Cho tam giác ABC nhọn, các đường cao AD và BE cắt nhau tại H.. Điểm P đối xứng với điểm H qua đường thẳng BC.. Gọi O là giao điểm các đường trung trực của ABCV.. Cho tam giác ABC nhọn, c
Trang 1ĐỀ KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG GIỮA KÌ I
MÔN: TOÁN 8
Câu 1 Phân tích các đa thức sau thành nhân tử
a 3xy - 9x 2 b x + 343 3 c 25 - x + 2xy - y 2 2
Câu 2 Thực hiện phép tính rồi tính giá trị biểu thức:
x y - x y + 9x y - 6xy : xy
Câu 3 Tìm x biết:
a ( ) (2 ) ( )
3 x - 1 + x + 5 2 - 3x = -25
b ( )2
x - 2 - 4x + 8 = 0
Câu 4 Cho tam giác ABC nhọn, các đường cao AD và BE cắt nhau tại H.
Gọi M là trung điểm của BC Điểm P đối xứng với điểm H qua đường thẳng BC Điểm Q đối xứng với điểm H qua điểm M
a Chứng minh PQ // BC Khi đó tứ giác DMQP là hình gì? Vì sao?
Trang 2c Gọi O là giao điểm các đường trung trực của ABCV Chứng minh rằng điểm O cách đều 5 điểm A, B, P, Q, C
Câu 5 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
( 2 )2 ( )2
P = x + 4x + 1 - 12 x + 2 + 2093
ĐÁP ÁN
Câu 1 Phân tích các đa thức sau thành nhân tử
a 3xy - 9x 2 b x + 343 3 c 25 - x + 2xy - y 2 2
Lời giải
a 3xy - 9x2 =3x y - 3x( )
b x + 343= x + 7 = x + 7 x - 7x + 493 3 3 ( ) ( 2 )
25 - x + 2xy - y = 25 - x - y = 5 + x - y 5 - x + y
Câu 2 Thực hiện phép tính rồi tính giá trị biểu thức:
x y - x y + 9x y - 6xy : xy
Lời giải
Trang 34 2 2 3 2 2 2 2 2 2 2
A = x y : xy - x y : xy + 9x y : xy - 6xy : xy
3 2
A = x - 6x + 12x - 8
⇔
Với x = 1; y = 2020 ta có ⇔A = 1 - 6.1 + 12.1 - 8 = -13 2
Câu 3 Tìm x biết:
a ( ) (2 ) ( )
3 x - 1 + x + 5 2 - 3x = -25
b ( )2
x - 2 - 4x + 8 = 0
Lời giải
a ( ) (2 ) ( )
3 x - 1 + x + 5 2 - 3x = -25
3x - 6x + 3 - 3x - 13x + 10 + 25 = 0
⇔
-19x + 38 = 0 x = 2
Vậy x = 2
b ( )2
x - 2 - 4x + 8 = 0
(x - 2 x - 2 - 4 = 0) ( )
⇔
Trang 4x - 2 = 0 x = 2
x - 6 = 0 x = 6
Vậy x∈{ }2;6
Câu 4 Cho tam giác ABC nhọn, các đường cao AD và BE cắt nhau tại H.
Gọi M là trung điểm của BC Điểm P đối xứng với điểm H qua đường thẳng BC Điểm Q đối xứng với điểm H qua điểm M
a Chứng minh PQ // BC Khi đó tứ giác DMQP là hình gì? Vì sao?
b Chứng minh tứ giác HCQB là hình bình hành Tính số đo các góc
c Gọi O là giao điểm các đường trung trực của ABCV Chứng minh rằng điểm O cách đều 5 điểm A, B, P, Q, C
Lời giải
Trang 5a Chứng minh PQ // BC Khi đó tứ giác DMQP là hình gì? Vì sao?
Có P đối xứng với H qua BC
Nên BC là trung trực của PH
BC PH
⇒ ⊥ tại D và D là trung điểm của PH
Có điểm Q đối xứng với điểm H qua điểm M nên M là trung điểm của QH
Trang 6Nên MD là đường trung bình của ∆HPQ
DM // PQ hay PQ // BC
Tứ giác DMQP có DM // PQ
Nên tứ giác DMQP là hình thang (DM // PQ)
Mà ·PDM 90= ° ( do BC PH⊥ tại D)
Vậy tứ giác DMQP là hình thang vuông (DM // PQ)
b Chứng minh tứ giác HCQB là hình bình hành Tính số đo các góc
ACQ,ABQ
Xét tứ giác HCQB có HQ và BC cắt nhau tại M là trung điểm của mỗi đường
⇒
Tứ giác HCQB là hình bình hành
QC // BH
QB // CH
⇒
Mà BH CH ⊥ABAC
Trang 7Nên
·
·
c Gọi O là giao điểm các đường trung trực của ABCV Chứng minh rằng điểm O cách đều 5 điểm A, B, P, Q, C
gọi O’ là trung điểm của AQ
có ABQ∆ vuông tại B (do ·ABQ 90= °)
có BO’ là trung tuyến
Nên BO' = AQ12
Chứng minh tương tự ta có: CO' = AQ12
Mà AO' = O'Q = AQ12 (do O’ là trung điểm của AQ)
AO' = BO' = CO'
⇒
O' O
⇒ ≡
Có PQ // BC; BC AP⊥ ⇒PQ AP⊥
Trang 8⇒ ∆ vuông tại P
Có PO là trung tuyến
Nên PO = AQ12
1
OA = OB = OC = OQ AQ
2
Vậy điểm O cách đều 5 điểm A, B, P, Q, C
Câu 5 Tìm giá trj nhỏ nhất của biểu thức:
( 2 )2 ( )2
P = x + 4x + 1 - 12 x + 2 + 2093
Lời giải
P = x + 4x + 1 - 12 x + 2 + 2093.
( 2 )2 ( 2 )
P = x + 4x + 1 - 12 x + 4x + 4 + 2093
⇒
Đặt t = x + 4x + 12
( )
2
P = t - 12 t + 3 + 2093
⇒
2
P = t - 12t - 36 + 2093
⇒
P = t - 2.6.t + 36 + 2021
⇒
Trang 9( )2
P = t - 6 + 2021 2021
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi t - 6 = 0 x = 5x = 1
⇒
Vậy giá trị nhỏ nhất của P bằng 2021 đạt được khi x = 1 hoặc x = 5