Skkn tổng hợp một số sai lầm phổ biến học sinh thường gặp khi tính tích phân

Trong đề thi tốt nghiệp THPT của các năm bài toán tính Tích Phân hầu như không thể thiếu, nhưng đối với học sinh bài toán này lại là một trong những bài toán tương đối khó vì nó cần đến

PHẦN I PHẦN MỞ ĐẦU

1 LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI

Học sinh trên địa bàn xã Nam yang đa phần là con em nông thôn, Cha(Mẹ) không có điều kiện chăm lo cho con cái học hành Ngoài giờ đến lớp các em còn phải giúp đỡ Cha(Mẹ) công việc gia đình và đồng áng, không có nhiều thời gian để học, dẫn đến việc chất lượng học tập của học sinh còn yếu, kiến thức bị “hổng” nhiều, nên hầu hết các em sợ học môn Toán Là giáo viên dạy Toán, tôi rất thông cảm với các em và trăn trở trước thực tế đó Bởi vậy trong quá trình giảng dạy tôi luôn học hỏi đồng nghiệp và tìm tòi những phương pháp thích hợp để giúp các em học sinh yêu thích và học tốt môn Toán hơn

Trong đề thi tốt nghiệp THPT của các năm bài toán tính Tích Phân hầu như không thể thiếu, nhưng đối với học sinh bài toán này lại là một trong những bài toán tương đối khó vì nó cần đến sự áp dụng linh hoạt của định nghĩa, các tính chất, các phương pháp tính của tích phân Trong thực tế đa số học sinh tính tích phân một cách hết sức máy móc đó là: Tìm một nguyên hàm của hàm số cần tính tích phân rồi dùng định nghĩa của tích phân hoặc phương pháp đổi biến số, phương pháp tính tích phân từng phần mà rất ít học sinh để ý đến nguyên hàm của hàm số tìm được có phải là nguyên hàm của hàm số đó trên đoạn lấy tích phân hay không? phép đặt biến mới trong phương pháp đổi biến số có nghĩa không? Phép biến đổi hàm số có tương đương không? vì thế trong quá trình tính tích phân học sinh thường mắc phải những sai lầm dẫn đến lời giải sai, qua thực tế giảng dạy nhiều năm tôi nhận thấy rất rõ yếu điểm này của các em

Để nâng cao hiệu quả của việc rèn luyện kỹ năng giải toán tích phân cho học sinh tôi chọn đề tài

“Tổng hợp một số sai lầm phổ biến học sinh thường gặp khi tính tích phân”

2 MỤC ĐÍCH VÀ NHIỆM VỤ NGHIÊN CỨU

2.1 Mục đích nghiên cứu

Nhằm giúp học sinh khắc phục được những yếu điểm nêu trên từ đó đạt được kết quả cao khi giải bài toán tích phân nói riêng và đạt kết quả cao trong quá trình học tập nói chung

Ý nghĩa rất quan trọng mà đề tài đặt ra là: Tìm được một phương pháp tối ưu nhất để trong quỹ thời gian cho phép hoàn thành được một hệ thống chương trình quy định và nâng cao thêm về mặt kiến thức, kỹ năng, kỹ xảo trong việc giải các bài toán Tích phân Từ đó phát huy, khơi dậy, sử dụng hiệu quả kiến thức vốn có của học sinh, gây hứng thú học tập cho các em

2.2 Nhiệm vụ nghiên cứu.

Sáng kiến kinh nghiệm có nhiệm vụ giải đáp các câu hỏi sau đây:

- Những tình huống điển hình nào thường gặp trong quá trình giải quyết những vấn đề liên quan đến tích phân?

- Trong quá trình giải quyết các vấn đề liên quan đến tính tích phân, học sinh thường gặp những khó khăn và sai lầm nào?

- Những biện pháp sư phạm nào được sử dụng để rèn luyện cho học sinh

kỹ năng giải quyết các vấn đề liên quan đến tích phân?

- Tổ chức thực nghiệm sư phạm nhằm kiểm chứng tính khả thi và hiệu

quả

3 PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU

Nghiên cứu lý luận: Nghiên cứu sách giáo khoa, những tài liệu về phương pháp dạy toán, các tài liệu về tâm lý học, giáo dục học, các công trình nghiên cứu có liên quan đến đề tài của một số tác giả, các sách tham khảo

Để điều tra tìm hiểu: Tiến hành tìm hiểu về các số liệu thông qua giáo viên toán ở các trường phổ thông, qua các bài kiểm tra học sinh trung học phổ thông Lê Hồng Phong

Thực nghiệm sư phạm: Tiến hành thực nghiệm một số tiết ở trường trung học phổ thông Lê Hồng Phong

4 GIỚI HẠN, PHẠM VI NGHIÊN CỨU CỦA ĐỀ TÀI

- Đề tài này có thể áp dụng rộng rãi cho tất cả giáo viên dạy toán ở các trường Trung Học Phổ Thông tham khảo

- Phạm vi nghiên cứu của đề tài là :

Các dạng toán về tích phân mà học sinh dễ mắc sai lầm phổ biến thường gặp khi tính tích phân

PHẦN II NỘI DUNG

1 Những quan niệm chung

Dựa trên nguyên tắc quá trình nhận thức của con người đi từ: “ cái sai đến cái gần đúng rồi mới đến khái niệm đúng”, các nguyên tắc dạy học và đặc điểm quá trình nhận thức của học sinh

2 Biện pháp, giải pháp thay thế

Bài tập minh hoạ:

0

2

2

1



 

* Sai lầm thường gặp:

Đặt ux12  du2x1dx

dx

 Với x = -2 thì u = 1 ; x = 0 thì u = 1

Do đó  

2

1

2 2

udu

u



* Nguyên nhân sai lầm :

Hàm số ux12 không phải là hàm số đơn điệu trên [-2; 0] nên không thể đổi biến, đổi cận như lời giải trên được Nếu muốn đổi biến thì phải viết tích phân cần tính thành tổng của hai tích phân mà ux12đơn điệu

Lời giải trên còn sai lầm khi viết

dx

 , như vậy đã từ

 12

u x suy ra x 1 u, điều này chỉ viết được khi x 1

* Lời giải đúng là:      



1

2 1

2

1





  , đặt ux12  du2x1dx, do x    2; 1

nên x  1 0

Vậy x 1 u

2

du dx

u

 Với x = -2 thì u = 1; x= -1 thì u = 0

Do đó

1 3

1

0

1

2

u

0

2 2

1

1



  , đặt ux12

Với x 1 nên

2

du dx

u



Đổi cận tích phân: x= -1  u = 0 ; x = 0 u =1

Do đó

1 3

2

0

1

2

u

Suy ra 1 2 2

3

I  I I 

* Bài toán có thể giải đơn giản như sau:

0 3

x

* Một số bài tập tương tự:

Tính các tích phân sau:

1/  

1

4

3

1 2x dx







 ; 2/

5

1

2x 1dx

 ; 3/    

2

3 2

0

x  x x dx



Dạng 2: Tính tích phân a) 2 2

1

dx x



 ; b) 

2

2

2

) 1

(x

dx

Câu a 2 2

1

dx x





* Sai lầm thường gặp:

2

2 2

1

x dx

x







* Nguyên nhân sai lầm:

Hàm số y 12

x

 gián đoạn tại x = 0   1;2 nên không sử dụng được định lí Newton – Leibnitz để tính tích phân như ở trên

* Lời giải đúng là:

Vì hàm số y 12

x

 không xác định tại x = 0   1;2 nên tích phân này không tồn tại

Câu b 

2

2

2

) 1

(x

dx

* Sai lầm thường gặp:



2

2

2

)

1

(x

dx

=

2 2

2

2 2

1

d x





* Nguyên nhân sai lầm :

Hàm số y = ( 1 ) 2

1



x không xác định tại x= -1  2 ; 2 suy ra hàm số không liên tục trên 2 ; 2 nên không sử dụng được công thức Newtơn – Leibnitz như cách giải trên

* Lời giải đúng là:

Hàm số y = ( 1 ) 2

1



x không xác định tại x= -1  2 ; 2 suy ra hàm số không liên tục trên 2 ; 2 do đó tích phân trên không tồn tại

* Chú ý đối với học sinh:

Khi tính f x dx

b

a

) (

 cần chú ý xem hàm số y = f(x) có liên tục trên

a; b không? nếu có thì áp dụng phương pháp đã học để tính tích phân đã cho còn nếu không thì kết luận ngay tích phân này không tồn tại

* Một số bài tập tương tự:

Tính các tích phân sau:

1/

3

2

0( 3)

dx

x 

 ; 2/ x x 2dx

1 3

2

2 1 )





; 3/ dx

x



2

0 4

cos 1



; 4/

4

0 4

dx



Dạng 3 : Tính tích phân I = 





0 1 sinx dx

* Sai lầm thường gặp:

Đặt t = tan

2

x

thì dx = 1 2

2

t

dt



 1dxsinx=

 )2 1 (

2

t

dt

 1 ) 2 (

2 t d(t+1) =

1

2



t + c

 I = 





0 1 sinx

dx

=

0

2 tan 1 2

x







=

2 tan 1 2





 + 2

tan 0 1

Vì tan2 không xác định nên tích phân cần tính không xác định

* Nguyên nhân sai lầm:

Đây là sai lầm của nhiều học sinh hay dùng công thức lượng giác để

biểu diễn sinx, cosx, tanx, cotx qua tan

2

x

Việc tan

2

x

không xác định ở trên chỉ suy ra được tích phân đã cho không tính được bằng phương pháp đó

* Lời giải đúng là:

I = 





0 1 sinx

dx

2

2 4 t an

2 4 cos

x d

x











= tan tan 2

  

  

* Chú ý đối với học sinh:

Đối với phương pháp đổi biến số khi đặt t = u(x) thì u(x) phải là một hàm số liên tục và có đạo hàm liên tục trên a; b

*Một số bài tập tương tự:

Tính các tích phân sau:

1/ 



0 sin x

dx

; 2/





0 1 cosx dx

4

x dx ; b

2

1 sin xdx







Câu a   

4

0

* Sai lầm thường gặp:

I =   

4

0

2

2

0

x

* Nguyên nhân sai lầm:

Phép biến đổi x 3 2 x 3 với x 0 ; 4 là không tương đương

* Lời giải đúng là:

I =   

4

0

=                   

3

0

4

3

4

0

4

0

3 dx x d x x d x x d x

x

= - 32 3  32 4 9 1

5

Câu b

2

0

1 sin xdx







* Sai lầm thường gặp:

Ta có

2

2 2

d







* Nguyên nhân sai lầm :

Sai lầm khi biễn đổi biểu thức

2

sin cos sin cos

* Lời giải đúng là:

3

2 2

3 0

2

x x







3

2 2

3 0

2







3

2 2

3 0

2

2 2 cos 2 2 cos

2 2 2 2 2 2 4 2







* Chú ý đối với học sinh:

 

f x  f x



2 2 n 1 ,nN

I =     

b

a

n f x n

b

a

 ta phải xét dấu hàm số f(x) trên a; b rồi dùng

tính

chất tích phân tách I thành tổng các tích phân không chứa dấu giá trị tuyệt đối

Một số bài tập tương tự:

1/ I =

0

1 sin 2x





 dx ; 2/ I =

0

1 cos2x





3/ I =

1 2

0

0,25

x  x

 dx ; 4/ I =

3

6

tan x cot x 2





Dạng 5: Tính I = 

0

1

x dx

* Sai lầm thường gặp:

I =  

0

0 1 2

1

1 arctan 1 arctan1 arctan 0

4

d x

x x











* Nguyên nhân sai lầm :

Học sinh không học khái niệm arctanx trong sách giáo khoa hiện thời

* Lời giải đúng:

Đặt x+1 = tant  dx 1 tan2t dt

với x=-1 thì t = 0 ; x = 0 thì t = 4

2

2

0

1 tan

t dt

dt t









* Chú ý đối với học sinh:

Các khái niệm arcsinx, arccosx, arctanx và arccotx không trình bày trong sách giáo khoa hiện thời Học sinh có thể đọc thấy một số bài tập áp dụng khái niệm này trong một sách tham khảo, vì các sách này viết theo sách giáo khoa cũ (trước năm 2000) Từ năm 2000 đến nay do các khái niệm này không có trong sách giáo khoa nên học sinh không được áp dụng phương pháp

này nữa Còn đối với các tích phân với biểu thức dưới dấu tích phân có chứa

2 2

a  x ( đặt x = asint) hoặc x2  a2 ( đặt

cos

a x

t

 ) hoặc a2 x 2 k

( đặt x =atant)

*Một số bài tập tương tự:

1/ I =

8

2

0

16 x dx

x x

  

1

0 2

3

1

3 2 2

3/ I =

6

2

dx

x x 

 ; 4/ I =

3

3 2 1

3 1

dx x

 

Dạng 6: Tính 



4 1

3

x

* Sai lầm thường gặp:

Đặt x= sint thì dx = costdt

Đổi cận: với x = 0 thì t = 0 ; x= 14 thì t = ?

* Nguyên nhân sai lầm:

Khi gặp tích phân của hàm số có chứa 1  x2 thì thường đặt x = sint nhưng đối với tích phân này sẽ gặp khó khăn khi đổi cận cụ thể với x = 14 không tìm được chính xác t = ?

* Lời giải đúng là :

Đặt t = 2

1  x  dt = 2

1

x

dx tdt xdx x



 Đổi cận: với x = 0 thì t = 1; x =

4

1

thì t =

4 15

Vậy 



4

1

3

3

2

1

3

t

* Chú ý đối với học sinh:

Khi gặp tích phân của hàm số có chứa 1  x2 thì thường đặt x = sint hoặc gặp tích phân của hàm số có chứa 1+x2 thì đặt x = tant nhưng cần chú ý đến cận của tích phân đó nếu cận là giá trị lượng giác của góc đặc biệt thì mới làm được theo phương pháp này còn nếu không thì phải nghĩ đến phương pháp khác

*Một số bài tập tương tự:

1/ Tính I = dx

x

x





7

3

1 ; 2/ Tính I =

2 3

2 2

xdx

x x 



3 Kết quả nghiên cứu

3.1 Nội dung

Thực nghiệm được tiến hành tại trường THPT Lê Hồng Phong Tôi chọn lớp 12A3 là lớp thực nghiệm, lớp 12A4 là lớp đối chứng Trình độ chung

về môn toán của hai lớp này là tương đương Giáo viên dạy thực nghiệm cũng

là giáo viên dạy đối chứng

Thực nghiệm được tiến hành trong 5 tiết ( lý thuyết và bài tập tích phân) Sau khi dạy thực nghiệm từ các gợi ý đã nêu ở trên và tổng hợp các ví

dụ mà học sinh thường mắc phải sai lầm, tôi cho học sinh làm bài kiểm tra Nội dung như sau:

ĐỀ KIỂM TRA 45 PHÚT

Tính các tích phân sau

1/

1

1

dx x



 2/  

2

1







3/ 2

4 0

1 cos x dx



 4/

4

0 4

dx

 



3.2 Đánh giá kết quả

Qua các giờ thực nghiệm cho thấy học sinh tiếp thu khá tốt các kiến thức được trang bị Học sinh học tập một cách tích cực , chủ động hơn, những

khó khăn và sai lầm mắc phải giảm đi rất nhiều Qua tiết kiểm tra cho thấy học sinh tích cực suy nghĩ và làm bài độc lập, từ đó đạt được kết quả khá cao

Kết quả bài làm kiểm tra của học sinh lớp thực nghiệm và lớp đối

chứng được thể hiện qua bảng thống kê sau:

Điểm

Lớp

TN( 12A3) 40 hs 0 0 0 0 2 4 4 5 7 10 8

* Lớp thực nghiệm 12A3 có: 95% học sinh đạt điểm trung bình trở lên; trong đó có 75% học sinh đạt điểm khá, giỏi

* Lớp đối chứng 12A4 có: 57,5% học sinh đạt điểm trung bình trở lên; trong đó có 35% học sinh đạt điểm khá, giỏi

PHẦN III KẾT LUẬN

Đề tài đã thu được một số kết quả sau đây:

* Đã hệ thống hóa, phân tích, diễn giải được khái niệm kĩ năng và sự hình thành kĩ năng

* Thống kê được một số dạng toán điển hình liên quan đến tích phân

* Chỉ ra một số sai lầm thường gặp của học sinh trong quá trình giải quyết các vấn đề liên quan đến tính tích phân

* Xây dựng một số biện pháp sư phạm để rèn luyện kĩ năng giải quyết các vấn đề liên quan đến tích phân

* Đã tổ chức thực nghiệm sư phạm để minh học tính khả thi và hiệu quả của những biện pháp sư phạm được đề xuất

Qua thực tế kinh nghiệm giảng dạy của bản thân tại trường THPT với nội dung và phương pháp nêu trên đã giúp học sinh có cái nhìn toàn diện hơn

về bài toán Tích phân nói riêng Toán học nói chung Vấn đề tôi thấy học sinh khá, giỏi rất hứng thú khi được giáo viên nêu và chỉ ra những sai lầm mà học sinh chưa hề nghĩ đến

Trong toán học, còn nhiều dạng toán mà học sinh rất hay mắc sai lầm trong khi giải quyết nó Tác giả hy vọng có điều kiện để trình bày các vấn đề này trong những năm học tiếp theo

Hiện nay nhà trường đã có một số sách tham khảo tuy nhiên chưa có một sách tham khảo nào viết về sai lầm của học sinh khi giải toán Vì vậy nhà trường cần quan tâm hơn nữa về việc trang bị thêm sách tham khảo loại này

để học sinh được tìm tòi về những sai lầm thường mắc phải khi giải toán để các em có thể tránh được những sai lầm đó trong khi làm bài tập

Mặc dù bản thân cũng đã cố gắng nhiều, song những điều viết ra có thể không tránh khỏi sai sót Vì vậy, tôi rất mong nhận được sự đóng góp ý kiến của Hội đồng khoa học trường THPT Lê Hồng Phong cũng như Hội đồng khoa học Sở Giáo dục và Đào tạo Gia lai và của quý Thầy (Cô)./

Người thực hiện

Bùi Thanh Ngân

TÀI LIỆU THAM KHẢO

1 Giải tích 12 ( cơ bản),NXB Giáo dục 2008

2 Bài tập Giải tích 12 ( cơ bản), NXB Giáo dục 2008

3 Sai lầm phổ biến khi giải toán , NXB Giáo dục 2003

4 Sai lầm thường gặp và các sáng tạo khi giải toán, Trần Phương, Nguyễn

Đức Tấn, NXB Hà Nội 2004

5 Toán học và những suy luận có lý, PôlyaG, NXB Giáo dục 1995.

6 Phương pháp giải toán Tích phân Quy nạp và Tổ hợp, Nguyễn Đức Hồng,

Lê Hoàn Hóa, Võ Khắc Thường, Lê Quang Tuấn, Nguyễn Văn Vĩnh, NXB Trẻ 1999

7 Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi toán trung học phổ thông, Nguyễn Văn

Mau, NXB giáo dục 2005

MỤC LỤC

4 Giới hạn, Phạm vi nghiên cứu của đề tài 3