SKKN Giúp học sinh khắc phục một số sai lầm thường gặp khi tính tích phân ở THPT

Trong thực tế nhiều học sinh tính tích phân một cách hết sức máy móc đó là: Tìm mộtnguyên hàm của hàm số cần tính tích phân bằng dùng công thức cơ bản hoặc phươngpháp đổi biến số hoặc ph

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

ĐỀ TÀI:

“GIÚP HỌC SINH KHẮC PHỤC MỘT SỐ SAI LẦM THƯỜNG

GẶP KHI TÍNH TÍCH PHÂN’’

Trong thực tế nhiều học sinh tính tích phân một cách hết sức máy móc đó là: Tìm mộtnguyên hàm của hàm số cần tính tích phân bằng dùng công thức cơ bản hoặc phươngpháp đổi biến số hoặc phương pháp tích phân từng phần ngay mà rất ít học sinh để ý đếnnguyên hàm của hàm số tìm được có phải là nguyên hàm của hàm số đó trên đoạn lấytích phân hay không? Phép đặt biến mới trong phương pháp đổi biến số có nghĩa không?Phép biến đổi hàm số có tương đương không? Vì thế trong quá trình tính tích phân họcsinh thường mắc phải những sai lầm dẫn đến lời giải sai Qua thực tế giảng dạy và ôn thinhiều năm tôi nhận thấy rất rõ yếu điểm này của học sinh Vì vậy tôi mạnh dạn đề xuất

sáng kiến: ‘‘Giúp học sinh khắc phục một số sai lầm thường gặp khi tính tích phân’’

2 Phạm vi nghiên cứu

Các dạng toán về nguyên hàm, tích phân mà học sinh dễ mắc sai lầm trong quá trình

tính toán trong chương III – Giải tích 12

3 Đối tượng nghiên cứu

Học sinh lớp 12A1 và 12A6 ôn thi tốt nghiệp THPT, Đại học, Cao đẳng,

THCN và thi HSG tỉnh Thanh Hóa

4 Mục tiêu nghiên cứu

Nhằm giúp học sinh khắc phục được những yếu điểm nêu trên từ đó đạt được kết quảcao khi giải bài toán tích phân nói riêng và đạt kết quả cao trong quá trình học tập và các

kỳ thi nói chung

II THỰC TRẠNG

Khi học sinh học chương III “Nguyên hàm tích phân và ứng dụng” thường gặp phảinhững khó khăn sau:

- Không nắm vững định nghĩa Nguyên hàm, Tích phân

- Không nắm vững phương pháp đổi biến số

- Không nắm vững phương pháp nguyên hàm (tích phân) từng phần

III CÁC GIẢI PHÁP CỦA SÁNG KIẾN

Để khắc phục những khó khăn mà học sinh thường gặp phải, tôi đã thực hiện một số

giải pháp như sau:

- Đưa ra hệ thống lí thuyết, hệ thống các phương pháp giải.

- Lựa chọn các ví dụ, các bài tập cụ thể Phân tích tỉ mỉ những sai lầm của học sinhthường mắc phải, vận dụng hoạt động năng lực tư duy và kỹ năng vận dụng kiến thức củahọc sinh để từ đó đưa ra lời giải đúng của bài toán

- Thực nghiệm sư phạm

PHẦN II: NỘI DUNG

I CƠ SỞ KHOA HỌC

1 Nguyên hàm

Định nghĩa: Cho hàm số f(x) xác định trên K Hàm số F(x) được gọi là nguyên hàm

của hàm số f(x) trên K nếu F’(x) = f(x) với mọi x thuộc K

Kí hiệu: f x d( ) x F x( ) C

Nhận xét: Khi bắt đầu học về nguyên hàm các em học sinh thường hay lúng túng và

hay bị nhầm với đạo hàm Để tránh bị nhầm các em nên chú ý: “Để tính f x dx( ) ta cần tìm một hàm số sao cho đạo hàm của nó bằng f(x)”

Tính chất: Các tính chất sau đây được suy ra trực tiếp từ định nghĩa

II CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH NGUYÊN HÀM, TÍCH PHÂN

Việc tính nguyên hàm của một hàm số là là một quá trình ngược lại của đạo hàm Dovậy mà ở đây tôi sẽ đưa ra 3 phương pháp có tính đường lối Nó được dẫn dắt từ đạohàm của hàm hợp và đạo hàm của hai hàm

Đó là các phương pháp:

- Sử dụng các nguyên hàm cơ bản

- Phương pháp đổi biến số

- Phương pháp tính Tích phân từng phần

III NỘI DUNG CỤ THỂ

Một số sai lầm của học sinh khi tính tích phân

1 Tính tích phân bằng việc sử dụng các nguyên hàm cơ bản

Bằng việc sử dụng các nguyên hàm của các hàm số sơ cấp chúng ta có thể xác định

được các nguyên hàm từ đó tính được các giá trị các tích phân

* Bảng các nguyên hàm của các hàm số sơ cấp thường gặp

* Bài tập minh họa

Bài tập 1: Tính tích phân sau: I = 



5 0

4

) 4

( 4)( 4)

suy ra hàm số không liên tục trên 0;5 nên không sử dụng được công thức

Newtơn – Leibnitz như cách giải trên

Lời giải đúng: Hàm số y = 4

1(x  4) không xác định tại x = 40;5 suy ra hàm sốkhông liên tục trên 0;5 do đó tích phân trên không tồn tại

Bài tập 2.(Đề thi HSG tỉnh Thanh hóa năm 2006-2007)

Cho tích phân

0

s 22cos 2

Thoả mãn yêu cầu bài toán khi a 2

Nguyên nhân sai lầm: Vì hàm số f(x) = s 2

2cos2

in nx

a x không liên tục tại a = 2 trên 0;

nên tích phân không tồn tại

Chú ý đối với học sinh:

Khi tính b ( )

a

f x dx

 cần chú ý xem hàm số y = f(x) có liên tục trên a; b không? nếu có thì

áp dụng phương pháp đã học để tính tích phân đã cho còn nếu không thì kết luận ngaytích phân này không tồn tại

2

2 1 ) ( 

x

x x e

dx x







Chú ý: Trong dạng toán này có những bài toán khó Các bạn thường phải áp dụng

phương pháp hệ số bất đinh để làm Xét dạng như sau

 với P(x) và Q(x) là đa thức của x

 Nếu bậc của P(x) lớn hơn hoặc bằng bậc của Q(x) thì dùng phép chia đa thức

 Nếu bậc của P(x) nhỏ hơn bậc của Q(x) thì có thể xét các trường hợp:

+ Khi Q(x) chỉ có nghiệm đơn  1, , ,2 nthì đặt

Q x x   x   x 

Khi đó ta phải thiết lập các hệ phương trình để đi tìm A, B, C, A1, A2,…,An rồi thay vàotích phân để tính một cách đơn giản hơn

2 Tính tích phân bằng phương pháp đổi biến số:

Giả sử ta cần phải tìm f u du( ) Trong nhiều trường hợp một cách thuận lợi ta coi unhư một hàm liên tục và có đạo hàm theo một biến mới là x Như vậy việc tìm f u du( )đưa về việc tìm f u x u x dx( ( )) '( ) một cách đơn giản hơn.

Bài tập 1 Tính tích phân

1

2 0

Nguyên nhân sai lầm: học sinh đổi biến nhưng không đổi cận

Lời giải đúng: Đặt x = sint suy ra dx = cost.dt

Sai lầm thường gặp: Đặt t = tan

1

2

) 1 (

Nguyên nhân sai lầm:

Đặt t = tan2x, với x0 ;  tại x = thì tan2x không có nghĩa

4 2

2 cos 1

x tg x

x d x

* Chú ý đối với học sinh:

Đối với phương pháp đổi biến số khi đặt t = u(x) thì u(x) phải là một hàm số liên tục và

Bài tập 3: Tính tích phân: I =

8 2

Nguyên nhân sai lầm:

Phép biến đổi x  62  x 6 với x 0;8 là không tương đương

 ta phải xét dấu hàm số f(x) trêna; b rồi dùng tính chất tích phân

tách I thành tổng các phần không chứa dấu giá trị tuyệt đối rồi mới tính

I =  

1

1 2 2

Nguyên nhân sai lầm :

Đáp số của bài toán thì không sai Nhưng khái niệm hàm ngược bây giờ không đưa vàochương trình THPT

* Chú ý đối với học sinh:

Các khái niệm arcsinx, arctanx không trình bày trong sách giáo khoa Học sinh có thể đọcthấy một số bài tập áp dụng khái niệm này trong một sách tham khảo, vì các sách này viếttheo sách giáo khoa cũ (trước năm 2000) Từ năm 2000 đến nay do các khái niệm nàykhông có trong sách giáo khoa nên học sinh không được áp dụng phương pháp này nữa

Vì vậy khi gặp tích phân dạng 2 2

 ta thường dùng phương pháp đổi biến số đặt t

= atanx hoặc t = acotx

x

2/ I = dx

x

x x

1 0 2

3

1

3 2 2

3/ I = 



3 1

3

1 x

dx x

Bài tập 4: Tính: I = 



4 1

3

1 x dx x

Sai lầm thường gặp: Đặt x= sint, dx = costdt

I =  



dt t

t dx

x

x

cos

sin 1

3 2

3

Đổi cận: với x = 0 thì t = 0

với x= 41 thì t = arcsin1

4 ?

Nguyên nhân sai lầm: Khi gặp tích phân của hàm số có chứa 1 x 2 thì thường đặt x =

sint nhưng đối với tích phân này sẽ gặp khó khăn khi đổi cận cụ thể với x =

4

1 không tìmđược chính xác t = ?

Đổi cận: với x = 0 thì t = 1; với x = 41 thì t =

4 15

1

4 15 1

3 2

2

3

2 192

15 33 3

2 192

15 15 4

15 3

1

t dt t t

tdt t

* Chú ý đối với học sinh: Khi gặp tích phân của hàm số có chứa a2  x2 thì thường đặt

x = asint hoặc gặp tích phân của hàm số có chứa a2 + x2 thì đặt

x = atant nhưng cần chú ý đến cận của tích phân đó nếu cận là giá trị lượng giác của gócđặc biệt thì mới làm được theo phương pháp này còn nếu không thì phải nghĩ đến phươngpháp khác.

2

1

1

dx x x

1 1

2 2 2

2

2

2 1

1 1 1

1 1

dx x

x

x x

x x

Đổi cận với x = -1 thì t = -2; với x=1 thì t=2

1 (

2 4

2

1

1 1 1

1

x x

x x

là sai vì trong  1 ; 1 chứa x = 0 nên không thể

chia cả tử cả mẫu cho x = 0 được Nhưng từ sai lầm này nếu các bạn thấy rằng x = 0không thuộc tập xác định thì cách làm như trên thật tuyệt vời

=

1 2

1 2 ln

2 2

1

2 2

2 2



 = 1 ln(3 2 2)

* Chú ý đối với học sinh: Khi tính tích phân cần chia cả tử cả mẫu của hàm số cho x cần

để ý rằng trong đoạn lấy tích phân phải không chứa điểm x = 0

Để tính tích phân ( )

b

a

I f x dx ta thực hiện các bước như sau:

Bước 1: Biến đổi tích phân ban đầu về dạng

I uv  u vdx

Chú ý: Khi sử dụng phương pháp tích phân từng phần để tính tích phân, chúng ta cần

tuân thủ theo các nguyên tắc sau :

1 Lựa chọn phép đặt dv sao cho v được xác định một cách dễ dàng

Ie cax osxdx (hoặc Ieaxsinxdx) Khi đó đặt u = cosax

Học sinh viết chung hằng số c cho mọi phép tính nguyên hàm

Lời giải đúng: I cot cos sinx ln sinx

d x

Bài tập 3: Tính tích phân

1 x 0

* Nguyên nhân dẫn đến sai lầm: Học sinh tự “sáng tạo” ra quy tắc nguyên hàm của một

tích thay vì sử dụng công thức tích phân từng phần

* Cách khắc phục: Yêu cầu các em học thuộc các tính chất của nguyên hàm và tích

phân Giúp các em tổng quát hoá các dạng toán sử dụng phương pháp tích phân từngphần

Chú ý: Thực tế cho thấy nếu những bài toán tích phân mà chứa các hàm như ln,

sin, cos, hàm mũ Thì chúng ta cần nên nghĩ ngay đến phương pháp tích phân

từng phần nếu như gặp khó khăn Có những bài toán mà chúng ta cần phải sử

dụng tích phân từng phần nhiều lần Chú ý bài toán sau

Như vậy: Tích phân trên nếu các bạn không biến đổi theo hướng trên thì gặp nhiều khó

khăn Cách làm như trên áp dụng đối với một tích phân mà nó gồm hai hàm khi đạo hàm

PHẦN III: KẾT QUẢ

1 Kết quả nghiên cứu

Tích phân là loại toán đa phần có phương pháp tính khá cụ thể nên dễ hiểu, đơn giản,

dễ trình bày, dễ dàng trong tính toán, thực hiện các phép toán đơn giản Giúp học sinhcảm thấy hứng thú khi giải các bài toán tích phân

Vì vậy, nghiên cứu, phân tích một số sai lầm của học sinh khi tính tích phân có ý nghĩarất lớn trong quá trình dạy vì khi áp dụng sáng kiến này sẽ giúp học sinh nhìn thấy đượcnhhững điểm yếu và những hiểu biết chưa thật thấu đáo của mình về vấn đề, từ đó pháthuy ở học sinh tư duy độc lập, năng lực suy nghĩ tích cực, chủ động, củng cố trau rồithêm kiến thức về tính tích phân Từ đó làm chủ được kiến thức, đạt được kết quả caotrong quá trình học tập và thi tuyển vào các trường Đại học, cao đẳng, THCN cũng nhưthi HSG cấp tỉnh

Qua nghiên cứu, ứng dụng đề tài vào thực tiễn giảng dạy tôi nhận thấy kết quả đạtđược khả quan hơn nhiều Cụ thể thực nghiệm sư phạm được tiến hành tại hai lớp cótrình độ tương đương nhau Sau khi dạy thực nghiệm, tôi cho học sinh làm bài kiểm tranhư sau:

Bài tập: Tính các tích phân sau



 (Đề thi ĐH khối B năm 2004)

3) I3 = 2

3 0

sin(sin 3 cos )

Số liệu thống kê kết quả được thể hiện qua bảng sau đây:

Bảng: Kết quả các bài kiểm tra cụ thể như sau:

Điểm

Số lượng bài

Lớp TN có 97,8% điểm từ trung bình trở lên, trong đó có 68,9% khá giỏi Có 5 emđạt điểm tuyệt đối

Lớp ĐC có 81,3% điểm trung bình trở lên, trong đó có 33,3% điểm khá giỏi, không

có HS đạt điểm tuyệt đối

Kết quả của các bài kiểm tra cho thấy kết quả của lớp thực nghiệm cao hơn lớp đốichứng nhất là bài đạt khá và giỏi Một nguyên nhân không thể phủ định là lớp thựcnghiệm HS thường xuyên được thực hiện phương pháp (như đã sử dụng ở trên) và cáchthức tìm tòi lời giải của bài toán…

Như vậy, bước đầu đề tài đã khắc phục được cơ bản những khó khăn và những sailầm của học sinh thường mắc phải khi giải các bài tập về tích phân qua đề thi tốt nghiệpcũng như các đề thi đại học, cao đẳng của các năm trước và các bài toán liên quan; đề tài

đã góp phần nâng cao chất lượng học tập của học sinh và đem lại hiệu quả rõ rệt Trongthời gian tới, đề tài này sẽ tiếp tục được áp dụng vào thực tiễn giảng dạy trong nhà trường

và mong rằng sẽ đạt được hiệu quả tốt đẹp như đã từng đạt được trong quá trình thựcnghiệm

2 Kiến nghị, đề xuất:

Vì một bài toán có thể có nhiều cách giải, nên trong quá trình học tập và giải toán

ta cố gắng suy nghĩ tìm tòi nhiều cách giải cho một bài toán, lựa chọn phương pháp màmình tâm đắc nhất cho bài toán đó Từ đó sẽ tiết kiệm thời gian làm bài đặc biệt tránhđược sai sót đáng tiếc

Vì vậy, mỗi bài học giáo viên khi dạy nên cố gắng vận dụng linh hoạt các phươngpháp giải để học sinh được học tập và giải bài tập một cách tốt nhất nhằm nâng cao chấtlượng dạy và học

Trên đây là quan điểm của cá nhân tôi về việc giảng dạy phần tích phân để chuẩn bịcho các kì thi sắp tới

Trong quá trình biên soạn chắc chắn còn nhiều thiếu sót, rất mong các Thầy cô vàcác em học sinh đóng góp ý kiến để đề tài của tôi hoàn thiện hơn và có thể áp dụng rộngrãi hơn