 x m 2 0
Câu 8 Tìm m để các phương trình sau có nghiệm duy nhất: a) 2m x 2 x 5 0 b) 16m x 2.81 x 5.36 x c) 5 1 x m 5 1 x 2 x d) 7 3 5 7 3 5 8
PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT
1 Phương trình logarit cơ bản
2 Một số phương pháp giải phương trình logarit a) ẹửa veà cuứng cụ soỏ
Với a > 0, a 1: log ( ) a f x b a log ( ) a f x a b c) Đặt ẩn phụ d) Sử dụng tính đơn điệu của hàm số e) Đưa về phương trình đặc biệt f) Phương pháp đối lập
Khi giải phương trình logarit cần chú ý điều kiện để biểu thức có nghĩa
Câu 1 Giải các phương trình sau (đưa về cùng cơ số hoặc mũ hoá): a) log 2 x x( 1)1 b) log 2 xlog ( 2 x 1) 1 c) log ( 2 x 2) 6.log 1/8 3x 5 2 d) log ( 2 x 3) log ( 2 x 1) 3 e) log ( 4 x 3) log ( 4 x 1) 2 log 8 4 f) lg(x 2) lg(x 3) 1 lg5 g) 2log ( 8 2) log ( 8 3) 2 x x 3 h) lg 5x 4 lg x 1 2 lg0,18
Đoạn bài viết trình bày phương pháp giải các phương trình logarit bằng cách đưa về cùng cơ số hoặc viết lại thành mũ hóa, với sáu bài tập từ a) đến f) Các bài tập yêu cầu áp dụng các quy tắc logarit, đổi cơ sở và khai triển dưới dạng lũy thừa để tìm nghiệm x, đồng thời xác định miền xác định của từng bài toán Trong đó phần a) và phần e) cho thấy cách xử lý các biểu thức log với các cơ sở 3 và 2; phần c) liên quan đến tổng các log với cơ sở 4, 1/16 và 8; phần b) và phần d) cũng đòi hỏi biến đổi cơ sở và kết hợp nhiều biểu thức log, còn phần f) đem đến một hệ thức log phức tạp Bài viết nhấn mạnh rằng mục tiêu là củng cố kỹ thuật đưa log về cùng cơ số, hoặc chuyển đổi sang dạng mũ, từ đó rút gọn và giải được nghiệm của x.
Câu 3 Giải các phương trình sau (đưa về cùng cơ số hoặc mũ hoá): a) log (9 2 ) 3 2 x x b) log (3 3 x 8) 2 x c) log (6 7 ) 1 7 x x d) log (4.3 3 x 1 1) 2x1
Câu 4 Giải các phương trình sau (đặt ẩn phụ): a) log 2 3 x log 2 3 x 1 5 0 b) log 2 2 x3log 2 xlog 1/2 x2 c) log 2 log 4 7 0 x x 6 d) 2 1 2 2
8 x x e) log 2 2 x3log 2 xlog 1/2 x0 f) log 16 log 64 3 x 2 2 x g) log 5 log 1 2 x 5 x h) log 7 log 1 2 x 7 x i) 2log 5 2 log 1 x 5 x k) 3 log 2 xlog 4 2 x0 l) 3 log 3 xlog 3 3 x 1 0 m) log 2 3 x 3 log 2 x 4 / 3
Câu 5 Giải các phương trình sau (đặt ẩn phụ): a) log 7 xlog ( 3 x2) b) log ( 2 x 3) log ( 3 x 2) 2 c) log ( 3 x 1) log (2 5 x 1) 2 d) log 2 x 3 log 6 x log 6 x e) 4log 7 x 3 x f)log 1 2 x log 3 x
BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ
Khi giải các bất phương trình mũ ta cần chú ý tính đơn điệu của hàm số mũ
Ta cũng thường sử dụng các phương pháp giải tương tự như đối với phương trình mũ:
– ẹửa veà cuứng cụ soỏ
Chú ý: Trong trường hợp cơ số a có chứa ẩn số thì: a M a N (a 1)(M N ) 0
Câu 1 Giải các bất phương trình sau (đưa về cùng cơ số): a) 2
Câu 2 Giải các bất phương trình sau (đặt ẩn phụ): a) 2.14 x 3.49 x 4 x 0 b)
Câu 3 Tìm m để các bất phương trình sau có nghiệm: a) 4 x m.2 x m 3 0 b) 9 x m.3 x m 3 0 c) 2 x 7 2 x 2 m d) 2 1 x 2 2 1 x 2 1 m 0
BẤT PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT
Khi giải các bất phương trình logarit ta cần chú ý tính đơn điệu của hàm số logarit
Ta cũng thường sử dụng các phương pháp giải tương tự như đối với phương trình logarit:
– ẹửa veà cuứng cụ soỏ
Chú ý: Trong trường hợp cơ số a có chứa ẩn số thì: log a B 0 (a 1)(B 1) 0; log
Câu 1 Giải các bất phương trình sau (đưa về cùng cơ số): a) log 5 (12x)1log 5 (x1) b) log 1 2log2 9 x 1 c) 1 1
Câu 2 Giải các bất phương trình sau (đặt ẩn phụ): a) log 2 x2log 4 3 0 x b) 5 log 1 2 x 1 log 5 x1 c) 2log 5 xlog 125 1 x d) log 64 log 16 32 x x 2 e) log 2.log 2.log 4 x 2 x 2 x1 f) 2 1 1 2
NHẮC LẠI MỘT SỐ CÔNG THỨC TRONG HÌNH HỌC PHẲNG
1 Hệ thức lượng trong tam giác a) Cho ABC vuông tại A, có đường cao AH
AB 2 AC 2 BC 2 AB 2 BC BH AC , 2 BC CH 1 2 1 2 1 2
Định lí hàm số cosin: a =b 2 2 c 2 –2bc cosA; b 2 c 2 a 2 2ca.cos ;B c 2 a 2 b 2 2ab.cosC
Định lí hàm số sin: R
Công thức độ dài trung tuyến:
2 Các công thức tính diện tích a) Tam giác:
ABC vuông tại A: 2S AB AC BC AH
Sa b) Hình vuông: S = a2 (a: cạnh hình vuông) c) Hình chữ nhật: S = a.b (a, b: hai kích thước) d) Hình bình hành: S = đáy cao = AB AD sinBAD . e) Hình thoi: 1
S AB AD sinBAD 2AC BD. f) Hình thang: S a b .h
(a, b: hai đáy, h: chiều cao) g) Tứ giác có hai đường chéo vuông góc: 1
KHỐI ĐA DIỆN VÀ THỂ TÍCH CỦA CHÚNG
KHÁI NIỆM VỀ KHỐI ĐA DIỆN
I – KHỐI LĂNG TRỤ VÀ KHỐI CHÓP
Khối lăng trụ là phần không gian được giới hạn bởi một hình lăng trụ kể cả hình lăng trụ ấy
Khối chóp là phần không gian được giới hạn bởi một hình chóp kể cả hình chóp ấy
Khối chóp cụt là phần không gian được giới hạn bởi một hình chóp cụt kể cả hình chóp cụt ấy
II – KHÁI NIỆM VỀ HÌNH ĐA DIỆN VÀ KHỐI ĐA DIỆN
1 Khái niệm về hình đa diện
Hình đa diện là hình được tạo bởi một số hữu hạn các đa giác thỏa mãn hai tính chất:
Hai đa giác phân biệt chỉ có thể hoặc không có điểm chung, hoặc chỉ có một đỉnh chung, hoặc chỉ có một cạnh chung
Mỗi cạnh của đa giác nào cũng là cạnh chung của đúng hai đa giác
Mỗi đa giác như trên được gọi là một mặt của hình đa diện
Các đỉnh, các cạnh của đa giác ấy theo thứ tự gọi là các đỉnh, các cạnh của hình đa diện
2 Khái niệm về khối đa diện
Khối đa diện là phần không gian được giới hạn bởi một hình đa diện, kể cả hình đa diện đó
Điểm ngoài khối đa diện là những điểm không thuộc khối, và tập hợp các điểm này được gọi là miền ngoài của khối đa diện Những điểm thuộc khối đa diện nhưng không thuộc bề mặt (hình đa diện) của nó được gọi là điểm trong của khối đa diện, và tập hợp các điểm này tạo thành miền trong của khối đa diện.
Mỗi khối đa diện được xác định bởi hình đa diện tương ứng của nó, và các khái niệm như đỉnh, cạnh, mặt gắn liền với hình đa diện ấy Ta gọi đỉnh, cạnh và mặt của một khối đa diện theo đúng thứ tự của hình đa diện tương ứng, đồng thời điểm trong và điểm ngoài mô tả vị trí của một điểm so với khối: điểm trong nằm ở bên trong khối, còn điểm ngoài nằm ở bên ngoài khối Miền ngoài là vùng không chứa khối đa diện, nằm ở phía ngoài biên của nó.
- Các hình dưới đây là những khối đa diện:
- Các hình dưới đây không phải là những khối đa diện:
Giải thích: Hình a không phải hình đa diện vì tồn tại một cạnh không thuộc về hai mặt đồng thời; hình b không phải hình đa diện vì có một điểm đặc biệt không phải là đỉnh chung của hai đa giác; hình c không phải hình đa diện vì tồn tại một cạnh được chia sẻ bởi bốn đa giác.
III – HAI ĐA DIỆN BẰNG NHAU
1 Phép dời hình trong không gian
Trong không gian, quy tắc đặt tương ứng mỗi điểm M với điểm M xác định duy nhất được gọi là một phép biến hình trong không gian
Phép dời hình trong không gian được định nghĩa là phép biến hình bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm tùy ý Phép tịnh tiến theo vectơ v là một ví dụ điển hình của phép dời hình: mỗi điểm M được ánh xạ thành M' sao cho MM' = v (v là vectơ), nghĩa là vector từ M đến M' bằng v và mọi khoảng cách giữa các điểm được giữ nguyên Do đó, khi áp dụng phép dời hình, hình dạng và kích thước của vật thể không đổi, chỉ vị trí của nó được dịch chuyển.
Kí hiệu là T_v Phép đối xứng qua mặt phẳng P là phép biến hình mà mọi điểm thuộc P được giữ nguyên, còn mọi điểm M không thuộc P được ánh xạ thành M' sao cho mặt phẳng P là mặt phẳng trung trực của MM'.
Nếu phép đối xứng qua mặt phẳng H
Phép đối xứng tâm O biến hình H thành chính nó được gọi là tâm đối xứng của H, với O là tâm cố định Phép đối xứng qua đường thẳng Δ là phép biến hình biến mọi điểm thuộc Δ thành chính nó, và biến mỗi điểm M không thuộc Δ thành M’ sao cho Δ là đường trung trực của MM’ Nếu phép đối xứng qua đường thẳng Δ biến hình H thành chính nó, thì Δ được gọi là trục đối xứng của H.
Thực hiện liên tiếp các phép dời hình sẽ được một phép dời hình
Phép dời hình biến đa diện H thành đa diện H , biến đỉnh, cạnh, mặt của H thành đỉnh, cạnh, mặt tương ứng của H
Ví dụ: Cho hình lập phương ABCD A B C D Khi đó:
Các hình chóp A A B C D và C ABCD bằng nhau (vì qua phép đối xứng tâm O hình chóp A A B C D biến thành hình chóp C ABCD )
Các hình lăng trụ ABC A B C và AA D BB C bằng nhau (vì qua phép đối xứng qua mặt phẳng
AB C D thì hình lăng trụ ABC A B C biến thành hình lăng trụ AA D BB C )
Hai hình được gọi là bằng nhau nếu tồn tại một phép dời hình (dịch chuyển, quay hoặc phản chiếu) biến hình này thành hình kia Đặc biệt, hai đa diện được gọi là bằng nhau nếu có một phép dời hình biến đa diện này thành đa diện kia.
IV – PHÂN CHIA VÀ LẮP GHÉP CÁC KHỐI ĐA DIỆN
Trong hình học khối đa diện, khi khối H là hợp của hai khối H1 và H2 mà hai khối này không có điểm chung, ta nói rằng H có thể phân chia thành hai khối H1 và H2 Ngược lại, từ hai khối H1 và H2 không giao nhau ta có thể ghép chúng lại với nhau để được khối đa diện H.
Ví dụ 1 Với khối chóp tứ giác S ABCD, xét hai khối chóp tam giác S ABC và S ACD Ta thấy rằng:
Hai khối chóp SABC và SACD không có điểm trong chung Tức là không tồn tại một điểm nằm ở bên trong khối chóp này đồng thời nằm ở bên trong khối chóp kia, và ngược lại.
Hợp của hai khối chóp S ABC và S ACD chính là khối chóp S ABCD.
Vậy khối chóp S ABCD được phân chia thành hai khối chóp S ABC và S ACD hay hai khối chóp S ABC và S ACD được ghép lại thành khối chóp S ABCD.
Ví dụ 2 Cắt khối lăng trụ ABC A B C bởi mặt phẳng A BC Khi đó, khối lăng trụ được phân chia thành hai khối đa diện A ABC và A BCC B
Nếu ta cắt khối chóp A BCC B bởi mặt phẳng
A B C thì ta chia khối chóp A BCC B thành hai khối chóp A BCB và A CC B
Vậy khối lăng trụ ABC A B C được chia thành ba khối tứ diện là A ABC , A BCB và A CC B
MỘT SỐ KẾT QUẢ QUAN TRỌNG
Kết quả 1: Một khối đa diện bất kì có ít nhất 4 mặt
Kết quả 2: Mỗi hình đa diện có ít nhất 4 đỉnh
Kết quả 3 : Mỗi hình đa diện có ít nhất 6 cạnh
Kết quả 4 : Mỗi đỉnh của một hình đa diện là đỉnh chung của ít nhất 3 cạnh
Kết quả 5 : Không tồn tại hình đa diện có 7 cạnh
Kết quả 6: Cho H là đa diện mà các mặt của nó là những đa giác có p cạnh Nếu số mặt của H là lẻ thì p phải là số chẵn
Chứng minh: Gọi M là số mặt của khối đa diện H Vì mỗi mặt của H có đúng p cạnh nên tổng số cạnh được đếm từ các mặt là M·p Tuy nhiên mỗi cạnh là cạnh chung của đúng hai mặt nên số cạnh của khối H bằng M·p/2.
C Vì M lẻ nên p phải là số chẵn
Kết quả 7 (suy ra từ chứng minh kết quả 6): Cho H là đa diện có M mặt, mỗi mặt của H là một đa giác có đúng p cạnh Vì mỗi cạnh của H thuộc hai mặt nên tổng số cạnh trên các mặt bằng pM và số cạnh thực sự của H bằng pM/2 Do đó số cạnh của H là pM/2.
Kết quả 8: Mỗi khối đa diện có các mặt là các tam giác thì tổng số các mặt của nó phải là một số chẵn
Chứng minh: Gọi số cạnh và số mặt của khối đa diện lần lượt là C và M.
Vì mỗi mặt có ba cạnh và mỗi cạnh là cạnh chung của đúng hai mặt nên ta có số cạnh của đa diện là 3
Kết quả 9: Mỗi khối đa diện bất kì luôn có thể được phân chia được thành những khối tứ diện
Kết quả 10 cho thấy: nếu một khối đa diện có mỗi đỉnh là đỉnh chung của ba cạnh thì số đỉnh của khối đa diện đó phải là số chẵn Đó là một nhận định tổng quát: một đa diện mà mỗi đỉnh của nó là đỉnh chung của một số mặt lẻ sẽ có tổng số đỉnh là một số chẵn.
KHỐI ĐA DIỆN LỒI VÀ KHỐI ĐA DIỆN ĐỀU
Khối đa diện H được gọi là khối đa diện lồi nếu đoạn thẳng nối hai điểm bất kì của H luôn thuộc
H Khi đó đa diện giới hạn H được gọi là đa diện lồi
AS mặt phẳng đi qua một mặt của nó
II – KHỐI ĐA DIỆN ĐỀU Định nghĩa
Khối đa diện đều là một khối đa diện lồi có hai tính chất sau đây:
Các mặt là những đa giác đều n cạnh
Mỗi đỉnh là đỉnh chung của đúng p cạnh
Khối đa diện đều như vậy gọi là khối đa diện đều loại n p , Định lí
Chỉ có năm khối đa diện đều Đó là:
Loại 3;3 : khối tứ diện đều
Loại 3;4 : khối bát diện đều
Khối tứ diện đều Khối lập phương Bát diện đều Hình 12 mặt đều Hình 20 mặt đều
Khối đa diện đều Số đỉnh Số cạnh Số mặt Loại
Chú ý Gọi Đ là tổng số đỉnh, C là tổng số cạnh và M là tổng các mặt của khối đa diện đều loại
Xét khối mười hai mặt đều
Xét khối hai mươi mặt đều
KHÁI NIỆM VỀ THỂ TÍCH CỦA KHỐI ĐA DIỆN
1 Thể tích của khối hộp chữ nhật:
V abc với a, b, c là ba kích thước của khối hộp chữ nhật
2 Thể tích của khối lập phương: V a 3
3 Thể tích của khối chóp:
V S h với Sđáy là diện tích đáy, h là chiều cao của khối chóp
4 Theồ tớch cuỷa khoỏi laờng truù:
V S đáy h với Sđáy là diện tích đáy, h là chiều cao của khối lăng trụ
5 Một số phương pháp tính thể tích khối đa diện a) Tính thể tích bằng công thức
Tính các yếu tố cần thiết: độ dài cạnh, diện tích đáy, chiều cao, …
Sử dụng công thức để tính thể tích b) Tính thể tích bằng cách chia nhỏ
Để tính thể tích của một khối đa diện phức tạp, ta chia nó thành nhiều khối đa diện nhỏ hơn có thể dễ dàng xác định được thể tích Sau đó tính thể tích của từng khối và cộng các kết quả lại với nhau để được thể tích của khối đa diện ban đầu Đây là phương pháp tính thể tích bằng cách bổ sung, dựa trên nguyên lý phân tách cấu trúc hình học thành các phần có thể đo đạc và tính toán được.
Ta có thể ghép thêm vào một khối đa diện một khối đa diện khác sao cho khối được ghép vào và khối đa diện mới hình thành có thể tính được thể tích một cách dễ dàng Phương pháp này dùng công thức tỉ số thể tích để xác định thể tích của khối mới dựa trên tỉ lệ giữa các thể tích liên quan, mang lại cách tính nhanh và chính xác cho các bài toán về thể tích của khối đa diện.
Ta có thể vận dụng tính chất sau:
Cho ba tia Ox, Oy, Oz không đồng phẳng Với bất kì các điểm A, A’ trên Ox; B, B' trên Oy;
C, C' trên Oz, ta đều có:
Cho hình chóp tứ giác S ABCD với đáy ABCD là hình vuông cạnh a và cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy, SA = a^2 Do đáy là hình vuông có diện tích bằng a^2 và chiều cao của chóp bằng SA = a^2, thể tích V của khối chóp được tính theo công thức V = (1/3) × base × height = (1/3) × a^2 × a^2 = a^4/3.
Câu 2 Cho khối chóp S ABC có SA vuông góc với đáy, SA4, AB6, BC10 và CA8 Tính thể tích V của khối chóp S ABC
Câu 3 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCDlà hình vuông cạnh 7 , cm SA ABCD SB , 7 Tính cm thể tích của khối chóp S ABCD
Trong bài toán hình chóp SABC, đáy ABC là tam giác vuông cân tại B với AB = 2a Tam giác SAB là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy Tính thể tích V của khối chóp SABC dựa trên các dữ kiện này.
Đề bài cho khối chóp S-ABCD có đáy là hình vuông cạnh a Tam giác SAC vuông tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy, cạnh SA tạo với đáy một góc 60 độ Hãy tính thể tích V của khối chóp.
Đáy hình chóp S ABCD là hình vuông cạnh 2a nên diện tích đáy bằng 4a^2 Mặt bên SAB là tam giác đều cạnh AB = SA = SB = 2a và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy; từ SA = SB = AB suy ra S nằm trên đường thẳng vuông góc với AB tại trung điểm của AB, và chiều cao của hình chóp bằng khoảng cách từ S đến mặt phẳng đáy là √3 a Vì vậy thể tích khối chóp S ABCD là V = (1/3) × 4a^2 × √3 a = (4√3/3) a^3.
Câu 7 Cho hình chóp SABC, đáy ABC là tam giác vuông tại A với AB = 3 cm và AC = 4 cm Hai mặt phẳng SAB và SAC cùng vuông góc với mặt phẳng đáy và SA = 5 cm Yêu cầu tính thể tích khối chóp SABC (đơn vị cm³).
Câu 8 Cho khối chóp tam giác đều S ABC có cạnh đáy bằng a và cạnh bên bằng 2a Tính thể tích V của khối chóp S ABC
Câu 9 Thể tích của khối chóp tứ giác đều có tất cả các cạnh bằng a
Câu 10 Cho một hình chóp tam giác đều có cạnh đáy bằng a, góc giữa cạnh bên và mặt phẳng đáy bằng 45 0 Thể tích khối chóp đó
Câu 11 Cho khối lăng trụ đứngABC A B C có đáy là tam giác đều cạnh a và AA 2a (minh họa nhử hỡnh veừ beõn)
Tính thể tích của khối lăng trụ đã cho
Câu 12 Tính thể tích V của khối lập phươngABCD A B C D , biết AC a 3
Câu 13 Cho khối lăng trụ đứngABC A B C cóB C 3a, đáyABClà tam giác vuông cân tại B vàACa 2 Tính thể tích V của khối lăng trụ đứngABC A B C
Câu 14 Cho hình lăng trụ đứng ABC A B C có đáy ABC là tam giác vuông tại A, biết AB a, 2
AC a và A B 3a Tính thể tích của khối lăng trụ ABC A B C
Câu 15 Cho hình lăng trụ đứng ABCD A B C D có đáy ABCD là hình chữ nhật, AB a, AD a 2,
AB a (tham khảo hình vẽ) Tính theo athể tích V của khối lăng trụ đã cho
Câu 16 Cho khối tứ diện ABCD có thể tích V và điểm E trên cạnh AB sao cho AE3EB Tính thể tích khối tứ diện EBCD theo V.
Câu 17 Cho khối chóp S ABCD có thể tích V Các điểm A, B, C tương ứng là trung điểm các cạnh
SA, SB, SC Tính hể tích khối chóp S A B C theo V.
Câu 18 Cho tứ diện đều ABCD có cạnh a Trên các cạnh AB, AC lần lượt lấy các điểm B C', ' sao cho 2a
AB a AC Tính tỉ số thể tích của khối tứ diện AB C D' ' và khối tứ diện ABCD
Câu 19 Cho hình chóp S ABC có đáy là tam giác đều cạnh a , cạnh bên SA vuông góc với đáy và thể tích của khối chóp đó bằng 3
Câu 20 Cho hình chóp S ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, cạnh bên SA vuông góc với đáy
Biết hình chóp S ABC có thể tích bằng a 3 Tính khoảng cách d từ điểm A đến mặt phẳng SBC
Cho tứ diện ABCD có AB = a, AC = a^2, AD = a^3, trong đó các tam giác ABC, ACD và ABD cùng vuông tại đỉnh A Hãy tính khoảng cách d từ điểm A đến mặt phẳng (BCD).
Trong bài toán hình học này, cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a Mặt bên SAB là tam giác đều và nằm trong một mặt phẳng vuông góc với đáy Yêu cầu tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và SD.
KHỐI TRÒN XOAY
MẶT CẦU – KHỐI CẦU
Mặt cầu: S O R( ; ) M OM R Khối cầu: V O R( ; ) M OM R
2 Vị trí tương đối giữa mặt cầu và mặt phẳng
Cho mặt cầu S(O; R) và mặt phẳng (P) Gọi d = d(O; (P))
Nếu d < R thì (P) cắt (S) theo giao tuyến là đường tròn nằm trên (P), có tâm H và bán kính r R 2 d 2
Nếu d = R thì (P) tiếp xúc với (S) tại tiếp điểm H ((P) đgl tiếp diện của (S))
Nếu d > R thì (P) và (S) không có điểm chung
Khi d = 0 thì (P) đi qua tâm O và đgl mặt phẳng kính, đường tròn giao tuyến có bán kính bằng R đgl đường tròn lớn
3 Vị trí tương đối giữa mặt cầu và đường thẳng
Cho mặt cầu S(O; R) và đường thẳng Gọi d = d(O; )
Nếu d < R thì cắt (S) tại hai điểm phân biệt
Nếu d = R thì tiếp xúc với (S) ( đgl tiếp tuyến của (S))
Nếu d > R thì và (S) không có điểm chung
4 Mặt cầu ngoại tiếp – nội tiếp
Mặt cầu ngoại tiếp Mặt cầu nội tiếp Hình đa diện Tất cả các đỉnh của hình đa diện đều nằm trên mặt cầu
Tất cả các mặt của hình đa diện đều tiếp xúc với mặt cầu
Hình trụ Hai đường tròn đáy của hình trụ nằm trên mặt cầu Mặt cầu tiếp xúc với các mặt đáy và mọi đường sinh của hình trụ
Hình nón Mặt cầu đi qua đỉnh và đường tròn đáy của hình nón Mặt cầu tiếp xúc với mặt đáy và mọi đường sinh của hình nón
5 Xác định tâm mặt cầu ngoại tiếp khối đa diện
Cách 1: Nếu (n−2) đỉnh của đa diện nhìn hai đỉnh còn lại dưới một góc vuông, thì tâm của mặt cầu ngoại tiếp là trung điểm của đoạn thẳng nối hai đỉnh đó Điều này cho phép xác định nhanh tâm mặt cầu bằng cách lấy trung điểm của hai đỉnh còn lại khi điều kiện góc vuông được thỏa mãn.
Cách 2: Để xác định tâm của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp
– Xác định trục của đáy ( là đường thẳng vuông góc với đáy tại tâm đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy)
– Xác định mặt phẳng trung trực (P) của một cạnh bên
– Giao điểm của (P) và là tâm của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp.
MẶT NÓN – HÌNH NÓN – KHỐI NÓN
Cho đường thẳng Xét một đường thẳng d cắt tại O tạo thành một góc với
Mặt tròn xoay sinh bởi đường thẳng d như thế khi quay quanh gọi là mặt nón tròn xoay (hay đơn giản hơn là mặt nón)
● gọi là trục của mặt nón
●d gọi là đường sinh của mặt nón
●O gọi là đỉnh của mặt nón
● Góc 2 gọi là góc ở đỉnh của mặt nón
II HÌNH NÓN VÀ KHỐI NÓN
Xét một mặt nón N có trục Δ, đỉnh O và góc ở đỉnh bằng 2α Gọi P là mặt phẳng vuông góc với Δ tại điểm I, I ≠ O Mặt phẳng P cắt mặt nón N theo một đường tròn C có tâm I Các yếu tố này tạo nền tảng cho việc phân tích cấu trúc hình học giữa mặt nón, mặt phẳng cắt và đường tròn C.
P ' là mặt phẳng vuông góc với tại O
● Phần của mặt nón N giới hạn bởi hai mặt phẳng P và P ' cùng với hình tròn xác định bởi C được gọi là hình nón
●O gọi là đỉnh của hình nón
● Đường tròn C gọi là đường tròn đáy của hình nón
● Với mỗi điểm M nằm trên đường tròn C , đoạn thẳng OM gọi là đường sinh của hình nón
● Đoạn thẳng OI gọi là trục của hình nón, độ dài OI gọi là chiều cao của hình nón (đó chính là khoảng cách từ đỉnh O đến mặt đáy.)
Hình nón là một khối hình học phân tách không gian thành hai vùng: phần bên trong và phần bên ngoài của nó Toàn bộ hình nón, bao gồm cả phần thể tích bên trong, được gọi là khối nón.
MẶT TRỤ - HÌNH TRỤ - KHỐI TRỤ
● gọi là trục của mặt trụ T
● gọi là đường sinh của mặt trụ T
●R gọi là bán kính của mặt trụ T
II HÌNH TRỤ VÀ KHỐI TRỤ TRÒN XOAY
Cắt mặt trụ T trục , bán kính R bởi hai mặt phẳng P và P ' cùng vuông góc với , ta được giao tuyến là hai đường tròn C và C '
●Phần của mặt trụ T nằm giữa P và P ' cùng với hai hình tròn xác định bởi C và
● Hai đường tròn C và C ' gọi là hai đường tròn đáy của hình trụ
● OO' gọi là trục của hình trụ
● Độ dài OO' gọi là chiều cao của hình trụ
● Phần giữa hai đáy gọi là mặt xung quanh của hình trụ
● Với mỗi điểm M C , có một điểm M ' C ' sao cho MM ' OO ' Các đoạn thẳng như '
MM gọi là đường sinh của hình trụ
Các đuờng sinh của hình trụ đều bằng nhau và bằng với trục của hình trụ
Các thiết diện qua trục của hình trụ là các hình chữ nhật bằng nhau
Thiết diện vuông góc vơi trục của hình trụ là một hình tròn bằng hình tròn đáy
Nếu một điểm M di động trong không gian có hình chiếu vuông góc M' lên một mặt phẳng
và M ' di động trên môt đường tròn C cố định thì M thuộc một mặt trụ cố định T chứa C và có trục vuông góc
3 Khối trụ Định nghĩa Hình trụ cùng với phần bên trong nó được gọi là khối trụ
DIỆN TÍCH – THỂ TÍCH
Dieọn tớch S4R 2 S xq 2Rh tp xq 2 đáy
S xq Rl tp xq đáy
VẤN ĐỀ 1: MẶT CẦU – KHỐI CẦU
Câu 1 Cho mặt cầu có bán kính R2 Tính diện tích của mặt cầu đã cho
Câu 2 Cho mặt cầu có diện tích bằng 16a 2 Tính bán kính mặt cầu
Câu 3 Cho khối cầu có bán kính r4 Tính thể tích của khối cầu
Câu 4 Tìm bán kínhR mặt cầu ngoại tiếp một hình lập phương có cạnh bằng 2 a
Câu 5 Cho hình hộp chữ nhật ABCD A B C D ' ' ' ' có ABa, AD AA'2a Tính diện tích của mặt cầu ngoại tiếp của hình hộp chữ nhật đã cho
Câu 6 Tính thể tích khối cầu ngoại tiếp hình lập phương cạnh 3 cm
Cho hình chóp SABC có đáy là tam giác đều cạnh 4a, SA vuông góc với mặt phẳng đáy, và góc giữa mặt phẳng SBC với mặt phẳng đáy bằng 60° Bài toán yêu cầu xác định diện tích của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp SABC, tức diện tích của mặt cầu đi qua các đỉnh S, A, B và C Để tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp, cần xác định bán kính R của mặt cầu và sau đó diện tích mặt cầu bằng 4πR^2.
Câu 8 Cho hình chóp S ABCD có đáy là hình vuông cạnh a Cạnh bên SAa 6 và vuông góc với đáy ABCD Tính theo a diện tích mặt cầu ngoại tiếp khối chóp S ABCD
Câu 9 Cho hình chóp S ABCD có đáy là hình chữ nhật với AB3a, BC 4a, SA12a và SA vuông góc với đáy Tính bán kính R của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S ABCD
Cho tứ diện đều ABCD cạnh bằng a Tâm mặt cầu ngoại tiếp của tứ diện chính là tâm của tứ diện (điểm giao của các đường trung tuyến) và cũng là tâm của mặt cầu ngoại tiếp Bán kính mặt cầu ngoại tiếp R = a√6/4 Diện tích mặt cầu S = 4πR^2 = (3/2)πa^2 Thể tích khối cầu V = (4/3)πR^3 = (π√6/8)a^3.
Đề bài: Cho một hình chóp tứ giác đều có cạnh đáy bằng a và các cạnh bên hợp với mặt đáy tại góc 60° Nhiệm vụ gồm hai phần: (a) Xác định tâm và bán kính của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp tứ giác đều; (b) Tính diện tích mặt cầu và thể tích khối cầu tương ứng.
Câu 12 Cho hình chóp tứ giác đều S ABCD có tất cả các cạnh đều bằng a.Xác định tâm và bán kính của mặt cầu đi qua năm điểm S A B C D, , , ,
Câu 13 Hình chóp S ABC có đường cao SA a, đáy ABClà tam giác đều cạnh a.Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp
Câu 14 Cho hình chóp từ giác đều S ABCD có cạnh đáy bằng a và góc hợp bởi mặt bên và đáy bằng
60 Xác định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp 0
VẤN ĐỀ 2: MẶT NÓN – HÌNH NÓN – KHỐI NÓN
Câu 2 Cho hình nón có diện tích xung quanh bằng 3a và bán kính đáy bằng a Tính độ dài đường sinh l của hình nón đã cho
Trong không gian, cho tam giác vuông ABC tại A với AB = a và AC = a√3 Quay tam giác ABC quanh trục AB để tạo hình nón, khi đó đường sinh l của hình nón bằng cạnh AC, nên l = AC = a√3.
Câu 4 Một hình nón có thiết diện qua trục là một tam giác vuông cân có cạnh góc vuông bằng a Tính diện tích xung quanh của hình nón
Câu 5 Cho khối nón có thiết diện qua trục là một tam giác cân có một góc 120 và cạnh bên bằng a Tính thể tích khối nón
Câu 6 Cho hình nón có độ dài đường sinh bằng 25 và bán kính đường tròn đáy bằng 15 Tính thể tích của khối nón đó
Trong bài toán này, thiết diện qua trục của khối nón là tam giác vuông cân có cạnh huyền bằng a, nên 2R = a và l = a/√2 với R là bán kính đáy, l là cạnh huyền của tam giác AOB, và chiều cao h bằng a/2 Do đó thể tích khối nón là V = (1/3)πR^2h = πa^3/24, còn diện tích xung quanh (diện tích mặt xung quanh) của hình nón là S = πRl = π(a/2)(a/√2) = πa^2/(2√2) = (πa^2√2)/4.
Cho hình lập phương ABCD và hình vuông A'B'C'D' cạnh a Đỉnh của nón là tâm O của hình vuông ABCD; đáy nón là hình tròn nội tiếp hình vuông A'B'C'D', có bán kính r = a/2 và nằm trên mặt phẳng song song với đáy ở độ cao h = a từ đỉnh xuống đáy Vì nón là nón tròn thẳng nên trục từ đỉnh đến tâm đáy vuông và bán kính đáy đều xác định, cho nên cạnh sinh của nón s = sqrt(h^2 + r^2) = sqrt(a^2 + (a/2)^2) = (a/2) sqrt(5) Diện tích xung quanh của nón được tính bằng S = π r s = π (a/2) × (a/2) sqrt(5) = (π a^2 sqrt(5))/4.
Thiết diện khi cắt hình nón bằng mặt phẳng đi qua trục của nó là một tam giác đều cạnh 2a, nên bán kính đáy bằng a và chiều cao bằng a√3 Từ đó diện tích xung quanh của hình nón bằng πrl = 2πa^2, diện tích toàn phần bằng diện tích xung quanh cộng với diện tích đáy bằng 3πa^2, và thể tích của khối nón bằng V = (1/3)πr^2h = (√3/3)πa^3.
Cho hình chóp tam giác đều S-ABC với SA = SB = SC = a và góc giữa các mặt bên và mặt đáy bằng α Đáy của hình chóp là tam giác ABC đều; ta xét một hình nón đỉnh S có đường tròn đáy nội tiếp của tam giác đều ABC làm đáy nón Hãy tính diện tích xung quanh của hình nón này theo các tham số a và α.
Trong bài toán này, cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có chiều cao SO = h và ∠SAB = α (α > 45°) Yêu cầu tính diện tích xung quanh của hình nón đỉnh S có đáy là đường tròn ngoại tiếp hình vuông ABCD.
Cho một hình nón có chiều cao h = a và bán kính đáy r = 2a Gọi S là đỉnh nón và O là tâm của đường tròn đáy Mặt phẳng P đi qua đỉnh S cắt đường tròn đáy tại hai điểm A và B sao cho AB = 2√3 a Gọi d là khoảng cách từ tâm O của đường tròn đáy đến mặt phẳng P Tính giá trị của d.
VẤN ĐỀ 3: MẶT TRỤ – HÌNH TRỤ – KHỐI TRỤ
Câu 1 Cho hình trụ có bán kính đáy R8 và độ dài đường sinh l3 Diện tích xung quanh của hình trụ đã cho
Câu 2 Cho khối trụ T có bán kính đáy R1, thể tích V 5 Tính diện tích toàn phần của hình trụ tương ứng
Câu 3 Một hình trụ có diện tích xung quanh bằng 4a 2 và bán kính đáy là a Tính độ dài đường cao của hình trụ đó
Câu 4 Một hình trụ có bán kính đáy bằng 2cm và có thiết diện qua trục là một hình vuông Diện tích xung quanh cuỷa hỡnh truù
Câu 5 Xét hình trụ T có thiết diện qua trục của hình trụ là hình vuông có cạnh bằng a Tính diện tích toàn phần S của hình trụ
Trong không gian, cho hình chữ nhật ABCD có AB = 1 và AD = 2 Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB và CD Quay hình chữ nhật quanh trục MN, ta được một hình trụ có bán kính r = AB/2 = 1/2 và chiều cao h = AD = 2 Do đó thể tích của hình trụ là V = πr^2h = π(1/2)^2·2 = π/2.
V của khối trụ tạo bởi hình trụ đó
Câu 7 Cho một khối trụ có diện tích xung quanh của khối trụ bằng 80 Tính thể tích của khối trụ biết khoảng cách giữa hai đáy bằng 10
Cho một hình trụ có bán kính đáy R và thiết diện qua trục là hình vuông, ta suy ra chiều cao h bằng đường kính 2R Diện tích xung quanh của hình trụ là S_xq = 2πRh và với h = 2R ta được S_xq = 4πR^2; diện tích toàn phần là S = S_xq + 2πR^2 = 6πR^2 Khối lăng trụ tứ giác đều nội tiếp trong khối trụ có cơ sở là hình vuông; cạnh của hình vuông thỏa mãn s√2 = 2R nên s = R√2, diện tích đáy là s^2 = 2R^2, chiều cao của khối lăng trụ bằng chiều cao của hình trụ là h = 2R, do đó thể tích V = s^2 h = 4R^3.