Vấn đề1: Sai lầm khi tính tích phân1.. Đổi biến số nhng không đổi cận... Những sai lầm thờng gặp 1.. Sử dụng sai công thức... Xác định sai hình cần tính giới hạn.. VD : Tìm diện tích hìn
Trang 1Vấn đề1: Sai lầm khi tính tích phân
1 Đổi biến số nhng không đổi cận.
0 1
π
Giải:
Lời giải sai: đặt x=sint suy ra dx=costdt
1 sin cos cos
t
π +
Lời giải đúng:
Đặt x = sint suy ra dx=costdt
sin
= ⇒ =
= ⇒ =
1 cos 2
2
arcsin sin 2arcsin
t
+
2 Khi đổi biến không tính vi phân
VD2 : tính
1
5
0(2 1)
dx I
x
=
+
∫
Giải:
Lời giải sai:
đặt t = 2x + 1
1 3
= ⇒ =
1
1 1
I t
∫
Lời giải đúng:
đặt t= 2x+1 suy ra dt= 2dx
1 3
= ⇒ =
1
1 1
I
t
∫
Trang 23 Tính nguyên hàm sai, hiểu sai bản chất công thức
VD1 : Tính
2
0 x
I =∫x e dx
Giải:
* lời giải sai:
đặt ' 1
⇒
( ) 2 2
0
2
1 0
*Lời giải đúng:
đặt u x x du dx x
⇒
( ) 2 2
0
2
1 0
Vấn đề 2: sai lầm khi chứng minh đẳng thức tích phân
ví dụ 1:cho n N∈ ; CMR 2 ( )
0
π
* Lời giải sai:
xét f(x)=sin(sinx+nx) trên [0; 2π] ta có:
f(x) là hàm liên tục trên [0; 2π] và
f(-x) = sin(sin(-x)-nx) = - f(x)
vậy f(x) là hàm lẻ ⇒ I=0
*Nguyên nhân sai lầm : Học sinh hiểu sai định lý “ Nếu hàm số f(x) là hàm lẻ,liên tục trên
[-a;a] thì a ( )
a
f x dx
* Lời giải đúng: Đặt x= +π y
2
0
π
π
−
π π
−
Mặt khác ta có: g(y)=sin(ny-siny) xác định trên [−π π, ] là hàm liên tục va
g(-y)=sin(-ny-sin(-y))=-sin(ny-siny)=-g(y) ⇒g(y) là hàm lẻ
Vậy thì I=0
Ví dụ 2:cho hàm số f liên tục trên [ ]0,π Hãy so sánh
0
sin
π
0 sin
π
=∫
*Lời giải sai:
Tích phân từng phần:
0
0
π
π
Trang 3Do f liên tục /[0;π] ⇒ ( ) ( ) ( )
0
π
0
sin 2
π
π
Từ (1) và (2) ta có I ≠J
* Nguyên nhân sai lầm:
Học sinh không hiểu về hàm liên tục, tích phân và vi phân
* Lời giải đúng:
Đặt x= −π t ta có:
0
π
π
π
2
π
Vậy ta có I=J
ví dụ 3:Cho hàm số f liên tục trên [a,b] CMR tồn tại ít nhất 1 điểm C∈[ ]a b, sao cho:
* Lời giải sai.
Do f liên tục trên [a,b]⇒ f(x)-f(c)/ [a,c] bằng f(x)-f(c) trên [b,c] vậy ta có:
* Nguyên nhân sai lầm:
Không hiểu về hàm liên tục lên tính tích phân sai
* Lời giải đúng:
áp dụng định lí về giá trị trung bình của tích phân ⇒ ∃ít nhất một điểm C∈[ ]a b, sao cho:
Hay ta có: c ( ) ( ) b ( ) ( )
Vấn đề: Sai lầm khi tính diện tích hình phẳng bằng tích phân
I Kiến thức chung
- Cho hàm số y= f x( ) khả tích trên [ ]a b Khi đó diện tích hình phẳng giới hạn bởi: ox, ;
y = f(x) , x = a, x = b là : b ( )
a
II Những sai lầm thờng gặp
1 Sử dụng sai công thức
Trang 4VD1: tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi
2 9
= −
= = =
Lời giải sai:
Diện tích hình phẳng là:
4
1
4 1
1 3
∫
Lời giải đúng:
3
2
1
9
( )
o 1 3 4 x
2 Xác định không chính xác hình cần tính giới hạn
= − =
Lời giải sai: 2
y = − ⇒ = ±x y x−
0 1
= ⇒ =
= ⇒ = Vậy diện tích hình phẳng cần tìm là:
2 ( )3
1
2
1
Sai lầm: xác định sai hình cần tính diện tích do không vẽ đờng giới hạn
Lời giải đúng:
Vẽ hình giới hạn:
Vậy diện tích hình giới hạn là:
S S= +1 S2 với :
2
2( ) ( )3
2 1
2
1
4 3
S
∫
3 Xác định sai hình cần tính giới hạn.
VD : Tìm diện tích hình giới hạn bởi:
Trang 5
( ) ( )
2
1 2
2
;
y
Lời giải sai:
( )
Vậy diện tích của hình giới hạn là:
5
2
= − ữ + − + ữ=
Sai lầm: Xác định sai hình cần tính giới hạn y=(x-1)2 y=(x-3)2
Lời giải đúng:
( )
Diện tích hình giới hạn là:
S S= +1 S2
2
1
3
2
2
3
2 2
∫
∫
5
2 2 5
2
2
2
2 2
∫
∫ Vậy S = 1 1 1
2 2+ =
Vấn đề: Dự kiến sai lầm khi tính thể tích khối tròn xoay bằng tích phân.
I, công thức:
Trang 61 2
Cho hình phẳng giới hạn bởi
( )
2
0
0
0
2
b
b
y
x a
x b
π π
=
=
∫
∫ Nếu hình phẳng giới hạn bởi
( ) ( ) ( ) ( )
1
d
c
c y d
f y g y
π
∫
1 Sử dụng công thức bỏ giá trị tuyệt đối:
0
x + −y b ≤a < <a b quay quanh trục 0x
Phơng trình đờng tròn (C): 2 ( )2 2
x + −y b =a có thể viết
2
a
a
−
* Sai lầm: mặc dù kết quả đúng nhng sai công thức thể tích:
( 2 2)
b
a
Vox≠π∫ y −y dx mà 12 22
b
a
a
a
−
ví dụ : Tính Voy của hình
2
1 2
y x x x
=
=
=
* Lời giải sai:
4
1
2 31 1
x
∫
* Sai lầm: Đã sử dụng công thức 2
b
a
Voy=π∫y dx đây là công thức tính diện tích Vox Vởy lời giải bị sai
* Lời giải đúng
2
2
1
15
2
∫