Giáo án đại số lớp 11 giới hạn dãy số6

+ Biết được một số định lí giới hạn của dãy số, cấp số nhân lùi vô hạn..  Kĩ năng + Áp dụng khái niệm giới hạn dãy số, định lí về giới hạn của dãy số vào giải các bài tập.. + Biết cách

GIỚI HẠN BÀI GIẢNG GIỚI HẠN DÃY SỐ Mục tiêu

 Kiến thức

+ Hiểu được khái niệm giới hạn của dãy số

+ Biết được một số định lí giới hạn của dãy số, cấp số nhân lùi vô hạn

 Kĩ năng

+ Áp dụng khái niệm giới hạn dãy số, định lí về giới hạn của dãy số vào giải các bài tập

+ Biết cách tính giới hạn của dãy số

+ Biết cách tính tổng của một cấp số nhân lùi vô hạn

I LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM

1 Định nghĩa dãy số có giới hạn 9

1.1 Định nghĩa: Ta có nói rằng dãy số  u có giới n

hạn 0 (hay có giới hạn là 0) nếu với mỗi số dương

nhỏ tùy ý cho trước, mọi số hạng của dãy số, kể từ

một số hạng nào đó trở đi, đều có giá trị tuyệt đối

nhỏ hơn số dương đó

Khi đó ta viết: limu n hoặc 0 u n 0

(Kí hiệu “ lim n 0

  ”, đọc là dãy số  u n có giới

hạn là 0 khi n dần đến vô cực)

Nhận xét:

a) Dãy số  u n có giới hạn 0 khi và chỉ khi dãy số

 u có giới hạn 0 n

b) Dãy số không đổi  u n , với u n  có giới hạn 0

0

1.2 Một số dãy số có giới hạn 0 thường gặp

Dựa vào định nghĩa, người ta chứng minh được rằng:

a) lim1 0;

n

b) lim 1 0;

c) lim 31 0;

d) Dãy số không đổi  u n với 0u n có giới hạn 0

e) Nếu q  thì lim1 q n  0

Định lí sau đây thường được sử dụng để chứng minh

một số dãy số có giới hạn 0

Cho hai dãy số  u n và  v n

Nếu u n  với mọi n và lim v n v n thì lim0 u n  0

2 Dãy số có giới hạn hữu hạn

2.1 Định nghĩa dãy số có giới hạn hữu hạn

Định nghĩa: Ta nói rằng dãy số  u n có giới hạn là

số thực L nếu limu nL 0

Khi đó ta viết limu n  hoặc L u n L

Tức là limu n L limu nL 0

2.2 Các định lý cơ bản về giới hạn hàm số

Định lí 1: Giả sử lim u n Khi đó: L

Nhận xét:

- Dãy số  u có giới hạn là số thực L, khi và chỉ n

khi khoảng cách từ điểm u đến điểm L là n u n  L gần 0 bao nhiêu cũng được miễn là chọn n đủ lớn Tức là khi biểu diễn các số hạng trên trục số

ta thấy khi n tăng thì các điểm u tụ tại quanh n điểm L

- Có những dãy số không có giới hạn hữu hạn

 limu n  L và 3 3

n

 Nếu u n    thì 0, n * L và lim0 u n  L

Định lí 2: Giả sử lim u n L;limv n M và c là một

hằng số

Khi đó

 limu nv n L M  limu nv n L M

 limu v n nL M  lim cu n cL

 lim n

n

v  M (nếu M  ) 0

Định lí 3 (Nguyên lí kẹp giữa): Cho ba dãy số

     u n , v n , w n và số thực L Nếu u n v nw n với

mọi n và lim u nlimw n  thì limL v n  L

Định lí 4:

 Một dãy số tăng và bị chặn trên thì có giới hạn

 Một dãy số giảm và bị chặn dưới thì có giới hạn

2.3 Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn

Khái niệm: Cấp số nhân gọi là lùi vô hạn nếu có

công bội q thỏa mãn điều kiện q  1

Tổng các số hạng:

1

u

q



q 1 

Chẳng hạn dãy số    1 n , tức là dãy số:

1;1; 1;1;

- Nếu C là hằng số thì lim C C

3 Dãy số có giới hạn vô cực

3.1 Định nghĩa dãy số có giới hạn vô cực

Định nghĩa:

 Ta nói rằng dãy số  u có giới hạn là  nếu với n

mỗi số dương tùy ý cho trước, mọi số hạng của dãy

số, kể từ một số hạng nào đó trở đi, đều lớn hơn số

dương đó

Khi đó ta viết limu n   hoặc u n 

 Ta nói rằng dãy số  u n có giới hạn là  nếu với

mỗi số âm tùy ý cho trước, mọi số hạng của dãy số,

Nhận xét: Nếu lim u n   thì limu n 

Chú ý:

 Các dãy số có giới hạn là  hoặc  được gọi chung là các dãy số có giới hạn vô cực hay dần đến vô cực

 Dãy số có giới hạn là số thực L được gọi là dãy

số có giới hạn hữu hạn

Nhận xét:

Từ định nghĩa, ta có kết quả sau:

a) lim n   b) lim n  

kể từ một số hạn nào đó trở đi, đều nhỏ hơn số âm

đó

Khi đó ta viết limu n   hoặc u n 

3.2 Một vài quy tắc tìm giới hạn vô cực

Quy tắc 1

 Nếu limu n ;limv n   thì limu v n n 

 Nếu limu n ;limv n   thì limu v n n 

 Nếu limu n ;limv n   thì limu v n n 

 Nếu limu n ;limv n   thì limu v n n 

Quy tắc 2

 Nếu limu n ;limv n   L 0

0

khi L

u v

khi L



 Nếu limu n ;limv n   L 0

0

khi L

u v

khi L



Quy tắc 3

Nếu limu n  , limL 0 v n  thì 0

0,

n n

n

n n

u

v



0,

n n

n

n n

u

v



c) lim3n  

d) limn k  k0  e) limq n  q1 

 Định lí: Nếu lim u n   thì lim 1 0

n

3.3 Một số kết quả

a) lim

n

q

n   và lim n n 0

q  , với q 1

b) Cho hai dãy số  u n và  v n ,

 Nếu u n  với mọi n và lim v n u n   thì

limv n  

 Nếu limu n   và limL v n   thì lim n 0

n

u

Mở rộng:

Ta có lim

n k

q

n   và lim 0

k n

n

q  , với q  và k 1

là một số nguyên dương

 Nếu limu n   (hoặc  ) và limu n    thì L

lim u nv n   (hoặc )

SƠ ĐỒ HỆ THỐNG HÓA

1 lim k 0 k 0

DÃY SỐ

CÓ GIỚI HẠN 0 Định nghĩa

Dãy số  u có giới hạn 0 nếu với mọi n

số dương nhỏ tùy ý cho trước, mọi số hạng của dãy số, kể từ một số hạng nào

đó trở đi, đều có giá trị tuyệt đôi nhỏ hơn số dương đó

Trường hợp thường gặp

limq n  với 0 q  1

Cho hai dãy số  u và n  v n

n n

u v







Dãy số có giới hạn hữu hạn

Định nghĩa Dãy số  u có giới hạn là số thực L nếu n

lim u nL  0

Các định lí

Phép tính giới hạn

Nguyên lí kẹp giữa

lim u nv n  L M

lim u v n n L M

n

M

 

lim cu n cL

Cho ba dãy số      u n , v n , w n

Nếu lim lim



Thì limv n  L

Tổng của cấp số

1

u

q

Dãy số

có giới hạn

vô cực

Định nghĩa

Dãy số  u n có giới hạn là  nếu với mỗi số dương tùy ý cho trước, mọi số hạng của dãy kể từ một số hạng nào đó trở đi, đều lớn hơn số dương đó

limu n , limv n   lim u v n n  

limu n , limv n   lim u v n n  

limu n  ,limv n   lim u v n n  

limu n , limv n   lim u v n n  

Dãy số  u có giới hạn là  nếu với mỗi số âm tùy ý cho trước, n

mọi số hạng của dãy kể từ một số hạng nào đó trở đi, đều nhỏ hơn

số âm đó

n

n

u v

n

n

u v

0,

n n

n

n n

u

v



 limu n   L 0

limv n 0

0,

n n

n

n n

u

v





1

2

3 Định nghĩa

II CÁC DẠNG BÀI TẬP

Dạng 1: Dãy số có giới hạn bằng định nghĩa

Bài toán 1 Chứng minh dãy số có giới hạn 0 bằng định nghĩa

Phương pháp giải

Cách 1: Áp dụng định nghĩa

Cách 2: Sử dụng các định lí sau:

 Nếu k là số thực dương thì lim 1k 0

 Với hai dãy số  u và n  v n

nếu u n  với mọi n và lim v n v n  và lim0 u n 0

 Nếu q  thì lim1 q n  0

Ví dụ: Chứng minh các dãy số  u n sau đây có giới hạn là 0

a)  1

n n

u n





 b)

sin 4 3

n

n u

n





hướng dẫn giải

a) Với mỗi số dương  tùy ý cho trước, ta có

n n

u

1 1

2 3

n



  Đặt 0 1 1

3

n



 

     thì *

0

n   và u n   , n n0 Vậy limu n  0

b) Ta có   n * thì

n

n

Áp dụng cho định lí “Nếu k là một số thực dương

cho trước thì lim 1k 0

n  ” ta được lim1 0

n 

Từ đó suy ra limu n  0

Ví dụ mẫu

Ví dụ 1 Chứng minh các dãy số  u n sau đây có giới hạn là 0

a)

4

1 sin .

n

n u

n





 

n

hướng dẫn giải

a) Ta có   n * thì

4

n

n



Áp dụng định lí “Nếu k là một số thực dương cho trước thì lim 1k 0

n  ” ta được lim1 0

n  Từ đó suy ra limu n  0

b) Ta có  

n

Vì lim 1 lim 1 0

n n

 

Từ đó suy ra limu n  0

Bài toán 2 Giới hạn của dãy số có số hạng tổng quát dạng phân thức

Phương pháp giải

Để tính giới hạn của dãy số có số hạng tổng quát

dạng phân thức: lim n

n

u

v

 Nếu ;u v là hàm đa thức theo biến n thì chia cả n n

tử số và mẫu số cho n , trong đó p là số mũ lớn p

nhất Sau đó áp dụng: lim 1k 0

n  (với k  ) 0

 Nếu u v là hàm số mũ thì chia cả tử và mẫu n; n

cho a n với a là cơ số lớn nhất Sau đó sử dụng

công thức: limq n  với 0 q  1

Chú ý: Thông thường, ta sẽ biến đổi các dãy số

tổng quát về dãy số có giới hạn 0 quen thuộc như

trên

Ví dụ: Chứng minh rằng: lim 1 0

1

Hướng dẫn giải

Ta có 0 1 1

1

1 lim 0

n

Từ đó suy ra điều cần chứng minh

Ví dụ mẫu

Ví dụ 1: Chứng minh rằng các dãy số với số hạng tổng quát sau đây có giới hạn 0

a) u n 2n 3 2 n b) u n  n 2 n2

Hướng dẫn giải

2n 3 2n 2n 3 2n  2n3  2n  3

3

2n 3 2n  2n 2n 2 2n  n

3

Từ đó suy ra điều cần chứng minh

b) Ta có  n 2 n2 n 2 n2n  2 n 2 4

4

2

2

Từ đó suy ra điều cần chứng minh

Ví dụ 2: Chứng minh rằng các dãy số với số hạng tổng quát sau có giới hạn 0

4

n

n u

n



cos

5 4

n u



2

1 cos

1

n n

n u

n





sin 5

1, 01

n u



Hướng dẫn giải

a) Ta có cos 1 1

n

1 lim 0

n  Từ đó suy ra điều cần chứng minh

b) Ta có  

n



1 lim 0

Từ đó suy ra điều cần chứng minh

c) Ta có

5

n

n

 

     và lim 1 0

4

n

  

 

  (do

1 1

4  )

Từ đó suy ra điều cần chứng minh

d) Ta có

5

1, 01

1, 01 1, 01

n

n

    và lim 1, 011 0.

n

Từ đó suy ra điều cần chứng minh

Ví dụ 3: Chứng minh rằng các dãy số sau có giới hạn bằng 0

a) lim2 3 0

4

n

!

n

a

hướng dẫn giải

a) Ta có lim2 3 lim 2 lim 3 0 0 0

n

2 1

4  và 3 1

4  )

Từ đó suy ra điều cần chứng minh

b) Gọi m là số tự nhiên thỏa m 1 a Khi đó với mọi n m  1