Giáo án đại số lớp 11 giới hạn hàm số

CHUYÊN ĐỀ BÀI GIẢNG GIỚI HẠN HÀM SỐ Mục tiêu  Kiến thức + Nắm được khái niệm giới hạn của hàm số.. + Nắm được các tính chất và các phép toán về giới hạn của hàm số..  Kĩ năng + Biết c

Trang 1

CHUYÊN ĐỀ BÀI GIẢNG GIỚI HẠN HÀM SỐ Mục tiêu

 Kiến thức

+ Nắm được khái niệm giới hạn của hàm số

+ Nắm được các tính chất và các phép toán về giới hạn của hàm số

 Kĩ năng

+ Biết cách tìm giới hạn của hàm số tại một điểm

+ Vận dụng được các quy tắc tìm giới hạn của hàm số

+ Thực hành khử một số hạng vô định cơ bản

I LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM

Định nghĩa giới hạn của hàm số tại một điểm

1 Giới hạn hữu hạn tại một điểm

Định nghĩa 1

Cho khoảng  a b; và một điểm x0 Hàm số y f x 

xác định trên  a b; hoặc trên    a b; \ x0 Ta nói rằng

hàm số f x  có giới hạn là số thực L khi x dần đến

0

x (hoặc tại điểm x ) nếu với mọi dãy số 0  x trong n

tập hợp    a b; \ x0 mà limx n x ta đều có 0

 

lim f x n  L

Khi đó ta viết  

0

lim

  hay f x  khi L

0

x x

2 Giới hạn vô cực

Ta nói hàm số y f x  có giới hạn dương vô cực khi

x dần tới x nếu với mọi dãy số 0  x n sao cho x n x0

thì f x n   Kí hiệu  

0

lim

   Tương tự ta cũng có định nghĩa giới hạn âm vô cực

 

0

lim

  

3 Giới hạn hàm số tại vô cực

Các giới hạn đặc biệt

+)

0

lim

  , với C là hằng số bất kỳ

+) f x  là hàm số quen thuộc (đa thức, phân thức hữu tỉ, cân lượng giác) xác định trên  a b;

chứa x thì 0    

lim

Các giới hạn đặc biệt

Trang 2

Giả sử hàm số y f x  xác định trên khoảng

a; Ta nói rằng hàm số  f x có giới hạn là số  

thực L khi x  nếu với mọi dãy số  x : n  x n  a

và x n  thì f x n  L

Kí hiệu: lim  

Các giới hạn lim  

Các giới hạn lim   ; lim  

      và

 

lim

  được định nghĩa tương tự

4 Một số định lí về giới hạn hữu hạn

Định lí 1

a)    

0

lim

0

x x f x g x L M

c)  

0

M

d)  

0

lim

e) Nếu    

0

0, lim

x x



0

lim

0

3 3

lim

g) Nếu c là một hằng số thì  

0

lim

Quy tắc 1

x x f x g x x x L

 

0

lim

0

x x f x g x

Quy tắc 2

 lim ; lim 0

C

C C

x

    với C là hằng số

   với k nguyên dương;

lim

x x với k là số nguyên dương lẻ,

lim k

   với k nguyên dương chẵn

Trang 3

Cho    

x x f x L g x x x L

Dấu của L Dấu của g x   

 

0

lim

f x

g x

Giới hạn một bên

1 Giới hạn hữu hạn

Giả sử hàm số f x  xác định trên khoảng

x b x0; ,  0  Ta nói rằng hàm số  f x  có giới

hạn bên phải là số thực L khi x cần đến x (hoặc tại 0

điểm x ) nếu với mọi dãy số 0  x n thuộc khoảng

x b mà 0;  limx n  ta đều có x0 lim f x n  L

0

lim

  hoặc f x  khi L

0

x x

Giả sử hàm số f x xác định trên khoảng  

a x; 0 , x0  Ta nói rằng hàm số  f x  có giới

hạn bên trái là số thực L khi x dần đến x (hoặc tại 0

điểm x ) nếu với mọi dãy 0  x n thuộc khoảng a x; 0

mà limx n  ta đều có x0 lim f x n  L

0

lim

  hoặc f x  khi L

0

x x

2 Giới hạn vô cực

a) Các định nghĩa    

x x f x f x x x

 

0

lim

0

lim

   được phát biểu tương tự Định nghĩa 1 và định nghĩa 2

b) Các chú ý 1 và 2 vẫn đúng nếu thay L bởi  hoặc



Chú ý:

b) Các định lí về giới hạn của hàm số vẫn đúng khi thay x  bởi x0 x  hoặc x0 x  x0

Trang 4

II CÁC DẠNG BÀI TẬP

Dạng 1: Tìm giới hạn của hàm số bằng cách thay trực tiếp

Phương pháp giải

Nếu f x  là hàm số sơ cấp xác định tại x thì 0

   

lim

1

   có giá trị là bao nhiêu?

Hướng dẫn giải

Do hàm số f x x22x xác định tại điểm 4

x   , nên giới hạn này bằng f  1

1



Ví dụ mẫu

Ví dụ 1: Giới hạn

2 2

3 5 lim

3 1

x



 

 có giá trị là bao nhiêu?

Cách 1:

2 2

lim

x



   

Cách 2: Nhập máy tính như sau

3 1

x

 

 , bấm CACL, nhập giá trị của 2

x và ta sẽ nhận được đáp án

Ví dụ 2: Tìm giới hạn của hàm số

6

2 tan 1 lim

sin 1

x

x B

x











Ta có

6

2 tan 1

lim

6

x

x B

x







Ví dụ 3: Cho lim2   3

  Tìm giới hạn  

 

2 2

lim

1

x

f x A

f x









 

2

lim

1 3 1 10

x

f x A

f x



Ví dụ 4: Tìm các giới hạn

3 3 2

4 lim

x





Trang 5

Ta có

2



x

Ví dụ 5: Tìm giá trị của tham số m để B2 với

1

x



1

x



2

B  m  m     m

Bài tập tự luyện dạng 1

Câu 1: Giá trị của

1

1 lim

x





  là

Câu 2: Giá trị của

1 lim

1

8

Câu 3: Giá trị của giới hạn

1

lim

x



 bằng

A. 2 B 1

2

Câu 4: Chọn kết quả đúng trong các kết quả sau của 2

0

lim cos 3

Câu 5: Cho

2

3 lim

2

x

x m A

x







 Để A  , giá trị của m là bao nhiêu? 5

3

Câu 6: Cho hàm số   4 2 21

x

f x





  Giá trị của lim2  

A. 1

2 B không xác định C

5

Câu 7: Kết quả đúng của

4

sin 3 1 lim

cot 2 3

x

x x







 là

6



6



D không xác định

Trang 6

Câu 8: Chọn kết quả đúng trong các kết quả sau của 3 2

1

lim

1 1

x

x x





  

Câu 9: Nếu lim2   5

  thì lim 13 42  

    bằng bao nhiêu?

1

lim

2

x





(a

b là phân số tối giản; a, b là số nguyên dương)

Tính tổng L a 2b2

Câu 11: Cho hàm số y f x  thỏa mãn 2 1 3 5 2; 1

    Giá trị của lim  

A 4

1

3

2

3

Câu 12: Cho  

1

x

f x x





 

 , tính

 2   

1

2 lim

4

x

x x f x I

x





5

Dạng 2: Tìm giới hạn của hàm số dạng vô định 0

0 Đây là dạng toán vô cùng quan trọng về tìm giới hạn của hàm số Việc tìm giới hạn dạng vô định 0

0 là bài toán tìm giới hạn của hàm số dạng hữu tỉ  

 

0

lim

x x

P x L

Q x



 trong đó Q x 0  và 0 P x 0  0

Phân tích cả tử và mẫu thành nhân tử và rút gọn

Sử dụng các hằng đẳng thức để nhân liên hợp ở tử

và mẫu đưa về dạng 1

Chú ý:

 Nếu tam thức bậc hai ax2bx c có hai nghiệm

1, 2

ax bx c a x x   x x

 a nb n a b a   n 1a b n 2   ab n 2b n 1

Trường hợp 1

 

0

lim

P x L

Q x



 với P x 0 Q x 0  và 0 P x ,  

Ví dụ: Tính giới hạn

2 1

2 1 lim

2 2

x





Ta thấy khi thay x0  thì bài toán có dạng 1 0

0, như vậy ta nhóm nhân tử chung x của cả tử và 1

mẫu để triệt tiêu sau đó đưa về dạng bài toán 1 để tìm kết quả

2 2

1

2 1

x



  

Trang 7

 

Q x là các biểu thức chứa căn cùng bậc

Sử dụng các hằng đẳng thức để nhân liên hợp ở tử

và mẫu đưa về dạng 1

Chú ý: Ta có thể MTCT để tìm các giới hạn

1 Sử dụng MTCT với chức năng của phím CALC

2 Dùng chức lim của máy Vinacal 570ES Plus

Trường hợp 2

 

0

lim

P x L

Q x



 với P x 0 Q x 0  và 0 P x  là

biểu thức chứa căn không đồng bậc

Giả sử: P x m u x n v x  với

 0  0

Ta phân tích P x m u x aan v x  

Chú ý: Ta hoàn toàn có thể dùng cách đặt ẩn phụ

với những bài toán căn bậc cao

Trong nhiều trường hợp việc phân tích như trên

không đi đến kết quả ta phải phân tích như sau:

   

trong đó m x  c

1

2

x





Cách 2: Bấm máy tính như sau:

2 2

x

 CACL

9

1 10

x    và nhận được đáp án

Cách 3: Dùng chức năng lim của máy Vinacal

570ES Plus:

9

2

1 10

2 1 lim

2 2 x

x   



Ví dụ: Tìm giới hạn 3 4

7

lim

x

L

x



  



 

3 4 7

lim

x

L

x



  



 

3

Ta có

3 4

4 1 3

x A x

 



 

2

3

27

4

2 3

x B x

 



 

2

3

x

7

64 8 8 lim

27 3 27

x





Ví dụ mẫu

Ví dụ 1: Tìm giới hạn

2 1

lim

4 3

x

A





 

2

A

Trang 8

Ví dụ 2: Tìm giới hạn 4 3 2

2

lim

8

x

B

x







B

2 2

2 4

 

Ví dụ 3: Tìm giới hạn   3 4

0

lim

x

C

x



Ta có   3 4

0

lim

x

C

x





lim 5 1 5 1 5 1 lim12 3 1 1 6 1 39

0

lim

x

D

x



D

1

n m x

x





Ta có

1

A

Sau đây chúng ta sẽ tìm một số giới hạn liên quan đến biểu thức chứa dấu căn

Nguyên tắc cơ bản của dạng bài tập này là nhân lượng liên hợp để đưa về đa

thức Ngoài cách đó chúng ta có thể chuyển về đa thức khi thực hiện đặt ẩn phụ

tùy bài cụ thể:

0

2 3 1 1 lim

x

x I

x



 

Trang 9

A 6 B 3 C 6  D 0

3 1 1

I

 

 

2 0

3 lim

4 1 1

x

K

x







 

0

lim

x

K



Ví dụ 8: Giới hạn

5

3 1 4 lim

x

x x



 

  có giá trị bằng bao nhiêu?

3 1 4

x

5

lim

3 1 4

x

x x



Ví dụ 9: Tìm giới hạn 3

2

1 1 lim

2

x

x x



 



Ta có

3

 2

lim

3

x



Bằng phương pháp tương tự ta làm một số các bài toán mở rộng sau đây

0

lim

x

M

x



M

x

2 4 2

Trang 10

Ví dụ 11: Cho biết 3 2

1 2

lim

x



  , với c là một số nguyên và a b,   Phương trình ax42bx2  c 1 0 có nhiều nhất bao nhiêu nghiệm trên  ?

4x 3x 1 2x1 x 1

Suy ra phương trình 2  2

     phải có nghiệm kép là 1

2

x

a b x2 2 4bx 3 0

     có nghiệm kép 1

2

x

2 2

0 0

4

3

a b





Thử lại đúng Vậy a b   3

Khi đó

2 2 2

2 3

3 2 1

x

2

3



Suy ra c  2

Vậy ta có phương trình 3x46x2  có nghiệm 3 0 x  1

Sau đây chúng ta sẽ làm một số bài toán mang tính tổng quát

0

x

ax

x



Cách 1: Nhân liên hợp

lim

B



0

lim

B

n



Cách 2: Đặt ẩn phụ

Trang 11

Đặt 1 1

n

a



    và x   0 t 1

0

x

N

x



Ta có

N

0

lim

n m x

ax A

bx





  với ab 0

Áp dụng bài toán trên ta có

n

m

A

 

0

lim

x

B

x



Ta có 1ax31bx 1 1ax31bx 1  1ax 1

3

2 3

0

lim

x

B

x



Ta có 1ax31bx41cx 1

1 ax 1 bx 1 cx 1 1 ax 1 bx 1 1 ax 1

3

4 3 2

c b a

B

   

2 0

lim

x

L

x



2

L

Trang 12

Ví dụ 18: Tìm giới hạn     

3 1 1

lim

1

n n

x

K

x 





Ta có

lim

!

K

n

0

2 1 3 1 4 1 1 limn

x

F

x



Đặt y n2x1 3 x1 4 x   thì 1 x 0 y1

Ta có n2x1 3 x1 4 x    1 1 y 1

2 1 3 1 4 1 1 1

n

y

Do đó

1

n

F

Để tiếp tục ta xét một số bài toán tìm giới hạn của hàm ẩn và giới hạn có tham số

sau

Ví dụ 20: Cho  

1

x

f x x





 

 Tính

 2   

1

2 lim

1

x

x x f x I

x





Ta có  2     2      2



 2     

1

x

x x f x

x x



Ví dụ 21: Cho a, b là các số thực dương thỏa mãn a b 2020 và

2

0

x



Tìm a, b

2 2

2

Trang 13

Lại có 2

0

2

x



Từ đó ta có hệ phương trình 2020 2020

Ví dụ 22: Cho m, n là các số thực khác 0 Nếu giới hạn

2 5

5

x

x mx n x



tìm mn?

Vì

2 5

5

x

x mx n

x



 nên x  là nghiệm của phương trình 5

x mx n 

5m n 25 0 n 25 5m

        

Khi đó lim5 2 lim5 2 5 25 lim5 5  10

Ví dụ 23: Cho hàm số y f x  xác định trên  thỏa mãn  

2

16

2

x

f x x







Tính giới hạn 3  

2 2

lim

2 8

x

f x



 

Theo giả thiết có lim2   16 0 lim2   16

Ta có 3  

2 2

lim

2 8

x

f x



 

 

 

lim

x

f x





 

lim

x

f x







 

x

f x



12

24

6 5.16 16 4 5.16 16 16

Trang 14

Câu 1: Kết quả đúng của giới hạn

2 2

4 2 lim

4

x

x x



 

 bằng

12

5 12

12

0

lim

x

x x



  bằng

2

4 2 3

27 lim

x





  bằng

Câu 4: Tính giới hạn 2

1

lim

1

x



 , ta được kết quả là

5

Câu 5: Kết quả đúng của 3

2 1

1 lim

3 2

x

x x





  bằng

A. 2

3

4 2



Câu 6: Kết quả đúng của giới hạn  3 3

0

lim

x



bằng

4 2 2

16 lim

6 8

x





  bằng

Câu 8: Kết quả đúng của 3 4 2

2

8 lim

x





   bằng

5

24

24 5



2 1

8 3 lim

x

x x



 

  bằng

2 2 3

2 0

1 1 lim

3

x



  

bằng

A  B 1

1

Trang 15

Câu 11: Kết quả đúng của 2

2 0

1 1 lim

x

x x



 

  bằng

Câu 12: Tính giới hạn

1

lim

1

x





 ; m n,  ta được kết quả là

1

lim

1

x



 bằng

2

Câu 14: Giả sử

0

1 1 lim

2

x

ax L

x



 

 Hệ số a bằng bao nhiêu để L ? 3

8

lim

8 2

x

b x



  , trong đó

a

b là phân số tối giản, a và b là các số nguyên dương

Tổng a b bằng

Câu 16: Cho a là một số thực khác 0 Kết quả của

lim





x a

x a bằng

Câu 17: Biết 3 2

2

lim

3 2

x



  trong đó

a

b là phân số tối giản, a và b là các số nguyên dương

Tổng 2a b bằng

Câu 18: Biết

3 2 3

lim

x

b



a

b là phân số tối giản, a và b là các số nguyên dương Tổng 3x b bằng

Dạng 3: Tìm giới hạn của hàm số dạng vô định 

 Đây là dạng quan trọng của giới hạn hàm số, là lớp các bài toán tìm giới hạn dạng  

 

lim

x

f x L

g x



đó f x g x   ;   khi x 

Ví dụ: Tính giới hạn

4 4

7 lim

1

x

x x





Trang 16

1 Chia tử và mẫu cho x với n là số mũ cao nhất n

của biến ở mẫu (hoặc phân tích thành tích chứa

nhân tử x rồi giản ước) n

2 Nếu f x hoặc   g x có chứa biến x trong dấu  

căn thì đưa x ra ngoài dấu căn (với k là mũ cao k

nhất của biến x trong dấu căn), sau đó chia tử và

mẫu cho lũy thừa cao nhất của x (thường là bậc cao

nhất ở mẫu)

3 Sử dụng các kết quả sau đây để tính

Các giới hạn đặc biệt:

 lim ; lim k 0

c

c c

x

    với c là hằng số và k  

 lim k

   với k nguyên dương; lim k

  

với k lẻ; lim k

   với k chẵn

Hướng dẫn giải Cách 1: Chia cả từ và mẫu cho x 4

4

7 1 7

1

x



Cách 2: Bấm máy tính như sau 44 7

1

x x



 ; CACL;

9

10

x và nhận được đáp án

Ví dụ mẫu

2 2

lim

x



 

Ta có

2

6 2

x

Ví dụ 2: Cho hàm số   4 2 21

x

f x





  , tìm giới hạn lim  

Ta có

1



Ví dụ 3: Tìm giới hạn

2

1 3 lim

x

x x









Trang 17

Ta có

2

1 3

2 3

x



Ví dụ 4: Tìm giới hạn

1 lim 1

x

x x



 

Ta có

2 3

2

1

x

Ví dụ 5: Cho hàm số   2  4 21

1

x

x x



 

  , tìm giới hạn lim  

1 2 1

x



Ví dụ 6: Tính giới hạn

4

3 lim

6 5

x

x x





 

Ta có

4

3 1 3

6 5

x

  

2

lim

x

x x x





Ta có

3

2

5

1 3 2

7

x

   

4 4

lim

x

A

x





3

4 4

A

x

Trang 18

Ví dụ 9: Tìm giới hạn 2

1 2 1 lim

x

A

x



  



 

2

3 3

1

1 2 1

2 1

x

A

Câu 1: Giả sử lim  

  và lim  

  Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?

A. lim    

x f x g x a b

 

lim

x

f x a

g x b

Câu 2: Tìm giới hạn

6

4 4

lim

3

x

B

x





 được kết quả là

A. 4 B 4

4 3



Câu 3: Giá trị đúng của

14 14

7 lim

1

x

x x





 là

2

lim

x

C





  được kết quả là

1 6



Câu 5: Cho hàm số   2201920202

2

x

f x





 Kết quả đúng của lim  

A. 1

2

1 3 lim

x

x x





 được kết quả

A. 53

3 2

lim

x

D





    được kết quả

Trang 19

Câu 8: Cho hàm số   2 1 42 22 1

  Kết quả của lim  

2

3 lim

x



 

 được kết quả

1 4



Câu 10: Chọn kết quả đúng trong các kết quả sau của

4

lim

x



  

Câu 11: Tìm giới hạn lim 2 1 2

1

x

E

x



  



lim

x

F



 



  được kết quả là

A. 1

4

3 2 lim

x



 

   là

lim

1

x

M

x





2

3

lim

x

x N







     được kết quả là

1

12

lim

3 1

x

H

x





4 3



4 4

lim

x

A

x





2



Tiêu đề	Giới hạn hàm số
Thể loại	Chuyên đề bài giảng

Định dạng
Số trang	20
Dung lượng	418,57 KB