cac dang bai tap ham so bac nhat

2 Trên trục hoành chọn điểm có tọa độ x0, qua đó vẽ đường thẳng song song với trục Oy.. 3 Trên trục tung chọn điểm có tọa độ y0, qua đó vẽ đường thẳng song song với trục Ox... Trên trục

1.1 Nhắc lại khái niệm hàm số

 Nếu đại lượng y phụ thuộc vào đại lượng x, sao cho với mỗi giá trị của x ta luôn xác địnhđược chỉ một giá trị tương ứng của y thì y được gọi là hàm số của biến x và x được gọi làbiến số

b Ví dụ 1 y là hàm số của x được cho bởi bảng sau

x -1 0 1 2 3

y -1 0 1 2 3

 Hàm số có thể được cho bằng bảng hoặc bằng công thức, · · ·

b Ví dụ 2 y là hàm số của x được cho bằng công thức

y = 2x

x.c)

Với các hàm số y = 2x và y = 2x + 3 biến số x có thể lấy những giá trị tùy ý; còn vớihàm số y = 4

x, biến số x chỉ lấy những giá trị khác 0.

4! 17 Nhận xét

 Khi hàm số được cho bằng công thức y = f (x), ta hiểu rằng biến số x chỉ lấy những giá trị

mà tại đó f (x) xác định

 Khi y là hàm số của x, ta có thể viết y = f (x), y = g(x), · · ·

 Khi x thay đổi mà y luôn nhận một giá trị không đổi thì hàm số y được gọi là hàm hằng

1.2 Đồ thị của hàm số

 Biểu diễn điểm A(x0; y0) trong hệ trục tọa độ Oxy

1) Đánh số trên các trục số

2) Trên trục hoành chọn điểm có tọa độ x0, qua đó

vẽ đường thẳng song song với trục Oy

3) Trên trục tung chọn điểm có tọa độ y0, qua đó vẽ

đường thẳng song song với trục Ox

4) Giao điểm của hai đường thẳng trên chính là điểm

Cho hàm số y = f (x) xác định với mọi giá trị của x thuộc R Với x1; x2 bất kì thuộc R,

 Nếu x1 < x2 mà f (x1) < f (x2) thì hàm số y = f (x) đồng biến trên R.

 Nếu x1 < x2 mà f (x1) > f (x2) thì hàm số y = f (x) nghịch biến trên R.

Để vẽ hàm số bậc nhât y = ax + b ta làm như sau

1) Chọn hai điểm A và B thỏa mãn phương trình hàm số

bậc nhất

2) Biểu diễn hai điểm A và B trên mặt phẳng tọa độ

3) Nối hai diểm A và B, ta được đồ thị hàm số đã cho

y

AB

−1

−2

−3

2.3 Giá trị của hàm số bậc nhất

1) Cho hàm số bậc nhất y = ax + b, tìm giá trị y0 của hàm bậc nhất khi biết giá trị x = x0

Có 2 phương pháp tính giá trị của hàm số bậc nhất

Hàm số bậc nhất y = ax + b xác định với mọi giá trị của x thuộc R và có tính chất:

 Đồng biến trên R, khi a > 0

 Nghịch biến trên R, khi a < 0

2 Trên trục hoành chọn điểm có tọa độ x0, qua đó vẽ đường thẳng song song với trục Oy

3 Trên trục tung chọn điểm có tọa độ y0, qua đó vẽ đường thẳng song song với trục Ox

4 Giao điểm của hai đường thẳng trên chính là điểm A(x0; y0)

ccc BÀI TẬP MẪU ccc

b Ví dụ 1 Trên hệ trục tọa độ Oxy, hãy biểu diễn tọa độ các điểm sau

D(0, −2)

1

23

−1

−2

−3

123

| Dạng 35 Vẽ đồ thị hàm số bậc nhất

1 Chọn hai điểm thuộc hàm số bậc nhất

2 Nối hai điểm vừa tìm được

• Bước 1 Biểu diễn điểm A(0, −3)

• Bước 2 Biểu diễn điểm B(1, 0)

• Bước 3 Nối hai điểm A và B

• Bước 1 Biểu diễn điểm A(0, −1)

• Bước 2 Biểu diễn điểm B(−1, 0)

• Bước 3 Nối hai điểm A và B

−1

−2

c) y = 2x

x 0 1

y 0 2

• Bước 1 Biểu diễn điểm A(0, 0)

• Bước 2 Biểu diễn điểm B(1, 3)

• Bước 3 Nối hai điểm A và B

−1

−2



| Dạng 36 Tìm giá trị của x hoặc y khi biết giá trị còn lại.

Có 2 phương pháp tính giá trị của hàm số bậc nhất

b) Tính giá trị y của hàm số khi biết x = 1, bằng hai phương pháp?

c) Tính giá trị x của hàm số khi biết y = 2, 5

L Lời giải

a) Vẽ đồ thị hàm số

x 0 -1

y 1 -1

• Bước 1 Biểu diễn điểm A(0, 1)

• Bước 2 Biểu diễn điểm B(−1, −1)

• Bước 3 Nối hai điểm A và B

−1

−2

b) Tính giá trị y của hàm số khi biết x = 1, bằng hai phương pháp?

Phương pháp 1 Với x = 1 thế vào biểu thức của hàm bậc nhất ta có y = 2 · 1 + 1 = 3.Vậy giá trị của y = 3 khi x = 1

Phương pháp 2 Dùng đồ thị hàm số

1 Từ điểm x = 1 trên trục hoành kẻ đường thẳng song

song với trục Oy cắt đồ thị tại A

2 Từ A kẻ đường thẳng song song với trục Ox cắt đồ

−1

−2

123

−1

−2

Vậy giá trị của y = 3 khi x = 1

c) Tính giá trị x của hàm số khi biết y = 2, 5 Thế y = 2, 5 vào biểu thức của hàm số ta có

1 Đồng biến khi và chỉ khi a > 0

2 Đồng biến khi và chỉ khi a > 0

−2

−3

} Bài 2 Trong các hàm số sau hàm số nào là hàm số bậc nhất? Giải thích?

d) y = 1

7x+ 3 không là hàm bậc nhất vì không có dạng y = ax + b.

e) y = 2x3+ 3 không là hàm bậc nhất vì không có dạng y = ax + b

} Bài 3 Trên cùng một hệ trục tọa độ Oxy, hãy vẽ hai hàm số bậc nhất y = x + 1 và y = −x

−1

−2

−3

} Bài 4 Cho hàm số bậc nhất y = (1 −√

5)x − 1

a) Hàm số trên là đồng biến hay nghịch biến trên R? Vì sao?

a) Tính giá trị của y khi x = 1 +√

b) y = (m2− 1)x − 2014.

Để hàm số là hàm số bậc nhất thì m2− 1 6= 0 ⇔ m 6= ±1 } Bài 6 Cho hàm số bậc nhất y = (m − 1)x + 3 Tìm m để đồ thị hàm số đi qua điểm A(1, 2)

a) Đồng biến

b) Nghịch biến

L Lời giải

Hàm số bậc nhất y = mx + x + m được viết lại là y = (m + 1)x + m

a) Hàm số bậc nhất đồng biến khi và chỉ khi m + 1 > 0 ⇔ m > −1

b) Hàm số bậc nhất nghịch biến khi và chỉ khi m + 1 < 0 ⇔ m < −1



Các bài toán nâng cao

5

} Bài 9 Cho hàm số y = (a − 1)x + a

a) Chứng minh rằng đồ thị hàm số luôn đi qua điểm A(−1; 1) với mọi giá trị của a

b) Xác định a để đường thẳng đi qua gốc toạ độ

Vậy đồ thị hàm số luôn đi qua điểm A(−1; 1) với mọi giá trị của a

b) Xác định a để đường thẳng đi qua gốc toạ độ Đường thẳng đi qua gốc tọa độ O(0, 0) khi

và chỉ khi 0 = (a − 1) · 0 + a ⇔ a = 0

Vậy a = 0 thì đường thẳng đi qua gốc toạ độ

} Bài 10 Cho hàm số y = (2a − 1)x − a + 2.

−1

−2

123

−1

B

d) Tính khoảng cách từ gốc toạ độ O đến đường thẳng đó

Xét diện tích tam giác OAB ta có

10 .

} Bài 11 a) Trên hệ trục tọa độ Oxy, vẽ đồ thị hàm số y = 2x + 2 và y = 2x

b) Gọi A là giao điểm của hai đồ thị đó Tìm tọa độ của A

c) Qua điểm (0, 2) vẽ đường thẳng song song với trục hoành, cắt hai đường thẳng tại hai điểm

B, C Tính diện tích tam giác ABC

L Lời giải

a) Trên hệ trục tọa độ Oxy, vẽ đồ thị hàm số y = 2x + 2 và y = 2x.

−1

−2

−3H

b) Gọi A là giao điểm của hai đồ thị đó Tìm tọa độ của A

Dựa vào đồ thị ta có giao điểm A có tọa độ A(−2, −2)

c) Qua điểm (0, 2) vẽ đường thẳng song song với trục hoành, cắt hai đường thẳng tại hai điểm

 Cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng b.

 Song song với đường thẳng y = ax nếu b 6= 0; trùng với đường thẳng y = ax nếu b = 0.Hàm số y = ax là trường hợp đặc biệt của đồ thị hàm số y = ax + b khi b = 0

1 Thay tọa độ điểm A(0; 3) vào đường thẳng d ta có 3 = 2 · 0 + 3 nên A ∈ d

2 Thay tọa độ điểm B(−3

2; 0) vào đường thẳng d ta có 0 = 2

Å

−32

ã+ 3 nên B ∈ d

3 Thay tọa độ điểm C(1; 2) vào đường thẳng d ta có 2 6= 2 · 1 + 3 nên C /∈ d

4 Thay tọa độ điểm D(−1; 1) vào đường thẳng d ta có 1 = 2 · (−1) + 3 nên D ∈ d



b Ví dụ 2 Cho các điểm A(0; −5), B(1; −2), C(2; 1), D(2,5; 2,5), M (x; 14), N (−5; 20),

P (7; −16)

1 Chứng minh rằng bốn điểm A, B, C, D thẳng hàng

Vậy 4 điểm A, B, C, D đều thuộc đường thẳng d nên chúng thẳng hàng.

2 Gọi ∆ : y = ax + b là đường thẳng đi qua hai điểm N , P suy ra

Vậy đường thẳng ∆ có phương trình là ∆ : y = −3x + 5

Ba điểm M , N , P thẳng hàng khi và chỉ khi M ∈ ∆ ⇔ 14 = (−3) · x + 5 ⇔ x = −3.Vậy x = −3 thì ba điểm M , N , P thẳng hàng

1 Gọi A(x0; y0) là điểm cố định thuộc đồ thị hàm số, khi đó

y0 = (m − 2)x0+ 3 với mọi m ⇔ mx0− 2x0− y0+ 3 = 0 với ∀m

Vậy điểm cố định của đồ thị hàm số là A(0; 3)

2 Gọi B(x0; y0) là điểm cố định thuộc đồ thị hàm số, khi đó

| Dạng 39 Xác định đường thẳng thỏa mãn tính chất nào đó

- Để viết phương trình đường thẳng qua hai điểm ta gọi đường thẳng cần tìm là y = ax + brồi thay lần lượt các điểm vào đường thẳng để tìm a, b

- Ta thay điểm vào đường thẳng để tìm giá trị của tham số

Ta đã biết đồ thị của hàm số y = ax + b là một đường thẳng Do đó, để vẽ đồ thị hàm

số y = ax + b, ta chỉ cần xác định được hai điểm phân biệt nào đó thuộc đồ thị rồi vẽđường thẳng đi qua hai điểm đó Thường lấy hai điểm thuộc các trục tọa độ

- Để vẽ đồ thị hàm trị tuyệt đối ta cần phá dấu trị tuyệt đối rồi vẽ từng đồ thị một

2 Đường thẳng (d3) cắt các đường thẳng (d1), (d2) theo thứ tự tại A, B Tìm tọa độ củacác điểm A, B và tính diện tích tam giác OAB.

L Lời giải

y

AB

11,5 3

1,523

H

K

C1

2 Tọa độ điểm A là nghiệm của hệ ®y = x

y = 32

Vậy AÅ 3

2;

32

ã

Tọa độ điểm B là nghiệm của hệ ®y = 2x

y = 3 − x ⇔®x = 1

y = 2 Vậy B(1; 2).

Gọi H là hình chiếu của điểm A lên trục Ox, Xét tam giác OAC có AH = 1

2OC, suy ra4OAC vuông tại A

Ta có OA =√

OH2+ HA2 = 3

√2

2 , AB =

√

AK2+ KB2 =

√2

2 .Diện tích tam giác OAB là S4OAB = 1

2OA · AB =

1

2· 3

√2

2 ·

√2

Vẽ đồ thị đường thẳng y = −2x Cho x = −1, ta được y = 2,

1 Vì đồ thị hàm số đi qua điểm A(1; 2) nên 2 = (a − 1) + 2a − 3 ⇔ 3a = 6 ⇔ a = 2

2 Vì đồ thị hàm số đi qua điểm B(−1; −3) nên −3 = −(a − 1) + 2a − 3 ⇔ a = −1

} Bài 2 Cho đường thẳng y = (2m + 1)x + 3 − 2m

1 Tìm m để hàm số là hàm nghịch biến

2 Với giá trị nào của m thì đồ thị hàm số cắt trục hoành tại điểm có hoành độ x = 2

3 Với giá trị nào của m thì đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm có tung độ y = −2

1 (d1) : y = (m − 1)x + 2m − 3 2 (d2) : y = (2m + 1)x + 3 − 2m

L Lời giải

1 Điều kiện để đường thẳng (d1) đi qua điểm cố định M (x0; y0) với mọi m là:

Vậy đường thẳng (d1) đi qua điểm cố định M (−2; −1)

2 Điều kiện để đường thẳng (d2) đi qua điểm cố định N (x0; y0) với mọi m là:

y0 = (2m + 1)x0+ 3 − 2m với mọi m

⇔ (2x0− 2)m + (x0− y0+ 3) = 0 với mọi m

⇔

®2x0− 2 = 0

2 thì (d1) và (d2) cắt nhau tại một điểm thuộc trục tung. 

} Bài 6 Cho đường thẳng y = mx + m − 1 (m là tham số) (1)

1 Chứng minh rằng đường thẳng (1) luôn đi qua một điểm cố định với mọi giá trị của m

2 Tính giá trị của m để đường thẳng (1) tạo với các trục tọa độ một tam giác có diện tíchbằng 2

Vậy đường thẳng (1) đi qua điểm cố định N (−1; −1)

2 Để đường thẳng y = mx + m − 1 cắt các trục đồ thị tạo thành tam giác thì m 6= 0

Gọi A là giao điểm của đường thẳng (1) với trục tung Với x = 0 thì y = m − 1, do đó

} Bài 8 Vẽ đồ thị của các hàm số

4 y = 3x − 2

y = −3x + 2

} Bài 9 Cho đường thẳng y = (m − 2)x + 2 (d)

1 Chứng minh rằng đường thẳng d luôn đi qua một điểm cố định với mọi giá trị của m

2 Tìm giá trị của m để khoảng cách từ gốc tọa độ đến đường thẳng d bằng 1

3 Tìm giá trị của m để khoảng cách từ gốc tọa độ đến đường thẳng d có giá trị lớn nhất

Vậy điểm cố định của đồ thị hàm số là M (0; 2).

2 Gọi A, B theo thứ tự là giao điểm của đường thẳng d với trục hoành và trục tung

Cho x = 0, ta được y = 2 Tọa độ điểm B(0; 2) ⇒ OB = 2 Cho y = 0, ta được x = 2

2 − m.Tọa độ điểm A( 2

2 − m; 0) ⇒ OA =

2

|2 − m|.Gọi OH là khoảng cách từ O đến AB ta có

Tương ứng với hai giá trị trên của M là hai đường thẳng y = −√

Đường thẳng đi qua điểm (0; b) nên b = m · 0 + n ⇒ n = b

Đường thẳng y = mx + b đi qua điểm (a; 0) nên 0 = m · a + b ⇒ m = −b

a(chú ý rằng a 6= 0).Đường thẳng cần xác định có phương trình là y = −b

b = 1. 

} Bài 11 Xác định đường thẳng đi qua A(4; 3), cắt trục tung tại điểm có tung độ là một sốnguyên dương, cắt trục hoành tại điểm có hoành độ là một số nguyên tố.

b = 1(xem bài trên).

Điểm A(4; 3) thuộc đường thẳng nên 4

} Bài 12 Cho các điểm A(6; 0), B(0; 4) Một điểm M di chuyển trên đoạn thẳng AB Gọi C,

D theo thứ tự là hình chiếu của M trên OA, OB Gọi N là điểm thuộc đoạn thẳng CD sao cho

DN = 2N C Chứng minh rằng điểm N nằm trên một đường thẳng

CHK

DB

N

43

3x

0+4

3.Vậy điểm N di chuyển trên đường thẳng y = −1

Gọi đường thẳng d phải tìm là y = ax + b Điểm A thuộc d nên

2 = 7a + b (1)

Đường thẳng qua B và song song với trục hoành cắt d tại M ,

đường thẳng qua C và song song với trục hoành cắt d tại N

Gọi BH, CK lần lượt là hình chiếu vuông góc kẻ từ B, C đến

16

HM

K

N m

mB



Đường thẳng song song và đường thẳng cắt nhau

§3

Tóm tắt lý thuyết

1

Hai đường thẳng y = ax + b (a 6= 0) và y = a0x + b0 (a0 6= 0)

1 cắt nhau khi va chỉ khi a 6= a0

2 song song với nhau khi và chỉ khi a = a0 và b 6= b0

3 trùng nhau khi và chỉ khi a = a0 và b = b0

Đặc biệt: Người ta đã chứng minh được rằng nếu a · a0 = −1 thì hai đường thẳng vuông góc vớinhau

Các dạng toán

2

| Dạng 41 Xét vị trí tương đối của hai đường thẳng

Cho hai đường thẳng d1: y = ax + b và d2: y = a0x + b0

b Ví dụ 2 Hai đường thẳng nào sau đây là cắt nhau? Chúng có vuông góc không?

| Dạng 42 Xác định giao điểm của hai đường thẳng

Để tìm giao điểm của hai đường thẳng y = ax + b và y = a0x + b0 ta xét hoành độ giao điểmcủa hai đồ thị thỏa mãn phương trình ax + b = a0x + b0 ta tìm được x, rồi thay vào mộttrong hai phương trình tìm y và suy ra giao điểm

Chú ý:

Để tìm giao điểm của đồ thị với Ox: cho y = 0 suy ra x

Để tìm giao điểm của đồ thị với Oy: cho x = 0 suy ra y

ccc BÀI TẬP MẪU ccc

b Ví dụ 1 Tìm giao điểm của hai đường thẳng y = 3x − 1 và y = x + 5

L Lời giải

Hoành độ giao điểm của hai đồ thị thỏa mãn phương trình

3x − 1 = x + 5 ⇔ x = 3 suy ra y = 8 (bằng cách thay x = 3 vào y = 3x − 1 hoặc y = x + 5).Vậy hai đường thẳng cắt nhau tại tại A(3; 8) 

b Ví dụ 2 Tìm giao điểm của đồ thị y = 2x − 4 với Ox và Oy

L Lời giải

Đồ thị giao Ox : y = 0 suy ra 2x − 4 = 0 ⇔ x = 2 Vậy đồ thị cắt Ox tại A(2; 0)

Đồ thị giao Oy : x = 0 suy ra y = −4 Vậy đồ thị cắt Oy tại B(0; −4) 

b Ví dụ 3 Tìm m biết đường thẳng y = (2m − 1)x − 2m + 2

1 cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng 3;

2 cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng −1

L Lời giải

1 Đồ thị hàm số cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng 3 nên đồ thị đi qua A(3; 0) Thay

x = 3, y = 0 vào phương trình của đồ thị ta được

0 = (2m − 1) · 3 − 2m + 2 ⇔ 6m − 3 − 2m + 2 = 0 ⇔ m = 1

4.

2 Tương tự Thay x = 0, y = −1 vào phương trình của đồ thị ta được

−1 = (2m − 1) · 0 − 2m + 2 ⇔ m = 3

2.



| Dạng 43 Xác định hàm số thỏa mãn điều kiện cho trước

Căn cứ vào giả thiết để xác định hệ số a, b rồi từ đó suy ra phương trình của đường thẳng

y = ax + b

Một số trường hợp phổ biến cần lưu ý:

 Hai đường thẳng y = ax + b và y = a0x + b0 cắt nhau thì a 6= a0;

 Hai đường thẳng y = ax + b và y = a0x + b0 song song thì a = a0 và b 6= b0;

 Hai đường thẳng y = ax + b và y = a0x + b0 trùng nhau thì a = a0 và b = b0;

 Hai đường thẳng y = ax + b và y = a0x + b0 vuông góc thì a · a0 = −1;

 Đường thẳng y = ax + b đi qua A(x0; y0) thì ta luôn có phương trình y0 = a · x0+ b;

 Hai đường thẳng y = ax + b và y = a0x + b0 cắt nhau tại điểm có hoành độ bằng x0thì ta luôn có ax0+ b = a0x0+ b0;

 Hai đường thẳng y = ax + b và y = a0x + b0 cắt nhau tại điểm có tung độ bằng y0 thìthường thay y0 vào một trong hai đường thẳng để tìm x0 và thay x0 và y0 vào đườngthẳng còn lại để tìm yếu tố yêu cầu

2 thỏa mãn yêu cầu bài toán.

2 Vì đường thẳng y = ax +√

2 cắt đường thẳng y = 2x + 1 tại điểm có hoành độ bằng x = √

2nên ta có y = 2√

2 + 1 Tọa độ giao điểm là AÄ√2; 2√

2 + 1ä.Đường thẳng y = ax +√

2 đi qua điểm AÄ√2; 2√

2 .



b Ví dụ 2 Xác định hàm số có đồ thị là đường thẳng đi qua điểm có tọa độ (2; −3) và

1 song song với đường thẳng y = 5x + 1;

2 cắt đường thẳng y = 2x − 1 tại điểm có tung độ bằng 5.

L Lời giải

Giả sử đường thẳng cần tìm là y = ax + b

Vì đường thẳng y = ax + b đi qua điểm (2; −3) nên ta có 2a + b = −3 (1)

1 Vì dường thẳng y = ax + b song song với đường thẳng y = 5x + 1 nên ta có a = 5, thay vào(1) suy ra b = −13

Vậy đường thẳng cần tìm là y = 5x − 13 thỏa mãn yêu cầu bài toán

2 Vì đường thẳng y = ax + b cắt đường thẳng y = 2x − 1 tại điểm có tung độ y = 5 nên hoành

độ giao điểm là nghiệm của phương trình 5 = 2x − 1 ⇒ x = 3 Tọa độ giao điểm là A (3; 5).Đường thẳng y = ax + b đi qua điểm A (3; 5) nên ta có phương trình

3a + b = 5 ⇒ b = 5 − 3a, thay vào (1) suy ra a = 8 ⇒ b = 5 − 3 · 8 = −19

Vậy đường thẳng cần tìm là y = 8x − 19 thỏa yêu cầu bài toán



b Ví dụ 3 Xác định hàm số biết đồ thị của nó là đường thẳng song song với đường thẳng

y = 2x − 1 và cắt đường thẳng y = 3x + 2 tại điểm có hoành độ bằng 1

Vậy đồ thị hàm số cần tìm là đường thẳng có phương trình y = 2x + 3 

| Dạng 44 Xác định giá trị của tham số m để đường thẳng y = ax+b

thỏa mãn điều kiện cho trước

Sử dụng kiến thức cần nhớ, thiết lập mối liên hệ thông qua điều kiện cho trước để tìm tham

số m

ccc BÀI TẬP MẪU ccc

b Ví dụ 1 Cho hai hàm số với biến x

y = (m + 1)x − (2m + 1) và y = (2m − 1)x + 3m

Tìm giá trị của m sao cho đồ thị của các hàm số đó là

1 hai đường thẳng cắt nhau;

2 hai đường thẳng song song;

3 hai đường thẳng trùng nhau

L Lời giải

1 Hai đường thẳng đã cho cắt nhau khi thỏa mãn các điều kiện sau

m 6= 2.

Vậy với m 6= −1, m 6= 1

2 và m 6= 2 thì hai đường thẳng cắt nhau.

2 Hai đường thẳng song song khi thỏa mãn các điều kiện sau

Vậy không có giá trị nào của m để hai đường thẳng trùng nhau Nói cách khác hai đườngthẳng trên không bao giờ trùng nhau



b Ví dụ 2 Cho hai đường thẳng (d) : y = −x + m + 2 và (d0) : y = (m2− 2)x + 3 Tìm m

để (d) và (d0) song song với nhau

Ta thấy hai đường thẳng (d1); (d2) luôn cắt nhau

 Đường thẳng (d1) cắt trục hoành tại điểm A (2; 0);

 Đường thẳng (d2) cắt trục hoành tại điểm BÅ k − 3

2 ; 0

ã

Để hai đường thẳng (d1); (d2) cắt nhau tại một điểm trên trục hoành thì k − 3

2 = 2 ⇔ k = 7. 

b Ví dụ 4 Tìm giá trị của m để hai đường thẳng (d1) : mx+y = 1 và (d2) : x−my = m+6cắt nhau tại một điểm M thuộc đường thẳng (d) : x + 2y = 8

Thay (1) vào (3) ta được tung độ giao điểm M là nghiệm phương trình

(8 − 2y)2− 6 (8 − 2y) + y2 = 1 ⇔ 5y2− 20y + 15 = 0 ⇒ y1 = 1 hoặc y2 = 6

 Với y1 = 1 ⇒ x1 = 6 thay (6; 1) vào (2) ta được m = 0 (thỏa mãn)

 Với y2 = 3 ⇒ x2 = 2 thay (2; 3) vào (2) ta được m = −1 (thỏa mãn)

Vậy với m = 0 hoặc m = −1 thì hai đường thẳng (d1) và (d2) cắt nhau tại một điểm M thuộc

Vậy giao điểm của hai đường thẳng là điểm A(2; 7)

2 Vì giao điểm của đường thẳng y = 2x + 3 với trục Ox nằm trên trục hoành nên y = 0 thayvào phương trình y = 2x + 3 ta có 2x + 3 = 0 ⇒ x = −3

2.Vậy giao điểm của đường thẳng y = 2x + 3 với trục hoành là điểm có hoành độ bằng −3

2.

3 Cho x = 0, thay vào phương trình y = 2x + 3 ⇒ y = 2 · 0 + 3 = 3.

Vậy giao điểm của đường thẳng y = 2x + 3 với trục tung là điểm A(0; 3)

} Bài 3 Viết phương trình đường thẳng (d) song song với đường thẳng y = 3x + 1 và cắt trụctung tại điểm có tung độ bằng 4

1 song song với đường thẳng y = 2x + 5;

2 cắt đường thẳng y = 2x − 1 tại điểm có hoành độ bằng 5

L Lời giải

Đường thẳng cần tìm đi qua gốc tọa độ nên phương trình có dạng y = ax

1 Vì dường thẳng y = ax song song với đường thẳng y = 2x + 5 nên ta có a = 2

Vậy đường thẳng cần tìm trong trường hợp này có phương trình là y = 2x thỏa mãn yêucầu bài toán

2 Thay x = 5 vào phương trình y = 2x − 1 suy ra y = 9 Tọa độ giao điểm của hai đườngthẳng là A (5; 9)

Đường thẳng y = ax đi qua điểm A (5; 9) nên ta có phương trình 5a = 9 ⇒ a = 9

5.Vậy đường thẳng cần tìm là y = 9

5x thỏa yêu cầu bài toán.

} Bài 5 Cho hàm số: y = (m − 1) x + m + 3 với m 6= −1 (m là tham số) Tìm giá trị của m để

đồ thị của hàm số song song với đường thẳng (d) : y = −2x + 1

Các bài toán nâng cao

4

} Bài 7 Cho đường thẳng (d) : y = 2x + m − 1 Tìm m để đường thẳng (d) cắt các trục tọa độ

Ox, Oy lần lượt tại M và N sao cho tam giác OM N có diện tích bằng 1

(m − 1) ·Å 1 − m

2

ã ... Điểm A thuộc d nên

2 = 7a + b (1)

Đường thẳng qua B song song với trục hoành cắt d M ,

đường thẳng qua C song song với trục hoành cắt d N

Gọi BH, CK hình chiếu vng góc... A(0; 3)

} Bài Viết phương trình đường thẳng (d) song song với đường thẳng y = 3x + cắt trụctung điểm có tung độ

1 song song với đường thẳng y = 2x + 5;

2 cắt đường thẳng... toán.

} Bài Cho hàm số: y = (m − 1) x + m + với m 6= −1 (m tham số) Tìm giá trị m để

đồ thị hàm số song song với đường thẳng (d) : y = −2x +